25.3用频率估计概率(教案)

25.3用频率估计概率

教学目标

【知识与技能】

理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率.

【过程与方法】

经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率•

【情感态度】

通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.

【教学重点】

对利用频率估计概率的理解和应用.

【教学难点】

利用频率估计概率的理解.

教学过程

一、情境导入，初步认识

问题1400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？那么300个同学中一定有2个同学的生日相同吗？

有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同这话正确吗？调查全班同学，看看有无2个同学的生日相同.

问题2要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了.但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？

【教学说明】在前面我们学习了能列举所有可能的结果，并且每种结果的可能性相等的随机事件的概率的求法•那么这里的两个问题情境中，很容易让学生想到这些事件的结果不容易完全列举出来，而且每种结果出现的可能性也不一定是相同的.从而引发学生的求知欲，对于这类事件的概率该怎样求解呢，引入课题.

二、思考探究，获取新知

1.利用频率估计概率

试验：把全班同学分成10组，每组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并记录在下表中：

填表方法：第1组的数据填在第1行；第1,2组的数据之和填在第2行，…, 10个组的数据之和填在第10行.

如果在抛掷n次硬币时，出现m次“正面向上”，则随机事件“正面向上” 出现的频率为m/n.

【教学说明】分组是为了减少劳动强度加快试验速度，当然如果条件允许，

组数分得越多，获得的数据就会越多，就更容易观察出规律.让学生再次经历数据的收集，整理描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识，发现数据中隐藏的规律.

请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？历史

上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下：

思考随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？

在学生讨论的基础上，教师帮助归纳，使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性，在试验次数较少时，“正面向上”的频率起伏较大，而随着试验次数逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面向上”的频率越来越接近0.5,也就是说，在0.5左右摆动的幅度越来越小•我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.

【归纳结论】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳

定于某个常数P,那么事件A发生的概率P（A）=P.

思考对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A ）可能小于0吗？可能大于1吗？

答：都不可能，它们的值仍满足0W P （A ）＜ 1.

2.利用频率估计概率的应用

问题1某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么

具体做法？

幼树移植成活率是实际问题中的一种概率，这种实际问题中的移植试验不属于各种结果可能性相等的类型•因而要考查成活率只能用频率去估计•

在同样的条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率，若随着移植棵树n的越来越大，频率m/n越来越稳定于某个常数•则这个常数就可以作为成活率的近似值.

上述问题可设计如下模拟统计表，补出表中空缺并完成表后填空

从表中可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计幼树移植成活的频率为：

答案：（1）表中空出依次填：0.940, 0.923, 0.883, 0.897

（2）0.9，0.9

问题2某水果公司以2元/千克价格购进10000千克的水果，且希望这些水果能获得税前利润5000元，那么在出售这些水果（已去掉损坏的水果）时，每千克大约定价为多少元较合适？

解：要定出合适的价格，必须考虑该水果的“完好率”或“损坏率”，如考查“损坏率”就需要从水果中随即抽取若干，进行损坏数量的统计，并把结果记录下来，为此可仿照上述问题制定如下表格：

从表格可看出，水果损坏率在某个常数（例如0.1 ）左右摆动，并且随统计量的增加，这种规律逐渐明显，那么可以把水果损坏的概率估计为这个常数，如果估计这个概率为0.1，则水果完好的概率为0.9.

•••在10000千克水果中完好水果的质量为10000X 0.9=9000 （千克）

设每千克水果的销售价为x元，则有：

9000x-2 X0000=5000

•••出售这批水果的定价大约为2.8元/千克，可获利5000元.

思考为简单起见，能否直接把上表中500千克对应的损坏率作为损坏的概率？

答：可以.

【教学说明】用频率估计概率时，一般是通过观察所计算的各频率数值的变化趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数的附近，这个常数就是所求概率的估计值•

三、运用新知，深化理解

1•小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（）

1 1

C. 1

2 4 4

2.—只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、4、x,这些球除数

字外都相同，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2 个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：

解答下列问题：

（1）如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳

定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；

（2）根据（1），若x是不等于2、3、4的自然数x，试求x的值.