排列组合综合应用题

合集下载

高中排列组合经典例题

运用两个基本原理例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。

下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。

例1．用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）。

A．24个 B.30个 C.40个 D.60个30。

例2．(1995年上海) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法（）种．72例3．（2000年全国）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有（）种.A33· A72＝252例4．从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？例5．8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。

在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

练习1（89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个（用数字作答）。

36三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

排列、组合的综合问题

答案：1 560
从 1，3，5，7，9 中任取三个数，从 2，4，6，8 中任取两个数，则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________．解析：“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从 1，3， 5，7，9 中任取三个数，有 C35种取法；第二步，从 2，4，6，8 中任取两个数，有 C24种取法；第三步，将取出的五个数全排列，有 A55种排法．共有符合条件的五位数 C35C24A55＝7 200(个)．答案：7 200
• 处理有附加条件的排列、组合应用题的策略: • (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，
再考虑其他元素; • (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，
再考虑其他位置; • (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，
再减去不合要求的排列数或组合数.
【基础检测】
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选
个，再加上 3 开头的排列数才共有 180 个，如果加
上 4 开头的，则共有 240 个，所以第 200 项应该是
4 开头的数．
而形如 4 1
数，有 A24＝12 个．
故 200 项在形如 4 2
中．
又 421
， 423
各有 3 个数，故此数应在形如 4 2 5 中的第二个数、即符合 180＋12＋3＋3＋2＝200. 故所求第 200 项为：4253.
A．24
B．48
C．120
D．72
D
【解析】解法一：特殊位置法：第一步：从除
A 外的 4 人中选 2 人参加理、化竞赛，有 A24种选法；第二步：从剩余 3 人中选 2 人参加数、英竞赛，有 A23种选法，共 A24·A23＝72 种．
解法二：特殊元素法：分选 A 及不选 A 两种，共 C34·C12A33＋A44＝72 种．

排列组合典型例题

典型例题一之宇文皓月创作例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个∴没有重复数字的四位偶数有典型例题二例2三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种分歧的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种分歧的排法？（3）如果两端都不克不及排女生，可有多少种分歧的排法？（4）如果两端不克不及都排女生，可有多少种分歧的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元歧的排法．（2）（插空法）要包管女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生拔出这六个位置中，只要包管每个位置至多拔出一个女生，就能包管任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一中选出三个来让三个女生拔出都方法，因此共有（3）解法1：（位置分析法）因为两端不克不及排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位6位都解法2：3个女生和5种数．因此共有36000662388=⋅-A A A 种分歧的排法．典型例题三例 3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有55A 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 46A ＝43200.（2）先排舞蹈节目有44A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。

数字的排列组合应用题

数字的排列组合应用题在数学中，排列组合是一种常见且基础的数学概念，它涉及到数字的排列和组合方法。

排列指的是将一组数字按照特定的顺序进行排列，而组合则是选择一部分数字，不考虑顺序的组合方式。

在实际生活和问题求解中，我们经常会遇到一些需要使用排列组合的应用题，下面将介绍几个常见的应用例子。

1. 生日问题假设有一群人，每个人的生日都在同一年。

现在我们想知道，至少需要多少人，才能保证至少两人生日在同一天？解答：这个问题可以转化为排列组合的应用。

首先考虑没有重复生日的情况，第一个人可以选择任意一天作为生日，第二个人只能选择除去第一个人生日那天以外的364天作为生日，第三个人只能选择除去前两个人生日那两天以外的363天作为生日，以此类推。

所以，如果没有重复生日，需要至少365个人才能保证每个人的生日都不一样。

但是，题目中要求至少两人生日在同一天，所以我们需要计算至少两人生日在同一天的概率。

假设有n个人，每个人的生日都是365天中的任意一天，那么至少两人生日在同一天的概率可以表示为1 - 不同生日的概率。

不同生日的概率为：P(不同生日) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * ((365 - n +1)/365)当概率小于0.5时，即至少两人生日在同一天的概率超过了50%，我们可以得出结论至少需要的人数。

2. 幸运号码某个抽奖游戏中，参与者需要选择5个不同的数字作为幸运号码，每个数字的取值范围是1-30。

现在我们想知道，一共有多少种不同的幸运号码组合？解答：这个问题可以看作是一个排列问题。

由于选取的数字不能重复，所以我们需要计算的是从30个数字中选取5个数字的排列数。

根据排列的计算公式：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n代表总数字个数，r代表需要选择的数字个数。

“！”表示阶乘运算。

根据上述公式，我们可以计算得出一共有多少种不同的幸运号码组合。

排列组合应用题

否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.
例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程. 解 43人中任抽5人的方法有C 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有C 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 C C 种. 结论6 排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.
巩固练习7 ：有6名同学站成一排，求：
（１）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法：
（２）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法：（３）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法.
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？
分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题. 8 A8 种排法,然后把老师插入学生解先排学生共有之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 4 有 A7 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 A88 A74 种. 结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序? 分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性. 解不加任何限制条件,整个排法有 A99 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法 1 9 A 是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 9 2 种. 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与结论5

排列组合应用题

排列组合问题
1、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双; (2) 4只鞋子恰好成双；
(3) 4只鞋子有2只成双，另2只不成双
2、有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划右舷, 现要
从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?
3、要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选1人，这10个名额有多少种分配方法?
4、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法有多少种？
5、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有多少种方法？
6、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？
7、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
8、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至
少有1人参加，则有不同参赛方法______种.
9、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
10、(1)6本不同的书分给5个人，每人至少一本,多少种不同的分法?
(2)6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本,有多少种不同的分法？
(3)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
(4)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?。

排列组合应用题—综合[1]

排列组合应用题—综合一．选择题1.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分配方法共有（）（A ）90种（B ）180种（C ）270种（D ）540种2．从8盒不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（）A ．1320B ．960C ．600D ．3603.20个不加区别的小球放入编号为1号，2号，3号三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于盒子的编号数，则不同的放法总数是（）（A ）760 （B ）764 （C ）120 （D ）914．从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有（）A ．231040A AB ．2323104043C C A A C ．23510405C C AD ．231040C C 5．编号1，2，3，4，5，6的六个球分别放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有（）A ．20B ．40C ．120D ．4806．如果一个三位正整数形如“123a a a ”满足1232a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为（）A ．240B ．204C ．729D ．9207．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( ) A ．234 B ．346 C ．350D ．363 8．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( ) A ．2426C A B ．242621C A C ．2426A A D ．262A 9．4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有( ) A ． 12 种 B ． 24 种 C 36 种 D ． 48 种10．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 ( )A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种 12．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是A ．48B ．36C ．28D ．1213．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6}，设映射B A f →:，使集合B 中的元素在A 中都有原象，这样的映射个数共有（）A ．16B ．14C ．15D ．12 14．ABCD —A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i i 与第2+段所在直线必须是异面直线（其中i 是自然数）.设白、黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（）A ．1B ．2C ．3D ．0 15. 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为( ) A.480 B.240 C.120 D.9616.从1，2，3，4，5，6中任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面,若只有1和3其中一个时,也应排在其它数字的前面,这样的不同三位数个数有( ) A 321144432A A C C ++ B.311443A A C + C.3612A +24A D.36A 17.有7名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 ( )（A ）240 （B ）192 （C ）96 （D ）48二．填空题1．五个不同的球放入四个不同的盒子，每盒不空，共有____ 种放法。

高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解

高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。

排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。

在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。

本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。

题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。

求这样的小组的可能数。

解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。

根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下：1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 102. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 283. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280所以，这样的小组的可能数为280。

通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。

这对于高中学生来说，是一个很好的练习。

题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。

解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。

根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。

2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。

3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。

所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。

通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。

这对于高中学生来说，是一个很好的练习。

题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。

解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。

排列组合

排列组合一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

排列组合应用题

16.甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为多少？ 17.从编号为a、b、c、d、e的5个小球中任取4个，放在编号为1、2、3、4的盒子里，每个盒子放一个球，且球b不能放在2号盒中，则不同的放法种数为多少？
18.高二某班要从7名运动员中选出4名组成 4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?
26.某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少有1名女生当选的不同选法有( ) A.27种 B.48种 C.21种 D.24种
27.从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有 1位女同志，分别到4个不同的工厂调查，不同的分派方法有多少种？ 28.四名优等生保送到三所大学去,每所大学至少得一名,则不同的保送方案的总数是_ _.
21.从0、1、3、5、7中取出不同的三个数作系数; （1）可组成多少个不同的一元二次方程？（2）其中有实数根的有几个？
22.有划船运动员10人, 其中5人只会划右舷, 2人只会划左舷, 其余3人会划左、右舷, 现从10人中选出6人, 平均分配到船两舷, 有多少种选法? 23.有6本不同的书（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
29.六个球，投入四个盒子，各有多少种不同方法？（1）球不同，盒不同; （2）球不同，盒不同，每盒不空; （3）球相同，盒不同; （4）球相同，盒不同，每盒不空; （5）球不同，盒相同，每盒不空; （6）球相同，盒相同，每盒不空;

排列组合综合应用题专题

排列组合综合应用题专题
排列组合是数学中的一个重要分支，常常用于计数。

在实际生活中，排列组合常常被用来解决各种问题。

下面介绍几个常见的应用案例。

1. 摆放位置问题
假设有10个人要坐在一排座位上，问有多少种不同的坐法？这
是一个典型的排列问题，因为这10个人的顺序不同，组合起来的结果
也就不同。

答案是10的阶乘，即10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3,628,800种。

2. 抽奖问题
假设有40个人参加了一次抽奖活动，每人只能中一次奖，问中
奖的人数有多少种可能性？这是一个组合问题，因为每个人是否中奖
并不影响其他人是否中奖。

答案是40个人中选取1个人中奖的方案数，即40种。

3. 球队比赛问题
假设有20支球队要进行比赛，每两支球队之间只能比赛一次，
问需要多少场比赛才能产生胜负？这是一个排列组合问题。

首先需要
从20支球队中选取两支进行比赛，共有C(20,2)种选法，即20 * 19
/ 2 = 190种。

然后每一场比赛都有胜负和平局三种可能性，因此总共需要190 * 3 = 570场比赛。

排列组合在实际生活中的应用非常广泛，以上只是其中的几个例子。

对于排列组合的掌握不仅能够帮助我们解决生活中的问题，也对
数学学习有很大帮助。

排列组合应用题求解专题

有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种.
解：符合条件的要求着色至少
2
须要三种颜色，故可分为： 3
1
5
（1）使用三种颜色时，
4
A 2与4同色且3与5同色，共有 3 种方法 4
（2）使用四种颜色时，
A 若2与4同色，有
4 4
种方法；若3与5
同色，也有 A44 种方法
所以不同的着色方法共有 A43 2A44 72 种
(2)2张2一起出，3张A分两次出，有种 C32 A53 方法
(3)2张2一起出，3张A分三次出，有种 A54 方法
(4)2张2分开出，3张A一起出，有种 A53 方法
(5)2张2分开出，3张A分两次出，有 C32 A54 种方法.
(6) 2张2分开出，3张A分三次出，有 A55 种方法
因此，共有不同的出牌方法 A55 A52 A54 C32 A53 A53 C32 A54
7、全体学生手拉手站成一圈
7、机会均等法：七个人站成一圈，有七个
接点，从不同的接点剪开后得到的排列数就
是七人的全排 A77 ，而七个人站成一圈，只
有顺序之分，无位置之分，所以满足条件的
排法为 A77 种
7
练习
例题一、12个相同的小球放入编号为 1、 2、3、4的盒子中：
（1）、每个盒子中至少有一个小球的不同方法有多少种？
法能一满样足，条有件，C和53 种（放1）法的解法一样，有 C53
种放法
练习
例题一、按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2) 平均分成三份，每份2本；
(3)分成三份，一份一本，一份2本，一份3本；

排列组合试题及答案

排列组合试题及答案一、选择题1. 有5个人站成一排，其中甲乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？A. 120B. 240C. 480D. 720答案：B2. 从6个不同的球中选3个球排成一排，有多少种不同的排法？A. 20B. 30C. 60D. 120答案：C二、填空题1. 将5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，共有______种不同的放法。

答案：1502. 有4个不同的球和4个不同的盒子，每个盒子放一个球，共有______种不同的放法。

答案：4^4 = 256三、简答题1. 某班有50名学生，现在要选出5名学生代表参加学校活动，有多少种不同的选法？答案：从50名学生中选出5名学生代表，这是一个组合问题。

根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，其中 n=50, m=5，计算得 C_50^5 = 50! / [5!(50-5)!]。

2. 某公司有10名员工，需要选出3名员工组成一个团队，有多少种不同的团队组合？答案：这是另一个组合问题，根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，其中 n=10, m=3，计算得 C_10^3 = 10! / [3!(10-3)!]。

四、计算题1. 一个班级有30名学生，现在要选出一个由5名学生组成的委员会。

如果甲和乙两名学生必须同时被选中，那么有多少种不同的委员会组成方式？答案：首先，甲和乙两名学生已经被选中，剩下3个位置需要从28名学生中选出3名学生，这是一个组合问题。

根据组合公式，C_28^3 =28! / [3!(28-3)!]。

2. 有7个不同的字母，需要组成一个3个字母的单词，有多少种不同的单词可以组成？答案：组成一个3个字母的单词，这是一个排列问题。

根据排列公式P_n^m = n! / (n-m)!，其中 n=7, m=3，计算得 P_7^3 = 7! / (7-3)!。

五、应用题1. 某公司有5个部门，需要选出3个部门进行合作。

(完整版)排列组合练习试题和答案解析

3. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种？
4.8项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有种
5..六人住A、B、C三间房，每房最多住三人，
（1）每间住两人，有种不同的住法，
（2）一间住三人，一间住二人，一间住一人，有种不同的住宿方案。
6. 8人住ABC三个房间，每间最多住3人，有多少种不同住宿方案？
十一、隔板法
1.不定方程的正整数解的组数是，非负整数解的组数是。
2.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有
A.84种B.120种C.63种D.301种
3.要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加1人，则这10个名额共有种分配方法。
8.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？
9.排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？
10.排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？
11.某城市修建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三只灯，但不能熄灭两端的灯，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯的方法共有种
十二、对应的思想
1.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？
十三、找规律
1.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?
解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.

排列与组合的综合应用题

【解析】两点确定一条直线，共 C26＝15 条；不在同一平面内的四个点确定一个三棱锥，由排除法得 C46－3＝12 个三棱锥；每个三棱锥可确定三对异面直线，故有 12×3＝36 对异面直线．
5．有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成 432 个不同的三位数．
2．局局部步，整体分类以后，对每一类进行局局部步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算结果时用分步计数原理．
3．辩证地看待“元素〞与“位置〞．排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定．有时“ 元素选位置〞，问题解决得简捷；有时“位置选元素〞，效果会更好．
【点评】本小题考查排列组合、计数原理等根底知
识以及分类讨论的数学思想．
排列组合问题的常见解法主要有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略； (2)合理分类与准确分步的策略； (3)排列、组合混合问题先选后排的策略； (4)正难那么反、等价转化的策略； (5)相邻问题捆绑处理的策略； (6)不相邻问题插空处理的策略；
【点评】有关由假设干个数字组成满足某条件的数的
问题通常应用“特殊元素先排法〞或“减去法〞，思考
这类问题时应注意数字“0〞是否参与、组成的数是多
少位数、数字使用时是否可以重复这三个根本方面．
四、几何型排列组合问题例 4(1)将一个四棱锥的每个顶点染上 1 种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现共有 5 种颜色可供使用，问共有多少种不同染色方法？
【点评】几何型排列组合问题需充分利用题设情境相应的几何性质，利用分类整合的方法求解．

1.2.3排列组合综合应用问题

排列组合综合问题
例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (1)分为两组,一组7人,一组5人； (2)分为甲、乙两组,甲组7人,乙组5人；
把12 人分成两组,一组7人,一组5人与把12人分成甲、乙两组,甲组7人,乙组5人,实质上是一样的,都必须分成两步：第一步:从12 人中选出7人组成一组(或甲组) 有C127种方法；第二步:剩余的5人组成一组(或乙组) 有C55种方法. 所以总的分配种数为C127.C55种。所以(1)、(2)分配种数都为C127.C55
有条件限制的组合问题
例4 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}求含有5个元
素,且其中至少有两个是偶数的子集的个数. 法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数,3个奇数；②3个偶数,2个奇数； ③4个偶数,1个奇数. 所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105(个) 法2：从反面考虑,全部子集个数为C95,而不符合条件的有两类： ①5个都是奇数；②4 个奇数,1个偶数. 所以共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
有条件限制的排列问题
例35个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (1)a,e必须排在首位或末位,有多少种排法？
分两步完成,把a,e排在首末两端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种. 由乘法原理,共有A22. A33=12(种)排法. 点评：问题(1)是排列问题中某几个元素必须 “在”某些位置的问题,处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置优先考虑 .(优限法)
排列组合综合问题
例2 求不同的排法种数. (3)4男4女排成一排,同性者相邻；
4男4女排成一列,同性者相邻,把4男、4女捆绑成一个排列,然后同性者之间再全排列, 所以共有A22.A44.A44种——“捆绑法”

排列组合应用题

排列组合应用题排列组合应用题 11.某铁路线共有14个客车站，这条铁路共需要多少种不同的车票？2.有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同信号，一共可以组成多少种不同信号？3.有五种颜色的小旗，任意取出三面排成一行表示各种信号。

问：共可以表示多少种不同的信号？4.(1)有五本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有多少种不同的借法？(2)有三本不同的书，5名同学来借，每人最多借一本，借完为止，有多少种不同的借法？5.七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法：(1)七个人排成一排；(2)七个人排成一排，某人必须站在中间；(3)七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；(4)七个人排成一排，某两人必须站在两头；(5)七个人排成一排，某两人不能站在两头；(6)七个人排成两排，前排三人，后排四人；(7)七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排。

6.甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。

问：(1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？(2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？(3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？(4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？7.用0、1、2、3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？8.用数码0、1、2、3、4可以组成多少个(1)三位数；(2)没有重复数字的三位数；(3)没有重复数字的三位偶数；(4)小于1000的自然数；(5)小于1000的没有重复数字的自然数。

9.用数码0、1、2、3、4、5可以组成多少个(1)四位数；(2)没有重复数字的四位奇数；(3)没有重复数字的能被5整除的四位数；(4)没有重复数字的能被3整除的四位数；(5)没有重复数字的能被9整除的四位偶数；(6)能被5整除的四位数；(7)能被4整除的四位数。

10.从1、3、5中任取两个数字，从2、4、6中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？11.从1、3、5中任取两个数字，从0、2、4中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？12.从数字1、3、5、7、9中任选三个，从0、2、4、6、8中任选两个，可以组成多少个(1)没有重复数字的五位数；(2)没有重复数字的五位偶数；(3)没有重复数字的能被4整除的五位数。

高二数学排列组合综合应用试题

高二数学排列组合综合应用试题1.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法．（用数字作答）【答案】1260【解析】9个求排成一列，相当于排队，从9个位置选2个排红球，共有种，从剩余7个选3个排黄球，共有，剩余4个位置排白球，因此共有.【考点】排列问题2.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲、乙相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．【答案】(1)24;(2)48;(3)78;(4)36【解析】（1）特殊元素(位置)法:首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种共有24种;(2)捆绑法:把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种;(3)对立法:甲在排头和乙在排尾的各种,其中甲在排头且乙在排尾的有种,五个人站成一排的不同排法数是种,所以甲不在排头，并且乙不在排尾的有种;(4)插空法:先将其余3个全排列种，再将甲、乙插入4个空位种，所以，一共有种不同排法.试题解析：（1）特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种,所以共有：种把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：种；先将其余3个全排列,再将甲、乙插入4个空位，所以，一共有种不同排法.【考点】排列组合3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？【答案】（1）70种；（2）59种．【解析】（1）由题意可分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理，问题得以解决．（2）由题意可分三类，第一类，选国画和油画，第二类，选国画和水彩画，第三类，选油画和水彩画，根据分类计数原理，问题得以解决．试题解析：（1）分三步完成，第一步选国画有5种，第二步选油画有2种，第三步选水彩画有7种，根据分步计数原理得，共有5×2×7=70种．（2）分三类，第一类，选国画和油画共有5×2=10种，第二类，选国画和水彩画共有5×7=35种，第三类，选油画和水彩画共有2×7=14种，根据分类计数原理共有10+25+14=59种．【考点】分类和分步计数原理．4.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．【答案】（1）1260（2）7560（3）1680【解析】（1）分步：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；（2）分两步完成：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；（3）平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．试题解析：(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有种方法；第三步：把剩下的书给丙有种方法，∴共有不同的分法有 (种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有种方法，∴共有＝7560(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得＝1680(种)．【考点】排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．5.设全集I=｛1，2，3，4，5，6｝，集合A，B都是I的子集，若A B=｛1，3，5｝，则称A，B为“理想配集”，记作（A，B），问这样的“理想配集”（A，B）共有（）A．7个 B．8个 C．27个 D．28个【答案】C【解析】由于交集是1,3,5，所以A,B集合中都必有1,3,5；分情况讨论：1）当A有3个元素，那么B有种选择；2）当A有4个元素，那么A要从1，3，5外再挑一个，有3种，这时B 有种选择，总共有种；3）当A有5个元素，那么A从1，3，5之外再挑两个，有3种，这时B有种选择，总共有种；4）当A有6个元素，B只有唯一一种可能；由分类计数原理得共有：8+12+6+1=27种；故选Ｃ．【考点】分类计数原理．6.将排成一排，要求在排列中，顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有种.【答案】【解析】将排成一排，共有排列的种数为，若按的顺序可分为六类，即（可以不相邻），而每类的排列数是一样的均为种，所以顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有种，注意等可能方法的使用.【考点】有限制条件的排列计数问题.7. A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，且B在A的左边，那么不同的排法共种.【答案】24【解析】将A，B看成一个人，和其他三人一起作全排列，又B在A的左边，故有不同的排法共有：种，故应填入：24．【考点】排列与组合．8.（12分）3名教师与4名学生排成一横排照相，求:（1）3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？（2）3名教师必须在中间（在3、4、5位置上）的不同排法有多少种？（3）3名教师不能相邻的不同排法有多少种？【答案】（1）; （2）; （3）.【解析】（1）捆绑法，将3名教师作为一整体与4名学生全排列有种，3名教师各自排列有，分步乘法原理；（2）3名教师排法有，4个学生在4个位子上全排列共有种，分步乘法原理；（3）插空法，4名学生共有种，形成5个空位由3个老师排列有种，再用分步乘法原理.解：（1）3名教师的排法有，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有种，则共有（种） 4分（2）3名教师的排法有， 4个学生在4个位子上的全排列共有种，则共有（种）---8分（3） 12分【考点】1.分步乘法原理；2.排列组合.9.用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则= 。