最新-2018高中数学 第2章232双曲线的几何性质课件 选修2-1 精品
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(2)与xa22－by22＝1 共渐近线的双曲线的方
程可设为xa22－by22＝λ(λ≠0)．
知能优化训练
本部分内容讲解结束
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∴c2－2ac－a2＝0，∴(ac)2－2×ac－1＝0. 即 e2－2e－1＝0.∴e＝1＋ 2或 e＝1－
2(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为 1＋ 2.
【名师点评】 求双曲线的离心率就是要构 造出关于a、b、c的一个方程，进而转化为 关于e的方程求出结果，同时要利用好隐含 条件c>a>0，确定e的取值范围．
【思路点拨】 所求双曲线方程的渐近线已 知，因此可用有共同渐近线的双曲线系求解 ，也可按焦点在坐标轴上的位置分类讨论， 利用待定系数法求解．
【解】 法一：设所求双曲线方程为4x2－ 9y2＝λ(λ≠0)，点(1,2)在双曲线上，将点(1,2) 的坐标代入方程可得λ＝－32，故所求的双 曲线方程为4x2－9y2＝－32，
由题意知a42－b12＝1， 23＝ab
⇒a2＝392， b2＝8.
∴双曲线方程为93y22－x82＝1.
【名师点评】 (1)若已知渐近线方程为 mx±ny＝0，求双曲线方程．双曲线的焦点 可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的 方法来解决．
法一：分两种情况设出方程进行讨论．
法二：依据渐近线方程，设出双曲线为m2x2 －n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．
自我挑战2 (2011年高考课标全国卷改编)设 直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条 对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C的离心率为________．
解析：设双曲线的标准方程为xa22－by22＝ 1(a>0，b>0)，由于直线 l 过双曲线的焦
点且与对称轴垂直，因此直线 l 的方程 为 l：x＝c 或 x＝－c，代入xa22－by22＝1 得 y2＝b2ac22－1＝ba42，∴y＝±ba2，故|AB|＝ 2ab2，依题意2ab2＝4a，∴ba22＝2，
故|AC|＝|BD|.14 分
【名师点评】 本题利用方程组及根与 系数的关系解决线段中点的问题，这一 过程体现了方程思想的应用．利用方程 解有关问题是此类问题的主要方法．
方法感悟
1．双曲线的性质应用 (1)解决双曲线有关问题，需根据标准方 程的形式，结合图形的几何性质，确定 焦点位置及 a、b 的值，抓住公式 c2＝a2 ＋b2、离心率 e＝ac、渐近线方程等，轻 松地完成数形转化．
a2＋a2 b2＝
1＋ba22.
2．不同的双曲线，渐近线能相同吗？其方 程有何特点？
提示：能相同．双曲线xa22－by22＝1 与by22－xa22＝ 1 的渐近线就相同，所以具有相同渐近线的 双曲线可设为xa22－by22＝λ(λ≠0，λ∈R)，λ>0 时，焦点在 x 轴上，λ<0 时，焦点在 y 轴上．
(2)本题法一的设法给解题带来方便，但法二 是基本解法应重点掌握．
自我挑战 1 根据以下条件求双曲线方 程： (1)两顶点之间的距离是 16，离心率是54； (2)过点(－ 5，6)，e＝ 10. 解：(1)由已知 2a＝16，∴a＝8，e＝54， ∴c＝10，∴b2＝c2－a2＝102－82＝36. 所求双曲线标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42
【思路点拨】 将焦点F1c，0的横坐标代入方程 → 求出P的纵坐标及|PF1| → 由∠PF2Q＝90°建立a、b、c的关系 → 求出离心率
【解】 设 F1(c,0)，将 x＝c 代入双曲线 的方程得ac22－by22＝1，那么 y＝±ba2.由|PF2| ＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|， ∴ba2＝2c，∴b2＝2ac.
x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
性 对称性 质 顶点
轴长
离心率
渐近线
关于x轴、y轴和原点对称
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
实轴长＝_2_a_，虚轴长＝_2_b_
e＝ac(e>1)
xa±by＝0
xb±ay＝0
问题探究
1．能不能用a，b表示双曲线的离心率？
提示：能．e＝ac＝
课堂互动讲练
考点突破
双曲线的几何性质的 简单应用 利用双曲线的几何性质，能够完成基本量a， b，c，e之间的互求；按照题中的要求，可以 正确地写出范围、实轴长、虚轴长、顶点坐 标、焦点坐标、渐近线方程、离心率等；根 据双曲线所满足的几何条件，可以求双曲线 的标准方程．
例1 求以2x±3y＝0为渐近线，且过点(1,2) 的双曲线方程．
(2)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程 与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐 标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的 讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方 程组的讨论．
(3)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个 数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能 由其交点的个数决定．
例3 (本题满分14分)如图所示，设直线l与 双曲线交于A，B两点，和双曲线的渐近线 交于C，D两点，求证|AC|＝|BD|.
由yb＝2x2k－x＋a2my2＝0
得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2＝0.12 分 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，则 x3＋x4＝ b22－a2kam2k2， ∴线段 CD 的中点 N 的横坐标 xN＝ x3＋2 x4＝b2a－2kam2k2， 而点 M，N 在同一条直线上，∴点 M 和 N 重合，
(2)应用双曲线的几何性质，可以解决的两类 问题是：由方程研究几何性质，由几何性质 求解方程．解决问题的关键都是抓住几何性 质，逐步列式或直接列方程求解．
(3)解决与双曲线相关的问题，如中点弦、弦 长、与直线的位置关系等，要注意运用方程 思想、消元法、根与系数的关系、弦长公式 等．
2．双曲线的渐近线 (1)渐近线方程可以认为把标准方程中 的“1”用“0”替换得出两条直线方程，即 xa22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为xa22 －by22＝0，即 y＝±bax.
2的．过 双点 曲线P标8 3准3，方－程是3_，1x_且62_－_焦_y9_点2__为_＝F11(.－5,0)，F2(5,0)
知新益能 双曲线的几何性质
标准 方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 焦距 范围
F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c
即93y22－x82＝1. 法二：渐近线为 y＝±23x， 设双曲线焦点在 x 轴上，标准方程为xa22－ by22＝1， 则有23＝ba.①
又∵双曲线过点(1,2)，∴a12－b42＝1.②
由①②联立方程组得23＝ab， a12－b42＝1，
无解．
设双曲线焦点在 y 轴上，标准方程为ay22－xb22＝1，
∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝ 3.
答案： 3
直线与双曲线的位置 关系
(1)直线与双曲线的位置关系有三种：(1)直 线与双曲线相交(包括有两个不同的公共点 和当直线与双曲线的渐近线平行时有一个公 共点两种情况)；(2)直线与双曲线相切(直线 与双曲线有两个重合的公共点)；(3)直线与 双曲线相离(没有公共点)．
由yb＝2x2k－x＋a2my2＝，a2b2 得：
(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2－a2b2＝0.8 分
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝b22－a2kam2k2， ∴线段 AB 的中点 M 的横坐标 xM＝ x1＋2 x2＝b2a－2kam2k2. 10 分
2．3.2 双曲线的几何性质
学习目标 1.了解双曲线的几何性质． 2．会用双曲线的几何性质处理简单问题．
2．3.2
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1
．
椭
圆
x2 25
＋
y2 9
＝
1
上点的坐标范围是
|_x_|≤__5_，__|_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_|≤__3____，顶点是_A_1_(_－__5_,0_)_，_A_2_(5_,_0_)___， B_1_(_0_，__－__3_)，__B__2(_0_,3_)__，离心率是e_＝__45__.
【思路点拨】 欲证|AC|＝|BD|，只需 证线段AB的中点与线段CD的中点重合．
【规范解答】 若直线 l 平行于坐标轴，则 根据双曲线的对称性，结论显然成立.2 分 若直线 l 不平行于坐标轴，则设直线 l 的方 程为 y＝kx＋mk2≠ba22， 双曲线的方程为 b2x2－a2y2＝a2b2， 渐近线的方程为 b2x2－a2y2＝0，6 分
②当焦点在 y 轴上时，设双曲线标准方 程ay22－9xa22＝1， 即双曲线过点 A(－ 5，6)． ∴6a22－－9a252＝1，解得 a2＝3919. ∴所求双曲线标准方程为3y129－3x129＝1.
9 综上所述，所求双曲线标准方程为
x2－y92＝1 或3y129－3x129＝1.
9
双曲线离心率的求值
－3x62 ＝1.
(2)由已知 e＝ 10，∴ac＝ 10， ∴c＝ 10a，∴b2＝c2－a2＝9a2. ①当焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准 方程xa22－9ya22＝1. 又双曲线过点 A(－ 5，6)， ∴－a252－96a22＝1，解得 a2＝1，
故所求双曲线标准方程为 x2－y92＝1.
(1) 求 双 曲 线 的 离 心 率 主 要 是 利 用
e
＝
c a
＝
1＋ba22，还要注意 e∈(1，＋∞)，根据这个取
值范围进行取舍．
(2)求离心率 e 的取值范围时，关键是找出 a，b，
c 满足的不等式，然后转化成关于 e 的不等式进
行求解，同时还要注意隐含条件 e∈(1，＋∞)．
例2 已知 F1，F2 是双曲线xa22－by22＝1(a>0， b>0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴 的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线 的离心率．
程可设为xa22－by22＝λ(λ≠0)．
知能优化训练
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∴c2－2ac－a2＝0，∴(ac)2－2×ac－1＝0. 即 e2－2e－1＝0.∴e＝1＋ 2或 e＝1－
2(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为 1＋ 2.
【名师点评】 求双曲线的离心率就是要构 造出关于a、b、c的一个方程，进而转化为 关于e的方程求出结果，同时要利用好隐含 条件c>a>0，确定e的取值范围．
【思路点拨】 所求双曲线方程的渐近线已 知，因此可用有共同渐近线的双曲线系求解 ，也可按焦点在坐标轴上的位置分类讨论， 利用待定系数法求解．
【解】 法一：设所求双曲线方程为4x2－ 9y2＝λ(λ≠0)，点(1,2)在双曲线上，将点(1,2) 的坐标代入方程可得λ＝－32，故所求的双 曲线方程为4x2－9y2＝－32，
由题意知a42－b12＝1， 23＝ab
⇒a2＝392， b2＝8.
∴双曲线方程为93y22－x82＝1.
【名师点评】 (1)若已知渐近线方程为 mx±ny＝0，求双曲线方程．双曲线的焦点 可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的 方法来解决．
法一：分两种情况设出方程进行讨论．
法二：依据渐近线方程，设出双曲线为m2x2 －n2y2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．
自我挑战2 (2011年高考课标全国卷改编)设 直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条 对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C的离心率为________．
解析：设双曲线的标准方程为xa22－by22＝ 1(a>0，b>0)，由于直线 l 过双曲线的焦
点且与对称轴垂直，因此直线 l 的方程 为 l：x＝c 或 x＝－c，代入xa22－by22＝1 得 y2＝b2ac22－1＝ba42，∴y＝±ba2，故|AB|＝ 2ab2，依题意2ab2＝4a，∴ba22＝2，
故|AC|＝|BD|.14 分
【名师点评】 本题利用方程组及根与 系数的关系解决线段中点的问题，这一 过程体现了方程思想的应用．利用方程 解有关问题是此类问题的主要方法．
方法感悟
1．双曲线的性质应用 (1)解决双曲线有关问题，需根据标准方 程的形式，结合图形的几何性质，确定 焦点位置及 a、b 的值，抓住公式 c2＝a2 ＋b2、离心率 e＝ac、渐近线方程等，轻 松地完成数形转化．
a2＋a2 b2＝
1＋ba22.
2．不同的双曲线，渐近线能相同吗？其方 程有何特点？
提示：能相同．双曲线xa22－by22＝1 与by22－xa22＝ 1 的渐近线就相同，所以具有相同渐近线的 双曲线可设为xa22－by22＝λ(λ≠0，λ∈R)，λ>0 时，焦点在 x 轴上，λ<0 时，焦点在 y 轴上．
(2)本题法一的设法给解题带来方便，但法二 是基本解法应重点掌握．
自我挑战 1 根据以下条件求双曲线方 程： (1)两顶点之间的距离是 16，离心率是54； (2)过点(－ 5，6)，e＝ 10. 解：(1)由已知 2a＝16，∴a＝8，e＝54， ∴c＝10，∴b2＝c2－a2＝102－82＝36. 所求双曲线标准方程为6x42－3y62 ＝1 或6y42
【思路点拨】 将焦点F1c，0的横坐标代入方程 → 求出P的纵坐标及|PF1| → 由∠PF2Q＝90°建立a、b、c的关系 → 求出离心率
【解】 设 F1(c,0)，将 x＝c 代入双曲线 的方程得ac22－by22＝1，那么 y＝±ba2.由|PF2| ＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|， ∴ba2＝2c，∴b2＝2ac.
x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
性 对称性 质 顶点
轴长
离心率
渐近线
关于x轴、y轴和原点对称
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
实轴长＝_2_a_，虚轴长＝_2_b_
e＝ac(e>1)
xa±by＝0
xb±ay＝0
问题探究
1．能不能用a，b表示双曲线的离心率？
提示：能．e＝ac＝
课堂互动讲练
考点突破
双曲线的几何性质的 简单应用 利用双曲线的几何性质，能够完成基本量a， b，c，e之间的互求；按照题中的要求，可以 正确地写出范围、实轴长、虚轴长、顶点坐 标、焦点坐标、渐近线方程、离心率等；根 据双曲线所满足的几何条件，可以求双曲线 的标准方程．
例1 求以2x±3y＝0为渐近线，且过点(1,2) 的双曲线方程．
(2)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程 与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐 标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的 讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方 程组的讨论．
(3)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个 数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能 由其交点的个数决定．
例3 (本题满分14分)如图所示，设直线l与 双曲线交于A，B两点，和双曲线的渐近线 交于C，D两点，求证|AC|＝|BD|.
由yb＝2x2k－x＋a2my2＝0
得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2＝0.12 分 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，则 x3＋x4＝ b22－a2kam2k2， ∴线段 CD 的中点 N 的横坐标 xN＝ x3＋2 x4＝b2a－2kam2k2， 而点 M，N 在同一条直线上，∴点 M 和 N 重合，
(2)应用双曲线的几何性质，可以解决的两类 问题是：由方程研究几何性质，由几何性质 求解方程．解决问题的关键都是抓住几何性 质，逐步列式或直接列方程求解．
(3)解决与双曲线相关的问题，如中点弦、弦 长、与直线的位置关系等，要注意运用方程 思想、消元法、根与系数的关系、弦长公式 等．
2．双曲线的渐近线 (1)渐近线方程可以认为把标准方程中 的“1”用“0”替换得出两条直线方程，即 xa22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为xa22 －by22＝0，即 y＝±bax.
2的．过 双点 曲线P标8 3准3，方－程是3_，1x_且62_－_焦_y9_点2__为_＝F11(.－5,0)，F2(5,0)
知新益能 双曲线的几何性质
标准 方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 焦距 范围
F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c
即93y22－x82＝1. 法二：渐近线为 y＝±23x， 设双曲线焦点在 x 轴上，标准方程为xa22－ by22＝1， 则有23＝ba.①
又∵双曲线过点(1,2)，∴a12－b42＝1.②
由①②联立方程组得23＝ab， a12－b42＝1，
无解．
设双曲线焦点在 y 轴上，标准方程为ay22－xb22＝1，
∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝ 3.
答案： 3
直线与双曲线的位置 关系
(1)直线与双曲线的位置关系有三种：(1)直 线与双曲线相交(包括有两个不同的公共点 和当直线与双曲线的渐近线平行时有一个公 共点两种情况)；(2)直线与双曲线相切(直线 与双曲线有两个重合的公共点)；(3)直线与 双曲线相离(没有公共点)．
由yb＝2x2k－x＋a2my2＝，a2b2 得：
(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2－a2b2＝0.8 分
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝b22－a2kam2k2， ∴线段 AB 的中点 M 的横坐标 xM＝ x1＋2 x2＝b2a－2kam2k2. 10 分
2．3.2 双曲线的几何性质
学习目标 1.了解双曲线的几何性质． 2．会用双曲线的几何性质处理简单问题．
2．3.2
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1
．
椭
圆
x2 25
＋
y2 9
＝
1
上点的坐标范围是
|_x_|≤__5_，__|_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_|≤__3____，顶点是_A_1_(_－__5_,0_)_，_A_2_(5_,_0_)___， B_1_(_0_，__－__3_)，__B__2(_0_,3_)__，离心率是e_＝__45__.
【思路点拨】 欲证|AC|＝|BD|，只需 证线段AB的中点与线段CD的中点重合．
【规范解答】 若直线 l 平行于坐标轴，则 根据双曲线的对称性，结论显然成立.2 分 若直线 l 不平行于坐标轴，则设直线 l 的方 程为 y＝kx＋mk2≠ba22， 双曲线的方程为 b2x2－a2y2＝a2b2， 渐近线的方程为 b2x2－a2y2＝0，6 分
②当焦点在 y 轴上时，设双曲线标准方 程ay22－9xa22＝1， 即双曲线过点 A(－ 5，6)． ∴6a22－－9a252＝1，解得 a2＝3919. ∴所求双曲线标准方程为3y129－3x129＝1.
9 综上所述，所求双曲线标准方程为
x2－y92＝1 或3y129－3x129＝1.
9
双曲线离心率的求值
－3x62 ＝1.
(2)由已知 e＝ 10，∴ac＝ 10， ∴c＝ 10a，∴b2＝c2－a2＝9a2. ①当焦点在 x 轴上时，设双曲线的标准 方程xa22－9ya22＝1. 又双曲线过点 A(－ 5，6)， ∴－a252－96a22＝1，解得 a2＝1，
故所求双曲线标准方程为 x2－y92＝1.
(1) 求 双 曲 线 的 离 心 率 主 要 是 利 用
e
＝
c a
＝
1＋ba22，还要注意 e∈(1，＋∞)，根据这个取
值范围进行取舍．
(2)求离心率 e 的取值范围时，关键是找出 a，b，
c 满足的不等式，然后转化成关于 e 的不等式进
行求解，同时还要注意隐含条件 e∈(1，＋∞)．
例2 已知 F1，F2 是双曲线xa22－by22＝1(a>0， b>0)的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴 的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线 的离心率．