第2讲 CFD数学模型及物理意义汇编

• 基于局部
– 在一个有限的体积内 – 将体积划分为无限小，趋近于0 – 偏微分（控制）方程
x 0
基本控制方程
• 质量守恒
u v 0 x y
• 动量守恒定律 2u 2u u u 1 P x-mom: u v 2 2
x y
u u 1 p u T 动量 Su S' : T 如果 u y z z x
热源 k 如果 T 能量: ST q
通用方程的意义 • 对流-扩散方程（Convection-diffusion~) • 适当选择 、 、U、 、S – ＝T，＝ c，U=0， ＝导热微分方程 – ＝1，＝ ，S ＝0连续性方程 • 为什么需要通用方程? – 各类问题的共同特征 – 深化理论研究（numerical） – 编制通用程序（universal program for all problems)
第二讲 CFD数学模型及物理意义
屠基元 教授 清华大学 墨尔本皇家理工大学
CFD综述
计算流体力学 非稳态 无粘流 粘性流
稳态
传热 热传导 热对流 热辐射
可压缩流动
层流
湍流
可压缩流动 内流
不可压缩流动 外流
ຫໍສະໝຸດ Baidu
CFD - 问题 （ I ）
• CFD问题中的物理流动过程有哪些？ • 流动的物理现象是如何在数学方程式中描述的？ • 流体流动和热传递的控制方程式是什么？ • 为什么边界条件非常重要？如何应用边界条件？
Convection term
Source term
( ) ( U ) ( grad ) S t
Unsteady term

通用变量，generalized dependent variable 广义密度，universal density
U 速度向量（场），velocity vector (field) 广义扩散系数，universal diffusivity S 广义源项，（universal) source term
Diffusion term
基本方程的通用形式
u v w Γ Γ Γ S t x y z x x y y z z u v w 如果 1 质量: x y z 0
控制方程的数学特征
• 守恒特性（Conservation & non-conservation) – 守恒型方程 Conservation form • 对流项是以散度的形式给出的 – 非守恒型方程 • 对流项不是以散度的形式给出的 – 对不可压流动, ( ) ( U ) (grad ) S t 具有守恒特性 但是，对于同一方程，采用变换后，就成为非守恒 型方程 ( ) U ( ) (grad ) S t
第一类边界条件：Dirichlet 问题 第二类边界条件：Neumann问题
u f ( x, y)
u f ( x, y ) n
第三类边界条件：Robin问题
u (k hu ) f ( x, y ) n
抛物型偏微分方程
u 2u a 2 t x
第一类边界条件 第二类边界条件
• CFD未来发展的方向是什么？
引言
• 数值计算的出发点：数学模型 • 数学模型（Mathematical model) – 控制方程（Governing equations) • 基于基本原理与定律 • 偏微分方程组 – 定解条件（Boundary conditions） • 坐标系不同，控制方程的形式不尽相同 – 适当选取坐标系可以简化分析 • 必要的简化与化简
控制方程的数学特征
对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守恒方程 或非守恒方程，通常没有本质的差别，但在离散的数值 计算中，守恒型与非守恒型将可能导致很大的差别 ，尤
其是求解含激波等弱解问题时 。故方程的守恒性是计算
流体力学中，必须特别注意的问题。
椭圆型偏微分方程
2 u u 0 2 2 x y 2
u g (t )
u g (t ) n
第三类边界条件
• 边界条件的物理意义是什么？
• 如何求解数学方程？
• 为什么需要把流体域分割为许多不重叠的子区域即计算网格？
• 如何应用计算方法？
CFD –问题（ II ）
• 监控曲线的物理意义是什么？ • 计算步骤如何终止？ • 求解误差是什么？ • 怎么评价计算结果是否正确，是否具有物理意义？ • 当处理更加复杂的流动问题时，是否有其它的技术方法、实践 经验或通用准则可以用来克服收敛困难？ • 是否有其它CFD的实例？如何更好的分析求解？
x
x
y
y-mom:
• 能量守恒
2v 2v v v 1 P u v 2 2 x y y x y
2T 2T T T u v K 2 2 x y y x
通用方程
• 由来及意义 • The Equation
我们需要什么信息？
• 空间变化(x,y,z)&时间(t) ：
– 速度(笛卡尔坐标内为u,v,w) – 压力 (P) – 密度 – 温度 (T) – 物质的浓度 (C) – 湍流性质[湍动能 (k), 耗散率 (ε) 或频率 (ω)]
我们如何得到这些信息？
• 基于以下守恒的控制方程
– 质量守恒 – 动量守恒 – 能量守恒