第7章 x2检验.
第七章X2检验
第七章X2检验第七章X2检验X2（称卡方）检验用途较广，但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显著性，也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。
一、两个率的比较（一）X2检验的基本公式下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。
两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。
造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。
为了区别这两种情况，应当进行X2检验。
其基本步骤如下：1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。
将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。
2.建立检验假设为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H0：π1=π2。
即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。
上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。
当H0被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H1。
此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H1：π1≠π2因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H0都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。
一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。
3．计算理论频数根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。
计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。
用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。
后者为81.25人。
然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。
计算理论频数也可用下式（3.4）TRC=nRnC/N (3.4)式中，TRC为R行与C列相交格子的理论频数，nR为与计算的理论频数同行的合计数，nC为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。
x2检验——精选推荐
x2检验本章重点1.熟悉x2检验的基本思想。
2.掌握x2检验在四格表资料、行×列表资料中的应用。
3.掌握配对计数资料的x2检验。
χ2 检验是一种用途广泛的假设检验方法，本章只介绍它在分类变量资料中的应用: χ2 检验的适用范围：1.推断两个或两个以上总体率或构成比之间有无差异；2.配对计数资料差异的显著性。
检验统计量：χ2应用：计数资料第一节 四格表资料的χ2 检验目的：推断两个总体率（构成比）是否有差别要求：两样本的两分类个体数排列成四格表资料一、四格表资料的基本公式x2检验基本思想检验“实际数”和假设“理论数”的差异是否是由于抽样误差引起（两个样本率的差异体现在“实际数”和假设“理论数”的差异中）。
实际数，用四格表表示，称为四格表资料，分别为a 、b 、c 、d ，其他的数据是从这四个实际数推算出来的，称为理论数（表中括号内的数据）。
实际数用A 表示，理论数T 表示。
A ：表示实际频数，即实际观察到的例数。
T ：理论频数，即如果假设检验成立，应该观察到的例数。
TRC ：第R 行C 列的理论频数nR ：相应的行合计，nC ：相应的列合计n 为总例数检验统计量χ2 值反映了实际频数与理论频数的吻合程度。
Χ2检验是检验实际数与理论数差异程度的指标。
A 与T 的值越接近， χ2越小，相反，实际数与理论数之间的差数越大， χ2值也就越大。
所得χ2值如果小于界值的χ2，P>0.05，即接受了原假设，可认为两组人群的治疗效果差异无统计学意义。
反之，如果所得χ2值大于查表所得χ2值，则P<0.05，即差异有统计学意义。
自由度计算公式Χ2值的大小，除了取决于A-T 的差值外，还取决于格子数的多少，格子数越多， χ2值越大，只有排除了这种影响， χ2值才能正确反映A 与T 的吻合程度，因此，在查χ2表时，要考虑自由度的大小。
22(), ()(1)A T Tχν-=∑=-行数-1列数 R C RC n n T n=计算公式：V=(行-1)(列-1) 四格表资料由2行2列组成，V=(2-1)(2-1)=1自由度即自由变动的范围，由于四格表周边的合计数已经固定，因此只要算出任一格的理论数，其余三个格子的理论数就没有自由变动的余地了，四格表的自由度V=1。
第七章 列联表资料的X2检验
• 3、观察结果： 四种形式 ⑴、甲+乙+ a ； ⑵、甲+乙－ b； ⑶、甲－乙+ c ； ⑷、甲－乙－ d。 • 4、配对资料的专用四格表 • 5、计算公式：McNemar test ⑴、专用公式：b+c＞40 P107，式（7-7） ⑵、校正公式：b+c＜40 P107，式（7-8） 6、注意事项：⑴、要求资料为配对的计数资 料；⑵要注意配对资料的四格表X2检验的适用 条件
对理论频数太小有以下三种处理办法： A、最好增加样本含量，以增加理论频数。 B、删去上述理论频数太小的行或列。 C、 将太小理论频数所在的行或列与性质相近 的邻行或邻列的实际频数合并。 （2）、当进行多个样本率（或构成比）比较 的X2检验，结论为拒绝检验假设H0时，只能 认为各总体率（或构成比）之间总的来说 有差异，但不能说它们彼此间有差异或某 两个间有差别，还需进一步进行两两比较。 （3）对于有序的R*C表资料不宜用X2检验
（五）、交叉分类2*2表的关联分析
1、 X2检验 2、列联系数r
（六）、2*2配对资料的关联性分析
1r检验）不一样，是四格表 资料X2检验基本的公式 2、列联系数r
（七）、R*C表资料的关联性检验
1、 X2检验 2、列联系数r
(八) 多个样本率比较的X2分割法
（四）、行×列表资料的X2检验
第7章 x2检验
例7-3：某实验室采用两种方法对58名可疑 红斑狼疮患者的血清抗体进行测定，问：两 方法测定结果阳性检出率是否有差别？
表7-3 两种方法的检测结果 免疫荧光法 ＋ － 乳胶凝集法
合计
＋ 11（a） 2（c） 13
－ 12（b） 33（d） 45
合计 23 35
58
检测结果一致: （a）免+乳+ ，（d) 免-乳检测结果不一致:(b) 免+乳- ， (c)免-乳+ 比较两种检测方法有无差异时，只需比较不一致的 结果 。
感染率 18.18 45.45 27.27
一、基本思想
1.各组合概率Pi的计算 周边合计不变的条件下，表内4个实际频数 变动的组合数共有“周边合计中最小数+1”
表7-4 两组新生儿HBV感染率的比较 组别 阳性 阴性 合计 感染率（%） 预防注射组 4 18 22 18.18 非预防组 5 6 11 45.45 合计 9 24 33 27.27
公式：
b c 40
2 ( b c ) 2 x , bc b c 40
v 1
(7 7)
(| b c | 1) x , bc
2 2
v 1
(7 8)
1.建立检验的假设，确定检验水准 H0：b=c ；H1：b c =0.05 2.计算 χ2 统计量
b+c=2+12=14<40
(a b)! (c d )! (a c)! (b d )! pi a!b!c!d!n!
(7 9)
(a b)! (c d )! (a c)! (b d )! pi a!b!c!d!n!
(7 9)
2.累计概率P的计算 1）单侧检验：现有样本四格表及其以左的所 有四格表组合的累积概率为左侧概率（PL）; 现有样本四格表及其以右的所有四格表组合的 累积概率为右侧概率(PR)。 H1为π1>π2，则P单侧 =PR； 若H1为π1<π2，则P单侧=PL 2.双侧检验： 计算满足Pi ≤P*条件下的各种组合之四格表 的累计概率。
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算x2检验（chi-square test）或称卡方检验x2检验（chi-square test）或称卡方检验，是一种用途较广的假设检验方法。
可以分为成组比较（不配对资料）和个别比较（配对，或同一对象两种处理的比较）两类。
一、四格表资料的x2检验例20.7某医院分别用化学疗法和化疗结合放射治疗卵巢癌肿患者，结果如表20-11，问两种疗法有无差别？表20-11 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较组别有效无效合计有效率（%）化疗组19 24 43 44.2 化疗加放疗组34 10 44 77.3合计53 34 87 60.9表内用虚线隔开的这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）从该资料算出的两种疗法有效率分别为44.2%和77.3%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两种治疗有效率（总体率）确有所不同。
这里可通过x2检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为：式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。
T为理论数，是根据检验假设推断出来的；即假设这两种卵巢癌治疗的有效率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。
这里可将两种疗法合计有效率作为理论上的有效率，即53/87=60.9%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。
兹以表20-11资料为例检验如下。
检验步骤：1.建立检验假设：H0：π1=π2H1：π1≠π2α=0.052.计算理论数（TRC），计算公式为：TRC=nR.nc/n 公式（20.13）式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。
第1行1列： 43×53/87=26.2第1行2列： 43×34/87=16.8第2行1列： 44×53/87=26.8第2行2列： 4×34/87=17.2以推算结果，可与原四项实际数并列成表20-12：表20-12 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1=26.2），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出，示范如下：T1.1=26.2T1.2=43-26.2=16.8T2.1=53-26.2=26.8T2.2=44-26.2=17.23.计算x2值按公式20.12代入4.查x2值表求P值在查表之前应知本题自由度。
SPSS简明教程X2检验和T检验
SPSS最适用的统计学方法（X2检验和T检验）1．SPSS的启动（1）在windows[开始]→[程序]→[spss20]，进入SPSS for Windows对话框，2．创建一个数据文件三个步骤：（1）选择菜单【文件】→【新建】→【数据】新建一个数据文件。
（2）单击左下角【变量视窗】标签进入变量视图界面，定义每个变量类型。
（3）单击【数据视窗】标签进入数据视窗界面，录入数据库单元格内。
3．读取外部数据当前版本的SPSS可以很容易地读取Excel数据，步骤如下：（1）按【文件】→【打开】→【数据】的顺序使用菜单命令调出打开数据对话框，在文件类型下拉列表中选择数据文件,如图2.2所示。
图2.2 Open File对话框（2）选择要打开的Excel文件，单击“打开”按钮，调出打开Excel数据源对话框，如图2.3所示。
对话框中各选项的意义如下：工作表下拉列表：选择被读取数据所在的Excel工作表。
范围输入框：用于限制被读取数据在Excel工作表中的位置。
图2.3 Open Excel Data Source对话框4．数据编辑在SPSS中，对数据进行基本编辑操作的功能集中在Edit和Data菜单中。
5．SPSS数据的保存SPSS数据录入并编辑整理完成以后应及时保存，以防数据丢失。
保存数据文件可以通过【文件】→【保存】或者【文件】→【另存为】菜单方式来执行。
在数据保存对话框（如图2.5所示）中根据不同要求进行SPSS数据保存。
图2.5 SPSS数据的保存5. 数据分析在SPSS中，数据整理的功能主要集中在【数据】和【分析】两个主菜单下6.语言切换：编辑（E）—选项（N）--用户界面-语言--简体中文第六章：描述性统计分析(X2检验)完成计数资料和等级资料的统计描述和一般的统计检验，我们常用的X2检验也在其中完成。
6.1.1界面说明界面如下所示:分析—描述统计—频率用于定义需要计算的其他描述统计量。
现将各部分解释如下：Percentile Values复选框组定义需要输出的百分位数，可计算1.四分位数(Quartiles)、2.每隔指定百分位输出当前百分位数(Cut points for equal groups)3.直接指定某个百分位数(Percentiles)，如直接P2.5和P97.5o Central tendency复选框组用于定义描述集中趋势的一组指标：均数(Mean)、中位数(Median)、众数(Mode)、总和(Sum)。
概率论与数理统计教程第七章答案
.第七章假设检验7.1设总体J〜N(4Q2),其中参数4, /为未知，试指出下面统计假设中哪些是简洁假设，哪些是复合假设：(1) W o: // = 0, σ = 1 ；(2) W o√∕ = O, σ>l5(3) ∕70:// <3, σ = 1 ；(4) % :0< 〃 <3 ；(5)W o :// = 0.解：(1)是简洁假设，其余位复合假设7.2设配么，…，25取自正态总体息(19),其中参数〃未知，无是子样均值,如对检验问题“0 ：〃 = 〃o, M ：4工从)取检验的拒绝域：c = {(x1,x2,∙∙∙,x25)r∣x-χ∕0∖≥c},试打算常数c ,使检验的显著性水平为0. 05_ Q解：由于J〜N(〃,9),故J~N(",二)在打。
成立的条件下，一/3 5cP o(∖ξ-^∖≥c) = P(∖ξ-μJ^∖≥-)=2 1-Φ(y) =0.05Φ(-) = 0.975,-= 1.96,所以c=L176°3 37. 3 设子样。
,乙，…，25取自正态总体，cr：已知，对假设检验%邛=μ0, H2> /J。
,取临界域c = {(X[,w,…,4)：片>9)}，(1)求此检验犯第一类错误概率为α时，犯其次类错误的概率夕，并争论它们之间的关系；(2)设〃o=0∙05, σ~=0. 004, a =0.05, n=9,求"=0.65 时不犯其次类错误的概率。
解：(1)在儿成立的条件下，F~N(∕o,军)，此时a = P^ξ≥c^ = P0< σo σo )所以，包二为册=4_,,由此式解出c°=窄4f+为% ∖∣n在H∣成立的条件下，W ~ N",啊 ,此时nS = %<c°) = AI。
气L =①(^^~品)二①匹%=①(2δξ^历σoA∣-σ+A)-A-------------- y∕n)。
第七章次数资料分析——2检验
表7-3 x 2 计算表
实际观察次 数(A)
理论次数(T)
192
202.5
78
67.5
72
67.5
18
22.5
360
360
A-T
-10.5 +10.5 +4.5
-4.5
0
( A T )2 T
0.5444 1.6333
0.3 0.9
3.377
第二节 适合性检验
▲（五）查临界 x 2 值，作出统计推断 (P346)
★ χ2的连续性矫正
● 当df=1时，计算χ2 值必须进行矫正，计算公式为：
2 c
( A T 0.5)2 T
原因： χ2分布属于连续型随机变量的概率分布，在对 次数资料进行χ2检验时，计算所得的χ2值偏大，概率 偏低，因此需要矫正。
●当df＞1时，可不作连续性矫正，但要求各组内的理 论次数不小于5。若某组的理论次数小于5，则应把它 与其相邻的一组或几组合并，直到理论次数大于5为 止。
▲（一）建立假设
H0：实际观察次数之比符合9：3：3：1的理论比例 HA：实际观察次数之比不符合9：3：3：1的理论比例
第二节 适合性检验
▲（二）计算公式
●本例的属性类别分类数k=4， 因此自由度df=k-1=4-1=3，可采用一般公式
x 2 ( A T )2
T
第二节 适合性检验
▲（三）计算理论数
x2检验的显著性三个判断标准
1、x2＜x20.05 P＞0.05
差异不显著；
2、x20.05≤x2＜x20.01 0.01＜P≤0.05
差异显著；*
3、x2≥x20.01 P≤0.01
差异极显著；**
第7章 卡平方(X2)测验
比较, 比较,
则否定H 接受H 如果 ,则否定H0接受HA,即试验总体 不符合理论假设.反之则相反.（P147,例题） 不符合理论假设.反之则相反. P147,例题） 例题
2 X 2 ≥ X α ,( df )
当属性类别数大于2 当属性类别数大于2时，可利用下面的简化 2 公式计算。 公式计算。
Oi 1 χ = ∑ −T T pi
2 0.025
f (χ 2 )
0.6 0.5
不同自由度的分布曲线
0.4
ν =1
0.3
0.2
ν =3
ν =5
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12
χ2
(二).X2分布的特点
1.X2分布是连续性分布,取值区间为[0, ＋∞),平 分布是连续性分布,取值区间为[0, ),平 连续性分布 方差为2df 均数µ x2 = df 方差为2df 分布的形状决定于自由度df, df=1时 形状决定于自由度df 2.X2分布的形状决定于自由度df,当df=1时,曲线极 度左偏,呈反J 随着df增大, df增大 度左偏,呈反J形;随着df增大,曲线逐渐趋向对称而 接近于正态分布. df→∞时为正态分布 时为正态分布. 接近于正态分布.当df→∞时为正态分布. 分布是一组动态变化曲线. 一组动态变化曲线 3.X2分布是一组动态变化曲线. 2分布具有可加性,若 x ~ χ 2 , x ~ χ 2 可加性, 4.X 分布具有可加性 1 (n) 2 (m) 则
第三节 独立性测验
什么是独立性测验? 一.什么是独立性测验? 对次数资料探求两个变量间是否彼此独立 的假设检验. 的假设检验.
二.独立性测验的步骤
1.提出假设H 两个变量相互独立; 1.提出假设H0:两个变量相互独立; HA两个 提出假设 变量彼此相关. 变量彼此相关. 2.确定显著水平 2.确定显著水平 3.根据2个变量相互独立的假设, 3.根据2个变量相互独立的假设,计算每一 根据 组的理论数,再计算X 组的理论数,再计算X2值. 4.推断:当算得的X ,则接受 则接受H 4.推断:当算得的X2值< X α2,( df ) ,则接受H0,即 推断 两个变量独立.反之则相反. 两个变量独立.反之则相反.
X2检验p
合 计
13
45
58
12
H0：B＝C，即两种方法的总体检测
结果相同 H1：B≠C，即两种方法的总体检测 结果不相同
0.05
13
(b c) bc 2 ( b c 1 ) 2 c bc
2 2
=1 =1
（b＋c）≥40时
（b＋c）＜40时
本例
2 c
( 12 2 1) 2 12 2
18
双向无序分类资料的关联性检验
表7-10 某地5801人的血型
ABO血型 O A B AB MN血型
M
431 388 495 137
N
490 410 587 179
MN
902 800 950 32
合计 1823 1598 2032 348
合 计
1451
1666
2684
5801
问题：（1）两分类变量有无关联？ （2）关联程度如何？
神经节苷酯组
合 计
18
64
8（4.67）
14
26
78
69.23
82.05
校正： c2 3.14
2 未校正： 4.35
11
第二节
2 配对四格表资料的 检验
表7-3
免疫荧光法 ＋ －
两种方法的检测结果
乳胶凝集法 ＋ 11（a） 2（c） － 12（b） 33（d） 合计 23 35
胆结石的类型和部位
例 数 其它 32 24 7 63 百分比（%） 胆固醇 结石 59.3 16.0 6.9 37.8 胆红素 结石 13.6 52.0 69.0 33.8 其它 27.1 32.0 24.1 28.4
张勤主编的(畜牧兽医)生物统计学方面的习题作业及答案
第一章绪论一、名词解释总体个体样本样本含量随机样本参数统计量准确性精确性二、简答题1、什么是生物统计？它在畜牧、水产科学研究中有何作用？2、统计分析的两个特点是什么？3、如何提高试验的准确性与精确性？4、如何控制、降低随机误差，避免系统误差？第二章资料的整理一、名词解释数量性状资料质量性状资料半定量（等级）资料计数资料计量资料二、简答题1、资料可以分为哪几类？它们有何区别与联系？2、为什么要对资料进行整理？对于计量资料，整理的基本步骤怎样？3、在对计量资料进行整理时，为什么第一组的组中值以接近或等于资料中的最小值为好？4、统计表与统计图有何用途？常用统计图、统计表有哪些？第三章平均数、标准差与变异系数一、名词解释算术平均数几何平均数中位数众数调和平均数标准差方差离均差的平方和（平方和）变异系数二、简答题1、生物统计中常用的平均数有几种？各在什么情况下应用？2、算术平均数有哪些基本性质？3、标准差有哪些特性？4、为什么变异系数要与平均数、标准差配合使用？三、计算题1、10头母猪第一胎的产仔数分别为：9、8、7、10、12、10、11、14、8、9头。
试计算这10头母猪第一胎产仔数的平均数、标准差和变异系数。
2、随机测量了某品种120头6月龄母猪的体长，经整理得到如下次数分布表。
试利用加权法计算其平均数、标准差与变异系数。
组别组中值（x）次数（f）80— 84 288— 92 1096— 100 29104— 108 28112— 116 20120— 124 15128— 132 13136— 140 33、某年某猪场发生猪瘟病，测得10头猪的潜伏期分别为2、2、3、3、4、4、4、5、9、12(天)。
试求潜伏期的中位数。
4、某良种羊群1995—2000年六个年度分别为240、320、360、400、420、450只，试求该良种羊群的年平均增长率。
5、某保种牛场，由于各方面原因使得保种牛群世代规模发生波动，连续5个世代的规模分别为：120、130、140、120、110头。
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算x2检验（chi-square test）或称卡方检验x2检验（chi-square test）或称卡方检验，是一种用途较广的假设检验方法。
可以分为成组比较（不配对资料）和个别比较（配对，或同一对象两种处理的比较）两类。
一、四格表资料的x2检验例20.7某医院分别用化学疗法和化疗结合放射治疗卵巢癌肿患者，结果如表20-11，问两种疗法有无差别？表20-11 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较表内用虚线隔开的这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）从该资料算出的两种疗法有效率分别为44.2%和77.3%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两种治疗有效率（总体率）确有所不同。
这里可通过x2检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为：式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。
T为理论数，是根据检验假设推断出来的；即假设这两种卵巢癌治疗的有效率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。
这里可将两种疗法合计有效率作为理论上的有效率，即53/87=60.9%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。
兹以表20-11资料为例检验如下。
检验步骤：1.建立检验假设：H0：π1=π2H1：π1≠π2α=0.052.计算理论数（TRC），计算公式为：TRC=nR.nc/n 公式（20.13）式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。
第1行1列：43×53/87=26.2第1行2列：43×34/87=16.8第2行1列：44×53/87=26.8第2行2列：4×34/87=17.2以推算结果，可与原四项实际数并列成表20-12：表20-12 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1=26.2），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出，示范如下：T1.1=26.2T1.2=43-26.2=16.8T2.1=53-26.2=26.8T2.2=44-26.2=17.23.计算x2值按公式20.12代入4.查x2值表求P值在查表之前应知本题自由度。
007 第七章 X2检验
表7-4 两种方法检验结果 甲法(病理) ＋ ＋ － 合计 130(a) 11（c） 141 乙 法（超声） － 75（b） 41 (d) 116 205 52 257 合计
这是配对设计计数资料，表中两法的差别是由b和 c 两格数据来反映。总体中 b 和 c 对应的数据可用 B 和C 表示。
配对X2检验计算公式：
合
计
H0 :胃十二指肠疾病患者与健康输血员血型总体构成比相同 H1 :胃十二指肠疾病患者与健康输血员血型总体构成比不同 α=0.05 按公式
有效率（%）
治疗组 对照组 合 计
200 190 390 160 148
160 148 308 160 148
80.00 77.89 78.97 40 42
200 190
二、X2检验基本思想 X2 值的计算方法（通用公式）：
2 ( A T ) x2 T
式中A为实际数，T为理论数，是根据H0的假设 推算出来。
2 ( b c ) x2 , v 1 bc
若b+c<40:
2 (| b c | 1) x2 , v 1 bc
H0：两种方法总体检出率相等，即B=C； H1：两种方法总体检出率不相等，即B≠C； α=0.05
2 2 ( b c ) (75 11) x2 47.63 bc 75 11
疗法 阴转人数 未阴转人数 合计 阴转率(%)
───────────────────────────── 甲 30 14 44 68.2 乙 9 36 45 20.0 丙 32 12 44 72.7 ───────────────────────────── 合计 71 62 133 53.4 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
《统计学》-第7章-习题答案
第七章思考与练习参考答案1 •答：函数关系是两变量之间的确定性关系，即当一个变量取一定数值时，另一个变量有确定值与之相对应；而相关关系表示的是两变量之间的一种不确定性关系，具体表示为当一个变量取一定数值时，与之相对应的另一变量的数值虽然不确定，但它仍按某种规律在定的范围内变化。
2•答：相关和回归都是研究现象及变量之间相互关系的方法。
相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度，但不能确定变量间相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况；回归分析则可以找到研究变量之间相互关系的具体形式，并可变量之间的数量联系进行测定，确定一个回归方程，并根据这个回归方程从已知量推测未知量。
3•答：单相关系数是度量两个变量之间线性相关程度的指标，其计算公式为：总体相关系数二样本相关系数，「一】。
复相关系数是多元线性回归分析中度量因变量与其它多个自变量之间的线性相关程度的指标，它是方程的判定系数R2的正的平方根。
偏相关系数是多元线性回归分析中度量在其它变量不变的情况下两个变量之间真实相关程度的指标，它反映了在消除其他变量影响的条件下两个变量之间的线性相关程度。
4.答：回归模型假定总体上因变量Y与自变量X之间存在着近似的线性函数关系，可表示为Y^ 11X t u t，这就是总体回归函数，其中u t是随机误差项，可以反映未考虑的其他各种因素对Y的影响。
根据样本数据拟合的方程，就是样本回归函数，以一元线性回归模型的样本回归函数为例可表示为：Y?=耳+弭x t。
总体回归函数事实上是未知的，需要利用样本的信息对其进行估计，样本回归函数是对总体回归函数的近似反映。
两者的区别主要包括：第一，总体回归直线是未知的，它只有一条；而样本回归直线则是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归直线。
第二，总体回归函数中的-0和-1是未知的参数，表现为常数；而样本回归直线中的'?Q和?i是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。
统计学第四版第7章假设检验(简)总结
~ 2 n 1
2 n 1 s 当H 为真时，统计量 2
2 n 1 s 20 10.0042 2 统计量的值 31.92
2
0.0025
2 0.10， 查 2分布表得 02.05 （ 19） 30.14， 0 19 10.12 .95
假设检验分为两类：参数检验、非参数检验/自
由分布检验
2
例1
消费者协会接到消费者投诉，指控品牌纸包装饮
料存在容量不足，有欺骗消费者之嫌。包装上标 明的容量为250毫升。消费者协会从市场上随机抽 取50盒该品牌纸包装饮品，测试发现平均含量为 248毫升，小于250毫升。这是生产中正常的波动， 还是厂商的有意行为？消费者协会能否根据该样 本数据，判定饮料厂商欺骗了消费者呢？
提出原假设和备择假设→根据抽样分布，计算样本统 计量→选择显著性水平α ，查表确定临界值→判断并 得出结论。
8
第一步：确定原假设与备择假设
： =255；
：
≠250
原假设H0：通常是研究者 想收集证据予以反对的假 设，也称为零假设
备择假设H1：通常是研究 者想收集证据予以支持的 假设，也称为研究假设。
3
例2
一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐
的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐
容量是否符合要求，质检人员在某天生产
的饮料中随意抽取了40罐进行检验，测得每
罐平均容量为255.8ml。检验该天生产的饮
料容量是否符合标准要求。
4
例3
根据过去大量资料，某厂生产的产品的使
用寿命服从正态分布N（1020，1002）。现
χ2检验
第一节 计数资料的统计描述
计数资料中清点出的各组例数称为绝对数。绝 对数可以反映客观事物或现象的基本信息，但不便 于比较。
甲乙两地麻疹流行情况：甲地患儿100人，乙地患儿50人。
甲地麻疹流行严重 甲地易感儿童667人——15% 乙地易感儿童250人——20%
需要考虑两地易感儿童的人数
配对四格表的格式
A处理 + 合计 B处理 + 合计
2 ( b c ) 2 bc
a c a+c
b d b+d
a+b c+d n
2
( b c 1) 2 bc
三、行×列资料的χ2检验
行×列表：行数或列数至少有一个超过2的
统计表称为行×列表，也可以表示为R×C表。 行×列表χ2检验可用于： 多个样本率的比较 2个或多个样本构成比的比较 双向无序分类资料的关联性检验
一、相对数
相对数：两个有关联的数值之比就称为相对数，
用以说明事物的相对水平。
常用的相对数： 强度相对数（率）、结构相对数（构成比）、相对比
二、应用相对数时的注意事项
1。结构相对数不能代替强度相对数(以比代率) 2。计算相对数应有足够数量 3。正确计算合计率 4。应注意资料的可比性 （其一：内部构成是否相同） 5。对比不同时期资料应注意客观条件是否相同 6。样本率（或构成比）的抽样误差
A组
B组 合计
a(A11)) b(A12)
c(A21) d(A22) a+c b+d
a+b
c+d n
(ad bc)2 n (a b)(c d )(a c)(b d )
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算
x2检验或卡方检验和校正卡方检验的计算x2检验（chi-square test）或称卡方检验x2检验（chi-square test）或称卡方检验，是一种用途较广的假设检验方法。
可以分为成组比较（不配对资料）和个别比较（配对，或同一对象两种处理的比较）两类。
一、四格表资料的x2检验例20.7某医院分别用化学疗法和化疗结合放射治疗卵巢癌肿患者，结果如表20-11，问两种疗法有无差别？表20-11 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较表内用虚线隔开的这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）从该资料算出的两种疗法有效率分别为44.2%和77.3%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两种治疗有效率（总体率）确有所不同。
这里可通过x2检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为：式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。
T为理论数，是根据检验假设推断出来的；即假设这两种卵巢癌治疗的有效率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。
这里可将两种疗法合计有效率作为理论上的有效率，即53/87=60.9%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。
兹以表20-11资料为例检验如下。
检验步骤：1.建立检验假设：H0：π1=π2H1：π1≠π2α=0.052.计算理论数（TRC），计算公式为：TRC=nR.nc/n 公式（20.13）式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。
第1行1列：43×53/87=26.2第1行2列：43×34/87=16.8第2行1列：44×53/87=26.8第2行2列：4×34/87=17.2以推算结果，可与原四项实际数并列成表20-12：表20-12 两种疗法治疗卵巢癌的疗效比较因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1=26.2），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出，示范如下：T1.1=26.2T1.2=43-26.2=16.8T2.1=53-26.2=26.8T2.2=44-26.2=17.23.计算x2值按公式20.12代入4.查x2值表求P值在查表之前应知本题自由度。
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2 2 2 2 ( 99 90 . 48 ) ( 5 13 . 52 ) ( 75 83 . 52 ) ( 21 12 . 48 ) x2 90.48 13.52 83.52 12.48 12.86
3、自由度v=(2-1)(2-1)=1 X2(0.05,1)=3.84 12.86>3.84 P<0.05 可以认为异山梨醇口服液降低颅内压的有效 率高于氢氯噻嗪+地塞米松的有效率。
T11 90.48 T21 174 90.48 83.52 T12 104 90.48 13.52 T22 26 13.52 12.48
X2检验的步骤 例7-1 1.建立假设，确定检验水准 H0：π1=π2， H1： π1 ≠ π2 π2 α=0.05 2. 计量统计量 T11 =90.48 T12=13.52 T21=83.52 T22=
(ad bc) n x (a b)(c d )(a c)(b d )
2 2
(7 4)
(99 21 5 75) 200 x 12.86 104 96174 26
2 2
2 四格表资料的X 检验**
1、T≥5,且N ≥40时，用不校正公式计算x2值。 2、1≤ T<5,且N ≥40时，用连续性校正x2检验。
例7-2 某医师欲比较胞磷胆碱与神经节苷 治疗脑血管疾病的疗效，将78例脑血管疾病 患者随机分为两组，结果见表7-2。问两种药 物治疗脑血管疾病的有效率是否相等？
表 7-2 两种药物治疗脑血管疾病有效率的比较
组别 胞磷胆碱组 神经节苷酯酶 合计
有效 46 18 64
无效 6 8 14
合计 52 23 78
第七章
2 χ 检验
某医师为比较中药和西药治疗胃炎的疗效，
随机抽取140例胃炎患者分成中药组和西药组，
结果中药组治疗80例，有效64例，西药组治
疗60例，有效35例。该医师采用成组t检验进
行假设检验，结果t=-2.848,p=0.005,差异有统
计学意义，故认为中西药治疗胃炎的疗效有差
别，中药疗效高于西药。 1.资料的类型 是否正确 2.属于何种设计 3.统计方法
第一节
2 四格表资料的x 检验
一、 x2检验的基本思想
1.x2分布 （1）x2分布是一种连续型分布： x2分布只有一个参数：自由度 自由度≤2时，曲线呈L形 随着自由度的增加，曲线 逐渐趋于对称 当自由度接近于∞时，分布 趋近于正态分布
（2）x2分布的一个基本性质是它的可加性 （3）x2分布的界值： 当自由度v确定后，x2分布曲线下右侧尾 部的面积为α时，横轴上相应的x2值。 2）x2检验的基本思想 检验实际频数和理论频数的差别是否抽样 误差所引起，X2值的大小反映了实际频数和 理论频数的吻合程度。若得到的χ2很大，说 明实际频数和理论频数的差距很大，如果超 过了设定的检验水准α所对应的X2界值，说明 实际频数和理论频数的差别由抽样误差引起 的可能性很小，接受H1， 反之接受H0。
组 别 试验组 对照组 合 计
有 效 99 a 75 c 174(a+c)
无 效 5b 21 d 26(b+d)
合 计 104 (a+ b) 96 (c+d) 200 (n)
有效率（%） 95.20 78.13 87.00
数各 是组 固样 定本 的例
四个格子的数据是表 7-1 中基 基本数据, 其余 的数据都是从 这四个数据推算得来的，这种 资料称四格表资料。
3.x2(0.05,1)=3.84 3.14<3.84 P>0.05 尚不能认为药物 治疗脑血管疾病的有效率不等
第二节
配对四格表资料的
2 χ 检验
用途 常用于比较两种检验方法或两种培养基的阳 性率是否有差别。 特点：对同一观察对象分别用两种方法处理， 观察其阳性与阴性结果。 资料整理为配对四格表形式.
目的：推断两个总体率（构成比）是 否有差别 （和u检验等价） 要求：两样本的两分类个体数排列成四 格表资料
例7-1 某院欲比较异梨醇口服液（试验组）和氢 氯噻嗪+地塞米松（对照组）降低颅内压的疗效。将 200例颅内压增高症患者随机分为两组，结果见表71。问两组降低颅内压的总体有效率有无差别？
表7-1 两组降低颅内压有效率的比较
3、T<1或N<40或x2检验后所得概率P接近检验
水准α，用Fisher 精确概率法。
三、四格表资料χ 2检验校正
校正基本公式
2 (| A T | 0.5) 2 T
校正专用公式
2 (| ad bc | n / 2) n 2 (a b )(c d )(a d )(b d )
表 7-1的理论数计算如下：
104 T11 90.48 200 96 T21 83.52 200 104 T12 13.52 200 96 T22 12.48 200
四格表中，因周边合计是固定的，用公 式7-3求出其中一个格子的理论频数后， 其余三个可通过行合计数和列合计数相减 求出。如
有效率（%） 88.46 69.23 82.05
1.建立假设，确定检验水准 H0：π1=π2， H1： π1 ≠ π2 π2 2.T最小=26 × 14/78=3.14, n=78
α=0.05
x2=(︱46 ×8-6 ×8︳-78/2)2/78 64 ×14 ×52 ×26=3.14 不校正： x2=4.35
2 ( A T ) x2 T v (行数- 1 ）（列数- 1 ）
a99 C75
b5 d21
(7 1)
（ 7 - 2）
式中 A 为实际频数，即每个格子的实际发生数，T 为理论数，是根据无效假设推算出来的。
TRC
nR nc n
(7 3）
式中TRC 为第 R 行第 C 列格子的理论频数，nR 为第 R 行的合计数，nC为第 C 列的合计数，n为总例数.