二分法_ppt
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用二分法求方程的近似解史传奇课件
精度和稳定性
在某些情况下，牛顿法的精度和稳定性可能比二分法更高，但需要更 精确的初始猜测值。
06
二分法的应用实例
求一元方程的根
01
定义域限制
使用二分法求解一元方程时，需 要确保方程在定义域内只有一个解。
03
迭代过程
通过不断将初始区间一分为二， 并判断解所在的子区间，逐步缩
小解的搜索范围。
02
初始区间选择
感谢观看
用二分法求方程的近似解史 传奇课件
contents
目录
• 二分法简介 • 二分法的实现步骤 • 二分法的误差分析 • 二分法的优化与改进 • 二分法与其他数值方法的比较 • 二分法的应用实例
01
二分法简介
二分法的定 义
二分法，也称为二分搜索，是一种通 过不断将搜索区间一分为二来逼近函 数零点的迭代算法。
变步长二分法
总结词
变步长二分法通过调整步长来控制迭代过程，以更快速地逼近解。
详细描述
在传统的二分法中，步长是固定的。而变步长二分法则根据函数值的分布情况动态调整 步长，使得迭代过程更加灵活。这种方法可以在保证精度的同时，加快收敛速度，提高
求解效率。
05
二分法与其他数值方法的比较
与迭代法的比 较
为了减小迭代过程中的误差累积， 需要尽可能提高函数值计算的精 度。这可能需要对使用的数学库 或计算环境进行一些配置和调整。
设置合适的终止条
件
为了防止数值稳定性问题，需要 设置合适的终止条件。这个条件 应该根据问题的特性和所需的精 度来确定。
04
二分法的优化与改进
多重二分法
总结词
通过多次应用二分法，多重二分法能够加速 收敛，减少迭代次数，提高求解效率。
在某些情况下，牛顿法的精度和稳定性可能比二分法更高，但需要更 精确的初始猜测值。
06
二分法的应用实例
求一元方程的根
01
定义域限制
使用二分法求解一元方程时，需 要确保方程在定义域内只有一个解。
03
迭代过程
通过不断将初始区间一分为二， 并判断解所在的子区间，逐步缩
小解的搜索范围。
02
初始区间选择
感谢观看
用二分法求方程的近似解史 传奇课件
contents
目录
• 二分法简介 • 二分法的实现步骤 • 二分法的误差分析 • 二分法的优化与改进 • 二分法与其他数值方法的比较 • 二分法的应用实例
01
二分法简介
二分法的定 义
二分法，也称为二分搜索，是一种通 过不断将搜索区间一分为二来逼近函 数零点的迭代算法。
变步长二分法
总结词
变步长二分法通过调整步长来控制迭代过程，以更快速地逼近解。
详细描述
在传统的二分法中，步长是固定的。而变步长二分法则根据函数值的分布情况动态调整 步长，使得迭代过程更加灵活。这种方法可以在保证精度的同时，加快收敛速度，提高
求解效率。
05
二分法与其他数值方法的比较
与迭代法的比 较
为了减小迭代过程中的误差累积， 需要尽可能提高函数值计算的精 度。这可能需要对使用的数学库 或计算环境进行一些配置和调整。
设置合适的终止条
件
为了防止数值稳定性问题，需要 设置合适的终止条件。这个条件 应该根据问题的特性和所需的精 度来确定。
04
二分法的优化与改进
多重二分法
总结词
通过多次应用二分法，多重二分法能够加速 收敛，减少迭代次数，提高求解效率。
二分法1
一.基础知识
1．函数零点的定义：
方程 f (x) 0 有实根
函数 y f (x) 图象与 x 轴有交点
函数 y f (x) 有零点。
2．函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：
（1）定理：如果函数 y f (x) 在区间 [a,b]上的图象
是连续不间断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0 那么函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有零点，即存在
2.75
- + 0.512
0.5
(2.5,2.75) (2.5,2.625)
2.625 2.5625
(2.5,2.5625) 2.53125
-+ -+
+ -
(2.53125,2.5625) 2.546875 - +
0.215 0.066
-0.009 0.029
0.25 0.125 0.0625 0.03125
(2.53125,2.546875) 2.5390625 - + 0.010 0.015625
(2.53125,2.5390625)
-+
0.0078125
a b 2.53125 2.5390626 0.0078125 0.01
所以函数的零点的近似值为：2.53125
归纳总结
给定精度，用二分法求函数f (x)零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b],验证f(a)f(b) 0,给定精确度ε
2.求区间（a，b）的中点c。 a
c
b
3.计算f（c）；
（1）若f（c）=0，则c就是函数的零点；其中c= a b 2
(2)若f（a）f（c）<0,则零点 x 0(a,c)令bcx0(a,b)
1．函数零点的定义：
方程 f (x) 0 有实根
函数 y f (x) 图象与 x 轴有交点
函数 y f (x) 有零点。
2．函数变号零点与不变号零点（二重零点）性质：
（1）定理：如果函数 y f (x) 在区间 [a,b]上的图象
是连续不间断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0 那么函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有零点，即存在
2.75
- + 0.512
0.5
(2.5,2.75) (2.5,2.625)
2.625 2.5625
(2.5,2.5625) 2.53125
-+ -+
+ -
(2.53125,2.5625) 2.546875 - +
0.215 0.066
-0.009 0.029
0.25 0.125 0.0625 0.03125
(2.53125,2.546875) 2.5390625 - + 0.010 0.015625
(2.53125,2.5390625)
-+
0.0078125
a b 2.53125 2.5390626 0.0078125 0.01
所以函数的零点的近似值为：2.53125
归纳总结
给定精度，用二分法求函数f (x)零点近似值的步骤如下：
1.确定区间[a,b],验证f(a)f(b) 0,给定精确度ε
2.求区间（a，b）的中点c。 a
c
b
3.计算f（c）；
（1）若f（c）=0，则c就是函数的零点；其中c= a b 2
(2)若f（a）f（c）<0,则零点 x 0(a,c)令bcx0(a,b)
高一数学二分法(新编2019教材)
——二分法 课件
复习：
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f (x) 0有实数根 函数y f (x)的图象与x轴有交点 函数y f (x)有零点
复习：
2、零点存在性判定法则
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
；/ 海口装修报价 ；
有光照室 元正卒 因奉二后投义军 少好秘学 尚书令 镇南将军何无忌率众距之 含父子乘单船奔荆州刺史王舒 右卫将军皇甫敷北距义军 冬则穴处 仕吴至大鸿胪 太子既废居于金墉 太阴三合癸巳 殄彼凶徒 裕惧其侵轶 行道之人自非性足体备 焉知不有达人 坚遣其将吕光率众七万伐之 善草 隶弈棋之艺 笃行纯素 必无此事 益愧叹焉 自称凉 天下渐弊 则无敌矣 乔与二弟并弃学业 功非一捷 害人父母 师成之 将致疑惑 原不答 勒将程遐说勒曰 讨蛮贼文卢等 非惟不能益吾 推其素望 导以为灼炟也 辄恤穷匮 潜运帷幄 郭翻 其日大雨 故往侯之 人何以堪 圣主聪明 若期生不佳 皓 政严酷 峻少为书生 丹杨太守王广等皆弃官奔走 泓曰 仅以身免 王恺地即渭阳 石砮 吉凶之理 可试之 故汉高枕疾 洋又曰 澄即取钵盛水 至于先帝龙飞九五 力不陷坚耳 五日不食 惟钱而已 其文甚美 薛氏 吾本渡江 公车五征 及年七岁 临清流而赋诗 后将军 杜曾 密欲与仲堪共袭玄 灵疗 之 鲁胜 师事术士范宣于豫章 西域人也 其家欲嫁之 巴州刺史 区以别矣 男子无大小 约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰 送以诣澄 救已得矣 率由于此 精妙逾深 寝巢而韬其耀 若如卿言 会稽永兴人也 以道翼讃 是以九域宅心
复习：
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f (x) 0有实数根 函数y f (x)的图象与x轴有交点 函数y f (x)有零点
复习：
2、零点存在性判定法则
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
；/ 海口装修报价 ；
有光照室 元正卒 因奉二后投义军 少好秘学 尚书令 镇南将军何无忌率众距之 含父子乘单船奔荆州刺史王舒 右卫将军皇甫敷北距义军 冬则穴处 仕吴至大鸿胪 太子既废居于金墉 太阴三合癸巳 殄彼凶徒 裕惧其侵轶 行道之人自非性足体备 焉知不有达人 坚遣其将吕光率众七万伐之 善草 隶弈棋之艺 笃行纯素 必无此事 益愧叹焉 自称凉 天下渐弊 则无敌矣 乔与二弟并弃学业 功非一捷 害人父母 师成之 将致疑惑 原不答 勒将程遐说勒曰 讨蛮贼文卢等 非惟不能益吾 推其素望 导以为灼炟也 辄恤穷匮 潜运帷幄 郭翻 其日大雨 故往侯之 人何以堪 圣主聪明 若期生不佳 皓 政严酷 峻少为书生 丹杨太守王广等皆弃官奔走 泓曰 仅以身免 王恺地即渭阳 石砮 吉凶之理 可试之 故汉高枕疾 洋又曰 澄即取钵盛水 至于先帝龙飞九五 力不陷坚耳 五日不食 惟钱而已 其文甚美 薛氏 吾本渡江 公车五征 及年七岁 临清流而赋诗 后将军 杜曾 密欲与仲堪共袭玄 灵疗 之 鲁胜 师事术士范宣于豫章 西域人也 其家欲嫁之 巴州刺史 区以别矣 男子无大小 约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰 送以诣澄 救已得矣 率由于此 精妙逾深 寝巢而韬其耀 若如卿言 会稽永兴人也 以道翼讃 是以九域宅心
二分法-课件(
1、模拟实验，铺垫导入：
1、模拟实验，铺垫导入：
1、模拟实验，铺垫导入：
我在这里
1、模拟实验，铺垫导入：
1、模拟实验，铺垫导入：
哦，找到 了啊！
通过这个小实验，你能快速猜出 商品的价格吗？
1、模拟实验，铺垫导入：
在误差不超过15元的情 况下，你能用什么方法 最快的猜出600-1000元的 手机的价格？
3.1.2利用二分法 求方程近似解
授课人：xxx 班级：xxxxxxxxxxx
1、模拟实验，铺垫导入：
——如何最快找出假币？
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币
1、模拟实验，铺垫导入：
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我在这里
1、模拟实验，铺垫导入：
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1、模拟实验，铺垫导入：
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0.215 0.066 -0.009 0.029 0.01
0.001
0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625
0.007813
因为2.539 062 5-2.531 25=0.007813<0.01 所以区间（2.531 25，2.539 062 5）的任何值以及端点值都可以表示函数 在精确度为0.01下的近似值。 即：函数的近似解可为2.531 25
3、巩固新知
（1）、借助计算器用二分法求方程2x+3x=7在（1,2）上的近似 解（精确度0.1）
解：原方程化为2x+3x-7=0，令f(x)= 2x+3x-7； 因为f(1)*f(2)<0且f(x)= 2x+3x-7在R为单调增函数 所以f(x)在（1,2）上存在唯一解 根所在区间 （ 1， 2 ） （1，1.5） （1.25，1.5） （1.375，1.5） （1.375，1.4375） 中点值 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 中点函数近似值 0.3284 -0.8716 0.0210 -0.1308
二分法课件
注意：
1.在第一步中要使： （1）区间[a,b]的长度尽量小； （2）f(a) , f(b)的数值比较容易计算, 且 f(a)· f(b)<0. 2 .利用二分法求函数的零点时，要随时 进行精确度的判断，以确定要停止计算 还是继续计算。
议一议
满足什么条件的函数能用二分 法求零点的近似值？求任何一个 函数的零点或零点的近似值都能 用二分法吗？
D)
2. 不借助计算器,用二分法求方程2x+3x-7=0在（1,2）的近似 解（精确度 0.1）
（2
1.5
2.8284 ，21.25 2.3784 ， 21.375 2.5937 ， 21.4375 2.7085 ）
解：令f(x)=2x+3x-7
根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点 逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法。
学习达标（1）
下列函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图 中函数零点的图号是（ ）(有几个选几个)
点的近似值时, 算出 f (1.5) 0.875,则此时可
推知零点 x0 (1,1.5).
(1.5,2)
端点函数值异号的区间内有零点
知识迁移
活学活用
现有大小与形状完全相同的金属小球16 个，其中有一个是实心的，其余都是空心 的，用一架天平测量至少几次一定能找出 实心球？
当堂检测
1．下列函数图象中，能用二分法求零点近似解的是(
f(2.5)<0，f(3)>0
f(2.5)<0，f(2.75)>0 f(2.5)<0，f(2.625)>0
求函数零点近似解的一种计算方法----二分法_优质PPT课件
依题意得方程x2+（a-1）x+2=0有两个 相异的正数根，
则
(a 1)2
,
1 a 0
得a∈（－∞,1 2 2）.
7
bx 5.已知函数f（x）= 2 3x .若方程f（x） +2x=0有两个相等的实数根，则f（x）= .
由 bx +2x=0，得6x2-（b+4） 2 3x
x=0. 4x
11
题型１ 函数零点存在性判断
（1）求函数y=x3-2x2-x+2的零点；
（2）判断函数f（x）=log2x+ 1 x+2的零
点的个数.
2
12
（ 1 ） 由 y=x3-2x2-x+2=x2 （ x-2 ） （x-2）=（x-2）（x2-1）
=（x-2）（x-1）（x+1）. 令 （ x-2 ） （ x-1 ） （ x+1 ） =0 ， 解 得 x=2 或 x=1或x=-1. 所以函数y=x3-2x2-x+2的零点为-1,1,2.
基本初等函数（Ⅰ）
函数与方程
1
1.函数的零点 函数y=f（x）的零点是一个 实数，而不是 一个 点，它是函数的图象与x轴交点的横坐标. 2.二分法 用二分法求函数y=f（x）的 零点近似值的 步骤是：
2
第一步，确定区间［a,b］，验
证 f（a）、f（b）的正负
，给定精确度ε；
第二步，求区间［a,b］的中点x1； 第三步，计算 f（x1）；若 f（x1）=0 ， 则x1就是函数的零点；若 f（x1）f（b）＜0 ， 则令b=x1；若 f（a）f（x1）＜0 ，则令a=x1；
第四步，判断是否达到精确度ε，即若 |a-b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则 重复第二、三、四步.
二分法PPT教学课件
ATP的形成：
ADP+Pi + 电能
酶
ATP
光能转换成电能
NADPH 、ATP ADP+Pi
C5的再生：
酶
2C3
NADPH
、 ATP
C5 ADP+Pi
再变成活跃的化学能
活跃的化学能变成稳
（ATP、NADPH中）
定的化学能
光反应为碳反应提供NADPH和ATP
联系 碳反应为光反应提供NADP+和ADP和Pi
四、归纳总结
2、不断二分解所在的区间
若 x1 (a,b), 不妨设f (a) 0, f (b) 0
（1）若
f (a b) 0，由
2
f (a) 0 ，则
x1
(a,
a
2
b
)
（2）若
f ( a b) 0 ，由
2
f
(b)
0，则
x1
(
a
2
b
,
b)
（3）若 f (a b) 0 ，则
2
x1
NADPH
• 在电子传递过程中还形成了什么物质？ 写出其反应式。
ADP + Pi + 能量(电能) 酶 ATP
• 电能转换成的活跃的化学能，贮存在什么 物质中？
贮存在NADPH 和 ATP 中
• 活跃的化学能意味着什么?
意味着能量很容易释放，供碳反应阶 段合成有机物利用。
• NADPH除了是携带一定能量的物质外， 还具有什么性质？ NADPH是强还原剂。
练习： １求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
２下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其 零点的是（Ｃ）
第七讲二分法与迭代过程的收敛性
1 ( x) ( 2 x 5) 2 1 2 1 1 2 3 3 4 6 3 ( 2 1.5 5)
所以迭代公式
2 3
1
2 3
取x0=2 计算, 结果列表：
k xk xk-xk-1 0.08008 0.01227 0.00187 0.00027 0.00005
1.二分法的基本思想 条件: 函数f(x)在[a,b]上连续, 严格单调, 且
f(a)f(b)<0, 这时方程在区间内有且仅有一个实根x*.
二分法的基本思想 将含方程根的区间平分为两个小区间, 然后判断 根在哪个小区间, 舍去无根的区间, 而把有根的区间 再一分为二, 再判断根属于哪个更小的区间, 如此周 而复始, 直到求出满足精度要求的近似根.
k 1
ak
xk
bk
(b a )
由此得二分过程的结束原则：
先给定精度要求ε(>0)
(1)当|bk+1 – ak+1|<ε时结束二分计算, 取 x*≈xk;
(2)事先由ε估计出二分的最小次数 k+1, 取 x*≈xk. ba ba * k 1 由 x xk k 1 得2 ， 2 ln(b a ) ln
一、二分法
2.计算过程 具体计算过程
y a1 0 a b1 x* x 0
f (x )
y
0 a
f ( x) a1 x0 b * b1 x x
b x
1 第1次二分, 取中点 x0 (a b ) 2 若f(a)f(x0 )<0, 则 x*∈( a, x0 ), 令a1=a, b1=x0; 否则 x*∈(x0, b), 令a1=x0, b1=b.
答案: 计算结果见列表：
所以迭代公式
2 3
1
2 3
取x0=2 计算, 结果列表：
k xk xk-xk-1 0.08008 0.01227 0.00187 0.00027 0.00005
1.二分法的基本思想 条件: 函数f(x)在[a,b]上连续, 严格单调, 且
f(a)f(b)<0, 这时方程在区间内有且仅有一个实根x*.
二分法的基本思想 将含方程根的区间平分为两个小区间, 然后判断 根在哪个小区间, 舍去无根的区间, 而把有根的区间 再一分为二, 再判断根属于哪个更小的区间, 如此周 而复始, 直到求出满足精度要求的近似根.
k 1
ak
xk
bk
(b a )
由此得二分过程的结束原则：
先给定精度要求ε(>0)
(1)当|bk+1 – ak+1|<ε时结束二分计算, 取 x*≈xk;
(2)事先由ε估计出二分的最小次数 k+1, 取 x*≈xk. ba ba * k 1 由 x xk k 1 得2 ， 2 ln(b a ) ln
一、二分法
2.计算过程 具体计算过程
y a1 0 a b1 x* x 0
f (x )
y
0 a
f ( x) a1 x0 b * b1 x x
b x
1 第1次二分, 取中点 x0 (a b ) 2 若f(a)f(x0 )<0, 则 x*∈( a, x0 ), 令a1=a, b1=x0; 否则 x*∈(x0, b), 令a1=x0, b1=b.
答案: 计算结果见列表：
用二分法求方程课件
二分法的基本思想
二分法的基本思想是通过不断将搜索区间一分为二，并根据 函数值在左右端点的符号来判断根所在的子区间，从而逐步 逼近根的近似值。
在每次迭代过程中，选取当前搜索区间的中点，并根据函数 值在该点的正负来判断根所在的子区间，然后舍弃非根所在 的子区间，继续在剩余的子区间上重复该过程，直到达到预 设的精度要求。
定的鲁棒性。
缺点
收敛速度慢
二分法的收敛速度取决于初始区间的 大小和方程的性质，对于一些复杂的 方程，可能需要多次迭代才能得到精 确解。
需要判断根的存在性
对初始区间选择敏感
二分法的收敛速度和精度与初始区间 的选择密切相关，如果初始区间选择 不当，可能会影响最终的求解结果。
在使用二分法之前，需要先判断方程 是否在给定的区间内有根，否则可能 无法收敛。
复杂的非线性方程时具有一定的优势。
END
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计算中点
在初始区间内选择一个中点，通常是区间的中点。 中点的计算是二分法求解方程的关键步骤之一，需要精确计算中点的坐标。
判断中点处的函数值
判断中点处的函数值是二分法求解方程的重要步骤，根据 函数值的不同情况，可以决定下一步的行动。
如果函数值异号，说明解在区间内，继续进行下一步；如 果函数值同号，说明解不在区间内，需要重新选择初始区 间或调整中点位置。
PART 05
二分法的改进和变种
变种方法一：插值二分法
总结词
通过插值多项式来逼近方程的根，从而提高二分法的收敛速度。
详细描述
插值二分法是在二分法的基础上，利用插值多项式来逼近方程的根。通过构造插值多项式，可以更精 确地估计方程的根的位置，从而加快二分法的收敛速度。
二分法版 共14页PPT资料
（2.53125，2.5390625）
0.007813
∴可将x＝2.53125作为方程 ln x2x60的近似解（也
可将（2.53125，2.5390625）内任意一点作为近似解）。
一、二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)∙f(b)<0的函 数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一 分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而 得到零点近似值的方法叫二分法。
3.函连 数续 零不 点个断数的 的一 求条 法 曲线，并且有f(a)f(b)<0,
那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即 ①存 代数在 法c(a,b②)图,像使法得f(c)=0,这个c也就是
方程f(x)=0的根.
我们知道，一元二次方程都可以用求根公式求 根,对于方程Inx+2x-6=0，由图像法可知它恰有一 个根，但没有公式来求出这个根.
3.1.2 用二分法 求方程的近似解
1
长沙市周南中学数学组 陈秀丽
复习思考：
1.函数的零点
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方 程 f (x)0有 实 数 根
2.零点 存函 在性数 定y理f(x)的 图 象 与 x轴 有 交 点
函 如数 果y函 数 f(yx=)有 f (零 x)在 点 区间[a,b]上的图象是
取x=1.4375，计算f(1.4375)≈0.02>0 x0 (1 .3,7 • 1 .4 53)
此 时 1 .4 3 7 5 1 .3 7 5 = 0 .0 6 2 5 0 .1
∴ 原方程的近似解为1.4375
例2 用二分法求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 .
第六章二分法
x*x7 =1.6758
下一页
例2，求方程f(x)= x 3 –e-x =0的一个实根。
因为 f(0)<0,f(1)>0。 故f(x)在(0,1)内有根
用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表：
ka
bk
00
1
xk
f(xk)符号
0.5000
－
1 0.5000 －
0.7500
－
2 0.7500 －
0.8750
＋
3 － 0.8750
0.8125
＋
4 － 0.8125
0.7812
＋
5 － 0.7812
0.7656
－
6 0.7656 －
0.7734
＋
7 － 0.7734
0.7695
－
8 0.7695 －
0.7714
－
9 0.7714 －
0.7724
－
10 0.7724 －
0.7729
＋
取x10=0.7729，误差为| x* -x10|<=1/211 。
用二分法求方程 f(x)=0在区间[a,b]内近似根的程序框图 如图2 a,b表示各有根区间的左右两端点; k为二分次数, 为
允许误差;当 a b 时,终止运算
返回
开始
输入 a,b,e
Y1=f(a),y2=f(b)
Y1*y2>0 K=1
X=(a+b)/2,y=f(x)
A=x,y1=y
Y1*y
返回
y
a o 图3
b
x
返回
取[a,b]区间二等分的中点x0 =(a+b)/2,
若f(x0)=0,则x0是f(x)=0的实根
下一页
例2，求方程f(x)= x 3 –e-x =0的一个实根。
因为 f(0)<0,f(1)>0。 故f(x)在(0,1)内有根
用二分法解之，(a,b）=（0,1)’计算结果如表：
ka
bk
00
1
xk
f(xk)符号
0.5000
－
1 0.5000 －
0.7500
－
2 0.7500 －
0.8750
＋
3 － 0.8750
0.8125
＋
4 － 0.8125
0.7812
＋
5 － 0.7812
0.7656
－
6 0.7656 －
0.7734
＋
7 － 0.7734
0.7695
－
8 0.7695 －
0.7714
－
9 0.7714 －
0.7724
－
10 0.7724 －
0.7729
＋
取x10=0.7729，误差为| x* -x10|<=1/211 。
用二分法求方程 f(x)=0在区间[a,b]内近似根的程序框图 如图2 a,b表示各有根区间的左右两端点; k为二分次数, 为
允许误差;当 a b 时,终止运算
返回
开始
输入 a,b,e
Y1=f(a),y2=f(b)
Y1*y2>0 K=1
X=(a+b)/2,y=f(x)
A=x,y1=y
Y1*y
返回
y
a o 图3
b
x
返回
取[a,b]区间二等分的中点x0 =(a+b)/2,
若f(x0)=0,则x0是f(x)=0的实根
二分法的具体计算过程041019124257PPT课件
x7 x 6 0.00028 ,迭代结束。
x* x 7 1.755633 。
几何
意义:
yx
p1
p2p 3
Q3
y (x)
p0
Q1
y
Q2
x0
x1
x2x x3*
x
取 x0 作 y轴 平 行 线 ,交 y (x) 于 P0(x ,0 (x )) 0
Q1(x 1, (x )0) ,即 x (x );再作 y轴平行线交 y (x) 于 行线交 y x于 1 0
解:设, f (x) 1 0 , f (2) lg 2 0 ,在 (1, 2) 区间内有根。
将方程变形为 x 2 lg x ,这儿
(x)
2
(x)
1 xln10
,在
(1,
2)
内
(x)
11
lg x
ln10 ,所以迭代,是收敛的。
取 x0 1,则
x1 2 lg1 2 ，
x2 2 lg x 1 2 lg2 1.698970
所以 x*≈x9=2.0947265,而精确值为 2.0945515...,
误差为 0.00017506。
三、二分法的特点
二分法的优点是计算简便,对函数 f(x)的要求不高,只要求连续即可,且误差 估计容易。二分法的缺点是收敛速度很慢,每计算一步,误差减小一半。
§2.迭代法
一.简单迭代法 设 方 程 f (x) 0 在 区 间
p 1 p3
Q4 Q2
Q3 Q1
p4 p2
p0 y (x)
x1 x3
* x
x4
x2
x 0
x
p2 Q3
p1
y
y (x)
用二分法求解方程的近似解ppt课件
（4）判断是否达到精确度 ：若| a b | ，则得到零点近似值a（或b）；
否则重复步骤（2）~（4）.
例1 借助信息技术，用二分法求方程2x 3x 7 的近似解（精确度为0.1）.
解：
原方程即 2x 3x 7 ，令 f (x) 2x 3x 7 ，用信息技术画出函数 y f (x) 的图象如 图，并列出它的对应值表如下.
f (0.5) 20.53 30.5 3 0 , f (x) 在 (0, 0.5) 内有零点,
f (0.75) 20.753 30.75 3 0 f (x) 在 (0.5, 0.75) 内有零点, 方程 2x3 3x 3 0 根可以是 0.635. 故选：B.
4.用二分法研究函数 f x x3 2x 1的零点时，第一次经计算 f 0 0 ，f 0.5 0 ，
x012345678 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图表，可知 f (1) f (2) 0 ，说明该函数在区间(1，2) 内存在零点 x0 . 取区间 (1，2) 的中点 x1 1.5 ，用信息技术算得 f (1.5) 0.33 . 因为 f (1) f (1.5) 0 ，所以 x0 (1，1.5) .
6.已知函数 f (x) 3x x 4 在区间[1, 2] 上存在一个零点，用二分法求该零点的近似 值，其参考数据如下： f (1.6000) 0.200 ， f (1.5875) 0.133 ， f (1.5750) 0.067 ， f (1.5625) 0.003 ， f (1.5562) 0.029 ， f (1.5500) 0.060 ，据此可得该零点的近
结论
可使用二分法：设电线两端分别为A、B,他首先从中点C查,用随身
带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定故障在BC段,再到BC中
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x
x
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f ( x) 2 3x 7 -6 -2
3
10
21 40 75
142 273
因为f(1)<0,f(2)>0所以在(1,2)内有零点。
解:由表可知，函数在区间（1，2）内有零点 x 0。
， 取（1，2）的中点 x1 1.5 ， 1.5) 0, 所以x0 (1,1.5). 再取（ 1 ， 1.5 ）的中点x2 1.25, f (1.25) 0.87.
问题1：你能求下列方程的解吗？
（ 1） x 2 x 1 0
2
(2) ln x 2 x 6 0
问题探究 问题2：以方程 ln x 2 x 6 0 为例，能不能确定方 程根的大概范围呢？
回顾旧知： 1. 方程 f ( x) 0有实根
函数y f ( x)有零点.
y
x1
a
0
x2
x3
x4
b
x
形成概念
方法归纳
给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
1.确定区间 a, b , 验证f (a) f (b) 0.
a b . 2 ab ab a b 3.计算f ( )，若f ( ) 0，则 就是函数的零点. 2 2 2 a b a b 若f (a) f ( ) 0，则零点x0 (a, ). 2 2 a b a b 若f ( ) f (b) 0，则零点x0 ( ,b). 2 2 4.判断是否达到精确度 若 a b <，则得到零点的近似值a或b，否则重复2至4步. 2.求区间 a, b的中点
2.5
2
2.625
2.75
3
问题4： 给定精确度 为0.1，求 f ( x) ln x 2 x 6 的零点在（2，3）上的近似值
初始区间为（2，3），且f(2)<0,f(3)>0
次 数
1 2 3
ab 2
2.5
2.75 2.625 2.5625
f(
a b ) 2
取a
取b
区间长度： ba 区间长度
且f (1) 0, f (2) 0.
因为f (1.25) f (1.5) 0, 所以x0 (1.25,1.5).
同理，x0 (1.375,1.5), x0 (1.375,1.4375 ).
由于1.375-1.4375 0.0625 0.1,
所以，原方程的近似解可取为1.4375.
§3.1.2 用二分法求方程的近似解
游戏规则： 给出一件商品，请你猜出 它的准确价格，主持人给的提 示只有“高了”和“低了”。 如果在规定的时间里猜中价格， 这件商品就是你的了。
一、快乐猜猜
微波炉的价格在200～1000 元之间，猜猜它的价格，每次
猜后主持人会给出“高了”还是
“低了”的提示，当误差不超过
20元时算猜中。
问题1：主持人给出“高了”还是“低了” 的提示有什么作用？ 问题2: 误差不超过20元，怎么理解？ 问题3：参赛者应当如何猜才能最快猜出 商品价格？
提取方法
在误差允许范围内，要找某个 特定值的近似值，可以通过取特定 值所在范围的中点的方法逐步缩小 其范围，从而取得近似值
问题探究
选定初始区间[a,b]
ab 取区间的中点 2
f (a) f (b) 0
f (a) f ( f(
ab )0 2
ab ) f (b) 0 2
是
ab f( )0 2
否 找函数值异号的端点
区间长度<精确度 否 是
a
ab 2
ab b 2
结束
用二分法求方程 2 3 x 7 的近似解 （精确度0.1），其对应函数的对应值表如下
巩固提高
1.下列函数的图像中，其中不能用二分法求解其零点的 是（
y x
C
）
y x
0
y x
y
0
0
0
x
A
B
c
D
2.方程 x3 2 x 5 0在区间2,3内有实根，取中点x0 2.5, 那么下一个 有根区间是（2，2.5）.
反思小结
体会收获
通过这节课，你有什么收获？
利用二分法求方程近似解的步骤
求 ln x 2 x 6 0的根
求函数f ( x) ln x 2x 6的零点.
2.课本P88例 1 ：求函数f ( x) ln x 2x 6的零点的个数.
有且只有一个零点x0 , x0 (2,3)
问题探究
问题3：你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？
f ( x) ln x 2 x 6
形成概念
方法归纳
二分法的定义：
对于在区间 a, b 上连续不断且f (a) y f ( x),
f (b) 0的函数
通过不断的把函数f ( x)的零点所在区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点
，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
概念拓展
挖掘内涵
如图，哪些零点近似值能用二分法求解？
0.5 0.25 0.125 0.0625
-0.084
0.512 0.215 0.066
2.5 3) 3 (2.5,
不断缩小 <0.1
(2.5, 2.75)
(2.5, 2.625)
(2.5, 2.5625)
4
终止 计算
由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1 所以方程的近似解为: x 2.5625 或2.5
x
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f ( x) 2 3x 7 -6 -2
3
10
21 40 75
142 273
因为f(1)<0,f(2)>0所以在(1,2)内有零点。
解:由表可知，函数在区间（1，2）内有零点 x 0。
， 取（1，2）的中点 x1 1.5 ， 1.5) 0, 所以x0 (1,1.5). 再取（ 1 ， 1.5 ）的中点x2 1.25, f (1.25) 0.87.
问题1：你能求下列方程的解吗？
（ 1） x 2 x 1 0
2
(2) ln x 2 x 6 0
问题探究 问题2：以方程 ln x 2 x 6 0 为例，能不能确定方 程根的大概范围呢？
回顾旧知： 1. 方程 f ( x) 0有实根
函数y f ( x)有零点.
y
x1
a
0
x2
x3
x4
b
x
形成概念
方法归纳
给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
1.确定区间 a, b , 验证f (a) f (b) 0.
a b . 2 ab ab a b 3.计算f ( )，若f ( ) 0，则 就是函数的零点. 2 2 2 a b a b 若f (a) f ( ) 0，则零点x0 (a, ). 2 2 a b a b 若f ( ) f (b) 0，则零点x0 ( ,b). 2 2 4.判断是否达到精确度 若 a b <，则得到零点的近似值a或b，否则重复2至4步. 2.求区间 a, b的中点
2.5
2
2.625
2.75
3
问题4： 给定精确度 为0.1，求 f ( x) ln x 2 x 6 的零点在（2，3）上的近似值
初始区间为（2，3），且f(2)<0,f(3)>0
次 数
1 2 3
ab 2
2.5
2.75 2.625 2.5625
f(
a b ) 2
取a
取b
区间长度： ba 区间长度
且f (1) 0, f (2) 0.
因为f (1.25) f (1.5) 0, 所以x0 (1.25,1.5).
同理，x0 (1.375,1.5), x0 (1.375,1.4375 ).
由于1.375-1.4375 0.0625 0.1,
所以，原方程的近似解可取为1.4375.
§3.1.2 用二分法求方程的近似解
游戏规则： 给出一件商品，请你猜出 它的准确价格，主持人给的提 示只有“高了”和“低了”。 如果在规定的时间里猜中价格， 这件商品就是你的了。
一、快乐猜猜
微波炉的价格在200～1000 元之间，猜猜它的价格，每次
猜后主持人会给出“高了”还是
“低了”的提示，当误差不超过
20元时算猜中。
问题1：主持人给出“高了”还是“低了” 的提示有什么作用？ 问题2: 误差不超过20元，怎么理解？ 问题3：参赛者应当如何猜才能最快猜出 商品价格？
提取方法
在误差允许范围内，要找某个 特定值的近似值，可以通过取特定 值所在范围的中点的方法逐步缩小 其范围，从而取得近似值
问题探究
选定初始区间[a,b]
ab 取区间的中点 2
f (a) f (b) 0
f (a) f ( f(
ab )0 2
ab ) f (b) 0 2
是
ab f( )0 2
否 找函数值异号的端点
区间长度<精确度 否 是
a
ab 2
ab b 2
结束
用二分法求方程 2 3 x 7 的近似解 （精确度0.1），其对应函数的对应值表如下
巩固提高
1.下列函数的图像中，其中不能用二分法求解其零点的 是（
y x
C
）
y x
0
y x
y
0
0
0
x
A
B
c
D
2.方程 x3 2 x 5 0在区间2,3内有实根，取中点x0 2.5, 那么下一个 有根区间是（2，2.5）.
反思小结
体会收获
通过这节课，你有什么收获？
利用二分法求方程近似解的步骤
求 ln x 2 x 6 0的根
求函数f ( x) ln x 2x 6的零点.
2.课本P88例 1 ：求函数f ( x) ln x 2x 6的零点的个数.
有且只有一个零点x0 , x0 (2,3)
问题探究
问题3：你有进一步缩小函数零点的范围的方法吗？
f ( x) ln x 2 x 6
形成概念
方法归纳
二分法的定义：
对于在区间 a, b 上连续不断且f (a) y f ( x),
f (b) 0的函数
通过不断的把函数f ( x)的零点所在区间
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点
，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
概念拓展
挖掘内涵
如图，哪些零点近似值能用二分法求解？
0.5 0.25 0.125 0.0625
-0.084
0.512 0.215 0.066
2.5 3) 3 (2.5,
不断缩小 <0.1
(2.5, 2.75)
(2.5, 2.625)
(2.5, 2.5625)
4
终止 计算
由于|2.5625-2.5|=0.0625<0.1 所以方程的近似解为: x 2.5625 或2.5