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专题：相似三角形综合题型

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相似三角形综合大题

相似三角形综合大题

相似三角形综合大题一．解答题（共30小题）1．（2012•昌平区二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC,交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．（1）若∠BAC=45°，求证：①AF平分∠BAC；②FC=2HD．(2)若∠BAC=30°，请直接写出FC与HD的等量关系．2．（2012•香坊区二模）已知:在△ABC中，∠ACB=90°,AC=2BC,D是线段AC上一点，E是线段CD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接CF．(1）当点D是线段AC的中点时(如图1)，求证：BF﹣DF=CF：（2）当点D与点A重合时,在线段EF上取点G，使GF=DF，连接DG并延长交CF于点H，交BC延长线相交于点P（如图2）,CH：HF=4:5,EG=，求PH的长．3．(2012•西青区一模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．（Ⅰ)如图①,当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；（Ⅱ)如图②,连接AA′、BB′，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S1、S2．求证：S1:S2=1：3;（Ⅲ)如图③，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC=a，连接EP．求当θ为何值时，EP的长度最大，并写出EP的最大值（直接写出结果即可)．4．（2012•南岗区校级二模）在△ABC中，已知∠BAC=45°，高线CD与高线AE 相交于点H,连接DE．（1）如图1,△ABC为锐角三角形时，求证:AE﹣CE=DE；（2）如图2，在（1)的条件下,作∠AEC的平分线交AC于点F，连接DF交AE于点G，若BD=CF，AE=6，求GH的长．5．（2012•徐汇区校级模拟）在△OAC中，∠AOC=90°，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°,M、N分别在线段AB、AC上．（1）填空:cosC=．(2)如图1,当AM=4，且△AMN与△ABC相似时，△AMN与△ABC的面积比为；（3)如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN翻折，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E，EN与射线AB交于点F，设MN=x，△EMN与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．6．（2012•道外区二模)已知：如图1，四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°，连接AC，tan∠CAD=，过点D作DE⊥AB，点E为垂足．（1)求证：AE+BC=DE；(2）连接BD，设BD与AC交于点F,DE与AC交于点G，若AG：FG=3：2,AE=6（如图2）,求线段BC的长．7．(2012•路南区一模）如图①,在△ABC中,AB=BC，∠ABC=120°，点P是线段AC上的动点（点P与点A、点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，直线AA1分别交直线PB、直线BB1于点E,F．（1)如图①，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△APA1与△BPB1始终存在关系(填“相似”或“全等”），同时可得∠A1AP∠B1BP（填“=”或“＜”“＞”关系)．请说明△BEF与△AEP之间具有相似关系；（2）如图②，设∠ABP=β，当120°＜α＜180°时,在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP全等?若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；(3)如图③，当α=120°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设AP=x,S=△A1BB1面积，求S关于x的函数关系式8．（2012•上虞市模拟）复习完“四边形”内容后，老师出示下题：如图1，直角三角板的直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上移动，一直角边始终经过点C，另一直角边交直线AB于点Q，连接QC．求证：∠PQC=∠DBC．（1）请你完成上面这道题；（2）完成上题后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，如：①如图2，若将题中的条件“正方形ABCD"改为“矩形ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到∠PQC=∠DBC？②如图3，若将题中的条件“正方形ABCD”改为“直角梯形ABCD”，其余条件都不变,是否仍能得到∠PQC=∠DBC？请你对上述反思①和②作出判断,在下列横线上填写“是"或“否"：①;②．并对①、②中的判断，选择其中一个说明理由．9．（2012•上海模拟）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．(1）如图1,当CD⊥EF时，求BF的值;（2）如图2,当点G在点F的右侧时；①求证：△BDF∽△BGD；②设AE=x,△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围; (3）如果△DFG 的面积为，求AE的长．10．（2012•道外区一模）已知：点P为正方形ABCD内部一点，且∠BPC=90°,过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F．（1）如图1，当PC=PB时，则S△PBE、S△PCF S△BPC 之间的数量关系为；(2）如图2，当PC=2PB时，求证：16S△PBE+S△PCF=4S△BPG；（3）在（2）的条件下，Q为AD边上一点，且∠PQF=90°，连接BD，BD交QF 于点N，若S△bpc=80，BE=6．求线段DN的长．11．(2012•太原一模)如图1,已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH,使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．（1）判断并说明BH和AF的数量关系;（2)将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转θ（0°≤θ≤360°),设AB=a，EH=b，且a ＜2b．①如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值范围;当x取最大值时,直接写出θ的值;②如果四边形ABDH是平行四边形,请在备用图中补全图形,并求a与b的数量关系．12．（2012•武汉模拟）（1)如图1，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD：DE:CE=1：2：3,线段FG∥BC，分别交线段AD，AE于M、N两点,则有FM：MN：NG=（2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点有△ABC的三边上，线段FG分别交线段AD，AE于M、N两点，若BD=4，EC=9,求MN的长? （3)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点在△ABC的三边所在的直线上,DA与EN的延长线分别交直线FG于M、N两点，求证：MN2=MF•NG．13．（2012•香坊区校级模拟）已知，等边△ABC中,D为BC上一点，DE∥AC交AB于C，M是AE上任意一点（M不与A、E重合），连DM，作DN平分∠MDC 交AC于N．（1）若BD=DC（如图1)，求证：EM+NC=DM；（2）在（1）的条件下，如图2，作DF⊥AC于F，若NF:FC=3：5，AM=4,连接MN将∠DMN沿MN翻折,翻折后的射线MD交AC于P,连接DP交MN于点Q，求PQ的长．14．（2012•香坊区一模)已知：在△ABC中，AB=AC，点P是BC上一点，PC=2PB，连接AP，作∠APD=∠B交AB于点D．连接CD,交AP于点E．(1）如图1,当∠BAC=90°时，则线段AD与BD 的数量关系为；（2）如图2，当∠BAC=60°时，求证：AD=BD；（3）在（2)的条件下，过点C作∠DCQ=60°交PA的延长线于点Q如图3，连接DQ，延长CA交DQ于点K，若CQ=．求线段AK的长．15．(2012秋•大丰市期末）探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE,根据(指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：．（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；（3）如图3,矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC,AE=kEF，求：的值．（用k的代数式表示)16．(2012秋•东城区期末)如图1，在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P,Q．（1)如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y,试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3,点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．17．（2012秋•道外区期末）已知：△ACB与△DCE为两个有公共顶点C的等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC,DC=EC．把△DCE绕点C旋转,在整个旋转过程中,设BD的中点为N，连接CN．(1）如图①，当点D在BA的延长线上时,连接AE，求证：AE=2CN；（2）如图②,当DE经过点A时,过点C作CH⊥BD，垂足为H，设AC、BD相交于F，若NH=4,BH=16，求CF的长．18．(2012春•泰兴市校级期中）在平面直角坐标系中,四边形ABOC是边长为1的正方形，其中点B、C分别在x轴和y轴上，点M为y轴负半轴上一动点，点N 为x轴正半轴上一动点,且∠NAM=45°．（1）试说明△OAN∽△OMA；（2）随着点N的变化，探求△OMN的面积是否发生变化？如果△OMN的面积不变，求出△OMN的面积;如果面积发生变化，请说明理由；(3）当△AMN为等腰三角形时，请求出点N的坐标．19．（2012秋•亭湖区校级期中）已知：如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠B=90°,CD=8，BC=12，∠ACB=30°,E为BC边上一点，以BE为边作正△BEF，使正△BEF和梯形ABCD在BC的同侧．（l）当正△BEF的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2)将（1）问中的正△BEF沿BC向右平移，记平移中的正△BEF为正△B′E′F′，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为x，正△B′E′F′的边B′E′和E′F′分别与AC交于点M和点N，连接DM、DN:①设正△B′E′F′与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，当DN取得最小值时,求出S的值；②是否存在这样的x,使三角形DMN是直角三角形？若存在,求出x的值；若不存在，请说明理由．20．（2012秋•江阴市校级期中）如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如:矩形ABCD中，点C与A、B两点可构成直角三角形ABC,则称点C为A、B两点的勾股点．同样，点D也是A、B两点的勾股点．（1）在矩形ABCD中，AB=12，BC=6，边CD上A，B两点的勾股点的个数为个；（2）如图1，矩形ABCD中,AB=12，BC=6，DP=4，DM=8，AN=5．过点P作直线l平行于BC，点H为M、N两点的勾股点，且点H在直线l上，求PH的长；（3）如图2,矩形ABCD中，AB=12,BC=6，将纸片折叠，折痕分别与CD、AB交于点F、G，若A、E两点的勾股点为BC边的中点M,求折痕FG的长．21．（2012春•沧浪区校级期中)已知,正方形DEFG内接于△ABC中，且点E，F在BC上，点D，G分别在AB,AC上，（1)如图①，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠A=90°，S△ADG=2,则S△ABC=．（2）如图②，若△ABC是直角三角形,∠A=90°，AB=4,AC=3，求正方形的边长．（3）如图③，若△ABC是任意三角形，S△ADG=1,S△BDE=3,S△FCG=1，则正方形的边长为．（4)如图④,若△ABC是任意三角形，求证：．22．(2012秋•哈尔滨月考)如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，BC边上的中垂线AM 交BC边于点M．△CDE 绕着点C旋转，点D落在直线AM上(点D不与点A、M重合）时停止，△CDE在CD边的下方,连接BE．(1）如图1所示，当点D在线段AM上,求证：BE+DM=BC；（2）在（1）的条件下,设直线BE交直线AM于点N，如图2所示，若，且△CDE的面积为，求线段BN的长．23．（2012秋•南岗区校级月考）如图1,BD为矩形ABCD的对角线,∠DBC的平分线BE交DC于点E，DK ⊥BE交BE的延长线于K．（1）若tan∠DBC=，求证:BE=DK．（2）如图2，在（1)的条件下，∠BED绕点E顺时针旋转至∠B′ED′，∠B′ED′的两边分别交BD、DK于点I、L，若已知：DL：LK=5：3，IL=5，求IB的长？24．（2012秋•靖江市校级月考）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合)，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N，设BP=x．（如图1）（1）求证：AM=AN；（2）若BM=，求x的值;(3)连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）,当x取何值时，∠BAD=15°？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．25．（2011•北塘区二模）如图1，在△ACD中,AC=2DC,AD=DC．(1）求∠C的度数；（2）如图2，延长CA到E，使AE=CD，延长CD到B，使DB=CE，AB、ED交于点O．求证:∠BOD=45°；(3）如图3，点F、G分别是AC、BC上的动点，且S△CFG=S四边形AFGB，作FM∥BC,GN∥AC，分别交AB于点M、N，线段AM、MN、NB能否始终组成直角三角形？给出你的结论，并说明理由．26．（2011•邯郸一模）(1)如图1，四边形ACDG与四边形ECBH都是正方形，且B，C，D在一条直线上，连接DE并延长交线段AB于点F．求证：AB=DE,AB⊥DE；(2）如果将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且==，则AB与DE的数量关系与位置关系会发生什么变化？请说明你的看法和理由．(3）如果将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形,如图3，∠BCE=∠ACD=90°,且=k，且请直接写出AB与DE的数量关系与位置关系．27．(2011•哈尔滨)已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD 交线段AB于点E．(1)如图1,当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB=120°时,求证：DE=3CE；（3）如图3,在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K,延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．28．（2011•武汉模拟）在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、AC的中点，点G为线段DF上一点（点G不与D、F重合）,AG的延长线交BC于点K,交ED 的延长线于点H，连接BH．（1）如图1：若∠BAC=90°，写出图中所有与∠HBD相等的角，并选取一个给出证明．（2）如图2：若∠BAC≠90°，在(1)中与∠HBD相等的角中找出一个仍然与∠HBD 相等的角,并给出证明．29．（2011•黑龙江模拟）已知：如图，直角梯形ABCD中AD∥BC,∠A=90°，CD=CB=2AD．点Q是AB边中点，点P在CD边上运动，以点P为直角顶点作直角∠MPN，∠MPN的两边分别与AB边、CB边交于点M、N．（1）若点P与点D重合，点M在线段AQ上,如图(1）．求证：．（2）若点P是CD中点,点M在线段BQ上，如图（2)．线段MQ、CN、BC的数量关系是：,并证明你的猜想．30．(2011•南岗区校级三模）已知:梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD 于点E．DP⊥CB于点P，连接AP、AE．（1）如图1，若∠C=45°，求证：AP=AE．（2）如图2，若∠C=60°,直接写出线段AP、AE的数量关系．（3)在（1）的条件下，将线段EA绕点E顺时针旋转得到线段EA′，使∠DEA′=∠DEA，直线EA′分别与线段BA延长线、线段BC交于点N、点K，已知AD=1，EK=．求线段NE的长．。

(完整版)相似三角形专题

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【一】知识梳理 【1】比例①定义：四个量a,b,c,d 中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例 ②形式：a:b=c:d ，③性质：基本性质：dcb a = ac=bd4，比例中项：bcc a = ab c =2【2】黄金分割定义：如图点C 是AB 上一点，若BC AB AC •=2，则点C 是AB 的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个ACAC BC AB AB BC AB AB AC 618.0215382.0253618.0215≈-=≈-=≈-=注意：如图△ABC ，∠A=36°，AB=AC ，这是一个黄金三角形，【3】平行线推比例AB AB BC 618.0215≈-=dcb a =注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负1、可以把比例式与等积式互化。

2、可以验证四个量是否成比例 上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右 全比上=全比上，全比下=全比下 下比上=下比上【4】相似三角形1、相似三角形的判定①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF②‘S A S ’ E B EFBCDE AB ∠=∠=,∴△ABC ∽△DEF③‘S S S ’EFBCDF AC DE AB =∴△ABC ∽△DEF ④平行相似： ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC2、相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比③相似三角形的面积比等于相似比的平方3、相似三角形的常见图形‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2=AD •AB母子图中的射影定理AC 2=AD •AB BC 2=BD •AB CD 2=AD •BD【二】题型 1、求线段的比【例题1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1， l 2， l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1， l 2， l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相较于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5则EFDE的值为【例题2】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（1） （2）【例题3】如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，且AB=3AD ，点P 是△ABC 的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB 则PB:PD=【例题4】如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ， 如果AE EC ＝23，那么ABAC ＝（ ） A ．13B ．23C ．25D ．35（3） （4）【例题5】 已知32==d c b a ，则ba ba 4332-+=求a 比b 的方法：①求a,b 的长度，②设k 法，③利用三角形相似的性质，④平行推比例线段⑤比例分配32=-a b a ，则ba=【例题6】如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则AF:FB= .【例题7】如图所示,将矩形ABCD 折叠,使点B 落在边AD 上,点B 与点F 重合,折痕为AE,此时,矩形EDCF 与矩形ABCD 相似,则ABAD= .【例题8】如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠,A=90°，AB=4，AC=3，D 为弧AB 的中点，则DECE=（6）（7） （8）【例题9】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 的中线，AN ⊥CD ，交BC 于N,若CD=3，AN=4，则tan ∠CAN=2、相似三角形的性质与判定【例题1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）【例题2】如图，已知△ABC ，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不能确定△ACP 与△ABC 相似的是（ ）A ∠ACP=∠B ， B ∠APC=∠ACBC AC 2=AP.ABD BCABCP AC【例题3】已知四边形ABCD 与四边形A /B /C /D /，且AB:BC:CD:DA=20：15：9：8，若四边形A /B /C /D /为26，则A /B /的长为【例题4】 如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为【例题5】如图，P 为□ABCD 的边AD 上一点，E,F 分别为PB,PC 的中点， △PEF 的面积为3，则平行四边形的面积是已知两个相似三角形的对应高的比为3:10，面积差为100，则大三角形的面积为【例题6】如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 的中点E处，折痕为FH ，点C 落在点Q 出，EQ 与BC 相较于点G ，则△EBG 的周长为（4） （5） （6）【例题7】如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为多少?【例题8】如图，AB=4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE=DB ，作EF ⊥DE 并截取EF=DE ，连结AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE=x ，BC=y ，则y 关于x 的函数解析式是点拨：同一时刻、同一地点，物高与影长的比是 定值3、相似三角形讨论方法1、固定一个角，按AA讨论，2、按夹相等角得两边的比值相等讨论【例题1】直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点．（1）写出点A、B、C、D的坐标；（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【例题2】已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-5，0）和点B,其中点B1在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=2（1）求点B的坐标。

完整版)相似三角形题型归纳

完整版)相似三角形题型归纳

完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。

证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。

点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。

证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。

证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。

4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。

写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。

5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。

证明DE=BE·CE。

6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。

证明AE∶ED=2AF∶FB。

7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。

证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。

8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。

证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。

9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。

过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。

证明：AG∶GB=CP∶PD。

1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案

相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。

答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。

答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。

因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。

设BC=2x，则EF=3x。

由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。

因此，BC=6cm，
EF=9cm。

2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。

答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。

因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。

所以相似比为√(2/3)。

专题03相似三角形的应用综合(五大类型)(题型专练)(原卷版)

专题03相似三角形的应用综合(五大类型)(题型专练)(原卷版)

专题03 相似三角形的应用综合（五大类型）【题型1 利用相似三角形测量高度平面镜测量法】【题型2 利用相似三角形测量高度影子测量法】【题型3 利用相似三角形测量高度手臂测量法】【题型4 利用相似三角形测量高度标杆测量法】【题型5 利用相似三角形测量距离】【题型1 利用相似三角形测量高度平面镜测量法】1．（2022秋•郑州期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为1.5m，小明的站的位置到镜子上标记的距离是3.2m，旗杆的底部到小明的位置是19.2m，则旗杆的高度为（）A．19.2B．16C．9D．7.5 2．（2023•龙华区一模）数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米B．28米C．24米D．16米3．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m 4．（2023•青原区校级一模）为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索实践．根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）9m的水平地面点E处，然后一同学沿着直线BE后退到点D，这时该同学恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3m，该同学身高CD＝1.6m．请你计算树（AB）的高度．5．（2023•新城区校级一模）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E 到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．6．（2023•灞桥区校级模拟）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明同学对该塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退1米到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向继续向后移动15米放在D处（即AD＝15米），从点D处向后退1.6米，到达点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点M、已知小明眼睛到地面的距离CB＝EF＝1.74米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度MN﹒（平面镜的大小忽略不计）7．（2022秋•大名县校级期末）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF ＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【题型2 利用相似三角形测量高度影子测量法】8．（2021秋•蓝山县期末）如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为米．9．（2022•兴化市模拟）如图，电线杆上的路灯距离地面8m，身高1.6m的小明（AB）站在距离电线杆的底部（点O）20m的A处，则小明的影子AM为m．【题型3 利用相似三角形测量高度手臂测量法】10．（2022秋•房山区期中）在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离AB、同学到树干的距离AC，以及露出笔的长度DE，就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比等于相似比．（填写定理内容）11．（2022•姑苏区一模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E、F，不断调整站立的位置，使在点D处时恰好能看到铁塔的顶部B 和底部A（如图）．设小明的手臂长l＝50cm，小尺长a＝20cm，点D到铁塔底部的距离AD＝20m，则铁塔的高度为m．12．（2023•长安区校级二模）如图，是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度AB，有以下两种方案：方案一：如图1，在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高1.5m的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离EF＝0.8m，DF＝1m，AB⊥BM，CD ⊥BM，EF⊥BM，点B、D、F、M在同一直线上．方案二：如图2，小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在离善导塔45m的地方（即点E到AB的距离为45m）．他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住善导塔（即A、C、E在一条直线上，B、D、E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm．请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度AB．我选择方案．【题型4 利用相似三角形测量高度标杆测量法】13．（2023•费县二模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝10.8m，则建筑物CD 的高是m．14．（2021秋•吉林期末）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为．15．（2022秋•花都区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是多少？16．（2023•雁塔区一模）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD＝3m，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离DN＝14m，人的眼睛与地面的高度AB＝1.6m，人与标杆CD的水平距离BD＝2m，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN，MN⊥BN，求大树MN的高度．17．（2023•碑林区校级一模）某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度．如图2，古建筑的高度为AB，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG ＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C 在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑AB的高度．18．（2022秋•高新区期末）某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．19.（2023•碑林区一模）杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB．20．（2022秋•益阳期末）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝1.92米，CG＝20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．21．（2022秋•雁塔区校级期中）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆EF，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC＝1.6米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在G处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端B．已知EF＝3.2米，CF ＝3米，CG＝2米，点小C、F、G在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB ⊥AC．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树AB的高度．【题型5 利用相似三角形测量距离】22．（2022秋•开封期末）如图，某“综合实践”小组为估算开封护城河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点A和点C，使AC＝30m，且AC ⊥AP，再过点C作CD⊥BC，且CD＝20m，PD与AC交于点B，若测得AB ＝20m，则河宽AP的宽度为（）A．40m B．30m C．20m D．10m 23．（2022秋•上海月考）如图，A，B是河边上的两根水泥电线杆，C，D是河对岸不远处的两根木质线杆，且电线、线及河两边都是平行的．O是A、B对岸河边上一点，且O与A、C在同一直线上，与B、D也在同一直线上，已知AB＝35m，CD＝20m，OD＝20m，根据所给的已知条件是否一定能求出河的大约宽度能（填能或不能或不一定）．24．（2023•山西模拟）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B和点C，观察者在点E．适当调整，使得AB与EC 都与河岸BC垂直．此时AE与BC相交于点D，若测得BD＝100m，DC＝50m，EC＝45m，请利用这些数据计算河的宽度．25．（2022秋•济南期末）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．26．（2023•西吉县一模）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38m，求AB的长．27．（2023•莲湖区模拟）如图，为了测量平静的河面的宽度（EP），在离河岸D点3m远的B点，立一根长为1.5m的标杆AB，已知河岸高出水面0.6m，即DE＝0.6m．在河对岸的水里有一棵高出水面4.6m的大树MP，大树的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN．经测量此时A，D，N三点在同一直线上，并且点M，P，N共线，若AB，DE，MP均垂直于河面EP，则河宽EP 是多少米？。

相似三角形经典题型

相似三角形经典题型

相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。

判断这两个三角形是否相似。

解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。

所以△ABC∽△A'B'C'。

2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。

解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。

又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。

但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。

因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。

相似三角形综合题锦(含答案)

相似三角形综合题锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

初中数学《相似三角形》压轴30题含解析

初中数学《相似三角形》压轴30题含解析

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为　12n +1　．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是　2或23　．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是　34　．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。

相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)

相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)

专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。

相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案

相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案

相似三角形性质与判定的综合运用一、解答题1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1)求证：△BC1F∽△AGC1;(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．(1)求证：EF=AE−BE．(2)连接BF，如果AFBF =DFAD，求证：EF=EP．3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．(2)求∠1+∠2的度数．4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°．(1)求证：△ECA∽△CFB；(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，(1)求证：AC2=AB⋅AD；(2)求证：△AFD∽△CFE．8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．(1)求证：△ACD∽△BAC；(2)求DC的长；(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC．(2)设AFFC =12，①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．答案和解析1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2)∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3，∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，由(1)得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得AG=94．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．在△ABE和△DAF中，∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,AB=DA,∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，∵AFBF =DFAD，而AF=BE．∴BEBF =DFAD，∴BEDF =BFAD，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．∵∠1=∠3，∴∠4=∠1．∵∠5=∠1，∴∠4=∠5．即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AFBF =DFAD和AF=BE得到BEDF=BFAD，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，AC=√a2+a2=√2a，∵ACCF =√2aa=√2，CGAC=√2a=√2，∴ACCF =CGAC，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE =AFCD，∴DE=AD⋅CDAF =√3×84√3=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2−AD2=6．【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；(2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．5.【答案】解：∵CD//AB，∴△EAB∽△ECD，∴CDAB =DEBE，即1.7AB=33+BD①，∵FG//AB，∴△HFG∽△HAB，∴FGAB =HGHB，即1.7AB=4BD+5+4②，由①②得33+BD =4BD+5+4，解得BD=15，∴1.7AB =315+3，解得AB=10.2．答：路灯A离地面的高度为10.2m．【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，∴∠CAE =180°−45°=135°，同理∠CBF =135°，∴∠CAE =∠CBF ，∵∠ECF =135°，∠ACB =90°，∴∠ECA +∠BCF =45°，∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°，∴∠E =∠BCF ，∵∠CAE =∠CBF ，∴△ECA∽△CFB ；(2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ，∴sin45°=CB x ， ∴CB =√22x =AC ，∵由(1)知△ECA∽△CFB ，∴AE CB =AC BF ，∴3√22x =√22x y ，∴y =16x 2，x 的取值范围是x >0，即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0．【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似；(2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD；(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE//AD，∴△AFD∽△CFE．【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题；本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8.【答案】(1)证明：∵CD//AB，∴∠BAC=∠DCA又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC；(2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=8，由(1)知，△ACD∽△BAC，∴DCAC =ACBA，即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ，△EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF =BE 时，10−2t =t ，解得t =103秒．②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足为G ，则BG =12BF =12(10−2t).此时△BEG∽△BAC∴BEAB =BGBC ，即t 10=12(10−2t)6， 解得：t =258；③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂足为H则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC∴BFAB =BHBC ，即10−2t 10=12t 6， 解得：t =6017综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或6017秒．【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =ACBA ，即可得出结论；(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4；②∵AFFC =12，∴FCAC =23，∵EF//AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC =(FCAC)2=(23)2=49，∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；(2)①由平行线的性质得出BEEC =AFFC=12，即可得出结果；②先求出FCAC =23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AECE，∴AB1.6=212.5，∴AB=13.44(米)．答：教学大楼的高度AB是13.44米．【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。

中考相似三角形经典综合题

中考相似三角形经典综合题

中考相似三角形经典综合题1、如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C 向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒。

设运动时间为t秒.(1)求线段BC的长；(2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。

设线段EF的长为m,求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：(3)在(2)的条件下，将4BEF绕点B逆时针旋转得到△BER,使点E的对应点E i落在线2、在平面直角坐标系中，已知点A (-2 Z0BA. (I)如图①，求点E的坐标；0),点B (0, 4),点E 在OB 上，且N OAE=(II)如图②，将4AEO沿x轴向右平移得到△A‘E'O',连接A‘B、BE’.①设AA'二m,其中0V m<2,试用含m的式子表示A,B2+BE,2,并求出使A,B2+BE,2取得最小值时点E'的坐标；②当A'B+BE’取得最小值时图①3、如图，在4ABC中，N C=90°, BC=3, AB=5.^ P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B f C-A-B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C f A f B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为i秒.(1)当1= 7时，点P与点Q相遇；(2)在点P从点B到点C的运动过程中，当i为何值时，4PCQ为等腰三角形？(3)在点Q从点B返回点A的运动过程中，设4PCQ的面积为s平方单位.①求s与i之间的函数关系式；②当s最大时，过点P作直线交AB于点D,将4ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的4APD与4PCQ重叠部分的面积.4、如图，点A是4ABC和^ADE的公共顶点，Z BAC + Z DAE =180°, AB=k- AE, AC=k- AD,点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N.(1)探究/ANB与Z BAE的关系，并加以证明.(2)若^ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中(1)的结论是否发生变化?如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，5.如图，已知一个三角形纸片ABC, BC边的长为8, BC边上的高为6 , /B和NC都为锐角，M为AB一动点(点M与点A、B不重合)，过点M作MN〃BC,交AC于点N , 在^AMN中，设MN的长为x , MN上的高为h .(1)请你用含x的代数式表示h .(2)将^AMN沿MN折叠，使△ AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面并证明变化后Z ANB与Z BAE的关系.的点为A1, △ 41 MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？A6.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFLBD交BC于F,连接DF, G为DF中点，连接EG, CG.(1)求证:EG=CG；(2)将图①中4BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示，取DF中点G,连接EG, CG.问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将图①中4BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问(1) 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？图③7.如图，抛物线经过4(4,0), B(1,0), C(0,-2)三点.(1)求出抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点，过P作PM 1 x轴，垂足为M,是否存在P点，使得以4, P, M 为顶点的三角形与404。

相似三角形性质完整的题型+答案

相似三角形性质完整的题型+答案

相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000__m2。

变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。

A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。

(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。

变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。

(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。

(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。

例题:如图，已知DE//BC，AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB= 4:15。

变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。

A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2 答案：D 。

例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5， 求:(1)S △AOD :S △BOC 的值； (2)S △AOB :S △AOD 的值。

答案:(1)9:25 (2)5:3。

相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧

相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧

相似三角形（8大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 相似形压轴题型1．（20-21九年级上·重庆渝中·期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，2），B （－4，1），C （－1，－1）．以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A'B'C ．并把△ABC 的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )A ．（1，－6）B ．（1，－7）C ．（2，－6）D ．（2，－7）2．（23-24八年级下·山东淄博·(2)ABCD AD AB AD <<纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD 的相邻两边AD 与AB 的比值是 ．3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的12，画出缩小后的四边形111AB C D，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长；(2)在图2中，先在AB上画点F，使得CF BC=，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN 是平行四边形．4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为()1a a³，宽为1．一分为二（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a的值为______．（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a的值为______．一分为多（3）有同学说“无论a为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．一分为三（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的a 的值．5．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ¢¢¢¢，且62A Ð=°，75B Ð=°，140D Т=°，9AD =，11A B ¢¢=，6A D ¢¢=，8B C ¢¢=．(1)请直接写出：C Ð= 度；(2)求边AB 和BC 的长．6．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,1A ，()3,2B ，()2,3C （每个方格的边长均为1个单位长度），请按下列要求画图：(1)111A B C △与ABC V 关于原点O 成中心对称，画出111A B C △并写出点1A 的坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC V 放大，画出放大后的222A B C △并写出点2B 的坐标；(3)根据信息回答问题：已知ABC V 的面积为32，AB ，请直接写出222A B C △的面积和22A B 边上的高的值．压轴题型二 比例线段压轴题型1．（2020古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底0.618≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm2．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为 ．3．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果()0a c e k b d f b d f ===++¹，那么a c e k b d f++=++．理由如下：∵()0a c e k b d f b d f===++¹∴a bk =，c dk =，e fk =（第一步）∴()k b d f a c e bk dk fk k b d f b d f b d f++++++===++++++（第二步）(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，()k b d f k b d f ++=++应用了______的基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：①如果22567a b c ===，则218a b c ++=______；②已知0345x y z ==¹，求23x y z x y z -++-的值．4．（23-24九年级上··的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽1AB =．(1)黄金矩形ABCD 的长BC = ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．5．（22-23九年级上·浙江·周测）若实数a b c ，，满足a b c b c a a c b c a b +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+×+×+的值．6．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b =，求a b b +与a b a b -+的值；(2)如果(),a c a b c d b d =¹¹，求证a c b a d c =--；(3)如果a c a b d b +=+，求证a c b d=．压轴题型三 相似三角形的判定压轴题型1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ^F ，连接DF ，分析下列四个结论，①AEF CAB △∽△，②CF 2AF =；③DF DC =；④CD AC =．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角ABC V 中，4AB BC ==，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且45DAE =°∠，2AE AD =，则BD = ．3．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点C ，D 分别在边DC ，BC 上，AB AB ^，垂足为点G ．求证：ADE DCF ∽V V ．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H Ð=Ð．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E F 分别在边DC ，BC 上，10AE DF ==，7DE =，60AED Ð=°，求CF 的长．4．（2024·山西晋中·二模）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，连接EF ，点G 是线段EF 上的一个动点，连接AG ，将线段AG 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到AH ，连接HD ，GB ．猜想证明：（1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现GB HD =，请你证明这一结论；操作探究：（2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G 为线段EF 的中点时，连接FH ，试判断四边形AGFH 的形状，并说明理由；深入探究：（3）“创新小组”BG 与直线DH 交于点M ，当AHD V 为直角三角形时，请直接写出四边形AGMH 的面积．5．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形ABCD 中，120ABC Ð=°，60ADC Ð=°，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC AD =，BD 平分ABC Ð．(1)求证：DB AB CB =+；(2)如图2，过点D 作DE AB ∥，使DE BC =，连接AE ，取AE 中点 F ，连接DF ，求证：22AC DF OD =×．6．（23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD Ð=Ð=°，连接AC BD ，，过点A 作AE AC ^交CB 的延长线于点E ，求证：E ACD Ð=Ð．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，（1）中的其它条件不变，点M ，N 分别是BD EC ，的中点，连接AN AM ，，MN ．①求证：AE AC =﹔②求证：N ABE AM ∽△△．压轴题型四 相似三角形的性质压轴题型1．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知点D 在ABC V 的边BC 上，联结AD ，如果ABD △与ACD V 相似，那么下列四个说法：①BAD C Ð=Ð；②AD BC ^；③2AD BD CD =×；④22AB BD AC CD =．一定成立的是（ ）．A ．②④B ．①③C ．①②③D ．②③④2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在ABC V 中，3AC BC ==，90C Ð=°，点D 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），连接AD ，点E 在边AB 上，EDB ADC Ð=Ð．已知点H 在射线AC 上，连接EH 交线段AD 于点G ，当1CH =，且AEH BED Ð=Ð时，则BE AB = ．3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形ABCD ，点E ，点F 分别为AD ，BC 上的点，将矩形沿EF 折叠，使点B 的对应点B ¢落在CD 上，连接BB ¢．(1)如图2，当点B ¢与点D 重合时，连接BE ，试判断四边形BEB F ¢的形状，并说明理由；(2)若6AB =，8BC =，求折痕EF 的最大值．4．（23-24八年级下·山东东营·期末）综合与探究(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC CD ，上，且AE BF ^，则线段AE 与BF 的之间的数量关系为_____________；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD 中，35AB AD ==，，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且AE BF ^，请写出线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt ABC V 中，9046ABC AB BC Ð=°==，，，D 为BC 上一点，且2BD =，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点F ，交AC 于点E ，求BE 的长．5．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边ABC V ，以AC 为斜边向外作Rt ACD △，定义Rt ACD △为等边ABC V 的“关联直角三角形”，连接BD 交AC 于点E ，下面我们来研究与DE BE的值有关的问题．(1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，DE BE的值为______；(2)如图②，当“关联直角三角形”是含30°的直角三角形时，求DE BE的值；(3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若16,3DE AB BE ==，求BD 的值．6．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF Ð=°，求AC BD 的值．压轴题型五 相似三角形的应用压轴题型1．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD 为5尺，不知其深AD ．立5尺长的木CE 于井上，从木的末梢E 点观察井水水岸A 处，测得“入径CF ”为4寸，问井深AD 是多少？（其中1尺10=寸）”根据译文信息，则井深AD 为（ ）A ．500寸B ．525寸C ．550寸D ．575寸2．（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm （即17cm EF =）的词典放入高（AB ）为16cm 的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处8cm ，若此时将词典无滑动向右倒，书角H 的对应点H ¢恰为CD 中点．（1）收纳盒的长BC = ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．3．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF 的焦距为f ，主光轴l EF ^，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，2OB OD f ==，蜡烛PQ l ^（蜡烛可移动，且OQ f >），光线PG l ∥，其折射光线GC 与另一条经过光心的光线PP ¢相交于点P ¢（P Q l ¢¢^）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高()PQ 为h ，像高()P Q ¢¢为h ¢，物距()OQ ，像距()OQ ¢为v ．(1)若10cm f =，10cm h =，15cm u =，=v cm ．(2)求证111u v f+=．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象()u f >，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？4．（23-24九年级上·河北邢台·1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点在地面上，经测量得到136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．发现：连接AC ．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；探究：若32cm EF =，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?5．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，Rt ABC V 为一块铁板余料，90B Ð=°，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．6．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF //BC ，可以得到以下结论：AH EF AD BC=．拓展应用：(1)如图2，在△ABC 中，BC ＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM ，使其一边GM 在BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm 分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？压轴题型六 重心的性质压轴题型1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G 是ABC V 的重心，过点G 作MN BC ∥分别交AB AC ，于点M ，N ，过点N 作ND AB ∥交BC 于点D ，则四边形BDNM 与ABC V 的面积之比是（ ）A ．1:2B ．2:3C ．4:9D ．7:92．（2023·上海·一模）在Rt ABC △中，9030B BAC BC Ð=°Ð=°=，，1，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，设点E 、F 分别是ABC V 和ACD V 的重心，则两重心E 与F 之间的距离是 ．3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 各边的中点，连接AF CE 、交于点M ，连接AG 、CH 交于点N ，将四边形AMCN 称为平行四边形ABCD 的“中顶点四边形”．(1)求证：中顶点四边形AMCN 为平行四边形；(2)①如图2，连接AC BD 、交于点O ，可得M 、N 两点都在BD 上，当平行四边形ABCD 满足________时，中顶点四边形AMCN 是菱形；②如图3，已知矩形AMCN 为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）作图．(1)直尺作图：如图1，已知D 、E 分别为AB 、AC 中点，过点A 作AF 平分ABC V 面积；(2)直尺作图：如图2，已知AD BC ∥，在四边形ABCD 中作一点O ，使AOB COD S S =△△；(3)尺规作图：如图3，已知D 为AC 中点，点M 在BC ，在AC 上作点N 使MN 平分ABC V 面积．5．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考：三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．下面是小明证明性质的过程．如图，在ABC V 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，AD 、BE 相交于点G ，求证：13GE GD BE AD ==证明：连接ED ，∵D ，E 是边BC ，AC 的中点，∴DE AB ∥，12DE AB =（依据1）∴ABG DEGV V ∽∴12GE GD DE GB GA AB ===（依据2）∴13GE GD BE AD ==(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：依据1：______________________依据2：______________________(2)应用①如图，在ABC V 中，点G 是ABC V 中的重心，连接AG 并延长交BC 与点E ，若 3.5GE =，求AG 长．②在ABC V 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若ABC V 的面积等于30，求BOD V 的面积．6．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知ABC V 是等边三角形． P 是ABC V 的重心，连接BP CP ，并延长分别交边AC AB ，于点E ，D ．试判断：①BPD Ð的度数为 ；②线段PB PD PE ，，之间的数量关系：PB PD PE +；（填写“>”“<”或“=”）（2）如图2，若在等边ABC V 中，点E 是射线AC 上一动点（其中点E 不与点A 重合，且12CE AC <），连接BE ，作边BA 关于直线 BE 的对称线段 BD ，直线CD ，BE 相交于点 P ，试探究线段PB PC PD ，，的数量关系，并说明理由．压轴题型七 平面向量的线性运算压轴题型1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+r r r r ；B ．如果向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r r 或a b =-r r ；C ．如果a b =r r ，那么a b =r r ；D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =×¹r r ，那么a b r r P ．2．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，过点A 作AE DC ∥分别交BD 、BC 于点F 、E ，23BE BC =，设AD a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，那么向量FE uuu r 用向量a r 、b r 表示为 ．3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上．(1)填空：BA AB +uuu r uuu r ＝ ，BA AE ED DC +++uuu r uuu r uuu r uuu r ＝ ；(2)图中与AB uuu r 相等的向量是 ，与AD uuu r 相反的向量是 ；(3)求作：DC DE +uuu r uuu r （不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 是对角线AC 的中点，DO 的延长线与BC 相交于点E ，设AB a uuu r r =，AD b =uuu r r ，BE c =uuu r r ．(1)试用向量a r 、b r 、c r 表示向量：ED =uuu r ______；(2)写出图中所有与AD uuu r 互为相反向量的向量：______；(3)求作：AD OC +uuu r uuu r．（画出所求向量，并直接写出结论）5．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形ABCD 中，AB DC P ，点E 在AB 上，ED BC ∥．(1)填空：BE ED DC CB +++=uuu r uuu r uuu r uuu r ，(2)填空：BA AD DC EA ++-=uuu r uuu r uuu r uuu r ；(3)在图中直接作出AE ED AB +-uuu r uuu r uuu r ．（不写作法，写结论）6．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知点M 是△ABC 边BC 上一点，设AB uuu r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ．(1)当BM MC＝2时，AM uuuu r ＝______；（用a r 与b r 表示）(2)当AM uuuu r ＝4377a b +r r 时，BM MC ＝______；(3)在原图上作出AM uuuu r 在AB uuu r 、AC uuu r 上的分向量．压轴题型八 相似三角形的动点问题1．（2020·山西·一模）如图，在ABC V 中，8AB AC ==，6BC =，点P 从点B 出发以1个单位长度/秒的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，其中一点到达另一点即停．当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动时间为（ ）A ．2411秒B ．95秒C ．2411秒或95秒D ．以上均不对2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B A ®匀速运动；同时点Q 从点A 出发同样的速度沿A C B ®®匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为 时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．3．（2024·吉林长春·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，8AB =，6BC =，点D 为AC 中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°得线段DE ，连结PE ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)用含t 的代数式表示点P 到AC 的距离为________；(2)当点E 落在ABC V 内部（不包括边界）时，求t 的取值范围；(3)当PE 与ABC V 的一边平行时，求线段PE 的长度；(4)当经过点E 与ABC V 的一个顶点的直线平分ABC V 面积时，直接写出t 的值．4．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形ABCD 中，4AB ＝厘米，3BC ＝厘米，点E 从A 出发沿AB BC -匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F 从C 出发沿对角线CA 向A 匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE DF EF 、、，设运动时间为t 秒．请解答以下问题：(1)当0 2.5t ＜＜时①t 为何值时，EF AD ∥；②设DEF V 的面积为y ，求y 关于t 的函数；5．（2023·吉林松原·模拟预测）已知ABC V 中，90C Ð=°，3cm AC =，4cm CD =，BD AD =．点F 从点A 出发，沿AC CD -运动，速度为1cm/s ，同时点E 从点B 出发，沿BD DA -运动，运动速度为1cm/s ，一个点到达终点，另一点也停止运动．设AEF △ 的面积为S 2cm ，点E ，F 运动时间为t s ．(1)求BD 的长；(2)用含t 的代数式表示DE ；(3)求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．6．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点K 在CD 边上．且73CK =．点M N ，分别在,AB BC 边上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速运动，点E 在CD 边上随P 移动，且始终保持^PE AP ；点Q 从点D 出发沿DC 匀速运动，点P Q ，同时出发，点Q 的速度是点P 的一半，点P 到达点N 时停止，点Q 随之停止．设点P 移动的路程为x ．(1)当点Q 与点K 重合时，通过计算确定点P 的位置；(2)若点P 在BN 上，当BP CE =时，如图2，求x 的值；(3)在点P 沿折线MB BN -运动过程中，求点Q ，E 的距离（用含x 的式子表示）；(4)已知点P 从点M 到点B 再到点N 共用时20秒，请直接写出点K 在线段QE 上（包含端点）的总时长．。

专题08相似三角形综合压轴真题训练(原卷版)

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挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题08 相似三角形综合压轴真题训练一．平行线分线段成比例（共1小题）1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE 交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为．二．相似三角形的性质和判定2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF ＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M ，N 分别是边BC 、CD 上的动点，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，连接MN 、OM ．以下四个结论正确的是（ ）①△AMN 是等边三角形；②MN 的最小值是；③当MN 最小时S △CMN ＝S 菱形ABCD ；④当OM ⊥BC 时，OA 2＝DN •AB ．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④5．（2022•绍兴）将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ，其中∠A ＝90°，AB ＝9，BC ＝7，CD ＝6，AD ＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．B．C．10D．6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE ＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE ∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4 10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（）A．3B．4C．5D．11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F 是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OP A＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE ＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（）A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为．13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD ⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF 恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B 的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为．19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为，DH的长为．20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是．22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG 的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是．（请填写序号）三．相似三角形的应用23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝km．（2）k＝．24．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．。

2024中考备考重难点重难点相似三角形模型及其综合题综合训练(11大题型+满分技巧+限时分层检测)

2024中考备考重难点重难点相似三角形模型及其综合题综合训练(11大题型+满分技巧+限时分层检测)

重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类：一、K型相似二、8字图相似三、A字图相似四、母子型相似五、手拉手相似相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。

考向一：K型相似1．（2023•锡山区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范围是，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM＝2∠ADG时，AP的长是．2．（2023•福田区模拟）综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直接写出的值．3．（2023•桐柏县一模）【初步探究】（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空：△EB'M△B'AN （“≌”或“∽”）．【类比探究】（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【问题解决】（3）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE，DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为．考向二：8字图相似1．（2023•海州区校级二模）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……【问题提出】（1）如图①，PC是△P AB的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥P A，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥P A交P A于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【理解应用】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为．【深度思考】（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为．【拓展升华】（4）如图④，PC是△P AB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△P AB的面积最大值是．2．（2023•衢州二模）如图1，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE，将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，延长EF交CD于点G．（1）求证：DG＝FG；（2）如图2，当点E是BC中点时，求tan∠CGE的值；（3）如图3，当时，连接CF并延长交AB于点H，求的值．考向三：A字图相似1．（2023•宿城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为．2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABC中，D在AB上，E在BC上，∠AED＝∠ABC，F在AE上，EF＝DE．（1）如图1，若CE＝BD，求证：BE＝CF；（2）如图2，若CE＝AD，G在DE上，∠EFG＝∠EFC，求证：CF＝2GF；（3）如图3，若CE＝AD，EF＝2，∠ABC＝30°，当△CEF周长最小时，请直接写出△BCF的面积．3．（2023•中山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点P为射线AO上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，将沿PQ翻折得到R．设△PQR与△AOB重合部分的面积为S，点P的坐标为（m，0）．（1）求AR的长．（用含m的代数式表示）（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．考向四：母子型相似1．（2023•樊城区模拟）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF ＝6，AD＝9，求CE的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，连接DE、DF分别交AC于M，N，∠EDF＝∠BAD，DF＝AE，若MN＝18，求EF的值．2．（2023•润州区二模）如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．①求证：点P是点D的“和谐点”；②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．①若AD＝1，求出点P的坐标；②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是．考向五：手拉手相似1．（2023•宝安区校级三模）【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和CE．①如图2，找出图中的另外一组相似三角形；②若AB＝4，AC＝3，BD＝2，则CE＝；【迁移应用】在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D、E，M分别是AB、AC、BC中点，连接DE和CM．①如图3，写出CE和BD的数量关系；②如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，当D落在AM上时，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若，求MN的长．【创新应用】如图5：，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．2．（2023•东港市二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形ABCD，点E为对角线AC上一动点，将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，得到△BEF，连接CF．填空：①＝；②∠ACF的度数为；（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF＝90°，∠ACB＝∠EFB＝60°，连接CF，请分别求出的值及∠ACF的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF 的中点M，连接BM，CM，若，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长．3．（2023•晋中模拟）综合与实践问题情境：（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．如图2，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，连接B′D，C′E，求证：B′D＝C′E．深入研究：（2）①如图3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知点B，C，E在同一直线上，连接DE，AF，交于点P，求AF：DE的值；②如图4，若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度，AF：DE的值变化吗？请说明理由．拓展应用：（3）如图5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝CG：CE＝k，请直接写出此时AF：DE的值．（建议用时：150分钟）1．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．2．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接P A，PC，求P A+PC的最小值．3．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．4．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．5．（2023•湖州）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．【变式求异】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD ＝2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．6．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是，＝．（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．7．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．（1）求证：△ADE≌△A′DG；（2）求证：AF•GB＝AG•FC；（3）若AC＝8，tan A＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．8．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO ⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．（1）求证：△ADE∽△FMC；（2）求∠ABF的度数；（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．9．（2022•湖北）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：＝；应用拓展：（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．10．（2022•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．11．（2023•广州）如图，AC是菱形ABCD的对角线．（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接BD，CE．①求证：△ABD～△ACE；②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．。

相似三角形综合题(解析版)

相似三角形综合题(解析版)

相似三角形综合题一、解答题1．（2018·上海普陀·中考模拟）如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E 处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．【答案】（1）见解析；（2）y=4﹣x+44x-（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4【解析】【分析】（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=4 4x -，即可得出结论；（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'=∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF，∴BF'=CF，EF'=EF，∵∠GEF=90°，∴GF'=GF，∴∠BGE=∠EGF，∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，∵∠EBG=∠C=90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，∴BG=4﹣x，∴，∴CF=44x -，由（1）知，BF'=CF=44x -，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+4 4x -当CF=4时，即：44x-=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+44x-（0≤x≤3）；（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵△AGQ与△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ=∠CEP，由（2）知，∠CEP=∠BGE，∴∠AGQ=∠BGE，由（1）知，∠BGE=∠FGE，∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，∴∠BEG=30°，在Rt△BEG中，BE=2，∴BG=3，∴AG=AB﹣BG=4，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG=∠CEP，∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴，∴，∴BG=2，∴AG=AB﹣BG=2，即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4【点睛】本题考核知识点：相似三角形综合. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.2．（2020·全国初三专题练习）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=，则BC= ．【答案】（1）①四边形CEGF ；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为AG BE ；（3）3【解析】【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG CE =、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH==，设BC CD AD a ===，知AC =，由AG GH AC AH =得2AH a 3=、1DH a 3=、CH =，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD =90°，∠BCA =45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG =∠CFG =∠ECF =90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE =∠ECG =45°，∴EG =EC ，∴四边形CEGF 是正方形；②由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG =∠B =90°，∠ECG =45°，∴CG CE=，GE ∥AB ，∴AG CG BE CE ==；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE =∠ACG =α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG =2、CB CA =2，∴CG CE =CA CB= ∴△ACG ∽△BCE ，∴AG CA BE CB ==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG BE ；（3）∵∠CEF =45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC =135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC =∠BEC =135°，∴∠AGH =∠CAH =45°，∵∠CHA =∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AH AC AH CH==，设BC =CD =AD =a ，则AC a ，则由AG GHAC AH==，∴AH=23 a，则DH=AD﹣AH=13a，CHa，∴由AG AHAC CH=2a=解得：a=BC=故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3．（2019·南岸·重庆第二外国语学校初三月考）如图,已知四边形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC =10cm,(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t＜2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C 止.设点P运动了t秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.【答案】（1）见解析；（2）78t=；（3）t=4秒或1.6秒或5.5秒.【解析】【分析】（1）先根据一对对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明∠B＝90°，得出四边形ABCD是矩形；（2）先过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，判定△ABP∽△BMQ，得出AB BPBM MQ=，即64843tt t=-，求得t的值即可；（3）分为三种情况讨论：当CQ＝CP＝4cm时，当PQ＝CQ＝4cm时，当QP＝CP时，分别根据等腰三角形的性质，求得BP的长，进而得到t的值．【详解】证明：（1）∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，∴AB2＋BC2＝100，AC2＝100，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，过Q作QM⊥BC于M点，AP与BQ交于点N，则CQ＝5t，QM＝3t，CM＝4t，MB＝8－4t，∵∠NAB＋∠ABN＝90°，∠ABN＋∠NBP＝90°，∴∠NAB＝∠NBP，且∠ABP＝∠BMQ＝90°，∴△ABP∽△BMQ，∴AB BP BM MQ=，即64 843tt t=-，解得t＝78；（3）分为三种情况：①如图1，当CQ＝CP＝4cm时，BP＝8－4＝4cm，即t＝4秒；②如图2，当PQ＝CQ＝4cm时，过Q作QM⊥BC于M，则AB∥QM，∴CE CM AC BC＝，∴4108CM＝，∴CM＝3.2（cm），∵PQ＝CQ，QM⊥CP，∴PC＝2CM＝6.4cm，∴BP＝8cm－6.4cm＝1.6cm，∴t＝1.6s；③如图3，当QP＝CP时，过P作PN⊥AC于N，则CN＝12CQ＝2，∠CNP＝∠B＝90°，∵∠PCN＝∠BCA，∴△PCN∽△ACB，∴CN CP CB AC＝，∴2810CP ＝，∴CP＝2.5cm，∴BP＝8cm－2.5cm＝5.5cm，t＝5.5s，即从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形，即t＝4秒或1.6秒或5.5秒.【点睛】本题以动点问题为背景，主要考查了四边形的综合应用，解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，解题时注意分类思想的运用．4．（2019·浙江杭州·翠苑中学中考模拟）如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，cosA ＝45，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF ⊥DE 交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE ⊥AC 时，求EF 的长； （2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，∠DFE 的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE 的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当△CQF 是等腰三角形时，请直接写出BF 的长．【答案】（1）5；（2）不变；（3）4111或3或527117. 【解析】 试题分析：（1）由已知条件易求DE =3，DF =4，再由勾股定理EF =5；（2）过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G ，由（1）可得DH =3，DG =4；再证EDH FDG ∽，即可得出结论；（3）分三种情况讨论即可.（1）∵90ACB ∠=︒，45cosA =∴45AC AB = ∵8AC =∴10AB =∵D 是AB 边的中点 ∴152AD AB == ∵DE AC ⊥∴90DEA DEC ∠=∠=︒ ∴45AE cosA AD == ∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED 中，222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ⊥∴90FDE ∠=︒又∵90ACB ∠=︒∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF 中，222DF DE EF +=∴5EF =（2）不变过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ⊥，DG BC ⊥∴90DHC DGC ∠=∠=︒又∵90ACB ∠=︒，∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG ∠=︒∵90FDE ∠=︒∴HDG HDF EDF HDF ∠-∠=∠-∠ 即EDH FDG ∠=∠又∵90DHE DGF ∠=∠=︒∴EDH FDG ∽ ∴34DE DH DF DG == ∵90FDE ∠=︒∴34DE tan DFE DF ∠== （3）1° 当QF QC =时，易证90DFE QFC ∠+∠=︒，即90DFC ∠=︒ 又∵90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点 ∴152CD BD AB === ∴132BF CF BC === 2° 当FQ FC =时，易证FQC DEQ DCB ∽∽∵在Rt EDF 中，34DE tan DFE DF ∠== ∴设=3DE k ，则4DF k =，5EF k =当FQ FC =时，易证3DE DQ k ==，∴53CQ k =-∵DEQ DCB ∽∴56DE DC EQ BC == ∴185EQ k =∴75FQ FC k == ∵FQC DCB ∽ ∴56FQ DC CQ BC == ∴755536k k =- 解得125117k = ∴71251755117117FC =⨯= ∴1755276117117BF =-= 3° 在BC 边上截取BK =BD =5，由勾股定理得出DK =当CF CQ =时，易证CFQ EDQ BDK ∽∽∴设=3DE k ，则3EQ k =，5EF k = ∴2FQ k =∵EDQ BDK ∽∴DEBDDQ DK ==∴DQ =∴5CQ FC ==∵CQF BDK ∽∴CQBDFQ DK ==∴552k =解得k =∴2511FC = ∴254161111BF =-=。

相似三角形综合测试卷

相似三角形综合测试卷

相似三角形综合测试卷一、选择题(10题共30分)1．用放大镜将图形放大，应该属于（ ） A 、相似变换 B 、平移变换 C 、对称变换D 、旋转变换2 一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm ，30cm ，36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm ，45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（ ） A 、0种 B 、1种 C 、2种 D 、3种3、如图1，P 是Ｒt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4、已知△ABC 与△DEF 的相似比为1︰2 ，△ABC 的周长为30cm ，△ DEF 的三边之比为 4︰5︰6，则△DEF 的最长边为（ ） A 44cm B 40cm C 36cm D 24cm5、在平面直角坐标系中，已知点E （-4，2），F （-2，-2），以原点O 为位似中心，相似比为21，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是（ ） A ．（-2，1）B ．（-8，4）C ．（-8，4）或（8，-4） D ．（-2，1）或（2，-1） 6、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB=30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于E ，则sin ∠E 的值为（ ） A ．21 B ．23 C ．22 D ．33 7、如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB=（ ） A 、23B ．32 C ．26 D ．36 8、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 9、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC ＝3.6米，墙上影子高CD ＝1.8米，则树高AB （ ）A.2 .8B.3 .8C.4 .8D.5.810．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，一定能确定△ABC 为直角三角形的条件的个数是（ ）①∠1=∠A ；②；③∠B+∠2=90°；④BC ：AC ：AB=3：4：5；⑤AC•BD=AD•CD ．A.2B.3C.4D.5二、填空题（6题共18分） 11、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC =_____°，BC =_____；（2）△ABC 与△DEF 是否相似？__________（填相似或不相似）12、如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB =4． （1）AD 的长为_______；（2）矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为_________。

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专题：相似三角形综合题型
1.如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB=2AD ，
∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）.
【答案】
4
3
3- 2.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC
(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.
3.（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点
P ．求证：
QC
PE
BQ DP =． （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接
AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长； ②如图3，求证MN 2
=DM·EN ．
【答案】（1）证明：在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ， ∴△ADP ∽△ABQ ， ∴DP/BQ ＝AP/AQ ．
同理在△ACQ 中，EP/CQ ＝AP/AQ ． ∴DP/BQ ＝EP/CQ ． （2）
9
2． （3）证明：∵∠B ＋∠C =90°，∠CEF ＋∠C =90°． ∴∠B =∠CEF ，
又∵∠BGD =∠EFC ， ∴△BGD ∽△EFC ． ∴DG/CF ＝BG/EF ， ∴DG·EF ＝CF·BG
又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2
＝CF·BG
由（1）得DM/BG ＝MN/GF ＝EN/CF ∴（MN/GF ）2＝(DM/BG )·(EN/CF ) ∴MN 2
＝DM·EN 4.如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．
（1）四边形OABC 的形状是 ，当90α=°时，
BP
BQ
的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求
BP
BQ
的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．
（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使
1
2
BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）矩形（长方形）；
4
7
BP BQ =． （2）① POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，
COP A OB ''∴△∽△． CP OC A B OA ∴='''， 即668CP =， 9
2
CP ∴=，72
BP BC CP =-=
． 同理B CQ B C O '''△∽△ CQ B C C Q B C '∴
='''
， 即106
68CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=． 722
BP BQ ∴
=． ②在OCP △和B A P ''△中，
）
（图3）
（图2）
x
90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪
'∠=∠=⎨⎪''=⎩
，°，
， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△ OP B P '∴=． 设B P x '=， 在Rt OCP △中， 222(8)6x x -+=，解得
254x =
． 12575
6244
OPB S '∴=⨯⨯=△．
（3）存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =
． 点P
的坐标是19P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，2764P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，．
对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，
12POQ S PQ OC =
△，1
2
POQ S OP QH = △， PQ OP ∴=． 设BP x =，
1
2
BP BQ =
， 2BQ x ∴=， ① 如图1，当点P 在点B 左侧时，
3OP PQ BQ BP x ==+=， 在Rt PCO △中，222(8)6(3)x x ++=，
解得11x =，21x =-9PC BC BP ∴=+=+ 19P ⎛⎫
∴-
⎪⎝⎭
．
②如图2，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-． 在Rt PCO △中，222(8)6x x -+=，解得254x =
．PC BC BP ∴=-257
844
=-
=， 2764P ⎛⎫
∴- ⎪⎝⎭
，．
综上可知，存在点19P ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使12BP BQ =．
5.正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和M （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．
解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°， 90CMN AMB ∴∠+∠=°， 在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠， Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，
（2）Rt Rt ABM MCN △∽△，
44AB BM x
MC CN x CN ∴=∴=-，， 244
x x CN -+∴=， ()22
2141144282102422ABCN
x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭
梯形·， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10．
（3）90B AMN ∠=∠= °， ∴要使ABM AMN △∽△，必须有
AM AB
MN BM
=， 由（1）知
AM AB
MN MC
=， BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =。

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