15梁内力计算及内力图绘制(一)
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2 2 2 1 A
四、截面法直接由外力求截面内力的法则
1、某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代 数和，即Q V Y 左侧外力 （或 Y右侧外力）
代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下 的外力）使截面产生正的剪力（即截面左边的外力向上取 正值），反之产生负剪力 。
P外 P外 V (+) (a)
第六章 受弯构件
第二节 静定梁的内力计算及 内力图绘制（一）
第一部分 复习提问
1、什么是受弯构件？工程中哪些是受弯构件？ 2、轴力的计算方法是什么？其步骤如何?
第二部分 新课内容 第六章 受弯构件
第二节 静定梁的内力计算及内力图绘制
一、梁的内力：剪力和弯矩的概念 当作用在直杆上的外力与杆轴线垂直时，直杆的轴线将 由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲, 以弯曲变形为 主的杆件称为受弯构件，即梁。截面上产生的内力为剪力与 弯矩 。
图1
用截面法求梁的内力
二、剪力和弯矩的正负号规定 当截面上的剪力绕梁段上任一点有顺时针转动趋势 为正（如图2（a）），反之为负（如图2（b））；剪力
的单位为牛顿（ N ）或千牛顿（kN）。
图2
使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负（如 图2（c）、(d)）。（柱子的弯矩的正负号可随意假设，但弯 矩图画在杆件受拉的一侧，图中不标正负号）。弯矩的单位 为牛顿· 米（ N·m）或千牛顿· 米（ kN ·m ）。
图3
三、用截面法求梁指定截面内力： 例1：外伸梁如图4（a），已知均布荷载q和集中力偶,求指
定1-1、2-2、3-3截面内力。
m=qa2 A 1C 1 Y
A
2 B 2 Y
(a)
B
q
3 D 3
m
q M
1
M
2
M
3
q 3 V (d )
3
2 Y
A
V
1
V
2
(c)
(b)
图4
解（1）求支座反力 设支座反力YA、YB如图所示。 5 YB 2a m qa a 0 由平衡方程 M A 0 ， 2 7 得 YB 4 qa (↑) 由Y 0 ， 得 YA 3 qa (↑) YA YB qa 0 4 由 M B 0 校核支座反力 a 3 qa 2 2 YA 2a m qa qa 2a qa 0 2 4 2 所求反力无误。 （2）求1-1截面内力 由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪 力V1和弯矩M1均为正，如图6.2.5（b）所示。 3 由 Y 0 ，-YA—V1=0 得 V1=-YA= 4 qa 3 q 由 M1 0 ，YA a M 1 m 0 得 M m Y a qa 4 qa 4 a 求得的V1结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为 负剪力；M1结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同， 且为正弯矩。（同第二步骤求2-2、3-3截面内力）
用截面法求梁任一截面内力：
P m A n Y
A
B Y
B
( )
V M c Y
AFra Baidu bibliotek
P
M ( )
c V
( )
Y
B
图1（b）可知，左脱离 体A端原作用有一向上 的支座反力YA，要使 它保持平衡，在切开的 截面m-n上必然存在两 个内力分量：内力V和 内力偶矩M。内力分量 V位于横截面上，称为 剪力；内力偶矩M位于 纵向对称平面内，称为 弯矩。
作业：提问并完成习题集P29-34页。
解得 RB 3.75 kN 解得 RA 6.25 kN
M RB 4 0.8 P1.5 0.8 5 kN· m
第三部分 学习检验
1、提问：弯矩、剪力正负号的判断？ 2、用所学法则完成下图1-1、2-2截面的内力。
图8
第四部分 小结与作业
小结：弯矩、剪力的正负号判断是重点。直接由外力 求截面内力的法则必须熟练掌握。
m P外 M (+)
(b)
m P 外
左顺右逆 弯矩为正
图6
五、运用上述两法则求指定截面内力 例2、如下图7所示简支梁，在点C处作用一集中力P=10kN, 求截面n-n上的剪力和弯矩。
图7
解 ： 求梁的支座反力。 由 mA 0 ， 4RB 1.5P 0 由 Y 0 ， RA RB P 0 取左段 Q RA 6.25 kN M RA 0.8 5 kN· m 取右段 Q P RB 6.25 kN
左上右下 剪力为正
图5
2、某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩 的代数和，即 M M （或 M ）
c左侧外力
c右侧外力
代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或 力偶矩（或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩）使截面产 生正的弯矩，反之产生负弯矩。如图6所示，截面上的弯矩 为正。
四、截面法直接由外力求截面内力的法则
1、某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代 数和，即Q V Y 左侧外力 （或 Y右侧外力）
代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下 的外力）使截面产生正的剪力（即截面左边的外力向上取 正值），反之产生负剪力 。
P外 P外 V (+) (a)
第六章 受弯构件
第二节 静定梁的内力计算及 内力图绘制（一）
第一部分 复习提问
1、什么是受弯构件？工程中哪些是受弯构件？ 2、轴力的计算方法是什么？其步骤如何?
第二部分 新课内容 第六章 受弯构件
第二节 静定梁的内力计算及内力图绘制
一、梁的内力：剪力和弯矩的概念 当作用在直杆上的外力与杆轴线垂直时，直杆的轴线将 由原来的直线弯成曲线，这种变形称为弯曲, 以弯曲变形为 主的杆件称为受弯构件，即梁。截面上产生的内力为剪力与 弯矩 。
图1
用截面法求梁的内力
二、剪力和弯矩的正负号规定 当截面上的剪力绕梁段上任一点有顺时针转动趋势 为正（如图2（a）），反之为负（如图2（b））；剪力
的单位为牛顿（ N ）或千牛顿（kN）。
图2
使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负（如 图2（c）、(d)）。（柱子的弯矩的正负号可随意假设，但弯 矩图画在杆件受拉的一侧，图中不标正负号）。弯矩的单位 为牛顿· 米（ N·m）或千牛顿· 米（ kN ·m ）。
图3
三、用截面法求梁指定截面内力： 例1：外伸梁如图4（a），已知均布荷载q和集中力偶,求指
定1-1、2-2、3-3截面内力。
m=qa2 A 1C 1 Y
A
2 B 2 Y
(a)
B
q
3 D 3
m
q M
1
M
2
M
3
q 3 V (d )
3
2 Y
A
V
1
V
2
(c)
(b)
图4
解（1）求支座反力 设支座反力YA、YB如图所示。 5 YB 2a m qa a 0 由平衡方程 M A 0 ， 2 7 得 YB 4 qa (↑) 由Y 0 ， 得 YA 3 qa (↑) YA YB qa 0 4 由 M B 0 校核支座反力 a 3 qa 2 2 YA 2a m qa qa 2a qa 0 2 4 2 所求反力无误。 （2）求1-1截面内力 由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪 力V1和弯矩M1均为正，如图6.2.5（b）所示。 3 由 Y 0 ，-YA—V1=0 得 V1=-YA= 4 qa 3 q 由 M1 0 ，YA a M 1 m 0 得 M m Y a qa 4 qa 4 a 求得的V1结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为 负剪力；M1结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同， 且为正弯矩。（同第二步骤求2-2、3-3截面内力）
用截面法求梁任一截面内力：
P m A n Y
A
B Y
B
( )
V M c Y
AFra Baidu bibliotek
P
M ( )
c V
( )
Y
B
图1（b）可知，左脱离 体A端原作用有一向上 的支座反力YA，要使 它保持平衡，在切开的 截面m-n上必然存在两 个内力分量：内力V和 内力偶矩M。内力分量 V位于横截面上，称为 剪力；内力偶矩M位于 纵向对称平面内，称为 弯矩。
作业：提问并完成习题集P29-34页。
解得 RB 3.75 kN 解得 RA 6.25 kN
M RB 4 0.8 P1.5 0.8 5 kN· m
第三部分 学习检验
1、提问：弯矩、剪力正负号的判断？ 2、用所学法则完成下图1-1、2-2截面的内力。
图8
第四部分 小结与作业
小结：弯矩、剪力的正负号判断是重点。直接由外力 求截面内力的法则必须熟练掌握。
m P外 M (+)
(b)
m P 外
左顺右逆 弯矩为正
图6
五、运用上述两法则求指定截面内力 例2、如下图7所示简支梁，在点C处作用一集中力P=10kN, 求截面n-n上的剪力和弯矩。
图7
解 ： 求梁的支座反力。 由 mA 0 ， 4RB 1.5P 0 由 Y 0 ， RA RB P 0 取左段 Q RA 6.25 kN M RA 0.8 5 kN· m 取右段 Q P RB 6.25 kN
左上右下 剪力为正
图5
2、某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩 的代数和，即 M M （或 M ）
c左侧外力
c右侧外力
代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或 力偶矩（或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩）使截面产 生正的弯矩，反之产生负弯矩。如图6所示，截面上的弯矩 为正。