古典概型的特点及应用

古典概型的特点及应用
古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数
包含的基本事件个数A ； 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是
n 1.若某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=n
m . 例1.一栋楼房有六个单元，李明和王强住在此楼内，试求他们住在同一单元的概率． 解：李明住在这栋楼的情况也有6种，王强住在这栋楼的情况也有6种．所以他们同住在这栋楼的情况共6×6=36(种）．由于每种情况的出现的可能性相等．设事件A 表示“李明和王强住在此楼的同一单元内”，而事件A 所含的结果有6种．所以P(A)=61366=.所以李明和王强住在此楼的同一单元的概率为6
1． 点评：王强和李明住哪个单元的可能性是一样的，王强住一单元，李明可能住一至六单元的任何一单元，有6种情况；王强住二单元，李明可能住一至六单元任何一单元，依此类推，共有36种情况，即36个基本事件，并且每个基本事件的发生都是等可能的，属古典概型.
例2.甲，乙两人做出拳游戏（锤子，剪刀，布）．
求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率．
解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同的出拳方法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的．所以该游戏（试验）是古典概型，它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤．甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况．乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况．设平局为事件
A ，甲赢为事件
B ，乙赢为事件C.容易得到图.
(1)平局含3个基本事件(图中的△），P(A)=
3193=．（2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙),P(B) =
3193=．(3)乙赢含3个基本事件（图中的※），P(C)=3
193=. 点评：用列举法把古典概型的基本事件一一列举出来，然后求出其中指定事件包含的基本事件数，再用公式求出指定事件的概率，注意列举时要不重不漏．
例3．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2）和，（a 1，b 2），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 2，a 2）。

其中小括号内左
边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，
则A=[（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）]，
事件A 由4个基本事件组成，因而，P （A ）=64=3
2。

点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏。

例4．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。

分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样。

解析：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x,y,z 都有10种可
能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本
事件共有8×8×8=83
种，因此，P(A)= 33
108=0.512。

（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z ），则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= 720336
≈0.467。

解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，但（x,y,z ），（x,z,y ），（y,x,z ），（y,z,x ），（z,x,y ），（z,y,x ），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= 120
56≈0.467。

点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误。

例5、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：
甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，
否则算乙赢．
（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；
（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．
解：（I ）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， 所以51()255
P A ==．
答：编号的和为6的概率为1
5
．
（Ⅱ）这种游戏规则不公平．
设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C，
则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）．
所以甲胜的概率P（B）＝13
25
，从而乙胜的概率P（C）＝1－
13
25
＝
12
25
．
由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平．
点评：本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．例6．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率。

错解：掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2，3，4，…，12}，故共有11种基本事
件，所以概率为P=1 11
；
剖析：以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事
件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=5 36。

我们经常见的错里还有“投掷两枚硬币的结果”，划分基本事件“两正、一正一反、两反”，其中“一正一反”与“两正”、“两反”的机会是不均等。