第一学期学时及答案

一、填空 题（每题4分，共20分）
1、设事件A ，B 是互不相容的，P (A )=0.4，P (B )=0.3，则=)(B A P ______
2、已知随机变量X 的分布函数为x x F arctan 1
2
1
)(π
+=，则
=≤≤}30{X P ________
3、设随机变量X ~N (2，9)，则数学期望E (2X 2-1)=________
4、设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，μ=)(k X E ，0)(2>=σk X D (k =1,2,⋅⋅⋅)，则随机变量
σ
μ
n n X
Y n
k k
n -=
∑=1
的极限分布是________
5、已知随机变量X ~B (m ，p )（二项分布），Y ~B (n ，p )，且X 与Y 相互独立，则X +Y 服从_________分布 二、单项选择题（每题4分，共20分）
1、k c k X P )3
2
(}{==（k =1,2,3,⋅⋅⋅）是某随机变量的分布律，则c =( ) (A) 2 (B) 0.5 (C) 1 (D) 1.5 2、设随机变量Y 在(1，6)上服从均匀分布，则方程012=++Yx x 有实根的概率为( )
(A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.8 (D) 0.6 3、在每次试验中事件A 发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，记事件A 发生的次数为随机变量X ，根据切比雪夫不等式估计P (40<X <60)≥ ( )
(A) 0.5 (B) 0.75 (C) 0.25 (D) 1 4、若随机变量X 与Y 不相关，则下列结论不正确的是( )
(A) X 与Y 独立 (B) E (XY )=E (X )E(Y ) (C) Cov (X,Y )=0 (D) D (X -Y )=D (X )+D (Y ) 5、设X 1，X 2是取自服从正态分布N (μ，1)的总体X 的样本，则下列估计量为总体期望μ的无偏估计量的是( )
(A)21X X + (B)214132
X X + (C)214331X X + (D)212
121X X + 三、计算题（每题10分，共40分）
1、将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。

试问：（1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？
2、袋中有大小、重量等完全相同的四个球，分别标有数字1，2，2，3，现从袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。

分别以X 、Y 记第一次和第二次取得球上标有的数字。

求：（1）（X ，Y ）的联合分布律；（2）X 和Y 的边缘分布律；（3）判断X 和Y 是否独立。

3、某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小
时）都服从同一指数分布，概率密度函数为：⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-0 ,00
,600
1)(600
1
x x e x f x ，试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率. 4、设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0。

设干燥时间总体服从正态分布),(2σμN ，若由以往经验知σ =0.6，求μ 的置信度为0.95的置信区间。

Φ(1.96)=0.975
四、证明题：（10分）
设连续型随机变量X 的概率密度为||2
1
)(x e x f -=，+∞<<∞-x ，
证明Y =X 2的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>=-0 ,00 ,21)(y y e y y f y
Y
五、应用题：（10分）
设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为5的泊松分布，假定正在销售一种新型特效药，对75%的人群来说可将上述参数减小为3，而对另外25%的人群则无效，若某人试用此药一年，在试用期间患上了两次感冒，试运用贝叶斯公式分析此药对他有效的可能性是多少？
一、1. 0.3 2.
3
1
3. 25
4. N (0,1)
5. B (m +n , p ) 二、1. B 2. C 3. B 4. A 5. D
三、1.设A 1={每个班级各分配到一名优秀生}；A 2={3名优秀生分配在同一个班级}
则（1）9125!3)(5551051544484121==C C C C C C A P （2）916
3)(55
510515555102122==C C C C C C A P
2. X 、Y 所有可能取值都为1，2，3，则 （1）（X ，Y ）的联合概率分布为：
（2）X ，Y 的边缘分布为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛25.05.025.032
1
~X ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛25.05.025.032
1
~Y
（3）因}1{}1{}1,1{==≠==Y P X P Y X P ,故X 与Y 不独立
3.以X i (i =1,2,3)表示第i 只元件的寿命，A i 表示事件“在仪器使用的最初200小时内，第i 只元件损坏”，则A 1、A 2、A 3相互独立，且
31
200
6001
1600
1)2000()(---==≤≤=⎰
e dx e X P A P x
i i (i =1,2,3) 所求概率为)()()(1)(1)(321321321A P A P A P A A A P A A A P -=-=
=13211)](1)][(1)][(1[1--=----e A P A P A P
4.采用统计量)1,0(~N n
X U σμ
-=，则平均干燥时间μ的置信度为1-α的
置信区间为)
,(2
2
αασ
σ
z n
X z n
X +
-
69
.51.66.53.675.68.57.56=++++++++=
x
由)96.1(975.0)()(025.02
Φ==Φ=Φz z α得96
.1025.0=z
所以平均干燥时间μ的置信度为0.95的置信区间是(5.61, 6.39) 四、先求Y 的分布函数)()()(2y X P y Y P y F Y ≤=≤= 当0)(0=⇒≤y F y Y
当y y
x y
y X Y e dx e dx x f y X y P y F y ----===≤≤-=⇒>⎰⎰12)()()(00
再由分布函数求导得Y 的概率密度: ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>=-0 ,00 ,21)(y y e y y f y
Y
五、设A 表示此药有效这一事件，则有25.0)(,75.0)(==A P A P ,
,2,1,0,!
5)|(,!3)|(5
3=====--k e k A k X P e k A k X P k k
由贝叶斯公式有}
|2{)(}|2{)(}
|2{)(}2|{A X P A P A X P A P A X P A P X A P =+===
=
988.00842
.025.02240.075.02240
.075.0=⨯+⨯⨯=
所以此药对他有效的可能性是88.9%。