辽宁省2009年高考数学命题说明

合集下载

2009年高考数学(辽宁)文

x
则该几何体的体积为
m3 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ．已知 S1，S3，S2 成等差数列．
第 3 页共 5 页
（1）求 {an } 的公比 q ；（2）若 a1 a3 3 ，求 Sn ．
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（供文科考生使用）
本试卷分第Ⅰ 卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）两部分．第Ⅰ 卷 1 至 3 页，第Ⅱ 卷4 至 6 页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据 x1，x2，，xn 的标准差锥体体积公式：
S
1 [( x1 x)2 ( x2 x)2 n
A． 3 B． 2 3 C． 4
D．12 ）
5．如果把地球看成一个球体，则地球上北纬 60 ° 纬线长和赤道线长的比值为（
第 1 页共 5 页
A．0.8
B．0.75
C．0.5
x
D．0.25
6．已知函数 f ( x ) 满足：当 x ≥ 4 时， f ( x)
1 ；当 x 4 时， f ( x) f ( x 1) ．则 2
A．取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为（ A．） D． 1
π 4
B． 1
π 4
C．
π 8
π 8
开始输入 N，a1，a2，，aN
10．某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1 ， a2 ，„， aN ，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用右边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V．那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（） A 0 ， V S T A． B． A 0，V S T V S T C． A 0， V S T D． A 0， 11．下列 4 个命题

2009年高考试题分析(二)---立体几何

表面积与体积
第4题5分
第4题5分
第17题13分
第11题5分第18题6分
第11题5分
垂直关系
第9题5分第18题6分
第5题5分
第6题5分第17题13分
第5题5分第18题7分
第18题6分
第19题4分
福建17 江苏12 天津19 浙江17 安徽10 福建7 江苏16 浙江20 福建17 天津19
平行关系
�
2009年高考试题分析(二)
2. 突出重点——求精: 近几年的高考题比较注重求问形式的多元化,但问题最终的落脚点无外乎是证明平行或垂直,求解角度或距离;而解决的方法也是主要集中在一两个常见的形式上.比如求证空间中某直线和某平面的平行关系,要么采用线面平行的判定定理——在该平面中找到一条和该直线平行的直线(利用中位线或平行四边形),要么采用面面平行的性质定理——构造过该直线与该平面平行的平面.再比如利用"三垂线"求作二面角的平面角,一般只要在其中一个半平面内找到一点P,过它的一个平面和另一半平面相交得到交线,再过点P作此交线的垂线,垂足即为点P射影,之后过此射影作二面角的棱的垂线并连结垂足和点P,平面角即会出现;这种方式还会用在求解线面角,点面距等问题当中,应当认真体会.
(二)考点分析分析考点一:三视图----山东第4题例题:(2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.
).
2π + 2 3 B. 4π + 2 3 C. 2π + 3
2 3
D. 4π +
2 3 3
2 2
【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为,高为,所以体积为所以该几何体的体积为. 答案:C

2009年高考试题——数学(辽宁卷)(文)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文史类）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=﹛x|-3＜x ≤5﹜,N=﹛x|x ＜-5或x ＞5﹜，则M N=(A) ﹛x|x ＜-5或x ＞-3﹜ (B) ﹛x|-5＜x ＜5﹜ (C) ﹛x|-3＜x ＜5﹜ (D) ﹛x|x ＜-3或x ＞5﹜ （2）已知复数12z i =-，那么1z= （A ）52555i + （B ）52555i - （C ）1255i + （D ）1255i -(3)已知{}n a 为等差数列，且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d=（A ）-2 （B ）-12 （C ）12（D ）2 （4）平面向量a 与b 的夹角为060，a=(2,0), | b |=1，则 | a+2b |=（A ）3 （B ）23 （C ）4 （D ）12（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25(6) 已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x =1()2x；当x ＜4时()f x =(1)f x +，则2(2l o g 3)f +=（A ）124 （B ）112 （C ）18 （D ）38(7) 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（8）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（A ）43-（B ）54（C ）34-（D ）45（9）ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（A ）4π（B ）14π-（C ）8π（D ）18π-10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。

2009辽宁考试说明数学(理科)

辽宁省2009年高考数学（理科）命题说明（征求意见稿）Ⅰ.命题指导思想1.命题依据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》和《2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》（数学），结合我省普通高中数学教学实际，体现数学学科的性质和特点．2. 确立以能力立意命题的指导思想，注重对数学基础知识、基本技能、数学思想和方法的考查，注重对考生解决问题能力和数学素养的考查．3.遵循既有利于普通高校选拨优秀新生，又有利于促进中学数学教学、有利于中学实施素质教育的原则．4.命题应在平稳过渡的基础上，体现新课程理念和目标要求．5.试卷应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度．Ⅱ.考试目标一、知识目标各部分知识的整体要求及其定位参照《普通高中数学课程标准（实验）》相应模块的有关说明．对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次．1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道其内容是什么，并能在有关的问题中识别、模仿、描述．2.理解：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，清楚知识间的逻辑关系，能够用数学语言对它们作正确的描述、说明，能够利用所学的知识内容对有关的问题进行比较、判别、讨论，具备解决简单问题的能力,并能初步应用数学知识解决一些现实问题.3.掌握：要求能够对所列知识进行准确的刻画或解释、推导或证明、分类或归纳；系统地掌握知识间的内在联系，能够利用所学知识分析和解决较为复杂的数学问题,以及一些现实问题.二、能力目标能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力，以及实践能力和创新意识．1.运算求解能力：能够根据法则和公式进行正确运算、变形；能够根据问题的条件，寻找并设计合理、简捷的运算方法；能够根据要求对数据进行估计和近似计算．2.数据处理能力：能够收集、整理、数据，并能抽取对研究问题有用的信息，作出正确的判断；能够根据所学知识对数据进行进一步的整理和分析，解决所给问题．3.空间想象能力：能够根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能够准确地理解和解释图形中的基本元素及其相互关系；能够对图形进行分解、组合；能够运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和规律.4.抽象概括能力：能从具体、生动的实例中，发现研究对象的本质；能从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断．5.推理论证能力：能够根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性．6.实践能力：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表述、说明．7.创新意识：能够独立思考，灵活和综合地运用所学数学的知识、思想和方法，创造性地提出问题、分析问题和解决问题．Ⅲ.考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试不允许使用计算器．二、试卷结构试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为12道选择题，全部为必考内容（分值为60分）；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考与选考两部分．必考部分由4道填空题（分值为16分）和5道解答题（分值为62分）组成．选考部分实行超量命题，限量做题．由选修系列4的《几何证明选讲》、《矩阵与变换》、《坐标系与参数方程》、《不等式选讲》、《优选法与试验设计初步》各命制1道解答题（分值为12分），考生从5道题中任选一题作答，若多选则按题号最前的一题给分．1．试题类型试题分为选择题、填空题和解答题三种题型．选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程．2．难度控制试卷由容易题、中等难度题和难题组成．难度在0.7以上的试题为容易题，难度在0.4---0.7的试题为中等难度题，难度在0.4以下的试题为难题．三种试题应控制合适的分值比例，全卷难度控制适中．Ⅳ.考试内容和要求一、考试范围理科的考试范围是:《普通高中数学课程标准（实验）》中的必修课程内容、选修系列2和选修系列4的部分内容,即数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）．数学2：立体几何初步、平面解析几何初步．数学3：算法初步、统计、概率．数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换．数学5：解三角形、数列、不等式．选修2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何．选修2－2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入．选修2－3：计数原理、统计案例、概率．选修4—1：几何证明选讲．选修4—2：矩阵与变换．选修4—4：坐标系与参数方程．选修4—5：不等式选讲．选修4—7：优选法与试验设计初步．二、具体考试内容及其要求（一）必考部分1. 集合（1）集合的含义与表示①了解集合的含义和元素与集合的“属于”关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算．2. 函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数．③了解简单的分段函数，并能简单应用．④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质．（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景．②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．④理解指数函数是一类重要的函数模型．（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点．③理解对数函数是一类重要的函数模型．④了解指数函数x a y=与对数函数x y a log =互为反函数)10(≠>a a 且．（4）幂函数 ①了解幂函数的概念．②结合函数 2132,1,,,x y x y x y x y x y =====的图象，了解它们的变化情况．（5）函数与方程①了解二次函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数．②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；理解直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．②了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用,并能举例描述．3. 立体几何初步（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．④会画出某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．（2）点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面的位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线所有的点都在此平面内．◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．判定定理:◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．性质定理，并能够证明:◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．4. 平面解析几何初步（1）直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定两条直线平行或垂直．④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．（2）圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据所给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系;能根据所给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．（3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式．5. 算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义及算法的思想．②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．（2）基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．6. 统计（1）随机抽样①理解随机抽样的必要性和重要性．②会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．（2）用样本估计总体①了解分布的意义和作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．②理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．③能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释．④会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想．⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．（3）变量的相关性①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．7. 概率（1）事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．②了解两个互斥事件的概率加法公式．（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．②了解几何概型的意义．8. 基本初等函数II （三角函数）（1）任意角的概念、弧度制①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．（2）三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间 []π2,0上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等），理解正切函数在区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式：x x xx x tan cos sin ,1cos sin 22==+．⑤了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A对函数图像变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．9. 平面向量（1）平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．（2）向量的线性运算①掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算性质及几何意义．（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．（4）平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．（5）向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．10. 三角恒等变换（1）和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②能从两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③能从两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．11. 解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．（2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．12. 数列（1）数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．②了解数列是自变量为正整数的一类函数．（2）等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念．②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．③能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．13. 不等式（1）不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．（2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．（4）基本不等式：)0,(2>+≤b a ba ab①了解基本不等式的证明过程．②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．14. 常用逻辑用语（1）命题及其关系①了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．（2）简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．（3）全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义．②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．15. 圆锥曲线与方程（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②掌握椭圆和抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． ④了解圆锥曲线的简单应用．⑤理解数形结合的思想．（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．16．空间向量与立体几何（1）空间向量及其运算①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量．②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．17．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景．②理解导数的几何意义．（2）导数的运算①能根据导数定义，求函数x y x y x y x y x y c y ======,1,,,,32的导数．②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如)(b ax f +）的导数．·常见基本初等函数的导数公式和常用的导数计算公式：0='C （C 为常数），1()();(sin )cos ;(cos )sin ;1();()ln (0,1);(ln );1(log )log (0,1)n n x x x x a a x nx n x x x x e e a a a a a x x x e a a x -+'''=∈N ==-'''==>≠='=>≠且且·法则1：[])()()()(x v x u x v x u '±'='±·法则2：[])()()()()()(x v x u x v x u x v x u '+'='·法则3：)0)(()()()()()()()(2≠'-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x v x v x v x u x v x u x v x u （3）导数在研究函数中的应用①了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）．②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间上最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）．（4）生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．（5）定积分与微积分基本定理①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．②了解微积分基本定理的含义．18. 推理与证明（1）合情推理与演绎推理①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．（2）直接证明与间接证明①了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．（3）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．19. 数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念①理解复数的基本概念．②理解复数相等的充要条件．③了解复数的代数表示法及其几何意义．（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算．②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．20. 计数原理（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．（2）排列与组合①理解排列、组合的概念．②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．③能解决简单的实际问题．（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．21．概率与统计（1）概率①理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．②理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．③了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．④理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．⑤利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．（2）统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．①独立检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用．②假设检验了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用．③聚类分析了解聚类分析的基本思想、方法及其简单应用．④回归分析了解回归的基本思想、方法及其简单应用．（二）选考部分1．几何证明选讲（1）掌握相似三角形的判定与性质，了解平行线截割定理.（2）会证以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线的判定定理及性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理.（注：本专题以下考查内容待定）（3）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.（4）了解下面定理：定理在空间中，取直线为轴，直线与相交于点，其夹角为围绕旋转得到以为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为（π与平行，记＝0），则：(i) ＞，平面π与圆锥的交线为椭圆；(ii) ＝，平面π与圆锥的交线为抛物线；(iii)＜，平面π与圆锥的交线为双曲线.。

mjt-2009年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)试题及点评

2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷22.---24.题为选考题，其它题为必答题．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅的标准差s =其中x 为样本的平均数柱体的体积公式 V sh = 其中S 为底面积，h 为高锥体的体积公式 13V sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式 24πS R = 34π3V R = 其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合M ={x|-3<x ≤5},N ={x |-5<x<5},则M ∩N =( ).A. {x |-5<x <5}B. {x |-3<x <5}C. {x |-5<x ≤5}D. {x |-3<x ≤5}2.已知复数12i z =-，那么1z=( ).+ C.12i 55+ D.12i 55- 3.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)=a ，1=b 则2+=a b ( ).B. 4.已知圆C 与直线x －y =0 及x －y -4=0都相切，圆心在直线x+y =0上，则圆C 的方程为( ).A.22(1)(1)2x y ++-=B.22(1)(1)2x y -++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D.22(1)(1)2x y +++=5.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( ).A.70种B. 80种C. 100种D.140种 6.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69SS =( ). A. 2 B. 73C. 83D. 37.曲线y =2xx -在点（1，-1）处的切线方程为( ). A.2=-y x B.32=-+y x C.23=-y x D.22=-+y x 8.已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，π223⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ，则(0)f =( ).A.23-B. 12-C. 23D. 129.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜13⎛⎫⎪⎝⎭f 的x 取值范围是( ). A. 13⎛⎝，23⎫⎪⎭ B. 13⎡⎢⎣，23⎫⎪⎭ C. 12⎛ ⎝，23⎫⎪⎭ D. 12⎡⎢⎣，23⎫⎪⎭10.某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，．．．N a ，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( ).A. A>0,V=S-TB. A<0,V=S-TC. A>0, V=S+TD.A<0, V=S+T11.正六棱锥P-ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为( ). A.1：1 B. 1：2 C. 2：1 D. 3：212.若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x-1)=5, 则1x +2x =( ). A.52 B.3 C. 72D.4第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13.---21.题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22.---24.题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h ，1020h ，1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h ． 14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a =15.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）．则该几何体的体积为 3m16.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或解题步骤 17.（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC=0．1km ．试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0．01km 2≈1．4146≈2．449）18.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．（I ）若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正值弦；（II ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线． 19.（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为13．该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．（Ⅰ）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；223221（Ⅱ）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P （A ）．（20）（本小题满分12分）已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（-1，0），（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值． 21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=21x 2-ax+(a-1)ln x ，1a >．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212()()1f x f x x x ->--．请考生在第22.、23.、24.三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲已知 ∆ABC 中，AB=AC, D 是 ∆ABC 外接圆劣弧»AC 上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E ．（Ⅰ）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；（Ⅱ）若∠BAC=30，∆ABC 中BC 边上的高为23+∆ABC外接圆的面积．23.（本小题满分10分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （3πθ-）=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．（Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；（Ⅱ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|1|||f x x x a =-+-．（Ⅰ）若1,a =-解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）如果x R ∀∈,()2f x ≥,求a 的取值范围．2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）试题答案及解读一、选择题：(1)B 【解读与点评】M N ⋂={|35}x x -<<．【命题立意】考查集合的交集运算,并用数轴观察法得到相对应答案. (2)D 【解读与点评】111212,125iz i iz -=+==+．易错点：受分数线干扰，考生没有看到共轭符号“—”，直接将12z i =-代入而得错误答案C ．课本原型：选修2-2 第96页练习B 2题【命题立意】考察复数的基本运算及共轭复数的概念。

2009年全国高考辽宁省试题答案(文数)

4 3 2 3 ，B ，a ，b ， 3 3 2 6
当 cos A 0 时，得 sin B 2sin A ，由正弦定理得 b 2a ，联立方程组
a 2 b 2 ab 4， b 2a，
解得 a
2 3 4 3 ，b ． 3 3
所以 △ABC 的面积 S

21．（本小题满分 12 分）在数列 | an | ， | bn | 中，a1=2，b1=4，且 an，bn，an1 成等差数列， bn，an1，bn1 成等比数列（ n N ）
*
（Ⅰ）求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测 | an | ， | bn | 的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：

( 0)，f 3
且 f ， f ( x) 在区间，有最小值， 6 3 6 3
无最大值，则＝__________．三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）在 △ABC 中，内角 A B，C 对边的边长分别是 a，b，c ，已知 c 2 ， C ，（Ⅰ）若 △ABC 的面积等于 3 ，求 a，b ；（Ⅱ）若 sin C sin( B A) 2sin 2 A ，求 △ABC 的面积．
x3 的 x4
C． 8
D． 8
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．函数 y
x 1，x 0， e ，
x
x≥0
的反函数是__________．
14．在体积为 4 3 的球的表面上有 A，B，C 三点，AB=1，BC= 2 ，A，C 两点的球面距

2009年高考辽宁卷解析几何综合题的解题研究

2009年高考辽宁卷解析几何综合题的解题研究徐明（江苏省东海县教师进修学校）解题教学是数学教学的重要组成部分,正如波利亚所说:“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.”因为通过解题教学,不仅可以强化学生对数学基础知识的理解和基本技能的掌握,还可以发展学生的思维能力,提高学生的数学素质.但数学教师如何才能让解题教学不落入“题海”之中?关键是教师要对选择的每一个数学问题作全面的解题研究,使每一道例题都能真正体现它的思维训练价值,使学生能举一反三、触类旁通.本文针对2009年高考数学辽宁卷中的解析几何综合题,谈点自己的解题体会,与同仁探讨.一、题案2009年高考数学辽宁卷文科第22题（理科第20题)的题目及原解答如下。

已知椭圆C 经过点A (1,32),两个焦点为(-1,0),(1,0).(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值.并求出这个定值.解：(1)由题意c =1,可设椭圆方程为x 21+b 2+y 2b 2=1。

因为点A 在椭圆上,所以11+b 2+94b 2=1, 解得b 2=3,b 2=-34(舍去).所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设AE 的方程为y =k (x -1)+32,代入x 24+y23=1，得(3+4k 2)x 2+4k (3-2k )x +4(32-k 2)-12=0,设E (x E ,y E ), F (x F ,y F )。

因为点A (1,32)在椭圆上,所以x E =4(32-k )2-123+4k 2,y E =kx E +32-k 。

又因为直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数,在上式以-k 代k ,可得x F =4(32+k )2-123+4k 2,y F = -kx F +32+k , 所以直线EF 的斜率k EF =y F -y E x F -x E =-k (x E +x F )+2k x F -x E =12,即直线EF 的斜率为定值12.二、解题研究 1. 本质寻根在解题教学中,教师要善于引导学生分析问题,破译问题的条件和结论的内涵与外延,寻求条件与结论的关联与差异，进而认清问题的本质,建构合理的解题思路.首先,我们分析问题的结论.“证明直线 EF 的斜率为定值.并求出这个定值”其推理论证过程应该是一个运算过程,即运用解析法求得直线EF 的斜率,说明其斜率是一个常数.其次,我们分析问题的条件.“ E 、F 是椭圆C 上的两个动点”这是直线EF 的动因,但动中有静,“直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数”是这一动态中的平衡(定性).最后,我们寻求条件与结论的关联.由动到静,直线EF 的斜率必与定点A 的坐标有关,而直线EF 的斜率计算过程必然以直线AE 的斜率为介质,联结两个定量(椭圆与定点A ).因此我们可以猜测,本题案的本质属性是:A 是椭圆上的一个定点,对于椭圆上的任意两个动点E 、F ,若直线AE 与AF 的斜率互为相反数,则直线EF 的斜率为定值.命题1:已知P (x 0,y 0)(y 0≠0)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1上的定点,过P 作斜率互为相反数的两条直线,分别交椭圆于A 、B 两点,则直线AB 的斜率为定值b 2x 0a 2y 0.证明:不妨设PA 的斜率为k ,则PB 的斜率为－k (k≠0),因此直线PA 的方程为y -y 0=k (x －x 0), 直线PB 的方程为y -y 0=-k (x －x 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －x 0)+y 0x 2a 2+y 2b 2=1 ,得(b 2+a 2k 2)x 2+2k (y 0-kx 0)a 2x +a 2(y 0-kx 0)2-a 2b 2=0. (*) 设A (x A ,y A )，B (x B ,y B )。

2009年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷

2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文史类）一、选择题：本大题12小题·每小题5分·在每小题给出的四个选项中·只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=﹛x|-3＜x ≤5﹜,N=﹛x|x ＜-5或x ＞5﹜·则M N=(A) ﹛x|x ＜-5或x ＞-3﹜ (B) ﹛x|-5＜x ＜5﹜ (C) ﹛x|-3＜x ＜5﹜ (D) ﹛x|x ＜-3或x ＞5﹜ （2）已知复数12z i =-·那么1z=（A ）55+ （B ）55- （C ）1255i + （D ）1255i -(3)已知{}n a 为等差数列·且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d=（A ）-2 （B ）-12 （C ）12（D ）2 （4）平面向量a 与b 的夹角为060·a=(2,0), | b |=1·则 | a+2b |=（A （B ）（C ）4 （D ）12（5）如果把地球看成一个球体·则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25（6）已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x =1()2x；当x ＜4时()f x =(1)f x +·则2(2log 3)f +=（A ）124 （B ）112 （C ）18 （D ）38(7) 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切·圆心在直线x+y=0上·则圆C 的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（8）已知tan 2θ=·则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（A ）43-（B ）54（C ）34-（D ）45（9）ABCD 为长方形·AB=2·BC=1·O 为AB 的中点·在长方形ABCD 内随机取一点·取到的点到O 的距离大于1的概率为（A ）4π（B ）14π-（C ）8π（D ）18π-（10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ·2a ·。

09年高考数学卷（辽宁.理）含详解.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）一- 选择题（每小题5分，共60分）分）（1）已知集合M={x|－3<x ≤5},N={x|－5<x<5},则M ∩N= (A) {x|－5＜x ＜5} (B) {x|－3＜x ＜5} (C) {x|－5＜x ≤5} (D) {x|－3＜x ≤5} 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B （2）已知复数12z i =-，那么1z= （A ）52555i + （B ）52555i - （C ）1255i + （D ）1255i - 【解析】211121212(12)(12)12i i i i i z --===++-+＝1255i -【答案】D （3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A ）3 (B) 23 (C) 4 (D)12 【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12 ∴2a b +=23【答案】B (4) 已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++=(C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B （5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有有，则不同的组队方案共有（A ）70种（B ） 80种（C ） 100种（D ）140种【解析】直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计70种间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符合条件的有84－10－4＝70种. 【答案】A （6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若，若63S S =3 ，则，则 69S S=（A ） 2 （B ）73 （C ） 83 （D ）3 【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 Þ q 3＝2 于是63693112471123S q q S q ++++===++【答案】B (7)曲线y= 2x x -在点（1，－1）处的切线方程为）处的切线方程为（A ）y=x －2 (B) y=－3x+2 (C)y=2x －3 (D)y=－2x+1 【解析】y ’＝2222(2)(2)x xx x ---=--,当x ＝1时切线斜率为k ＝－2 【答案】D (8)已知函数()f x =Acos(x w j +)的图象如图所示，2()23f p=-，则(0)f = （A ）23-(B) 23 (C)－ 12 (D) 12【解析】由图象可得最小正周期为2π3于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称对称所以f(2π3)＝－f(π2)＝23【答案】B （9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+¥单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是取值范围是（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23）【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x －1|)＜f(13),再根据f(x)的单调性的单调性得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜23【答案】A 10）某店一个月的收入和支出总共记录了）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(辽宁.理)含详解

结束
(10)C 解析： ak 表示收入或支出数据，若 ak 0 ，则这些正数据的和为月总收入 S，故在图中空白的判断框填 A 0 ，否则为月总开支 T，故月净盈利 V=S+T，处理框中填 V=S ＋T． (11)正六棱锥 P-ABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积
2 x 2 3 2 5 ，∵ f(x)= 2x+2 增函数
x 3 2
y x 1
2
1
A C B
1 x1 2
x2
3
y log 2 ( x 1)
O
x
x
y 5 x 2
∴ x1 (1 ,
3 ) 2
x=2， 2x+2log2(x－1)=4，x=2.5. 2x+2log2(x－1)=5+log21.5>5 ，∵ g(x)= 2x+2log2(x－1) 为增
y=2x-1 与 y=log2(x－1)的图像关于 y=x－1 对称，它们与 y
5 x 的交点 A、B 的中点为 2
y
3
y 2 x 1
5 y x 与 y=x－1 的交点 C， 2 x x 7 7 xC 1 2 ， x1 +x2 = ． 2 4 2 3 解析二：x=1， 2x+2x=4，x= ， 2
2 2
(B) ( x 1) ( y 1) 2
2 2
(C) ( x 1) ( y 1) 2
2 2
(D) x 1 ( y 1) 2
2 2
(4) B 解析：(法一)设圆心为(a，－a)，半径为 r，则
| a a | | a a 4| r , a 1, r 2 ． 2 2

辽宁省高考数学命题说明

辽宁省2009年高考数学命题说明修改意理科选考部分实行超量命题，限量做题．由选修系列4的《几何证明选讲》、《矩阵与变换》、《坐标系与参数方程》、《不等式选讲》各命制1道填空题，考生从4道题中任选二题作答。

选考部分考试内容：1．几何证明选讲（1）掌握相似三角形的判定与性质，了解平行线截割定理.（2）会证以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线的判定定理及性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理.（3）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.（4）了解下面定理：定理在空间中，取直线为轴，直线与相交于点，其夹角为围绕旋转得到以为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为（π与平行，记＝0），则：(i) ＞，平面π与圆锥的交线为椭圆；(ii) ＝，平面π与圆锥的交线为抛物线；(iii)＜，平面π与圆锥的交线为双曲线.2.矩阵与变换（1）引入二阶矩阵了解二阶矩阵的意义.（2）二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换①以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义.②证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ.③通过大量具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形)的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影.（3）变换的复合——二阶方阵的乘法①通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义.②通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律.③验证二阶方阵乘法满足结合律.④通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律.（4）逆矩阵与二阶行列式①通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在.②会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义.③了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵.（5）二阶矩阵与二元一次方程组①能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义.②会用系数矩阵的逆矩阵解方程组.③会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性.3.坐标系与参数方程（1）坐标系①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.（2）参数方程①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.4．不等式选讲（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a －b|≤|a－c|＋|c －b|；③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋b|≤c；|ax ＋b|≥c；|x －c|＋|x －b|≥a.（2）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.（广理）作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为，圆心到直线l 的距离为．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别图5与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为．（广文）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(辽宁卷)

第1页，总2页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（辽宁卷）考试时间：**分钟满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号一二总分核分人得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷客观题第Ⅰ卷的注释评卷人得分一、单选题（共1题)1. 某店一个月的收入和支出总共记录了个数据，，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用右边的程序框图计算月总收入和月净盈利，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷主观题答案第2页，总2页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、解答题（共1题)满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数。

（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅰ）如果，，求的取值范围。

参数答案1.【答案】：mx_answer_4959233.png 【解释】：mx_parse_4959233.png 【答案】：mx_answer_176253.png 【解释】：mx_parse_176253.png。

2009年辽宁高考数学理科卷带详解

2009 年全国统一考试（辽宁卷）理科数学一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） .1.已知集合 M x3x , 5 , N x5x 5 则M N( ),A.x 5 x5B.x3x5C. x 5 x , 5D. x 3 x , 5【测量目标】集合的基本运算 .【考查方式】给出两个集合运用集合间的交集运算求解交集表示的范围.【难易程度】容易【参考答案】 B【试题解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解 .2.已知复数z 12i，那么1=() zA. 5 2 5 iB. 5 2 5 iC. 1 2i D.1 2i55555555【测量目标】复数的基本运算、共轭复数.【考查方式】给出复数的共轭复数的分数形式求其值.【难易程度】容易【参考答案】 D【试题解析】111(11 2i2i)12i12i .z2i2i)(1122553.平面向量a与b的夹角为60， a(2,0)， b 1 则a2b()A.3B. 2 3C. 4D. 12【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出平面向量之间的夹角及一个向量的坐标表示求模.【难易程度】容易【参考答案】 Ba2, a 2a24a b4b244 2 1 cos60412 ,【试题解析】由已知2b∴a 2b 2 3.4. 已知圆 C 与直线x y0 及 x y 40都相切，圆心在直线x y 0 上，则圆 C 的方程为() A. ( x 1)2( y 1)22 B. ( x1)2( y 1)22C. (x 1)2( y 1)22D. ( x1)2( y1)22【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的方程.【考查方式】已知圆与一条已知直线之间的位置关系和圆心所在的直线方程求圆的一般方程【难易程度】容易【参考答案】B.【试题解析】圆心在x y 0 上,排除C、D,再结合图象,或者验证 A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可 .5.从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( ) A.70 种 B. 80 种 C. 100 种 D.140 种【测量目标】排列组合 .【考查方式】给出实际问题运用排列组合的性质运算求解答案.【难易程度】容易【参考答案】 A【试题解析】直接法：一男两女,有C15C42＝ 5×6＝ 30 种 ,两男一女 ,有C52C14＝ 10×4＝40种 ,共计70 种.间接法：任意选取C93＝84种,其中都是男医生有 C53＝10种 ,都是女医生有C14＝ 4 种,于是符合条件的有 84－ 10－ 4＝ 70 种 .6.设等比数列a n的前 n 项和为 S n，若S63,则S9=() S3S6A. 278D.3 B. C.33【测量目标】等比数列的前n 项和，等比数列的性质.【考查方式】给出等比数列的前n 项和的比的形式求解其值.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】设公比为q,则 S6(1 q3 )S31q33q3 2 .S3S3S9 1 q3q6 1 2 4 7于是1 q312.S367.曲线yx(1,1) 处的切线方程为()在点x 2A. y x2B. y3x2C.y2x3D. y2x 1【测量目标】函数的导数，切线方程.【考查方式】给出一个曲线的解析式求其在某个定点的切线方程.【难易程度】中等【参考答案】 Dx 2 x22 ,当 x1时切线斜率为 k2 .【试题解析】 y2)2( x 2)( x8.已知函数 f ( x) A cos(xπ 2 ( )) 的图象如图所示， f ( )，则 f 0)( =23第 8 题图2 2 1 1A.B.C.D.w.w.w.k3322【测量目标】函数 yAsin( x) 的图像与性质 .【考查方式】给出函数 yA sin( x) 的图像，运用其性质求解未知数 .【难易程度】中等【参考答案】 B【试题解析】由图象可得最小正周期为2π f (2π 2π π 7π 于是 f (0) ) ,注意到与关于对称333212所以2ππ 2f ()f ( ).3231 9.已知偶函数 f ( x) 在区间0, ) 单调增加，则满足 f (2 x 1) f () 的 x 取值范围是3（）1 2B.1 21 2 D.1 2w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA. ( ,),3 C. ( ,)2 ,3 33 2 33【测量目标】利用函数的单调性求参数范围.【考查方式】已知函数在某个区间的单调性求未知参数的取值范围.【难易程度】中等【参考答案】 A【试题解析】由于f ( x) 是偶函数 ,故 f ( x) f ( x ) ∴得 f ( 2x 1) f (1 ) ,再根据 f ( x) 的单11 2 3调性得 2x解得13x.3310.某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据 a 1 ， a 2 ， ...a N ，其中收入记为正数，支出记为负数 .该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )第10 题图A. A0,V S TB. A0,V S TC. A0,V S T w.w.w.k.s.5.u.c.o.mD. A0,V S T【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】已知某个循环结构的程序框图，给出输出结果逆推出原程序框图中的残缺部分.【难易程度】容易【参考答案】 C【试题解析】月总收入为S,因此A0 时归入S,判断框内填 A0 支出T为负数,因此月盈利V S T .11.正六棱锥 P－ABCDEF 中， G 为 PB 的中点，则三棱锥 D－GAC 与三棱锥P－GAC体积之比为 ()A. 1:1B. 1: 2C. 2 :1D. 3: 2【测量目标】锥的体积 .【考查方式】求解已知几何体中部分几何体的体积之比.【难易程度】中等【参考答案】 C【试题解析】由于G 是 PB 的中点 ,故 P－GAC 的体积等于 B－GAC 的体积 .在底面正六边形ABCDEF 中BH AB tan 303AB 而BD3AB 故DH＝2BH3于是22VD GACVB GACVP GAC第 11 题图12.若x1满足2x2x 5 ,x2满足 2x2log 2 ( x 1) 5 , x1 x2()5B.37D.4A. C.22【测量目标】对数函数、指数函数的性质.【考查方式】给出满足对数函数、指数函数的未知数，运用对数函数、指数函数的性质求解未知数之和 .【难易程度】中等【参考答案】 C【试题解析】由题意2x2x5①2x2log 2 ( x1)5②（步骤 1）所以 2x52x , x log(52x) 即 2x2log2(52x ) （步骤2）11211令 2x172t ,代入上式得 72t2log 2 (2t 2)22log 2 (t1)52t2log 2 (t1) 与②式比较得 t x2于是 2 x17 2x2（步骤3）x17x2,故选 C.（步骤 4）213.某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1： 2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取100 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h， 1032h，则抽取的100 件产品的使用寿命的平均值为_________h.【测量目标】分层抽样 .【考查方式】给出实际问题运用分层抽样的方法求解答案.【难易程度】容易【参考答案】 1013【试题解析】x 98011020210321.4101314.等差数列a n的前 n 项和为 S n，且 6S55S35, 则 a4.【测量目标】数列的通项公式a n与前 n 项和 S n的关系.【考查方式】已知数列的通项与其前n 项和之间的关系求解数列的未知项.【难易程度】中等【参考答案】131n(n【试题解析】∵ S n na11)d ∴S55a110d , S3 3a13d .2∴ 6S55S330a160d (15a115d ) 15a145d 15(a13d )15a4.∵ 6S5 5S3 5, 故a41 . 315.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）.则该几何体的体积为m 3. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第15 题图【测量目标】三视图，求几何体的体积【考查方式】给出几何体的三视图，求其体积.【难易程度】容易【参考答案】4【试题解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,体积等于 1 ×2×4×3＝4.616.已知F是双曲线x2y21 的左焦点， A(1,4), P 是双曲线右支上的动点，则PF PA 的412最小值为.【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的标准方程，运用其简单的几何性质求两条线段模的最值.【难易程度】中等【参考答案】 9【试题解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F (4,0) ,于是由双曲线性质PF PF2a 4 而 PA PF ⋯ AF5两式相加得 PF PA ⋯9,当且仅当A, P, F三点共线时等号成立.17.（本小题满分 12 分）如图， A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，，B D 为两岛上的两座灯塔的塔顶 .测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为75 ， 30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为60 ， AC 0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B， D 的距离（计算结果精确到0.01km，2 1.414，6 2.44）第 17 题图【测量目标】正弦定理的实际应用.【考查方式】运用正弦定理在实际问题中构建三角形求解实际问题 .【难易程度】中等【试题解析】在△ABC 中， DAC30 ,ADC 60 DAC 30 . （步骤1 ）所以CD AC 0.1 又 BCD180 60 6060 ，（步骤 2）故 CB 是 △ CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BDBA , （步骤 3 ）在 △ ABC 中，A BA C即s i n B C A s i n A B CAC sin 603 263 26AB20（步骤 4）因此， BD0.33km .故 B ，D 的距离sin1520约为 0.33km. （步骤 5）18.（本小题满分 12 分）如图，已知两个正方行ABCD 和 DCEF 不在同一平面内， M ，N 分别为 AB ， DF 的中点 .（ 1）若平面 ABCD ⊥平面 DCEF ，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（ 2）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第 18 题图【测量目标】面面垂直，异面直线之间的关系.【考查方式】给出立体几何体，由已知知识点求解面面垂直与异面直线之间的关系 .【难易程度】较难【试题解析】（ 1）解法一：取 CD 的中点 G ，连接 MG ， NG.设正方形 ABCD ， DCEF 的边长为 2，则 MG ⊥CD ， MG =2， NG2 （步骤 1）因为平面 ABCD ⊥平面 DCED ，所以 MG ⊥平面 DCEF ，可得∠ MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角 . （步骤 2）因为 MN 6 ，所以 sin MNG6为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值.（步骤 3）3解法二：设正方形 ABCD ，DCEF 的边长为2，以 D 为坐标原点，分别以射线DC ，DF ， DA 为 x, y, z轴正半轴建立空间直角坐标系如图. （步骤 1）则 M（ 1,0,2） ,N(0,1,0),可得MN( 1,1,2) （步骤2）MN DA6又 DA (0,2,2) 为平面DCEF的法向量，可得 cos(MN , DA )·MN DA3所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为cos MN , DA 6（步骤 3）3第18 题 (1)图(2)假设直线 ME 与 BN 共面，则 AB 平面 MBEN ，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF .又AB//CD ，所以 AB //平面 DCEF .而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB //EN.又 AB//CD//EF ，所以 EN//EF，这与 EN EF=E 矛盾，故假设不成立.所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线 .19.（本小题满分 12 分）某人向一目射击1.该目标分为 3 个不4 次，每次击中目标的概率为3同的部分，第一、二、三部分面积之比为1: 3: 6 .击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比 .（ 1）设 X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；（ 2）若目标被击中 2 次， A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”，求P( A)【测量目标】数学期望，分布列.【考查方式】运用数学期望的相关知识求解实际问题.【难易程度】中等【试题解析】（ 1）依题意 X 的分列为X 0 1 2 3 4P16 32 24 8 18181818181（ 2）设A 1 表示事件 “第一次击中目标时，击中第i 部分 ”， i1,2 .B 1 表示事件 “第二次击中目标时，击中第i 部分 ”,i1,2依题意知 P （ A 1） =P(B 1)=0.1 ， P （A 2） =P(B 2)=0.3，（步骤 1）A A 1B 1 A 1 B 1 A 1B 1A 2B 2 ,（步骤 2）所求的概率为 P( A)P( A B ) P( A B ) P （A B ） P( A B )1 11 11 122= P( A 1 B 1 )P( A 1) P( B 1) P （A 1 )P(B 1 ) P( A 2 ) P( B 2 )= 0.1 0.9 0.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3 0.28 . （步骤 3）20.（本小题满分 12 分）已知，椭圆C 过点 A (1,3) ，两个焦点为 ( 1,0),(1,0) .2（ 1）求椭圆 C 的方程； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（ 2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系 .【考查方式】已知椭圆的几个参数求解椭圆的标准方程，判断直线与椭圆的位置关系 .【难易程度】较难【试题解析】 (1)由题意，c=1,可设椭圆方程为191（，步骤 1）解得 b23 ，b231 b2 4b 24（舍去）所以椭圆方程为x2y241. （步骤 2）3(2) 设直线 AE 方程为： yk (x 1)3，代入x2y2241得3(3 4k 2 ) x24k (3 2k )x4(3k )2120 （步骤 3）2设 E(x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1,3) 在椭圆上，所以24( 3 k) 2123 x F2, y E kx E 4k 2k （步骤 4）又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率3 24(3k )2123 互为相反数，在上式中以k 代 k ，可得 x F2y Ekx E3 4k2k2（步骤 5）所以直线EF 的斜率 k EFy F y E k (x Fx E ) 2k 1x FxE x Fx E2即直线 EF 的斜率为定值，其值为1 （步骤 6）.221.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)1 x2 ax ( a1)ln x,a1 .2（ 1）讨论函数 f ( x) 的单调性； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（ 2）证明：若 a 5 ，则对任意 x 1 ， x 2(0, ) ， x 1 x 2 ，有f ( x 1 )f ( x 2 ) 1.x 1x 2【测量目标】函数的单调性 .【考查方式】已知函数解析式求解函数的单调性，已知参数范围求解区间内函数的单调性.【难易程度】较难【试题解析】 (1) f ( x) 的定义域为 (0,) . f ( x) x aa 1 x 2ax a1xx(x 1)( x 1 a)（步骤1）x（ i ）若 a 11 即 a2 ,则 f (x)(x1)2) 单调增加 . （步骤 2）x故 f ( x) 在 (0,(ii)若 a 1 1 , , a, x (a 1,1) 时， f ( x) 0 ; （步骤 3 ）而 a 1 故 12 则当当 x(0, a 1)及 x (1, ) 时， f ( x)故 f ( x) 在 ( a 1,1)单调减少，在 (0, a 1),(1, ) 单调增加 . （步骤 4）(iii) 若 a 11 ,即 a2 ,同理可得 f ( x) 在 (1,a 1) 单调减少，在 (0,1),( a 1,) 单调增加 . （步骤 5）(2) 考虑函数 g( x)f ( x) x1 x2 ax (a 1)ln xx （步骤 6）2则 g ( x)x (a1)a1⋯2 xga 1(a1) 1 ( a 1 1)2（步骤 7）xx由于 1 a 5 , 故 g (x)0 ，即 g( x) 在 (4, +∞)单调增加，从而当 x 1 x 2 0 时有g(x1 )g (x2 ) 0 ，（步骤8 ）即f ( x1) f ( x2 )x1x20 ，故f (x1 ) f (x2 )x11 ，当x20 x1x2f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) f ( x1)1.（步骤9）时，有x2x2x1x122.（本小题满分 10 分）已知△ABC中， AB=AC, D 是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点 A,C 重合），延长 BD 至 E.(1)求证： AD 的延长线平分CDE ；(2) 若BAC= 30，△ABC中 BC边上的高为2+ 3 ，求△ABC 外接圆的面积.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第 22 题图【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的简单几何性质.【考查方式】给出圆与直线的位置关系，运用其简单几何性质求解角与线的关系【难易程度】中等【试题解析】(1)如图，设 F 为 AD 延长线上一点∵A， B， C，D 四点共圆，∴∠（步骤 1）又AB=AC∴∠ ABC=∠ ACB,且∠ ADB =∠ACB ,∴∠ ADB=∠ CDF ,.CDF= ∠ ABC （步骤 2）对顶角∠ EDF =∠ ADB, 故∠ EDF =∠ CDF ,即 AD 的延长线平分∠CDE . （步骤 3）第22 题图(2)设 O 为外接圆圆心，连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH⊥BC.连接 OC, OA 由题意∠ OAC=∠OCA=15 , ∠ACB= 75 ,∴∠ OCH = 60 .（步骤 4）设圆半径为 r,则 r+33 ,a 得 r=2, 外接圆的面积为4 π.（步骤 5）r=2+223.（本小题满分 10分）选修4－ 4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为cos(π) =1，M,N分别为C与x 3轴， y 轴的交点 .（ 1）写出 C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ 2）设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 .【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】建立坐标系求解参数方程.【难易程度】中等【试题解析】（ 1）由cos(π13)1得 ( cos sin ) 1（步骤1）322从而 C 的直角坐标方程为 1 x3y 1即x3y 2 （步骤2）220 时，2,M (2,0)π=，N (,)3所以时， 2 3所以23π （步骤）2332（ 2） M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为(0,23) （步骤4）3所以 P 点的直角坐标为(1,323π) ,则 P 点的极坐标为(,)336所以直线OP 的极坐标方程为π,(,) （步骤5）624.（本小题满分 10 分）设函数f ( x)| x1| | x a | .(1)若a1, 解不等式 f ( x) ⋯3；(2)如果x R , f ( x)⋯2 ,求a的取值范围 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【测量目标】不等式 .【考查方式】给出函数解析式求解不等式.【难易程度】中等【试题解析】(1)当a 1 时， f ( x)x1x1.由 f ( x)⋯3得x 1 x 1 ⋯3 （步骤1）1 当x , 1 时，不等式化为 1 x1x ⋯3即2x ⋯ 3（步骤 2）○2 当x 1 时，联立不等式组x1解得其解集为3 ，，综上得 f ( x) ⋯3 的解集+○ f ( x) ⋯32为33,,.（步骤 3）22(2)若a1, f ( x) 2 x 1 ，不满足题设条件.2x a1, x ,a,1 若a 1 , f ( x)1a, a x1, f ( x)的最小值为 1 a （步骤4）○2x(a1), x ⋯12x a1, x , 1,2若a1, f (x)1a,1x a, f (x) 的最小值为 a1（步骤5）○2x(a1), x ⋯ a所以x R，f(x)⋯ 2的充要条件是 a 1⋯2，从而a的取值范围为（- ，13，）.（步骤6）。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。

卷（选择题）和第错误！未找到引用源。

卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。

卷1至2页，第错误！未找到引用源。

卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。

也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。

2009年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•辽宁）已知集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N=（）A．{x|x＜﹣5或x＞﹣2} B．{x|﹣5＜x＜5} C．{x|﹣2＜x＜5} D．{x|x＜﹣3或x＞5} 【考点】并集及其运算．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：在数轴上画出集合M={x|﹣2＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，如图：则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣2}．故选A．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常考的题型．2．（5分）（2009•辽宁）已知复数z=1﹣2i，那么=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分母实数化，然后化简即可．【解答】解：=故选D．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．3．（5分）（2009•辽宁）已知{a n}为等差数列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，则公差d=（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【考点】等差数列．【专题】计算题；方程思想．【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式以及已知条件得，即，解得d=﹣，故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．4．（5分）（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B． C．4 D．12【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．【解答】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．5．（5分）（2009•辽宁）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60°纬线长和赤道长的比值为（）A．0.8 B．0.75 C．0.5 D．0.25【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题．【分析】先求北纬60°纬圆半径，求出纬线长，再求赤道长，即可．【解答】解：设地球半径为R，则北纬60°纬线圆的半径为Rcos60°=R而圆周长之比等于半径之比，故北纬60°纬线长和赤道长的比值为0.5．故选C．【点评】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）（2009•辽宁）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（）A．B．C．D．【考点】对数的运算性质．【分析】根据3＜2+log23＜4知，符合x＜4时的解析式，故f（2+log23）=f（3+log23），又有3+log23＞4知，符合x＞4的解析式，代入即得答案．【解答】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）且3+log23＞4∴f（2+log23）=f（3+log23）=故选A．【点评】本题主要考查已知分段函数的解析式求函数值的问题．7．（5分）（2009•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2【考点】圆的标准方程．【分析】圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．8．（5分）（2009•辽宁）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】利用sin2θ+cos2θ=1，令原式除以sin2θ+cos2θ，从而把原式转化成关于tanθ的式子，把tanθ=2代入即可．【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ====．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．9．（5分）（2009•辽宁）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．10．（5分）（2009•辽宁）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A＞0，V=S+T【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．11．（5分）（2009•辽宁）下列4个命题p2：∃x∈（0，1），㏒1/2x＞㏒1/3x㏒1/2x㏒1/3x其中的真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】命题的真假判断与应用；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．【专题】压轴题．【分析】本题的考查意图是指数函数和对数函数的单调性，但作为选择题来讲，此类题采用特殊值法更好．【解答】解：取x=，则㏒1/2x=1，㏒1/3x=log32＜1，p2正确．当x∈（0，）时，（）x＜1，而㏒1/3x＞1．p4正确故选D．【点评】特殊值法是解决选择题的常用解法之一，特点是快捷、实用，不易出错相当于实践验证．12．（5分）（2009•辽宁）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（）A．（，） B．[，）C．（，）D．[，）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分析法；函数的性质及应用．【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y 轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是（）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2009•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC．已知点A（﹣2，0），B（6，8），C（8，6），则D点的坐标为（0，﹣2）．【考点】相等向量与相反向量．【分析】由四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，和三个点的坐标，可以先设出点的坐标，根据两条对角线交于一点，用中点坐标公式得到结果．【解答】解：设D（x，y），∵AC与BD中点相同∴﹣2+8=6+x，∴x=0又0+6=8+y，y=﹣2∴D=（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．【点评】向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标．14．（5分）（2009•辽宁）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω=．【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】数形结合．【分析】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果．【解答】解：∵由图象可得最小正周期4（﹣）=T=∴ω==．故答案为：．【点评】根据所给的图形，看出四分之一个周期的值，得到最小正周期，根据周期的计算公式，得到要求的值，本题主要考查读图问题，从图形中看出需要的结果．15．（5分）（2009•辽宁）若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=3．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．【解答】解：f′（x）==．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力．16．（5分）（2009•辽宁）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．【解答】解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4【点评】本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2009•辽宁）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求S n．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题意知a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2），由此可知2q2+q=0，从而．（Ⅱ）由已知可得，故a1=4，从而．【解答】解：（Ⅰ）依题意有a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）由于a1≠0，故2q2+q=0又q≠0，从而（Ⅱ）由已知可得故a1=4从而【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．18．（12分）（2009•辽宁）如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．【解答】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在△ABC中，=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33km．故B、D的距离约为0.33km．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．19．（12分）（2009•辽宁）如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N 分别为AB，DF的中点．（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【考点】直线与平面所成的角；反证法与放缩法．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）（解法一）由面面垂直的性质定理，取CD的中点G，连接MG，NG，再证出∠MNG是所求的角，在△MNG中求解；（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的数量积求解；（2）由题意假设共面，由AB∥CD推出AB∥平面DCEF，再推出AB∥EN，由得到EN∥EF，即推出矛盾，故假设不成立；【解答】解：（1）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD，MG=2，NG=．∵平面ABCD⊥平面DCED，∴MG⊥平面DCEF，∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．∵MN==，∴sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值解法二：设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．则M（1，0，2），N（0，1，0），可得=（﹣1，1，﹣2）．又∵=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，∴cos（，）=•∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos•（2）假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，∴AB⊄平面DCEF．又∵AB∥CD，∴AB∥平面DCEF．∵面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN．又∵AB∥CD∥EF，∴EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．【点评】本题考查了线面角的求法，可有面面垂直的性质定理用两种方法来求解；还考查了用反证法证明，用了线线平行与线面平行的相互转化来推出矛盾，考查了推理论证能力和逻辑思维能力．20．（12分）（2009•辽宁）某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：甲厂分组[29.86，29.90）[29.90，29.94）[29.94，29.98）[29.98，30.02）[30.02，30.06）[30.06，30.10）[30.10，30.14）频数12 63 86 182 92 61 4 乙厂分组[29.86，29.90）[29.90，29.94）[29.94，29.98）[29.98，30.02）[30.02，30.06）[30.06，30.10）[30.10，30.14）频数29 71 85 159 76 62 18（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2）由于以上统计数据填下面2×2（3）列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附：．【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；图表型．【分析】本题考查的知识点是独立性检验的应用，（1）要求两个分厂生产的零件的优质品率，我们可以根据已知中的表格中的数据，及规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品，我们及计算出两个分厂生产的零件的优质品率；（2）按照分层抽样中，样本中的比例与总体中的比例一致，易得表中各项数据的值，然后我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为（Ⅱ）甲厂乙厂合计优质品360 320 680非优质品140 180 320合计500 500 1000≈7.35＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”【点评】独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．21．（12分）（2009•辽宁）设f（x）=e x（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x 轴平行．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：当．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值，然后当f'（x）＜0时可求函数的单调递减区间，当f'（x）＞0时可求函数的单调递增区间．（2）先确定函数f（x）在[0，1]单调增，求出最大值和最小值，故根据任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1＜2，将cosθ、sinθ代入即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x（ax2+x+1+2ax+1）．由条件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0⇒a=﹣1．于是f'（x）=e x（﹣x2﹣x+2）=﹣e x（x+2）（x﹣1）．故当x∈（﹣∞，﹣2）或（1，+∞）时，f'（x）＜0；当x∈（﹣2，1）时，f'（x）＞0．从而f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）单调减少，在（﹣2，1）单调增加．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]单调增加，故f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．从而对任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1＜2．而当时，cosθ，sinθ∈[0，1]．从而|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．22．（12分）（2009•辽宁）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。

2009年高考辽宁卷理科第12题的一般情形

2009年高考辽宁卷理科第12题的一般情形2009年高考辽宁卷理科第12题及其参考解答是(见荣徳基总主编《2009年高考卷汇编(数学·理科)》，2009年内蒙古少年儿童出版社)：若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则1x +2x = ( ) A.25 B.3 C.27 D.4 解由522=+x x ，得)25(l o g 2x x -=；由5)1(l o g 222=-+x x ，得)1(l o g 2252-=-x x . 把所得两式相加，得)572(log 2522-+-=x x ，所以2522572=-+-x x ，1x +2x =27.选C.此解答叙述不清并且是错误的：从解答的末尾来看，可能原解答者认为1x ,2x 是方程2522572=-+-x x 的两根，由一元二次方程根与系数的关系得1x +2x =27. 但该方程即02572252=++-x x ，其判别式029211<-=∆，说明该方程无实根，当然也就不存在实数1x ,2x 之和为27一说. 再来分析一下原解答：由1x 满足522=+x x ，得)25(log 121x x -=；由2x 满足5)1(log 22222=-+x x ，得)1(log 225222-=-x x . 若把所得两式相加，是不能求得结果的；再尝试着把所得两式相减，得1x +2x 25-=125log 212--x x 接下来可以再用四个选项去试，从而可得选C.请问：若是解答题，应如何求解？首先，易知函数∈+=x x y x (22R ),)1)(1(log 222>-+=x x x y 在定义域上均是增函数，且值域均是R ，所以题设中的1x ,2x 均是唯一存在的.方程522=+x x 即x x -=-2521，方程5)1(log 222=-+x x 即x x -=-25)1(log 2.令t x =-1，得方程x x -=-2521即t t -=232，方程x x -=-25)1(log 2即t t -=23log 2.下面通过图1求方程t t -=232,t t -=23log 2的根21,t t 之和.图1在图1中，有),(),,(2211s t B s t A 两点关于直线t s =对称，所以1221,t s t s ==，即),(21t t A 在直线t s -=23上，所以2321=+t t .再由22111,1t x t x =-=-，得2722121=++=+t t x x .选C. 文献[1]用以上思路得到了一般性的结论：定理若)(x f 是],[b a 上的增函数，m x f x m x f x =+=+-)(,)(1的根分别为b a ,，则m b a =+.证明令)()(x f x x h +=，得)(x h 为],[b a 上的增函数，由 m a f a a h =+=)()(m b b f b f f b f b f h =+=+=----)())(()())((1111得 )()),(()(11b f a b fh a h --== 所以 m b b f b a =+=+-)(1文献[2]还推广了上述定理，得到了更丰富的结论.参考文献1 甘志国.一类问题的统一解法[J].数学通讯，2005(11)：212 甘志国.一个定理的再推广[J].数学通讯，2007(3)：213 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.233-235。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

辽宁省2009年高考数学命题说明修改意
理科选考部分实行超量命题，限量做题．由选修系列4的《几何证明选讲》、《矩阵与变换》、《坐标系与参数方程》、《不等式选讲》各命制1道填空题，考生从4道题中任选二题作答。

选考部分考试内容：
1．几何证明选讲
（1）掌握相似三角形的判定与性质，了解平行线截割定理.
（2）会证以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；
③圆的切线的判定定理及性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四
边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理.
（3）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.
（4）了解下面定理：
定理在空间中，取直线为轴，直线与相交于点，其夹角为围绕旋转得到以为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为（π与平行，记＝0），则：
(i) ＞，平面π与圆锥的交线为椭
圆；
(ii) ＝，平面π与圆锥的交线为抛物
线；
(iii)＜，平面π与圆锥的交线为双曲
线.
2.矩阵与变换
（1）引入二阶矩阵
了解二阶矩阵的意义.
（2）二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换
①以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义.
②证明矩阵变换把平面上的直线变成直线，即证明
A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ.
③通过大量具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形)的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影.
（3）变换的复合——二阶方阵的乘法
①通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义.
②通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律.
③验证二阶方阵乘法满足结合律.
④通过具体的几何图形变换，说明乘法不满足消去律.
（4）逆矩阵与二阶行列式
①通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在.
②会证明逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义.
③了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵.
（5）二阶矩阵与二元一次方程组
①能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义.
②会用系数矩阵的逆矩阵解方程组.
③会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性.
3.坐标系与参数方程
（1）坐标系
①理解坐标系的作用.
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.
（2）参数方程
①了解参数方程，了解参数的意义.
②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.
④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
4．不等式选讲
（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
①|a＋b|≤|a|＋|b|；
②|a －b|≤|a －c|＋|c －b|；
③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋b|≤c ；
|ax ＋b|≥c ；
|x －c|＋|x －b|≥a.
（2）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、
综合法、分析法、反证法、放缩法.
（广理）作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组
号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩
（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为，圆心到直线l 的距离为．
14．（不等式选讲选做题）设函数图
5
()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是．
15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为．
（广文）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点π26⎛
⎫ ⎪⎝⎭，到直线l 的距离为
． 15．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O 的
直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆
的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则
DAC ∠= ．
（海理）作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答
题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．请考生在A B C ，，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的标
A l 图4
号涂黑．
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：
几何证明选讲
如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切
点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B C
，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．
（Ⅰ）证明A P O M ，，，四点共圆；
（Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．
（Ⅰ）把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．
22．Ｃ（本小题满分10分）选修45-；不等式选讲设函数()214f x x x =+--．
（I ）解不等式()2f x >；
（II ）求函数()y f x =的最小值． (海文)22．请考生在Ａ、Ｂ两题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠
的内
A
部，点M是BC的中点．
（Ⅰ）证明A P O M
，，，四点共圆；
（Ⅱ）求OAM APM
∠+∠的大小．
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为4cos4sin
ρθρθ
，．
==-
（Ⅰ）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．。