1.2 向量函数
向量函数ppt课件
3. 设向量函数 r (t) 有任意阶导(函)数. 用 r (k) (t) 表示 r (t) 的 k 阶导数，
并设 r (k) (t) r (k 1) (t) 处处非零. 试求 r (k) (t), r (k 1) (t), r (k 2) (t) 0 的充要条件.
向量函数的求导、积分、可微性、可积性等归结 为其分量函数的求导、积分、可微性和可积性.
一、向量函数的相关概念及运算
(二）、运算法则
定理2.1 (Leibniz法则) 设a(t),b(t), c(t) 为可微的向量函数，则
（1） a(t) b(t) a(t) b(t) a(t) b(t); （2） a(t) b(t) a(t) b(t) a(t) b(t); （3） a(t),b(t), c(t) a(t),b(t), c(t) a(t),b(t), c(t)
第一章 预 备 知 识
§1.2 向量函数
.
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、向量函数的相关概念及运算
(一）、相关概念
引入：函数 VS 向量函数 1. 向量函数：指从其定义域 D 到 3 的映射：
r : D 3 : p r ( p). 例如： r (t) { x(t) , y(t) , z(t) }, ( R1 R3 );
二、三类特殊向量函数
证明：（3）设 a(t) 与某定方向垂直，则存在单位常向量 e1 使得 a(t) e1 0. 求导得 a(t) e1 0，a(t) e1 0. 从而 a(t), a(t), a(t) 共面.
反之，设 a(t), a(t), a(t) 0. 令
1. 向量函数
向量函数的微分学向量函数的微分学内容提要1. 预备知识：向量与矩阵范数2. 向量函数的极限与连续3. 向量函数的导数与微分4. 向量函数导数的计算与中值定理5. 向量函数的应用：证明开普勒(Kepler)定律教学要求准确掌握向量函数的极限、连续、一致连续的定义以及向量函数微分的计算向量函数()3333()=-,,,,,MmGMmGx MmGy MmGz F X r r x y z r r r r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭向量函数应用问题1：引力场：3()=-MmG F X r r()A r向量函数：梯度场()() 222/2()==++⇒梯度场：，，f x y z F X x y z向量函数向量函数：梯度场()() 226/2()=3 =++⇒梯度场：，，f x y z F X x y向量函数向量函数：梯度场()()2=++⇒梯度场：，，24/2()=12f x y z F X z向量函数：梯度场()梯度场：，，=++⇒=23()123f x y z F X()11221212,:,,(,,,)(,,,)()(,,,)()(),,1,2,3,,.n m mn n m n i D R F D R F D R f x x x f x x x F X f x x x F X D F f i m ⊂→→⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=设称为的映射记为称为向量函数映射为向量定函数的定义域.为：分量函数义()3()sin ,cos ,sin ,:F x x x x x F R R =→()23()sin ,cos ,sin ,:F x,y xy xy y x F R R =→()34(,,)sin ,cos ,sin ,,:F x y z z x y x x xz xyz F R R =→()()34(,,),cos ,sin ,,:0F x y z xy z y x x xz xyz F R z R =≥→()12,,,mf f f(){}(4sin(20))cos (4sin(20))sin cos(20)F t t t t t t =++，，向量函数向量函数应用：函数曲线()()cos4,,sin 4F t t t t =向量函数向量函数应用：函数曲线()()cos10,sin10,t t t F t e t e t e ---=向量函数向量函数应用：函数曲线向量函数向量函数应用：曲面方程()()22=,,,F u v u v u+2v向量函数向量函数应用：曲面方程()()=F u v u v u v v,cos,sin,()()()(),sin cos ,1cos sin ,F u v u u v u v u =--向量函数应用：曲面方程向量函数。
数二向量知识点总结
数二向量知识点总结一、数二向量的定义1.1 数二向量的概念数二向量是指平面上的一个点到另一个点的有向线段，它具有方向和大小。
具体来说，数二向量是指平面上的点P(x1, y1)到点Q(x2, y2)的有向线段，可以表示为向量PQ或者向量v。
1.2 数二向量的表示数二向量可以表示为一个二元有序数对，即向量v=(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
向量的起点是原点(0, 0)，终点是(x, y)。
1.3 数二向量的模数二向量的模（长度）表示为∥v∥，具体计算方式为∥v∥=√(x^2+y^2)。
二、数二向量的性质2.1 零向量零向量是指两个相同的点之间的有向线段，它的终点和起点重合，表示为0或者O。
零向量的模为0。
2.2 平行向量平行向量是指它们的方向相同或者相反，但模可以不同的两个向量。
平行向量之间存在以下性质：①平行向量的加减法：平行向量v和w的和向量v+w和差向量v-w的方向与v、w相同，大小分别为v和w的模之和或者差。
②平行向量的数量积：两个平行向量v、w的数量积等于v与w的模的乘积与它们的夹角的余弦值。
2.3 共线向量共线向量是指它们在同一条直线上的向量，即它们的方向相同或者相反。
共线向量具有以下性质：①共线向量的线性组合：若有两个共线向量v和w，那么它们的线性组合a*v+b*w也在同一条直线上。
②共线向量的数量积：若两个向量v和w共线，那么它们的数量积等于v和w的模的乘积与它们的夹角的余弦的乘积。
2.4 相等向量相等向量是指模相等且方向相同的两个向量。
2.5 垂直向量垂直向量是指它们的夹角为90°的两个向量。
对于平面上的数二向量，若他们的数量积为0，则它们是垂直向量。
三、数二向量的运算3.1 数二向量的加法设有两个向量v1=(x1, y1)和v2=(x2, y2)，则它们的和向量v1+v2=(x1+x2, y1+y2)。
从几何上来看，向量v2的起点与v1的终点重合时，向量v1+v2的终点就是向量v2的终点。
数学向量知识点总结高考
数学向量知识点总结高考一、向量的概念1.1 向量的概念向量是具有方向和大小的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
1.2 向量的表示向量通常用有序数对表示，如(a,b)，表示向量的水平分量和垂直分量。
1.3 向量的相等两个向量相等，当且仅当它们的大小和方向都相等。
1.4 向量的零向量零向量是大小为0的向量，记作0。
1.5 向量的平行若两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。
1.6 向量的合成两个向量的合成，是以这两个向量为两条邻边的平行四边形的对角线。
1.7 向量的夹角两个向量之间的夹角，是指由这两个向量夹出的锐角或钝角。
1.8 向量的数量积向量的数量积，也叫点积，是两个向量的数量乘积再乘以它们的夹角的余弦值，通常用a·b表示。
1.9 向量的叉积向量的叉积，也叫向量积，是两个向量的数量乘积再乘以它们之间的夹角的正弦值，它的结果是另一个向量。
1.10 向量的投影向量a在向量b上的投影，是向量a在向量b的方向上的投影向量。
1.11 向量的分解一个向量可以分解为两个不平行的向量的和，这个过程叫做向量的分解。
二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法，是指两个向量相加的过程，即把两个向量的对应分量相加。
2.2 向量的减法向量的减法，是指两个向量相减的过程，即把两个向量的对应分量相减。
2.3 向量的数量乘法向量的数量乘法，是指一个向量乘以一个标量的过程，即把向量的每个分量都乘以这个标量。
2.4 向量的数量除法向量的数量除法，是指一个向量除以一个标量的过程，即把向量的每个分量都除以这个标量。
2.5 向量的线性运算向量的线性运算，是指加法和数量乘法的组合，满足交换律、结合律和分配律。
2.6 向量的模一个向量的模，是指它的大小，通常用|a|表示。
2.7 向量的方向角一个向量的方向角，是指它与坐标轴的夹角，通常用θ表示。
2.8 向量的单位向量一个向量的单位向量，是指方向与原始向量相同、大小等于1的向量。
北师大版高中数学必修4：1.2向量的概念
江西省新余市第四中学 特级教师 朱伙昌
Email: 2448300012@
哪怕风雨苍茫。 你是一股力量， 在我的血管里，
课外作业
1.（必做作业）教材P75 习题2-1 2.（选做作业）平面向量既有大小，又有方向，集数与形于一身。 我们也知道，平面直角坐标系中，坐标与点是一一对应的，实质上 也是沟通了数与形之间的关系，那么，平面向量有没有坐标表示呢 ？如果有，你觉得应该怎么定义？请课后进行研究。 3.目标检测设计： 判断下列结论是否正确 （1）若a，b都是单位向量，则a=b； （2）若a=b，则a，b是共线向量； （3）平行向量方向一定相同。
单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?
类比数的集合，认识向量的集合。
教学过程（三）击鼓传花，自主探究
5、向量的关系 （1）模相等的向量有： （2）模相等，方向相同的向量有： （3）模相等，方向相反的向量有: （4）方向相同或相反的向量有: （5） AB,BC 是共线向量吗？（6）AC，DG是平行向量吗？ （7）AC 与 DG是共线向量吗？（8）AB 与 AC是平行向量吗？
（3）若a// b，则 a与 b 的方向相同。 ( × )
（4）若 AB 0 ，则 AB BA 。
( ×)
(5)若 a b， 则 2a b. ( × )
(6)A、B、C、D四点不共线,若 AB DC ,则四边形 ABCD为平行四边
形( √ )
教学过程（四）辨析概念，例题互动
例2 如图，设 O 是正六边形ABCDEF 的中心. (1)向量 OA 与 FE相等吗? (2)与向量 OA 长度相等的向量有多少个? (3)与向量 OA 共线的?）
类比数的绝对值几何意义，得出向量模的定义。
教学过程（二）问题引领，逐步探究
平面向量的向量函数和参数方程
平面向量的向量函数和参数方程平面向量是数学中的重要概念之一，它在物理学、几何学和工程学等领域中得到广泛应用。
在平面坐标系中，平面向量可以用向量函数和参数方程来表示。
一、向量函数向量函数是指一个或多个变量与向量之间的函数关系。
在平面中，向量函数可以表示为：r(t) = ai + bj其中，r(t)代表向量函数，a和b是与t有关的实数，i和j是平面坐标轴的单位向量。
通过向量函数，我们可以获得平面中直线、曲线和曲面等运动状态的描述。
例如，位置向量函数可以表示物体在平面中的位置随时间变化的规律。
二、参数方程参数方程是一种通过参数来描述平面图形的方程形式。
在平面坐标系中，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是平面上的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是与t有关的函数。
通过参数方程，我们可以将平面上的曲线或轨迹表示为一组函数关系。
不同于向量函数，参数方程更直观地显示出平面图形在不同参数取值下的变化规律。
三、向量函数与参数方程的联系向量函数和参数方程都是描述平面向量的重要工具，它们可以互相转化。
通过向量函数，我们可以得到参数方程，同时，通过参数方程，我们也可以构造向量函数。
以向量函数为例，如果我们已知向量函数r(t) = ai + bj，则可以将其转化为参数方程：x = ay = b反之，如果我们已知参数方程x = f(t)和y = g(t)，我们可以构造向量函数：r(t) = f(t)i + g(t)j通过向量函数和参数方程之间的转化，我们可以根据问题的需要选择更加方便和直观的表达方式。
结语平面向量的向量函数和参数方程是数学中用于描述平面图形和运动状态的重要工具。
向量函数通过向量的形式来描述平面图形的运动状态，而参数方程则通过参数来刻画平面图形的变化规律。
在实际应用中，我们根据问题的需要选择合适的方式进行描述，以便更好地分析和解决问题。
导数与函数的向量函数关系归纳
导数与函数的向量函数关系归纳函数是数学中一个非常基础的概念，而导数是函数的一个重要属性。
在研究函数的性质和变化的过程中，导数起着至关重要的作用。
在本文中，我们将探讨导数与函数的向量函数关系的归纳性质。
一、函数的导数概念回顾函数的导数在微积分中具有重要的地位。
导数描述了函数在某一点上的变化率，即函数曲线在该点处的斜率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，也可写作dy/dx。
二、向量函数的定义与性质向量函数是一种将一个或多个变量映射到向量的函数。
一般形式如下：r(t) = <f(t), g(t), h(t)>其中，f(t)、g(t)和h(t)表示关于自变量t的函数。
向量函数的性质包括长度、方向和曲线。
三、向量函数的导数定义我们可以将向量函数看作是多个函数组成的向量。
在向量函数中，每个分量函数都有自己的导数。
因此，向量函数的导数可以表示为：r'(t) = <f'(t), g'(t), h'(t)>其中，f'(t)、g'(t)和h'(t)分别表示关于自变量t的函数的导数。
四、向量函数的导数性质1. 向量函数的导数是对每个分量函数求导后组成的向量。
2. 导数运算适用于向量的加法和减法。
3. 对于向量函数与标量函数的乘法，应用乘积法则进行求导。
4. 对于向量函数与向量函数的乘法，求导过程中需要应用标量积、叉积或混合积的性质。
五、示例分析1. 向量函数 r(t) = <t^2, 2t, t+1> 的导数为 r'(t) = <2t, 2, 1>。
2. 向量函数 r(t) = <sin(t), cos(t), t^2> 的导数为 r'(t) = <cos(t), -sin(t), 2t>。
3. 向量函数 r(t) = <e^t, ln(t), t> 的导数为 r'(t) = <e^t, 1/t, 1>。
大学向量函数知识点总结
大学向量函数知识点总结一、向量函数的定义1. 向量函数的概念向量函数是一个从实数集到向量空间的映射，它通常由一个或多个实变量的函数分量组成，每个函数分量都是实数到向量的映射。
向量函数可以用一般形式表示为：\begin{align*}\mathbf{r}(t) = \begin{bmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ f_3(t) \end{bmatrix}\end{align*}其中，\(\mathbf{r}(t)\)是一个三维向量函数，\(f_1(t)\)、\(f_2(t)\) 和 \(f_3(t)\)是关于实变量\(t\)的函数分量。
2. 向量函数的定义域与值域对于向量函数 \(\mathbf{r}(t)\)，其定义域通常是实数集，即 \(t\) 可以取任意实数值。
而值域是由函数分量的取值范围所决定的。
3. 向量函数的图像向量函数的图像通常是在三维坐标系中的曲线或曲面，它描述了随着参数变化而变化的向量在空间中的轨迹。
二、向量函数的性质1. 向量函数的连续性向量函数在定义域上的连续性是指当自变量的取值趋于某一实数时，函数值也趋于一个确定的向量。
向量函数的连续性与函数分量的连续性有关，只有当函数分量都是连续的时候，向量函数才是连续的。
2. 向量函数的可微性向量函数的可微性常常用来描述函数在某一点处的变化率。
如果向量函数在某一点处可微，则其在该点的微分近似等于函数值的变化量。
向量函数的可微性与函数分量的可微性有关，只有当函数分量都是可微的时候，向量函数才是可微的。
3. 向量函数的导数向量函数的导数描述了函数在某一点处的变化率和方向。
向量函数的导数通常表示为\(\mathbf{r}'(t)\) 或 \(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\)，它是一个与给定参数\(t\)相关的向量。
向量函数的导数可以用分量形式表示为：\begin{align*}\mathbf{r}'(t) = \begin{bmatrix} f_1'(t) \\ f_2'(t) \\ f_3'(t) \end{bmatrix}\end{align*}其中，\(f_1'(t)\)、\(f_2'(t)\) 和\( f_3'(t)\)分别是函数分量\(f_1(t)\)、\(f_2(t)\) 和\(f_3(t)\)关于\(t\)的导数。
向量函数极限
r t s t a b r t a s t b
r t a s t b
r t a 0
s t b 0
当 t t0 时由已知条件 有 即
r t s t a b 0
的微商 仍为 的一个向量函数,如果函数 r (t ) 也是 向量函数 r (t ) t r (t ) 连续的和可微的,则r (t ) 的微商r (t ) 称为r (t ) 的二阶微商。类似地可以定 义三阶、四阶等等的微商。在区间 [t1 , t 2 ] 上有直到k阶连续微商的函数 k 称为这区间上的k次可微函数或 C 类函数，连续函数也称为 C 0 类函数， 无限可微的函数记为 类函数。解析函数记为 类函数。 C C
r t s t a b
（4）作出向量差
r t s t a b r t a s t a s t b
由此得出
r t s t a b r t a s t a s t b
t 0 存在，则称 r (t ) 在点 t 0 是可微分的，这个极限
lim
r (t0 t ) r (t0 ) t
dr 称为 r (t )在 t 0 点的微商(或导矢)，用 dt 或 t 表示，即
0
r (t0 )
r (t0 t ) r (t0 ) dr . r (to ) lim t dt to t 0
设如果极限是可微分的这个极限称为如果在某个开区间的每一点都有微商存在则我们说在此区间内是可微的或简称向量函数都是可微的并且这些公式的证明和数学分析中实函数的对应公式的证明相似但是应该注意的是向量的向量积和混合积跟向量的次序有关不能把次序任意交换
微分几何第一章曲线论第一节向量函数第5小节
即 微商的分量等于分量的微商
3
定义 (C k类函数) rr((tt))称称为为rr((tt))的的二三阶阶微微商商；；
二阶
及二
阶以
上的
微 商叫r(t
)的 高
阶微
商.
在区间[t1, t2 ]上有直至k阶连续微商的函数称为C k类函数. 连续函数称为C 0类函数. 无限可微的函数称为C 类函数.
命解题析4函r数(t)称 {为xC(t)类, y函(t)数 , z.(t)} C k[t1, t2 ]
a
a
即 积分的分量等于分量的积分
命题5
若r
r (t
)在[a,
b]上
连
续，
则r(t
)在[a,
b]上
可
积
，而且
（1）
b
r (t
)dt
c r (t)dt
b r (t)dt
a
（2） b
mr (t)dt
a
m
b
c r (t)dt
(m为
常
数)；
a
（3） b
m
r (t)dt
a m
b
r (t)dt
x(t) y(t) z(t)
a1 a2 . a3
即 极限的分量等于分量的极限
命 命题题23..且rr((rtt))(t){{xx{((txt)),(,tyy)(,(tyt),)(z,t(z)t(,)t｝z)}(可连t)｝微续.
x(t), y(t), z(t)均连续.
x(t), y(t), z(t)均可微.
4
定定注对义义于若则设二r对 rrrru(uv(u元于 u,,v{llv向二x)uivi)mm u,00量元{yrr{xu((x向 函(uu,(uz,uu量 ,v数 ｝,vv,)也函)u,r，,vy,yvv可 (数uv(ur))u{,定,xvvrrv)r),(,(义(,uzuyuz(,,v(u,v偏 v,uv,z)),v)v｝,v微 )｝).｝,商urvr是.. 、定全义微在分平等面概区念域. D
向量公式大全向量公式
向量公式大全向量公式导读:就爱阅读网友为您分享以下“向量公式”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!向量公式 1. 0向量?0向量与任意向量共线(平行)?0,a,,a，0，a,a1. 三角形法则(平行四边形法则):AB，BC,AC2. 向量的数乘:(λ为数量)|λa|,λ|a|，λa的方向与a的方向相同3. 向量的数量积:定义式:a?b,|a||b| cos <a, b>(其中<a, b>表示向量a，b的夹角) 该公式可以运用于求cos <a, b>进而求<a, b>:cos <a,b>,(a?b)/(|a||b|)4. 向量的加法、数量积:?加法交换律对向量一样适用:a，b,b，a?乘法交换率对向量的数量积一样适用:a?b,b?a?乘法分配率对向量的数量积一样适用:a?(b，c),a?b，1a?c5. 平面向量基本定理:(λ，μ为数量)平面内，用不共线向量e1，e2表示任意向量a，有且只有一组λ，μ使得a,λe1，μe2当基底e1?e2时，用e1，e2表示a的方法称为正交分解其中e1，e2称为一组基底，当|e1|,|e2|,1时可以以e1，e2方向为x轴，y轴正方向，建立平面直角坐标系。
若a,λe1，μe2，则a的坐标为(λ, μ)，记作a,(λ, μ)6. 向量共线问题的常用公式:?两a，b向量共线<,> a,λb?若A，B，C共线，与一点P构成的向量PA，PB，PC有PB,λPA，μPC<,> λ，μ,17. 向量垂直的常用公式:a?b,0(这里0是数量) <,> a?b7. 向量中的坐标问题:(已知a,(xa, ya)，b,(xb, yb)(坐标中的a，b均为下标))?向量0,(0, 0) ?λa,(λxa, λya)?a?b,xaxb，yayb ?a‖b <,> xayb,xbya,0 即 xayb,xbya ?a?b<,> xaxb，yayb,02百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆3。
1-1向量函数
19/42
微分几何
1.1
向量函数的极限
是所给的实 函数 , a 是常数，
定义 设
若 0 , 0 , 当 0 t t0 时, 有
x(t ) a
则称当 时,
t t0
的极限为 a, 记作
lim x(t ) a
20/42
微分几何
1.1
向量函数的极限
7 拉格朗日（ ）恒等式 Lagrange
(a b) (c d ) (a c)(b d ) (a d )(b c)
8 三重向量积
(a b) (c d ) (a,b, d )c (a,b,c)d 9 雅可比(Jacobi) 恒等式 (a b) c (b c) a (c a) b 0
24/42
微分几何
1.2 向量函数的连续性
命题2 如果向量函数r (t ), s(t ) 和实函数 (t )
都在
点连续, 则向量函数
r(t ) s(t ), (t )r(t ), r(t ) s(t ) 和实函数 r (t ) s(t ) 也在点 连续。
(1) lim(r (t ) s(t )) a b t t0 (2) lim (t )r (t ) a t t0 (3) lim r (t )s(t ) a b t t0 (4) lim r (t ) s(t ) a b
是常向量， 是所给的一元向量函数 , a
定义1.2. 设
若 0 , 0 , 当 0 t t0 时, 有 r (t ) a 则称当 时,
空间向量与向量函数的基本运算与性质
空间向量与向量函数的基本运算与性质在数学中，向量是描述空间中有方向和大小的量，它的运算与性质是研究向量的基础。
本文将介绍空间向量与向量函数的基本运算与性质，包括向量的表示、加法、减法、数乘、点积、叉积以及向量函数的运算与性质。
一、向量的表示在三维空间中，向量用有序三元数组表示，如A(a₁, a₂, a₃)为一个向量，其中a₁、a₂、a₃分别表示向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
二、向量的加法两个向量相加的结果是一个新的向量，其分量等于对应分量的和。
即A(a₁, a₂, a₃) + B(b₁, b₂, b₃) = C(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。
三、向量的减法两个向量相减的结果是一个新的向量，其分量等于对应分量的差。
即A(a₁, a₂, a₃) - B(b₁, b₂, b₃) = C(a₁-b₁, a₂-b₂, a₃-b₃)。
四、向量的数乘一个向量与一个实数相乘的结果是一个新的向量，其每个分量等于向量的对应分量与该实数的乘积。
即kA = (ka₁, ka₂, ka₃)，其中k为实数。
五、向量的点积两个向量的点积是一个标量，等于两个向量对应分量的乘积之和。
即A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
六、向量的叉积两个向量的叉积是一个新的向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向满足右手法则。
即A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)。
七、向量函数的运算与性质向量函数是定义在一个区间上的向量值函数。
对于向量函数f(t)和g(t)，其加法、减法和数乘的定义与向量相同。
另外，向量函数的求导和积分也是常见的运算。
1. 向量函数的求导设向量函数f(t) = (f₁(t), f₂(t), f₃(t))，则f(t)的导数f'(t) = (f₁'(t),f₂'(t), f₃'(t))。
向量函数的求导满足常规求导法则。
向量函数知识点总结
向量函数知识点总结一、向量和向量函数的概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常通过箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的表示向量可以用坐标、分量或者向量的起点和终点表示。
常用的表示方法有以下几种：坐标表示：(x, y)分量表示：i*x + j*y起点和终点表示：AB3. 向量的运算向量可以进行加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算。
4. 向量函数的定义向量函数是自变量为向量、因变量为向量的函数，通常表示为F(x) = < f1(x), f2(x) >。
二、向量函数的性质和图像1. 向量函数的性质（1）向量函数的定义域向量函数的定义域通常是一个向量的集合，可以是一条直线、一个平面或者一个立体。
（2）向量函数的值域向量函数的值域是所有可能的函数值构成的集合。
（3）向量函数的图像向量函数的图像通常是在一个坐标系中以曲线或者曲面的形式表示，用来显示函数值与自变量之间的对应关系。
2. 向量函数的图像特征（1）曲线的切线曲线的切线是曲线上某一点的切线，切线的方向与曲线在该点的切线方向相同。
（2）曲线的切点曲线的切点是曲线与坐标轴或者其他曲线相交的点，切点的坐标和曲线上的点坐标之间满足特定的关系。
三、向量函数的微分和积分1. 向量函数的微分向量函数的微分是向量函数的导数，用来描述函数值在某一点的变化率和方向。
2. 向量函数的积分向量函数的积分是向量函数在一定区间内的累积变化量，用来描述函数值在一定区间内的总变化。
四、向量函数的应用1. 物理学中的向量函数向量函数在物理学中有广泛的应用，例如描述力的方向、速度的方向、位移的方向等。
2. 工程学中的向量函数向量函数在工程学中有广泛的应用，例如描述电场强度、磁场强度、应力分布、位移分布等。
3. 经济学中的向量函数向量函数在经济学中有广泛的应用，例如描述需求曲线、供给曲线、边际效用曲线、收入曲线等。
五、向量函数的相关定理和公式1. 平面向量函数的常用公式（1）向量的大小如果向量A = (x1, y1)，则|A| = sqrt(x1^2 + y1^2)。
向量函数表示方法
向量函数表示方法一、向量函数的基本概念。
1.1 向量函数是什么呢？简单来说啊，向量函数就像是一个超级组合包。
它把多个普通函数按照一定的规则组合在一起，就像一群小伙伴手拉手一样。
向量函数的值不是一个单一的数，而是一个向量。
这向量就像一个小团队，里面的每个成员都有自己的角色。
比如说在二维平面里，这个向量可能有两个成员，在三维空间里呢，就可能有三个成员啦。
这就好比一个篮球队有不同位置的球员，大家协同作战。
1.2 从数学的角度看，向量函数可以表示为一个函数的向量。
咱们可以想象它是一个装满函数的小盒子，每个函数都对应着向量的一个分量。
这就像一盒彩色笔，每一支笔都能画出不同的颜色，组合起来就能画出绚丽的图画。
二、向量函数的表示方法。
2.1 坐标表示法。
这可是向量函数表示的一个基本方法呢。
就像我们给每个小伙伴在队伍里安排一个固定的位置一样。
在二维空间里，向量函数可以表示为r(t)=<=ft(x(t),y(t))，这里的x(t)和y(t)就是两个普通的函数，它们分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
这就好比给一个在平面上活动的小蚂蚁确定它的横坐标和纵坐标的变化规律。
在三维空间里呢，就是r(t)=<=ft(x(t),y(t),z(t))，多了一个z(t)，就像给这个小蚂蚁又加了一个高度的维度，让它能在立体空间里活动。
2.2 分量表示法。
这和坐标表示法有点像，但更强调向量函数是由不同的分量函数组成的。
咱们可以把向量函数看成是一个大拼图，每个分量函数就是拼图的一块。
比如向量函数r(t)，如果它的分量函数是r_1(t)，r_2(t)，r_3(t)（在三维空间里），那么我们可以写成r(t)=r_1(t)→i+r_2(t)→j+r_3(t)→k。
这里的→i，→j，→k就像是三个方向的小箭头，指引着向量在不同方向上的分量。
这就像给一个在迷宫里的小老鼠指三个方向，让它能准确地找到出路。
2.3 矩阵表示法。
这可有点高大上啦，但其实也不难理解。
向量函数的知识点总结
向量函数的知识点总结一、向量函数的定义向量函数是一个映射，它把一个或多个自变量映射到一个或多个向量上。
一般地，向量函数可以表示为：f: R^n -> R^m其中，f 是一个向量函数，R^n 和 R^m 分别表示 n 维和 m 维的实数向量空间，即 n 维向量和 m 维向量的集合。
向量函数可以表示为分量函数的形式，即：f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))其中，f(t) 表示向量函数在 t 时刻的取值，f1(t), f2(t), ..., fn(t) 分别表示向量函数在 t 时刻的各个分量的取值。
向量函数可以描述物体的运动、力的作用、电磁场的分布等各种物理现象。
二、向量函数的性质1. 连续性：向量函数 f(t) 在定义域上是连续的，即对于任意 t0 属于定义域，当 t 属于定义域时，f(t) 趋近于 f(t0)。
2. 可微性：向量函数 f(t) 在定义域上是可微的，即对于任意 t0 属于定义域，当 t 属于定义域时，f(t) 在 t0 处有导数存在。
3. 可积性：向量函数 f(t) 在定义域上是可积的，即对于定义域上的任意闭区间 [a, b]，f(t) 在 [a, b] 上可积。
4. 线性性：向量函数 f(t) 具有线性性质，即对于任意实数 k，向量函数 f(t) 满足 f(kt) =kf(t)。
5. 极限和导数：向量函数 f(t) 的极限和导数可以通过分量函数的极限和导数来进行计算，即对于 f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t))，其极限和导数分别为 lim(f(t)) = (lim(f1(t)), lim(f2(t)), ..., lim(fn(t)))，f'(t) = (f1'(t), f2'(t), ..., fn'(t))。
三、向量函数的应用向量函数在物理学、工程学和数学等领域中有广泛的应用，下面将介绍一些典型的应用：1. 运动学问题：向量函数可以描述物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律。
向量函数具有固定方向相关题目
向量函数具有固定方向相关题目标题：深度探究：向量函数具有固定方向正文：一、引言在数学和物理学中，向量函数是一个非常重要的概念，它描述了一个向量随着一个或多个自变量的改变而改变的规律。
在这篇文章中，我们将深入探讨向量函数具有固定方向的相关题目，探讨其深度和广度，帮助读者更好地理解这一概念。
二、向量函数的定义和基本概念让我们来回顾一下向量函数的基本定义和概念。
向量函数通常用参数方程的形式表示，例如$r(t) = <f(t), g(t), h(t)>$，其中$r(t)$是一个向量函数，$t$是参数，$f(t)$、$g(t)$、$h(t)$是关于$t$的函数。
在向量函数中，我们熟悉的概念如导数、积分等在此同样适用。
向量函数还具有一些特殊的性质，其中之一便是它具有固定的方向。
三、向量函数具有固定方向的性质探究那么，什么是向量函数具有固定方向呢？在二维和三维空间中，我们可以通过几何直观地理解这一性质。
具体来说，一个向量函数在定义域内的每一个点上所代表的向量都具有固定的方向，且这个方向随着参数的改变而保持不变。
这意味着，无论参数如何变化，向量的方向始终不变。
这一性质在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如描述物体运动轨迹的向量函数、描述电场分布的向量函数等。
四、向量函数固定方向的数学表示具体来说，如果一个向量函数$r(t)$在定义域内的每一个点上所代表的向量都具有固定的方向，我们可以通过一些数学手段来表示这一性质。
一种常见的表示方法是通过向量函数的导数来描述。
假设向量函数$r(t)$的导数为$v(t)$，那么当$v(t)$与$r(t)$平行时，向量函数$r(t)$具有固定方向。
这种数学表示为我们提供了一种方便的方法来判断一个向量函数是否具有固定的方向。
五、实例分析：举例说明向量函数具有固定方向的情况接下来，让我们通过一个实际的例子来说明向量函数具有固定方向的情况。
考虑一个向量函数$r(t) = <t, t^2>$，我们计算其导数$v(t)$得到$v(t) = <1, 2t>$。
1.2向量的乘法
作力门用F的对于图支这点杠O杆（F上铰链P)点模的处：力|,矩M力 是|F|与一OQ向OP|量| 的FM夹| ,角为，
O
PL
| OP || F | sin
方向：垂直于 OP
与
F
所决定
Q
的平面,指向符合右手系.
两个向量做这样的运算,结果是另一个向量.
定义记为向量ca与ab的b向量积为一个新向量
模 ：| c | 方向：
c|a的|| b方| 向s in既 垂直（于其a中，又为垂a与直b于的b夹 ,角)
指向符合右手系.
向量积也称为“叉乘”或“外积 ”.
几何意义：
c ab
|
a
b
|表示以 a 和 b
为邻边
b | b | sin
的平行四边形的面积.
a
设
a
ax
i
a
y
j
az
k ,
b
bxi
byj
bzk
a b (axi a y j azk ) (bxi by j bzk )
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1.
a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
|
aa
b || b
§1.1向量函数的极限与连续性.doc
§1.1向量函数的极限与连续性设在欧氏空间R3中给定一个点集D.若对于D的每一点x,都有一个确定的向量r与Z 对应，则称在D上定义了一个向量函数，记作r = r(x) xe D, •例设D =(t0, ti).则得一个一元向量函数r = r(f) t .设D是平而上的一个区域，仗 ED .则得一个二元向量函数r = r(u, v) (u,v) e D 9设D是空间中的一个区域，.则得一个三元向量函数r = r (u9 v) (x,y,z)e D定义设r(t)是给定的一元向量函数，a是常向量，若对任意给定的存在<5>0,使得当0 时,|r (t)-a|<r.则称当fT%时,向量函数r(t)趋于极限“记作r(t) Tf。
)或Mr(t) = a.定理1・1・1设r(t)和s(t)是两个一元向量函数，久(t)是一个实变量实值函数，并且当时，T⑴ T&, s(t)Tb, 2(t)Tm.贝|J(1) r(t)±s(t)^a±b；⑵久(t)r(t) ~>ma；(3)r(t) • s(t)Ta • b；(4)r(t)x s(t)->a x b.定义设给定一元向量函数r(t).若^r(t) =r(to),则称向量函数r(t) 在t。
点连续.若r(t)在开区间(S tj内的每一点连续，则称r(t)在开区间仏 Q内连续.乂若r(t)在t二S右连续，在t二&左连续，则称r(t)在闭区间［S tz］上连续.定理1.1.2若r(t)和s(t)在t。
点都是连续的向量函数，久(t)在t。
点是连续的实函数，则向量函数r (t) ± s (t) , (t)r(t) , r (t) x s(t)和实函数r(t) -s(t)在t。
点都连续(注：若把定理中的点改为区间，则定理同样成立).§1.2向量函数的微商与积分设r(t)是定义在开区间©厶)上的一个向量函数，严匕'1)2).若极限曲讯切+ At)-讯切) (t o )二 go At存在，则称r(t)在t 。
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v b (t )
cv
v 是常向量，b(t)
cv
v 0.
从而
av(t) av(t)
v 0.
“ ” 由条件知
vv b(t) b(t)
0v，故
v b(t
)
v
(t )b (t )，只需内积
v b (t ).
储亚伟
二、三类特殊向量函数
证明：（3）设 av(t) 与某定方向垂直，则存在单位常向量 ev1 使得
定理2.1
(Leibniz法则)
设
av(t),
v b (t ),
cv(t
)
为可微的向量函数，则
（1）
av(t)
v b (t)
av(t )
v b (t)
av(t )
v b(t );
（2）
av(t
)
v b (t )
av(t)
v b (t )
av(t)
v b(t);
球面曲线
v （2）0
av(t
)
定向当且仅当
av(t
)
av(t
)
v 0;
过原点直线
（3）av(t) 二阶可微，若它垂直于定方向，则
av(t), av(t), av(t)
反之，若上式成立，且处处有
0. av(t)
av(t)
0v，则
av(t
)
必定与
某定方向垂直
过原点平面.
储亚伟
（3）
av(t),
v b (t ),
cv(t
)
av(t),
v b (t ),
cv(t)
av(t),
v b(t),
cv(t)
av(t),
v b (t ),
cv(t)
.
储亚伟
二、三类特殊向量函数
定理2.2 设 av(t)为二阶连续可微的向量函数，则
（1）av(t) 定长当且仅当 av(t) av(t) 0;
1）连续性：rv(t) 连续 x(t), y(t), z(t) 连续.
2）可微性：rv(t) 可微 x(t), y(t), z(t) 可微.
C k 性质.
向量函数的求导、积分、可微性、可积性等归结 为其分量函数的求导、积分、可微性和可积性.
储亚伟
一、向量函数的相关概念及运算
(二）、运算法则
av(t)
av(t)
av(t
)
0.
□
储亚伟
课外作业：
1. 证明定理2.1.
2.
设 : E3 E3 为等距变换，在
E3 中取定一个正交标架
O
;
v i,
v j,
kv，令
R
3
uuuv uuuuuuuuuuuv
为 E3中全体向量构成的向量空间. 定义映射 A : R3 R3 : AB a ( A) (B).如果
二、三类特殊向量函数
证明：（1）因 | av(t) |2 av(t)av(t) 2av(t)av(t), 故
av(t) 定长 | av(t) |2 定长 av(t) av(t) 0.
（2）因 av(t)
处处非零，取
av(t) 方向的单位向量
v b (t )
| av(t) |1
(O) O，证明A 是线性映射.
3. 设向量函数 rv(t) 有任意阶导(函)数. 用 rv(k) (t) 表示 rv(t) 的 k 阶导数，
并设 rv(k) (t) rv(k 1) (t) 处处非零. 试求 rv(k) (t), rv(k1)(t), rv(k2)(t) 0 的充要条件.
v 0）
v b (t
)
v b(t
v )=0
？
v 根据已经证明的(2)，b (t)
的方向不变，设为
ev1 ，则
v b (t)
|
v b (t)
|
ev1.内积
av(t)
|
v b(t)
|
由
v b (t )
a0vv(知t) ，ev1av(t
av(t) ) ev1
v b(t 0.
)
储亚伟
微分几何 慕课邀请码
储亚伟
av(t),
则 av(t)
v f (t)b(t),
其中
f (t) | av(t) | 连续可微.于是
av(t)av(t)
v f (t)b(t)
v
v
f (t)b(t) f (t)b(t)
vv f 2(t)b(t) b(t), t.
“ ” 由条件知
v f (x, y, z) { P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) }, (R3 R3).
储亚伟
一、向量函数的相关概念及运算
(一）、相关概念
2. 分析性质
设有定义在区间 [a,b] 上的向量函数 rv(t) (x(t), y(t), z导得 av(t) ev1 0，av(t) ev1 0. 从而 av(t), av(t), av(t) 共面.
反之，设 av(t), av(t), av(t) 0. 令
v b (t )
av(t)
av(t)（需假定
v b (t)
微分几何
第一章 预 备 知 识 §1.2 向量函数
储亚伟 © Copyright
一、向量函数的相关概念及运算
(一）、相关概念
引入：函数 VS 向量函数
1. 向量函数：指从其定义域 D 到 R3 的映射： rv: D R3 : p a rv( p).
例如： rv(t) { x(t) , y(t) , z(t) }, ( R1 R3 ); rv(u, v) { x(u, v) , y(u, v) , z(u,v) }, (R2 R3);