勒让德多项式及性质

l 2n (n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( x)
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
二、勒让德多项式
1、前几个勒让德多项式: （注意到 x cos ) P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
1 π Pl ( x) ( x i 1 x 2 cos )l d π 0
§2·2 勒让德多项式的性质
Pl (1) 1
Pl ( x) 1
Pl (1) (1)l
(1 x 1)
P2 百度文库1 (0) 0
(2n)! n (2n 1)!! P2 n (0) (1) n (1) n 2 n !2 n ! (2n)!!
l 2n
(2l 2n)! l 2n (1) l x n !2 (l n)!(l 2n)! n 0
[ l /2] n
将指标n k (2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2k , 按降幂排列的l次多项式。 k !2 (l k )!(l 2k )! k 0
f ( x) x
3 l 0

3 2 f l Pl ( x) P ( x) P3 ( x) 1 5 5
另一解法：
5 3 3 3 2 3 2 x ( x x x) P ( x) P3 ( x) 1 2 2 2 5 5 5
3
推广：
f ( x) x
n
2l 1 1 n fl 1 x Pl ( x)dx 2 0 n l 奇数 (2l 1)n!(n l 1)!! n l 偶数，且n l (n l )!(n l 1)!!
u与 无关，只与r， 有关。意味着当r， 一定时， 可任意改变，u不变。
问题关于极轴（z轴）对称。 球函数Y ( , ) A( ) ~ 称为轴对称球函数。
r
0 0 ( ) y ( x) l为2k 1(奇数):a1 y1 ( x) ~ x 2 k 1 将它们分别乘上适当的常数，叫做l阶勒让德
1
2l 1 1 f ( x) Pl ( x)dx 1 f ( x) Pl ( x)dx 2
fl
2l 1 0 f ( ) Pl (cos ) sin d 2
例题一：以勒让德多项式为基本函数族，将函数
f ( x) x
3
在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。
fl
(1)2
3
(2l 6)! (2l 2n)! n al 6 (1) ,...al 2n (1) l 3!2 (l 3)!(l 6)! n!2l (l n)!(l 2n)!
勒让德多项式:y Pl ( x) al 2n x
n 0
[ l /2]
f
(l )
l! f ( ) ( z) C ( z )l 1 d 2πi
容易证明微分表示也可表示为环路积分形式
1 1 Pl ( x) 2πi 2l
C为
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
d R dR r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
2
2
和球谐函数方程
1 Y 1 2Y l (l 1)Y 0 sin 2 2 sin sin
继续分离变数，令Y ( , ) ( ) ( ), 得到关于的方程： '' 0 (1) 0时， ( ) C1 C2 C2 2 ( 2 ) ( ) (2) m , ( ) A cos m B sin m ( ) A cos m B sin m , m 0,1, 2,3,... 球函数Y ( , ) ( A cos m B sin m )( ), 其中( )需从连带勒让德
n
式中记号
(2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4)6 4 2
而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5)5 3 1 因此， (2n)! (2n)!! (2n 1)!! 奇偶性： 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x ( x), 容易得到
两式称为正交性．
二、勒让德多项式的模：
N [ Pl ( x)] dx
2 l 2 1
1
代入 Pl (x ) 的微分式得：
2 N 2l 1
2 l
模为：
Nl
2 2l 1
三、广义傅立叶级数
由前面的分析可以看出，勒让德多项式 Pl (x ) 为本征函数族，（ l 0, 1,2
2l 1 1 3 1 x Pl ( x)dx 2
1 1 3 1 41 f 0 2 1x dx 8 x 1 0
f1
3 1 3 3 51 3 1x xdx x 1 2 10 5
(最高幂）
f2
5 1 3 3 2 1 7 1 3 5 3 3 x ( x )dx 0 f 3 x ( x x)dx 2 2 1 2 2 2 1 2 2 5
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)(2l 3)(2l 4)! al 2 (1) 2 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)(l 2)(l 3)(l 4)!(l 2)!
(2l 4)! 2!2l (l 2)!(l 4)!
k 0 l
（相邻两项相差2次）
(k 2)( k 1) ak＋2 (k l )(k l 1)
推算出其他系数：a0 ...al 2 n ...al 4 , al 2 , al al 2 l (l 1) l (l 1) (2l )! l (l 1) (2l )(2l 1)(2l 2)! al l l 2 (2)(2l 1) 2(2l 1) 2 (l !) 2(2l 1) 2 l (l 1)! l (l 1)(l 2)! (2l 2)! (2l 2)! l (1)1 l 2 (l 1)! (l 2)! 2 (l 1)! (l 2)!
前面已学：勒让德方程在x 1有自然边界条件： x 1 有限，从而构成 y 本征值问题，本征值是l (l 1), l 0,1, 2, 3..., 在l为整数条件下，勒让德方程 的两个线性独立特解y ( x ) a0 y0 ( x ) a1 y1 ( x )之一退化为l次多项式。 z l为2k (偶数): a y ( x) ~
[ l /2] k
一、勒让德方程的解：
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 Pl ( x) 为
(2l 2k )! Pl ( x) ( 1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
k
l [ ] 2
式中
l 2, l [ ] 2 l 1 , 2
x2k

x
y
多项式，记作Pl ( x). Pl ( x) 轴对称情况下的球函数。 [Y ( , ) A( ) Ay ( x) Pl ( x)]
§2·1
• 勒让德方程的求解
• 勒让德多项式
勒让德多项式
• 勒让德多项式的性质、母函数和递推公式
• 勒让德多项式的应用
(2)勒让德多项式 通常约定：用适当的常数乘以本征函数使最高次幂项x l的系数为: (2l )! al l , 2 2 (l !) 利用系数递推公式：ak Pl ( x ) ak x k
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
即当
l 为偶数时，勒让德多项式 Pl ( x) 为偶函数， l 为奇数时 Pl ( x) 为奇函数
一、勒让德多项式的正交关系



0
1
1
Pk ( x) P ( x)dx 0 l
(k l )
(k l )
Pk (cos ) Pl (cos ) sind 0
2 2 2
d d m 方程解出:(1 x ) 2 2 x [l (l 1) ] 0，x cos 2 dx dx 1 x d 2 d 2 m 0时，成为l阶勒让德方程： x ) 2 2 x (1 l (l 1) 0 dx dx 用常点邻域 a0 y0 ( x), l为偶数时 k , 令 y ak x a0 y0 ( x) a1 y1 ( x) 的级数解法 k 0 a1 y1 ( x)，l为奇数时
例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数
f ( x) 2 x 3 3x 4 在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 11.1
2、勒让德多项式的微分表示
1 dl Pl ( x) l ( x 2 1)l 2 l ! dx l
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
3、勒让德多项式的积分表示
根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
同样若记
arc cos x
y( x) ( x)
l
阶勒让德方程
则上述方程也可写为下列形式的
d 2 dy [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
轴对称球函数 现在注意：m 0时， ( ) A cos m B sin m A(常数) （r , , ） R(r )( )( ) AR(r )( ) （r , ） u u 即在以r， 构成的锥体上各点的u值相同。
第三篇：特殊函数
第二章 勒让德多项式
主要内容：
勒让德多项式（轴对称问题）及性质 连带勒让德函数（转动对称问题） 球函数（一般问题）
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
）是正交的、完备的。
可以作为广义傅立叶级数的基。 若函数 f (x) 定义在区间[1,1] 上，或
f ( ) 定义在区间
[0, ]
或
上，则
f ( x) f l Pl ( x)
l 0

f ( ) f l Pl (cos )
l 0

其中系数：
fl
或
1 2 Nl

1
1 1 2 P2 ( x) (3x 1) (3cos 2 1) 2 4 1 1 3 P3 ( x) (5x 3x) (5cos3 3cos ) 2 8 1 1 4 2 P4 ( x) (35x 30 x 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15x) (63cos5 35cos3 30cos ) 8 128 1 1 P6 ( x) (231x6 315x4 105x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512