河北省高碑店市高碑店一中2020-2021学年高二(励志班)上学期期末数学试题

高碑店一中2020~2021学年度高二年级期末考试数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( ) A. 100 B. 150 C. 200 D. 250A试题分析：根据已知可得：70100350015003500n n =⇒=+，故选择A考点：分层抽样2. 若复数z 满足()12z i +=，则z =（ ）A. 1i -B.C. 1i +D. 2B根据复数z 满足()12z i +=，利用复数的除法得到1z i =-，再利用求模公式求解. 因为复数z 满足()12z i +=， 所以()()()2121111i z i i i i -===-++-，所以z == B本题主要考查复数的运算和复数的模，属于基础题. 3. 已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 A分析：根据题意，求得:0q x >，即可利用集合之间的关系，判定得到结论. 详解：由题意可得31x >，解得0x >，则“:13p x <<”是“:0q x >”成立的充分不必要条件，即“:13p x <<”是“:31x q >”成立的充分不必要条件，故选A.点睛：本题考查了充分不必要条件的判定，其中正确求解命题q ，利用集合之间的大小关系是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.4. 若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为() A. 1 B. －3 C. 1或－3 D. 2C因为圆22(1)5x y -+=的圆心()1,0C ，半径5r=，又直线0x y m +－＝被圆截得的弦长为23，所以圆心C 到直线的距离()2232d r =-=，因此()2210211m-+=+-，所以1m ＝或3m =-，故选C.点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式. 5. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）A. 直线AB 与直线CD 平行B. 直线AB 与直线CD 相交C. 直线AB 与直线CD 异面垂直D. 直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°D首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线AB 与直线CD 为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线AB 与直线CD 为异面直线，故A ，B 错误；连接CE ，DE ，因为//AB CE ，所以DCE ∠或其补角为异面直线AB 与CD 所成角. 又因为DCE 为等边三角形，所以60DCE ∠=.所以直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°，故C 错误，D 正确.故选：D 本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.6. 从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A. 110B.310C.710D.35C试题分析：全是红球的概率为2325310C p C ==，所以对立事件不全是红球的概率为3711010-=考点：古典概型概率点评：古典概型概率的求解首先要找到所有基本事件种数与满足题意的基本事件种数，然后求其比值即可，求解过程中常结合对立事件互斥事件考虑7. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+,则p 的值为（ ） A. 45 B. 50 C. 55 D. 60D试题分析：由题意得245682.55m ++++==， 6.5517.550y =⨯+=，所以30405070505p ++++=，解得60p =，故选D.考点：线性回归方程.【方法点晴】本题主要考线性回归方程的应用，其中解答中涉及到线性回归直线方程的概念、回归直线方程基本特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较简单，属于基础题，正确理解线性回归直线方程的基本特征和正确计算样本数据的中心点是解得此类问题的关键.8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. 1-B. 1C.D.A先求出点A 关于直线3x y +=的对称点A '，点A '到圆心的距离减去半径即为最短. 解：设点A 关于直线3x y +=的对称点(,)A a b '，AA '的中点为2(,)22a b +，AA bk a 2'=- 故•(1)122322ba ab ⎧-=-⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得31a b =⎧⎨=⎩，要使从点A 到军营总路程最短， 即为点A '到军营最短的距离，11-=-，故选A.本题考查了数学文化问题、点关于直线对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 设z 1，z 2是复数，则下列命题中真命题是（ ） A. 若|z 1－z 2|＝0，则12z z = B. 若12z z =，则12z z = C. 若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅D. 若|z 1|＝|z 2|，则2212z z =ABC对A ，由|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，再判断12z z =是否正确；对B ，由共轭复数的概念判断；对C ，可用12,z z 代数形式代入运算判断正误；对D ，可举反例，令121,z z i ==进行判断. 对于A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以12z z =为真； 对于B ，若12z z =，则z 1和z 2互为共轭复数，所以12z z =为真； 对于C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，1122,,,a b a b R ∈,若|z 1|＝|z 2|，则22221122a b a b +=+，即22221122a b a b +=+，所以2222111122z z a b a b ⋅=+=+=22z z ⋅，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对于D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而211z =，221z =-，所以2212z z =为假.故选：ABC.本题考查了复数的概念，复数的运算，属于基础题.10. 函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A. 在()1,2上函数()f x 为增函数B. 在()3,5上函数()f x 为增函数C. 在()1,3上函数()f x 有极大值D. 3x =是函数()f x 在区间[]1,5上的极小值点AC根据图象判断出()f x 的单调区间、极值（点）.由图象可知()f x 在区间()1,2和()4,5上()'0f x >，()f x 递增；在区间()2,4上()'0f x <，()f x 递减.所以A 选项正确，B 选项错误.在区间()1,3上，()f x 有极大值为()2f ，C 选项正确.在区间[]1,5上，4x =是()f x 的极小值点，D 选项错误.故选：AC11. 已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线2:2l y x =，设1F ，2F 是C 的左右焦点，点P 在l 上，且1OF OP =，O 为坐标原点，则（ ） A. C 的虚轴长为42 B. 1290F PF ∠=︒ C. 122PF PF -= D. 12PF F △的面积为62ABD求出双曲线的标准方程和基本量，根据双曲线的定义及直角三角形的有关性质逐一选择.. 由渐近线2:2l y x =，可得22b =，1a =，3c =，所以虚轴长为42，A 正确； 由12OF OP OF ==，12PF F △为直角三角形，B 正确；因为点P 不在双曲线上，根据双曲线的定义122PF PF -≠，C 不正确； 由渐近线2:2l y x =，知1tan 22POF ∠=，122sin POF ∠=， 12222222sin 3362PF F POF SSOP OF POF ==⋅⋅∠=⨯⨯=，D 正确.故选: ABD 本题考查由根据渐近线方程确定双曲线的基本量，同时考查双曲线的定义，属于基础题. 12. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论为（ ）A. 直线AM 与1C C 是相交直线；B. 直线AM 与BN 是平行直线；C. 直线BN 与1MB 是异面直线：D. 直线MN 与AC 所成的角为60︒.CD根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可.结合图形，显然直线AM 与1C C 是异面直线，直线AM 与BN 是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线MN 与AC 所成的角即直线1D C 与AC 所成的角,在等边1AD C ∆中160ACD ∠=︒，所以直线MN 与AC 所成的角为60︒,综上正确的结论为C D.本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题“200,4x R x ∃∈>”的否定是_______． 2,4x R x ∀∈≤根据特称命题的否定是全称命题即可求解.“200,4x R x ∃∈>”的否定是2,4x R x ∀∈≤， 故答案为：2,4x R x ∀∈≤14. 直线y kx b =+与曲线31y x ax =++相切于点（2，3），则 b 的值为 ．15-切点(2,3)在曲线31y x ax =++上，则 3.a =-曲线331y x x =-+在点(2,3)处切线的斜率为2|9,x y =='由题意9,k =切线方程为9y x b =+且点(2,3)在切线上，所以b=15-.本题主要考查曲线上一点处的切线方程，属于中档题，由于曲线和曲线上一点处切线方程中均有参数，在解题时一定要注意切点不仅在切线上，而且还在曲线上，否则题目中的参数很难求出．考点：1、导数的几何意义；2、曲线的切线方程．15. F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.()2212x y +-=由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程.由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ =， ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.16. 已知函数3232,0(),0x x x x f x x e x ⎧-+≥=⎨-<⎩，若方程()0f x a -=有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围可以是___________.(]24,00,2e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，()0f x a -=，即()f x a =，根据图像得到答案.当0x ≥时，()332f x x x =-+，()()()233311f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，解得11x =，21x =-(舍去).[)0,1x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，()1,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.()()min 10f x f ==.当0x <时，()2x f x x e =-，()()222x x xf x xe x e xe x '=--=-+，令()0f x '=，解得10x =，22x =-(),2x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 为减函数， ()2,0x ∈-，()0f x '>，()f x 为增函数. ()()2min 42f x f e=-=-，且当x →-∞时，()0f x →. 函数()f x 的图像如图所示：因为方程()0f x a -=有两个不相等的实根， 等价于函数()y f x =与y a =有2个交点， 所以240a e -<<或02a <≤. 故答案为：(]24,00,2e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.【点晴】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数求出单调区间得到函数图像是解题的关键.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 某市教育局为了了解高三学生体育课达标情况，在某学校的高三学生体育课达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第1组[)75,80，第2组 [)80,85，第3组[)85,90，第4组 [)90,95，第5组[)95,100，得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率； （2）在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一个在第三组，另一人在第四组的概率． （1）25；（2）25. 试题分析：（1） 设“学生甲或学生乙被选中复查” 为事件A ，根据分层抽样的方法求出每组的人数，继而根据古典概型概率公式即可求出()P A ；（2） 记第三组选中的三人分别是,,a b c ，第四组选中的二人分别为,x y 第五组选中的人为m ，列举出所有的基本事件，根据古典概型概率公式计算即可.试题解析：（1）设“学生甲和或学生乙被选中复查”为事件A ，第三组人数为500.06515⨯⨯=，第四组人数为500.04510⨯⨯=，第五组人数为500.0255⨯⨯=，根据分层抽样知，第三组应抽取 3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人， 所以()25P A =． （2）记第三组选 中的3人分别是123,,A A A ，第四组选中的2人分别为12,B B ，第五组选中的人为C ，从这6人中选出2人，有以下基本事件：12131112123212223231212,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B AC A A A B A B A C A B A C B B B C B C ，共15个基本事件．符合一人在第三组、一人在第四组的基本事件有11A B ，1221223132,,,,A B A B A B A B A B ，共6个， 所以所求概率62155P ==． 考点：1、频率分布直方图；2、古典概型概率公式. 18. 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A(3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S. （1）3x =或34110x y -+=；（2）12试题分析：（1）当切线的斜率存在时，设为k ，写出切线方程，圆心到切线的距离等于半径，解出k求出切线方程，切线的斜率不存在时3x =验证即可；（2）先求直线 AO 的方程，再求C 到OA 的距离，再求OA 的长度，然后求出三角形AOC 的面积.试题解析：(1)由圆C ：2246120x y x y +--+=，配方，得22(2)(3)1x y -+-=，圆心()2,3C ，当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为()53y k x －＝－， 即530kx y k -+－＝，由2235311k kd k -+-==+，得34k =，又斜率不存在时直线3x =也与圆相切，故所求切线方程为3x =或34110x y -+=. (2)直线OA 的方程为53y x =，即530x y －＝，点C 到直线OA 的距离为2252333453d ⨯-⨯==+，又223534OA =+=，所以1122S OA d ==. 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.19. 某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y 关于x 的回归直线方程；（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价.参考数据：5125,i i i x ===∑515.36,i ii y===∑51()()0.64;i i i i x x y y ==--=∑参考公式：51521()()ˆ,()i iii i ii x x yy bx x ====--=-∑∑ˆˆa y bx=-. (1) 0.0640.752y x =+ (2) 销售均价约为1.52万元/平方米分析：（1）由题意，计算x ，y ，求出ˆb，ˆa ，即可写出回归方程； （2）利用（1）中回归方程，计算12x =时ˆy的值即可. 详解：（1） 月份x 3 4 5 6 7 均价y0.950.981.111.121.20计算可得()3456755x =++++=，()0.950.98 1.11 1.12 1.20 1.0725y =++++=，()52110i i x x =-=∑，所以0.640.0641ˆ0b==， 1.07ˆˆ20.06450.752a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为0.06405ˆ.72yx =+. （2）将12x =代入回归直线方程得0.064120.752 1.5ˆ2y=⨯+=， 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.点睛：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，//AD BC ，1AD CD ==，2BC =，二面角P CD A --为45︒，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且3PC PF =（1）求证：四边形ABCD 为直角梯形； （2）求二面角F AE D --的余弦值. （1）证明见解析（2）3-（1）通过证明//AD BC ，且AD BC ≠可得四边形ABCD 为直角梯形；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA AM ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，求出面AEF 和面PAD 的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角F AE D --的余弦值. （1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥， 所以CD AD ⊥因为//AD BC ，且AD BC ≠， 所以四边形ABCD 为直角梯形；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA AM ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0B -，()1,1,0C ，()0,1,0D ，由（1）知CD AD ⊥，又CD PD ⊥，则PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，则45PDA ∠=︒，1PA =，所以()0,0,1P ，110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,1,1)PC =-，(0,0,1)AP =，所以1111,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 112,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设平面AEF的法向量1(,,)n x y z =，则1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩令：1z =，则1y =-，1x =-，所以()11,1,1n =--，又平面PAD 的法向量()21,0,0n =， 所以121212cos ,3n n n n n n ⋅<>===⋅， 由题意知二面角F AE D --为钝角， 所以二面角F AE D --的余弦值为-本题考查线面垂直，线线垂直的性质，以及空间向量法求二面角，考查计算能力与空间想象能力，是基础题.21. 已知点(0,2)A -，椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF，O 为坐标原点. （1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程.（1）2214x y +=；（2）22y x =-或22y x =--. （1）利用AF 的斜率、离心率以及222b a c =-，求得2,a b ，从而求得椭圆E 的方程. （2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，求得,P Q 两点的横坐标，从而求得PQ ，结合点到直线距离公式求得OPQ △的面积，利用基本不等式求得OPQ △的面积的最小值，以及直线l 的方程.（1）设(),0F c，由条件知23c =，得c =2c a =，所以2222,1a b a c ==-=，故E 的方程2214x y +=.（2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线:2l y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()22416120x k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，即234k >时，1,22814k x k±=+从而12214PQ x k=-=+，又点O 到直线PQ的距离d =所以OPQ △的面积21214OPQS d PQ k==+△t =，则2440,144OPQt t St t t>==≤++，当且仅当2,2t k ==±等号成立，且满足0∆>， 所以当OPQ△的面积最大时，l的方程为：2y x =-或22y x =--. 直线和椭圆的位置关系中，有关三角形面积的问题，可利用弦长公式以及点到直线距离公式来求三角形的面积.22. 设R a ∈,函数()ln f x x ax =-.(1) 若3a =，求曲线()y f x =在()1,3P -处的切线方程； (2)求函数()f x 单调区间(3) 若()f x 有两个零点12,x x ,求证: 212x x e ⋅>.（1）210x y ++=；（2）见解析；（3）见解析分析：（1）求出()f x '，由()1f 的值可得切点坐标，求出()1f '的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >，可得函数()f x 的增区间，()'0f x <，可得函数()f x 的减区间；（3）原不等式212x x e ⋅>等价于121212ln ln 2x x x x x x ->-+ ()1212122ln x x x x x x -⇔>+令12x t x =,则1t >,于是()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++，()()21ln 1t g t t t -=-+，利用导数可证明()()10g t g >=，从而可得结果. 详解：在区间()0,+∞上,()11axf x a x x'-=-=. （1）当3a =时，()12f '==-则切线方程为()()321y x --=--，即210x y ++= （2）若0a ≤,则()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数, 若0a >,令()0f x '=得: 1x a=. 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数;在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数;(3)设120,x x >>()()120,0,f x f x == 1122ln 0,ln 0x ax x ax ∴-=-=()1212ln ln x x a x x ∴+=+,()1212ln ln x x a x x -=-原不等式21212ln ln 2x x e x x ⋅>⇔+>()122a x x ⇔+> 121212ln ln 2x x x x x x -⇔>-+ ()1212122ln x x x x x x -⇔>+令12x t x =,则1t >,于是()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++.（9分）设函数()()21ln 1t g t t t -=-+ (1)t >,求导得: ()()()()222114011t g t t t t t -=-=+'>+ 故函数()g t 是()1,+∞上的增函数, ()()10g t g ∴>=即不等式()21ln 1t t t ->+成立,故所证不等式212x x e ⋅>成立.。