几个初等函数的麦克劳林公式
高等数学(上册)重要知识点
一章 函数与极限1. 集合与函数 1.1 集合的概念具有某种特定性质的事物的的全体。
全体非负整数（自然数）构成的集合{0,1,2,3......}记为N 。
全体正整数构成的集合{1,2,3....}记为 。
全体整数构成的集合{....-1,0,1,2....}(记为Z). 全体实数构成的集合R. 1.2基本初等函数和初等函数 反对幂指三是基本初等函数.将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的 且能用一个式子表示的函数称为初等函数. 1.3极坐标与直角坐标系的关系θρθρsin cos {==y x )0(tan {22≠=+=x x y yx θρ1.4几种特殊性质的函数 (1)有界函数F(x)在x 上有界的充分必要条件为:存在常数M>0,使得| f(x) | ≦ M,对任意x 属于X.这时称风f(x)在x 上有一个界. (2)奇偶函数F (x)=f(-x),称为偶函数. F (-x)=-f(x),称为奇函数. (3)周期函数f(x+L)=f(x)恒成立,称f(x)为周期函数.L 为f(x)的最小正周期.2.极限2.1数列极限的定义设有数列{a n },若存在常数a ，对任意给定的ε>0,总存在正整数N ，当n>N 时，恒有| a n -a |<ε成立，则数列{a n }以a 为极限。
记作:aann =∞→lim , 或 a a n→(∞→a ).此时称数列}{a n 收敛于常数a ，或简称数列收敛.反之数列}{a n 没有极限，或称它为发散.2.2数列极限的性质(1)（极限的唯一性）如果数列}{a n 收敛，那么它的极限必唯一.(2)（有界性）收敛数列必定有界.(3)（保号性）设有数列}{a n ，}{b n 分别收敛于a,b,并且b>a,那么存在正整数 N ，当n>N 时，恒有b n >a n . (4) 设有数列}{a n ，}{b n 分别收敛于a,b,并且存在正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，恒有b n ≥an，那么a b ≥（5）数列}收敛于a 的充分必要条件是它的任何一个子集数列都收敛于a. 2.3函数极限（1）设函数f(x)在的某去心邻域有定义.若存在常数Ａ，使对任给的ε>0，总存在δ＞０，当０＜｜ｘ－x 0｜＜δ时，恒有 ｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε恒成立，则称当x x →0时，ｆ（ｘ）以Ａ 为极限．记作：)(limx f x x →＝Ａ或A x f →)(，当x x 0→．（２）函数极限的性质１.（唯一性）如果存在，那么极限是唯一的。
二几个初等函数的麦克劳林公式解读
二几个初等函数的麦克劳林公式解读麦克劳林公式是一种将一个任意可微函数表示为无穷级数的方法。
它基于泰勒级数的思想，将一个函数在其中一点附近的展开式用无穷级数表示，从而可以更好地理解和计算该函数的性质和行为。
下面我们将对几个常见的初等函数的麦克劳林公式进行解读。
1.指数函数的麦克劳林公式指数函数的麦克劳林公式表达式如下：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!} + \dots$$这个公式说明了指数函数可以表示为一个无穷级数的形式。
公式中的每一项都是x的幂次和阶乘的比值，也就是指数函数在0点处的导数值。
2.正弦函数的麦克劳林公式正弦函数的麦克劳林公式表达式如下：$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} + \dots$$这个公式说明了正弦函数可以表示为一个无穷级数的形式。
公式中的每一项都是x的一个奇数次幂与对应的阶乘的比值，也就是正弦函数在0点处的导数值。
3.余弦函数的麦克劳林公式余弦函数的麦克劳林公式表达式如下：$$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} -\frac{x^6}{6!} + \dots$$这个公式说明了余弦函数可以表示为一个无穷级数的形式。
公式中的每一项都是x的一个偶数次幂与对应的阶乘的比值，也就是余弦函数在0点处的导数值。
通过麦克劳林公式，我们可以将任意复杂的函数近似地表示为一个无穷级数的形式，并且根据需要截取其中的有限项进行计算。
这对于计算机科学、物理学等领域中的数值计算尤为重要。
此外，对于以上所列的函数，麦克劳林公式的适用范围主要是在其展开点附近，如果函数在展开点附近存在奇点或者展开点距离目标点过远，那么麦克劳林公式的适用性将会受到限制。
总之，麦克劳林公式是一种将一个任意可微函数表示为无穷级数的方法。
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lim[ f ( x) g ( x)]
两个重要极限
lim
sin
x
1, lim
sin
x
0; lim(1
1)x
e
lim(1
1
x) x
x0 x
x x
x
x
x0
常用等价无穷小:
1 cos x ~ 1 x2; x ~ sin x ~ arcsin x ~ arctan x; n 1 x 1 ~ 1 x;
lim n0
n i 1
f(i)1 nn
F (b) F (a) F (x)
b a
,
(F(x) f (x))
连续可积; 有界+有限个间断点可积; 可积有界; 连续原函数存在
(x) x f (t)dt (x) f (x) a
d (x) f (t)dt f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 x
n0
3、
弧微分公式：ds 1 y2 dx x(t) y(t)2 dt 2 2 d
平均曲率：K从点到点.(， 切: 线M斜率的M倾 角变化量；: s
弧长)
s MM
M点的曲率：K lim d s0 s ds
y
(t) (t) (t) (t)
= (1 y2 )3
Байду номын сангаас
3
[2 (t) 2 (t)]2
x2 a2 2a x a
a2 x2 2a a x
dx ln(x x2 a2 ) C;
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C;
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
几个初等函数的麦克劳林公式
几个初等函数的麦克劳林公式麦克劳林公式是数学分析中的一个重要公式，它可以将一个光滑函数在一些点的附近用多项式来逼近。
对于初等函数，也可以使用麦克劳林公式来得到它们的近似表达式。
以下是几个常见的初等函数的麦克劳林公式。
1.指数函数的麦克劳林公式：指数函数的麦克劳林公式用于将指数函数在零点附近展开为幂级数。
设函数为f(x)=e^x，在x=0处展开，其麦克劳林公式为：f(x)=e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...2.正弦函数的麦克劳林公式：正弦函数的麦克劳林公式用于将正弦函数在零点附近展开为幂级数。
设函数为f(x) = sin(x)，在x = 0处展开，其麦克劳林公式为：f(x) = sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...3.余弦函数的麦克劳林公式：余弦函数的麦克劳林公式用于将余弦函数在零点附近展开为幂级数。
设函数为f(x) = cos(x)，在x = 0处展开，其麦克劳林公式为：f(x) = cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...4.对数函数的麦克劳林公式：对数函数的麦克劳林公式用于将对数函数在1点附近展开为幂级数。
设函数为f(x) = ln(x)，在x = 1处展开，其麦克劳林公式为：f(x) = ln(x) = (x - 1) - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - (x - 1)^4/4 + ...5.正切函数的麦克劳林公式：正切函数的麦克劳林公式用于将正切函数在零点附近展开为幂级数。
设函数为f(x) = tan(x)，在x = 0处展开，其麦克劳林公式为：f(x) = tan(x) = x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...以上仅是几个初等函数的麦克劳林公式的简要介绍，实际上若根据需要可进行更深入、详尽的阐述，并给出其具体的定义和推导过程。
几个初等函数的麦克劳林公式
f
'''(2 )
1 6
f
'''( 1)
f '( lim
x) f
''(
1 2 x)
f
(x 1) f ( C C 2C
x
1) 1
12 0 0,lim
f f
'''(1)
'(x)
1f 112(C
'''(2
C)
)
010.
x
x
2
内容小结
1. 泰勒公式
f
(x0 )
f (x0 )(x
x0 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3.泰勒公式的应用
(1)近似计算
(2)利用多项式逼近函数 , 例如sin x
(3)其他应用
求极限, 证明不等式等.
12
其中
Rn
(
x)
(
1)(
(n 1)!
n)
(1
x)
xn1
(0 1)
4
已知 f (k )(x) (1)k 1 (k 1)! (k 1, 2,) (1 x)k
类似可得
ln(1 x) x x2 x3
23
(1)n1 x n n
Rn (x)
其中
Rn ( x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
x
x
证明：用泰勒公式
f (x 1) f (x) f '( x) f ''( x) f '''(1 ) ,
2!
麦克劳林二项式乘幂
麦克劳林二项式乘幂
按照马克劳林公式的一般形式f(x)=n*f^(n) 连加(n从0到无穷)x^n*f^(n)(0)/n!展开（其中f^(n)(0)表示f的n阶导数在0点的值），只不过最后的每项的形式没什么规律（这也取决于f^(n)(0)的值）。
麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。
1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。
2、那些特殊初等函数的幂级数展开式是泰勒级数的特殊形式，没什么太大区别。
用泰勒公式求极限有时可以达到事半功倍之效。
扩展资料
麦克劳林公式的意义是在0点，对函数进行泰勒展开。
1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。
1742年撰写名著《流数论》，是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。
他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。
他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=± 和差角公式：sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos )cos()]21sin sin )cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x x x xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x -----==++==±+-+===+-双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+ ，222(1)(21)126n n n n +++++= 22333(1)124n n n ++++=2、极限常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,lim 1n a >=;lim 1n →∞=ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan ;1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x na x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：00lim 0;lim ()()x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或第二章导数与微分1、基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (co t )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ) (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====-222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n xn x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x -----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑ 3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
同济大学高等数学7.泰勒公式
注意到 f (n1) ( ) e 代入公式,得
ex 1 x x2 xn e xn1
2!
n! (n 1)!
(在x与0之间).
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn (x)
e xn1 (n 1)!
ex xn1(0
(n 1)!
x).
取x 1, e 1 1 1 1
于是(i) Rn (x)与f (x)有相同的连续性,可导性;
(ii )
Rn (x0 )
Rn (x0) Rn(x0)
R(n) n
(
x0
)
0.
lim x x0
Rn (x) (x x0 )n
lim
x x0
Rn (x) n(x x0 )n1
lim
Rn( x)
xx0 n(n 1)( x x0 )n2
a2.
P2 (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)
2
P2(x)近似f (x)的误差:
f
(x) P2 (x) (x x0 )2
0
(x x0 )
f (x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 2
)
(
x
x0
)2
o(x x0 )2.
)
f
(x2 )
2
2
证：不妨设 x1
x2 ,记
x0
x1
x2 2
,有
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
幂级数展开公式
幂级数展开公式
按照马克劳林公式的一般形式f(x)=n*f^(n) 连加(n从0到无穷)x^n*f^(n)(0)/n!展开（其中f^(n)(0)表示f的n阶导数在0点的值），只不过最后的每项的形式没什么规律（这也取决于f^(n)(0)的值）。
麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。
1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。
2、那些特定初等函数的幂级数展开式就是泰勒级数的特定形式，没什么太小区别。
用泰勒公式求极限有时可以达到事半功倍之效。
麦克劳林公式的意义就是在0点，对函数展开泰勒进行。
年maclaurin在访问伦敦时见到了newton，从此便成为了newton的门生。
年编写名著《流数论》，就是最早为newton流数方法作出了系统逻辑阐释的著作。
他以娴熟的几何方法和穷竭法论证了流数学说道，还把级数做为谋分数的方法，并单一制于cauchy以几何形式得出了无穷级数发散的分数辨别法。
他获得数学分析中知名的maclaurin级数展开式，用未定系数法给与证明。
几个初等函数的麦克劳林公式93534
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
o[(x
x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
ex 1 x x2 x3 xn e x xn1
2! 3!
n ! (n 1) !
令x=1,得
e 11 1 1
e
(0 1)
(0 1)
2!
n ! (n 1) !
由于 0 e e 3, 欲使
Rn (1)
3 106
解得
x 0.588
即当 x 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果
能准确到 0.005 .
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2. 利用泰勒公式求极限
例3. 求 lim
x0
3x
4
x
(n 1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e 11 1 1 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e 11 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 7 0.5106, 总误差限为 7 0.5106 106 5106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
3-3 泰勒公式
+
1)n+1 ,
ξ在 − 1与x之间.
注 1的误差为 Rn( x) = f ( x) − pn( x)
Rn( x) =
f (n+1)(ξ )
(n + 1) !
(
x
−
x0
)n+1
(ξ 在 x0 与 x 之间).
当在 x0 的某邻域内 f (n+1)( x) ≤ M (常数) 时 , 有
的具体估计式.
pn(x) 的确定: pn( x) = a0+ a1( x − x0 ) + a2( x − x0 )2 + + an( x − x0 )n ,
观察： f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
有
= f ( x0 ) p1( x) 相交
Rn (1)
<
(n
3 + 1)
!<
10−6
,
由ex计=算1 +可x知+ x当2 +n =x39+时上+式x成n 立 , 因此
+
1)!.
f (−1) = −1, f ′(−1) = −1, f ′′(−1) = −2!,
因此
, f (n)(−1) = −n!.
f ( x) = −1 − ( x + 1) − ( x + 1)2 − − ( x + 1)n + Rn( x),
其中Rn( x)
=
(−1)n+1
ξ n+2
(
x
− −
Rn′ x0
二几个初等函数的麦克劳林公式课件
适用于所有二阶三角函数，即 $sin(x)$ 和 $cos(x)$。
应用场景
在三角函数近似计算、微积分和工程领域中广泛应用。
二阶指数函数的麦克劳林公式
公式形式
对于 $e^x$，其二阶麦克劳林 公式为 $e^x = 1 + x + frac{1}{2!}x^2 + frac{1}{3!}x^3 + ...$。
二阶多项式函数的对称轴是直线$x = -frac{b}{2a}$。
二阶多项式函数的极值点
二阶多项式函数在其对称轴上取得极值点，即当$x = -frac{b}{2a}$时，函数取得 极值。
如果$a > 0$，则极小值为$f(-frac{b}{2a}) = frac{4ac - b^{2}}{4a}$；如果$a < 0$，则极大值为$f(-frac{b}{2a}) = frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
05
总结与展望
总结
麦克劳林公式是数学分析中常用的公式之一，它为 函数在零点附近的近似值提供了方便的计算方法。
在本次课件中，我们学习了几个初等函数的麦克劳 林公式，包括多项式函数、指数函数、对数函数、 三角函数等。
通过学习这些公式，我们能够更好地理解函数在零 点附近的性质和变化趋势，为后续的学习打下基础 。
THANK YOU
感谢聆听
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二阶多项式函数是形式为$f(x) = ax^{2} + bx + c$的函数，其中 $a, b, c$是常数，且$a neq 0$。
二阶多项式函数是二次函数的一般形式，它可以表示任何二次函 数。
二阶多项式函数的图像
二阶多项式函数的图像是一个抛物线 ，它的开口方向由系数$a$决定。如 果$a > 0$，则抛物线开口向上；如 果$a < 0$，则抛物线开口向下。
同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式
f (k) (0) = α (α −1)L(α − k +1) (k = 1, 2,L)
∴
(1 +
x)α
=1
+α
x+
α (α −1)
2!
x2
+L
+ α (α −1)L(α − n +1)
n!
xn + Rn (x)
其中
Rn (x)
=
α (α
−1)L(α
(n +1) !
−
n) (1+θ
x)α −n−1 xn+1
n +1 (1+θ x)n+1
(0 < θ < 1)
麦克劳林(Maclaurin)公式
f (x) =
f (0) +
f ′(0)x +
f ′′(0) x2 2!
+L+
f (n) (0) xn n!
+ f (n+1) (θx) xn+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1)
f (x) =
f (0) +
注意到
f
θ( x) = e (n+1)
θx
代入公式,得
ex
=
1+
x
+
x2 2!
+L+
xn n!
+
eθ x
x n+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10−6.
解: 已知 ex 的麦克劳林公式为
洛必达法则和泰勒公式
!
R2m1
(
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0)
f
(0)x
f (0) x2
f
(n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1,2,)
3 106
1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e 11 1 1 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e 11 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 7 0.5106, 总误差限为 7 0.5106 106 5106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
x 的一次多项式
p1(x)
特点:
f (x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
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高等数学同济7版精品智能课件-第3章-第3节-泰勒公式
第三节 泰勒公式
于是提出如下的问题：
设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间内具有直到 (n + 1) 阶导数，试找出一个关于 (x – x0) 的 n 次多项式
pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达 f (x)，要求
f (x) pn (x) o((x x0 )n ) ,
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理
1. 问题的提出
在微分的应用中已经知道，当 |x – x0| 很小时，有近 似计算公式
f (x) f (x0) + f (x0)(x – x0) . 在上述近似计算公式的右边是一个 x – x0 的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数. 这种近似表达存在以下不足之处：
x0
)n
.
n 阶泰勒多项式
下面的定理将证明该多项式的确是所要找的 n 次多 项式.
第三节 泰勒公式
2. 泰勒(Taylor)中值定理
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开
区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x
(a
,
b)
，有
f
(x)
f
(x0 )
f
所以
f (k) (0) 1 (k 0 , 1, 2 , , n).
例2 求出函数 f (x) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式..
于是解可ex 得因1为sxinfx1(n)x(x2x)31!sxin3 1x51x!nxn5
麦克劳林公式
麦克劳林公式
麦克劳林公式（Maclaurin's series）是泰勒公式的一种特殊形式。
1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。
2、那些特殊初等函数的幂级数展开式是泰勒级数的特殊形式，没什么太大区别。
麦克劳林公式重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
泰勒公式与麦克劳林公式推导证明
泰勒公式及麦克劳林公式推导证明麦克劳林公式是泰勒公式（在x。
=0下）的一种特殊形式。
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f (n)(0)/n!·x^n+Rn其中Rn是公式的余项，可以是如下：1.佩亚诺(Peano)余项：Rn(x) = o(x^n)2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]3.拉格朗日(Lagrange)余项：Rn(x) = f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]4.柯西(Cauchy)余项：Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^n x^(n+1)/n![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]5.积分余项：Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n![f(n+1)是f的n+1阶导数]泰勒公式在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式（Taylor's formula）带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n! *(x-x0)^n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
泰勒公式
f (n+1) (ξ) (n +1 ! )
(x − x0)
n+ 1
(ξ 在x0 与x之 ) ② 间
5
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
( 证明: 证明: 由 设 R (x)在 a,b) 内 有 到 n + 1)阶 假 , n 具 直 (
数 导 ,且
( ′ ′′ Rn ( x0 ) = Rn ( x0 ) = Rn ( x0 ) = ⋯= Rnn) ( x0 ) = 0
−x2 2 2 2 2
4
x4 cos x − e−x 2 = − + o(x4 ), 12 阶无穷小. 显然,它是x的 阶无穷小 显然,它是 的4阶无穷小.
2
16
内容小结
1. 泰勒公式
f ′′(x0) f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + (x − x0)2+⋯ 2! (n) f (x0) + (x − x0)n + Rn(x) n!
3
1. 求 n 次近似多项式 令 则
要求: 要求
2 n
pn(x) = a0 + a (x − x0) + a2(x − x0) +⋯+ an(x − x0) 1
′ pn(x) = ′′ pn(x) =
+⋯+ nan(x − x0)n−1 a + 2a2(x − x0) 1
2!a2 +⋯+ n(n −1 an(x − x0) ) n!an
f (n+1) (ξ) (n +1 ! ) (x − x0)
n+ 1
其中余项
Rn (x) =
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Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒(TAYLOR)中值定理 :
第三节 泰勒公式
第三章
理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
p1 ( x)
x 的一次多项式
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在x0与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f (x) f (x)
f (x0 ) f (x0 )
f (x0 )(x x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
(
2!
) (x x0 )2源自p1 ( x)特点: p1(x0 ) f (x0 ) p1(x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
1. 求 N 次近似多项式 pn (x), 要求:
pn (x0 ) f (x0 ), pn (x0 ) f (x0 ), , pn(n) (x0 ) f (n) (x0 ) 令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
若 f (x) 在包含 x0 的某开区间 (a,b) 内具有
直到 n 1阶的导数 , 则当 x (a ,b)时, 有
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)
2
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn
(
x)
①
其中 Rn (x)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0 )2
特例:
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与
x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
( 在x0与x
之间)
误差
R1(x)
f
(
2!
)
(
x
x0
)2
( 在 x0 与x 之间)
df
在泰勒公式中若取 x0 0, 记 x (0 1) , 则有
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f (x0 ), , an
1 n!
pn(n)
(x0 )
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o[(x x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
f (x) 在点 x0 有直到 n 阶的导数
④ 式成立
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn (x) pn(n) (x)
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2 n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ) ,
a1 pn (x0 ) f (x0 ),
2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x) (称为余项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x) (x x0 )n1
Rn (x) Rn (x0 (x x0 )n1 0
)
(n
Rn (1) 1)(1
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)
n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 f (x)的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x)
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与xn 之间)
Rn (x) f (x) pn (x)
Rn (x) (x x0 )n1
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
n!
f (n1) ( x) xn1
(n 1) !
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,)则(x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
x0 )n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) (n 1)2(n x0 ) 0
f
(n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0 )n Mf((nn1x)1()n!)1 (x x0 )n1