安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科数学试题

安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科数学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知集合，集合，则

（）.

A．B．

C．D．

2. 设，复数的共轭复数（）.

A．B．C．D．

3. 已知为单位向量，则是的（）

A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

4. 某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况.

第日第1

日

第2

日

第3

日

第4

日

第5

日

第6

日

第7

日

水位(米) 3.5 3.7 3.8 3.9 4.3 4.4 4.8

表)，当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证?无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.

水位

水位分类设防水

位

警戒水

位

保证水

位

预瞥颜

色

黄色橙色红色

现已根据河流水位表得到水位的回归直线方程为，据上表估计（）

A．第8日将要启动洪水橙色预警B．第10日将要启动洪水红色预警C．第11日将要启动洪水红色预警D．第12日将要启动洪水红色预警

5. 已知，且满足，若由不等式组确定的可行域的面积为1，则目标函数的最大值为（）.

A．

B．2 C．3 D．4

6. 已知直线与曲线在处的切线平行，则实数值为（）.

A．4 B．3 C．2 D．1

7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆

与双曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（）.

A．

B．C．

D．

8. 已知为数列的前项和，且满足，

，则（）.

A．0 B．4 C．74 D．80

9. 已知，，，则，，的大小关系是（）.

A．B．C．D．

10. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多

个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过32的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是（）.

A．B．C．D．

11. 如图，在直三棱柱中，已知，为侧棱上任意一点，为棱上任意一点，与所成角为，与平面所成的角为，则与的大小关系为（）.

A．B．C．D．不能确定

12. 已知函数在上可导且，其导函数满足

，对于函数，下列结论错误的是（）. A．函数在上为单调递增函

B．是函数的极小值点

数

C．时，不等式恒成立D．函数至多有两个零点

二、填空题

13. 已知圆与圆，若圆关

于一条直线对称的圆是圆，则______.

14. 已知点，，，在同一个球的球面上，，，

，当四面体的体积的最大值为时，这个球的表面积为______.

15. 在展开式中，的系数为______.（用数字作答）

16. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足

，且，则动点形成的轨迹长度为______.

三、解答题

17. 已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，求证：.

18. 已知函数，，中，角，

，所对的边分别为，，，的面积为.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若，求的值.

19. 在平面内的四边形（如图1），和均为等腰三角

形，其中，，，现将和均沿边向上折起（如图2），使得，两点到平面的距离分别为1和2.

（1）求证：；

（2）求二面角余弦值.

20. 随着新冠肺炎疫情的爆发和蔓延，国家加强了传染病学的研究.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

潜伏期

（单位：

天）

人数80 200 320 250 100 30 20

（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100人，得到如下列联表：

潜伏期天潜伏期天总计

60岁以上（含60

50

岁）

60岁以下35

100

请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为传染病潜伏期与患者年龄有关；

（3）在条件（2）得到的100人样本中，从潜伏期超过10天的人中，随机选取3人进行抽血化验，问恰好有一人潜伏期超过12天的概率？

，其中.

21. 已知椭圆的离心率为，长轴长为. （1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线

的距离之比为定值，求与的值；

（3）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段

的垂直平分线过定点，求实数的取值范围.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若为直线与函数图像的一个公共点，其横坐

标为，且，求整数的所有可能的值.