《统计分析方法及应用》PPT(第五章)

第五章 方差分析
§5.1
单因素方差分析 §5.2 多重比较 §5.3 两因素方差分析
§5.1 单因素方差分析


方差分析(analysis of variance，简称ANOVA)是用来对多个总 体的均值作比较检验的统计方法。 例子： (1)四种不同商标的同一类型产品其某一质量指标是否一致。 (2)对同样的商品，采用三种不同的销售方式是否会导致明显 不同的销售量。 (3)五个不同居民区居民的购买力是否存在明显差异。 这些例子中的商标、销售方式、居民区等称为因素(factor)， 因素所处的状态称为水平(level)或处理(treatment)。 通常我们用大写字母A,B,C等表示因素，因素A的水平用 A1,A2,⋯等表示。
1 1 t0.00833 15 MSE 3.0365 3.5667 / 3 3.3109 6 6 由例5.2.1中的计算结果知，
x1 x2 23.167 25.333 2.167 x1 x3 23.167 21.333 1.834 x2 x3 25.333 21.333 4 *
§5.2 多重比较


在进行单因素方差分析时，如果检验拒绝了原假设，则我们 有时还需进一步检验到底哪些均值之间存在差异，把同时比 较任意两个水平下的总体均值有无显著差异的问题称为多重 比较问题。 假定在显著性水平α下通过方差分析拒绝了原假设H0： μ1=μ2=⋯=μk，现欲对μ1,μ2,⋯,μk进行两两比较检验。 对于假设检验问题 H0：μi=μj，H1：μi≠μj 检验统计量 xi x j t 1 1 MSE n n j i 当H0为真时，t~t(n−k)。
2.4 3.2 x2
4
4.8 μ 3
5.6 6.4 7.2
μ4
图5.1.1 当H0不真时各正态总体分布的示意图

称
yij i ij，j 1, 2, , ni，i 1, 2, , k 2 各 独 立同分布于 N 0, ij
为一般平均，其中n ni 。令 i 1 αi = μi− μ， i=1,2,⋯,k 称αi为因素A的第i个水平的效应。效应间满足如下关系：
§5.3 两因素方差分析
一、重复试验的两因素方差分析 二、无重复试验的两因素方差分析

一、重复试验的两因素方差分析

例5.3.1 为研究影响合成纤维抗断强度的因素，表5.3.1记录 了三位操作员用同一批产品的纤维在四台生产机器上试验的 数据。
表5.3.1
机 器 甲 操作员 1 2 3 109，110 110，112 116，114 110，115 110，111 112，115 108，109 111，109 114，119 110，108 114，112 120，117 乙 丙 丁
§5.2 多重比较
一、费希尔LSD法 二、邦弗伦尼法

一、费希尔LSD法

费希尔(Fisher)最小显著差异(least significant difference,LSD) 法是将所有配对检验的显著性水平均设定为α。对假设(5.2.1) 的显著性水平α下的拒绝规则为： 若|t|≥tα/2(n−k)，则拒绝H0

k k P Eij P Eij 2 2 1i j k 1i j k
从而能满足总的显著性水平为α的要求。

例5.2.2 例5.1.2中，在α=0.05下使用邦弗伦尼法做多重比较 。 k 比较性显著性水平为： ， 0.05/3=0.0167， 2
合成纤维抗断强度的试验数据
1.数学模型


设因素A有a个水平A1,A2,⋯,Aa，因素B有b个水平B1,B2,⋯,Bb， 水平组合(Ai,Bj)下的总体分布为N(μij,σ2)。从各(Ai,Bj)下的总 体中各自独立地抽取一个容量为r(≥2)的样本yij1, yij2, ⋯, yijr(i=1,2,⋯,a，j=1,2,⋯,b)，因而有 yijk ~N(μij,σ2)， k=1,2,⋯,r，i=1,2,⋯,a，j=1,2,⋯,b 记εijk=yijk−μij，则 εijk~ N(0,σ2)， k=1,2,⋯,r，i=1,2,⋯,a，j=1,2,⋯,b 且各εijk相互独立。令
二、邦弗伦尼法
我们常常需要将两两比较检验的总的犯第一类错误概率控制 在α以内，称α为总的(或试验性)显著性水平。邦弗伦尼 (Bonferroni)法是将每个配对检验的比较性显著性水平设定为 k ，利用(5.2.7)式： P Eij 2 1i j k 总的犯第一类错误的概率
x1 x2 3.3109,

x1 x3 3.3109,
x2 x3 3.3109
故多重比较的结论与例5.2.1相同。 邦弗伦尼法很好地控制了总的犯第一类错误的概率，但不易 发现总体均值之间的差异，且检验的功效相对较低(即犯第 二类错误的概率相对较高)，它是一种比较保守的多重比较

相应地可将上述假设等价地写为 H0: α1=α2=⋯=αk=0，H1: α1,α2,⋯,αk不全为零
二、显著性检验

令
k
SST yij y
ni i 1 j 1
ni
2

k 1 k 其中 y yij , n ni，称SST为总平方和，它反映了 n i 1 j 1 i 1 各yij的总差异程度。再令 1 ni yi yij , i 1, 2, , k ni j 1 SST可作如下的平方和分解：
一、费希尔LSD法

上式等价于如下拒绝规则： 若 xi x j LSD，则拒绝H0
其中
1 1 LSD t /2 (n k ) MSE n n j i xi x j t 1 1 MSE n n j i
如果各样本容量相等,则LSD对所有的配对将是同一个值。

例5.2.1 例5.1.2中，在α=0.05下使用费希尔LSD法做多重比 较。
三个水平的样本均值是
x1 23.167, x2 25.333, x3 21.333
样本均值之差是
x1 x2 23.167 25.333 2.167 x1 x3 23.167 21.333 1.834 x2 x3 25.333 21.333 4*
一、数学模型

设因素A有k个水平A1,A2,⋯,Ak，在水平Ai下的总体分布为 N(μi,σ2)，从水平 Ai下的总体中抽取一个容量为ni的样本 0.6 (i=1,2,⋯,k) ，这k个样本相互独立。欲检验 H0:μ1=μ2=⋯=μk，H1: μ1,μ2,⋯,μk不全相等
0.4 密 度 0.2
0
0 0.8 1.6 μ 1 μ2
所需时间
22 25 26 24 23 27 22 26
yi∙
139 152
丙
19
22
21
25
21
20
128
y∙∙=419
输出5.1.1 单因素方差分析
源 模型 误差 C 合计 自由度 2 15 17 方差分析 平方和 均方 48.1111 24.0556 53.5000 3.5667 101.6111 F 统计量 6.74 Pr > F 0.0081
为处理均方，称
MSE
为误差均方。
SSE nk

构造检验统计量
MSTR F MSE 当H0为真时， F~F(k−1,n−k)。拒绝规则为： 若F>Fα(k−1,n−k)，则拒绝H0
表5.1.2
来 源
因素A 误差 总 计
方差分析表
平方和
SSTR SSE SST
自由度
k−1 n−k n−1
均方
MSTR MSE SSTR k 1 SSE nk
最小显著差异
1 1 LSD t0.025 (15) MSE 2.1315 3.5667 / 3 2.324 6 6
“*”表示那对总体均值有显著差异。故乙和丙型号的机器混 合一批原料所需平均时间有显著差异，而甲和乙、丙均没 有显著差异。




k 对μ1,μ2,⋯,μk进行两两比较检验，要检验的假设共有 2 个： H0ij：μi=μj，H1ij：μi≠μj，1≤i＜j≤k 在讨论多重比较方法时，我们把上式中单个假设检验的犯第 一类错误的概率称为比较性犯第一类错误的概率，对应的显 著性水平称为比较性显著性水平。此外，我们也常常关注在 所有的两两比较检验中，至少有一次犯第一类错误的概率， 并把这一概率称为总的(或试验性)犯第一类错误的概率。 在费希尔LSD法中，比较性犯第一类错误的概率为α，令 Eij={μi与μj配对检验犯了第一类错误}，1≤i＜j≤k 则总的犯第一类错误的概率为 P Eij 1i j k 费希尔LSD法较容易发现总体均值之间的差异，但总的犯第 一类错误概率可能较大，不易控制。
ni yi y yij yi
2 i 1 i 1 j 1
k
k
ni
2
记
SSTR ni yi y
i 1 k ni k 2
SSE yij yi
i 1 j 1
2
则

SST= SSTR+SSE 称SSTR和SSE分别为处理(或组间)平方和及误差(或组内)平 方和，SST,SSTR和SSE分别具有自由度(n−1),(k−1)和(n−k)。 SSTR反映了各总体的样本均值之间的差异，也基本反映了 μ1, μ2,⋯, μk之间的差异程度，SSE反映了随机误差的大小。 称 SSTR MSTR k 1

例5.1.1 为检验甲、乙、丙三种型号的机器混合一批原料所 需平均时间是否相同，某管理人员得到了混合原料所需时间 的如表5.1.1 所示的数据。