高中数学知识点总结_椭圆及其性质
必修二椭圆知识点总结
必修二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是一个点到两个给定点的距离之和等于常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，距离之和等于常数称为椭圆的离心率。
2. 公式表示椭圆的一般方程为：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
二、椭圆的性质1. 焦点、离心率和长短轴之间的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。
离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。
2. 椭圆的对称性椭圆以其中心为中心对称，有两个对称轴，分别为长轴和短轴。
长轴上有两个端点，称为顶点；短轴上也有两个端点。
3. 椭圆的参数方程椭圆可以用参数方程表示为：$x=h+a\cos t$$y=k+b\sin t$其中，$(h,k)$为椭圆的中心，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
4. 椭圆的离心角椭圆上任意一点到两个焦点的连线与椭圆长轴的夹角称为椭圆的离心角。
椭圆的离心角范围在0到$\pi$之间。
三、椭圆的相关定理1. 椭圆的偏心率椭圆的偏心率为：$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$其中，$a$和$b$分别为椭圆长轴、短轴的长度。
2. 椭圆的焦点、半焦距和离心率的关系椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度，即$2a=2\sqrt{a^2-b^2}$。
离心率$e$的定义为:$e=\frac{c}{a}$其中，$c$为焦点到中心的距离。
3. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程为：$\frac{xh}{a^2}+\frac{yk}{b^2}=1$四、椭圆的应用1. 物理学中的应用椭圆在天体运动、热力学等领域都有广泛的应用。
例如，行星绕太阳的运动轨迹就是一个椭圆。
2. 工程学中的应用椭圆在工程学中也有着重要的应用，例如在建筑设计、轨道运输等方面。
高中椭圆知识点归纳
高中椭圆知识点归纳椭圆是高中数学中一个重要的曲线类型，在解析几何中占据着重要的地位。
下面我们来对高中椭圆的知识点进行一个全面的归纳。
一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
用数学语言表述为：＄｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a$（＄2a ＞｜F_1F_2| ＝ 2c$）其中，＄P$为椭圆上的动点，＄F_1$、＄F_2$为焦点，＄a$为长半轴长，＄c$为半焦距。
二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）其中，＄a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄。
2、焦点在$y$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）同样，＄a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄。
三、椭圆的性质1、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
4、离心率椭圆的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），它反映了椭圆的扁平程度。
＄e$越接近$0$，椭圆越接近圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。
5、焦半径焦点在$x$轴上，若点$P(x_0, y_0)＄在椭圆上，则$｜PF_1| ＝ a ＋ex_0$，＄｜PF_2| ＝ a ex_0$；焦点在$y$轴上时，焦半径公式类似。
高二选修一椭圆的知识点
高二选修一椭圆的知识点椭圆是高中数学的重要内容之一，作为高二学生选修的数学课程之一，椭圆的知识点对于学生的数学素养和理解力有着重要的影响。
本文将介绍高二选修一中涉及的椭圆的知识点。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上一点到两个给定定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定定点分别称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆具有如下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且等于0时为圆。
2. 椭圆的中心即为焦点所连直线的垂直平分线的交点。
3. 椭圆的长半轴和短半轴分别是焦点所连直线的垂直平分线与椭圆的交点到焦点的距离。
4. 椭圆的顶点是和焦点在同一直线上的两个点。
二、椭圆的方程表达椭圆的方程表达有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F均为常数。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是将椭圆的坐标表示为参数θ的函数形式。
椭圆的参数方程为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ为参数。
四、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是指离心率所决定的椭圆上两个特殊的点，位于椭圆的长轴上。
椭圆的直径是从椭圆上一点到椭圆的另一点的最长线段。
五、椭圆与切线椭圆上的任意一点处都存在切线。
椭圆的切线与椭圆的法线垂直。
六、椭圆的重要参数椭圆的重要参数包括离心率、焦距、短半轴、长半轴、准线等，这些参数可以通过椭圆的方程表达或者几何性质求解。
七、椭圆的应用椭圆在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
例如，椭圆的形状可以模拟行星的轨道，从而研究天体运动；椭圆的形状也可以用来设计汽车、船舶和建筑物等工程项目。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结【原创版】目录一、椭圆的概念及几何性质二、椭圆的标准方程及其参数三、椭圆的性质定理四、椭圆的应用正文一、椭圆的概念及几何性质椭圆是数学中一种重要的曲线，它是在平面内到两个定点（称为焦点）的距离之和等于常数（大于焦点间距离）的点的轨迹。
椭圆有两个焦点 F1、F2 和两个顶点 A、B，其中 AF1 + AF2 = 2a，BF1 + BF2 = 2a，其中 a 为椭圆的长半轴。
椭圆的中心点 O 位于原点，且 OA = OB = a。
椭圆的几何性质包括：1.椭圆是对称的，即关于 x 轴、y 轴和原点对称。
2.椭圆的离心率 e 满足 0 < e < 1，其中 e = c / a，c 为焦距。
3.椭圆的周长为 2πa，面积为πab。
二、椭圆的标准方程及其参数椭圆的标准方程有两种形式，分别为：1.当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2) / (a^2) + (y^2) / (b^2) = 1，其中 a > b > 0。
2.当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2) / (b^2) + (y^2) / (a^2) = 1，其中 a > b > 0。
椭圆的参数有：长半轴 a、短半轴 b、焦距 c 和离心率 e。
三、椭圆的性质定理1.椭圆的离心率 e 满足 0 < e < 1，其中 e = c / a。
2.椭圆的周长为 2πa，面积为πab。
3.椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数 2a。
4.椭圆的两个顶点到椭圆上任意一点的距离之差相等。
四、椭圆的应用椭圆在实际生活和数学中有广泛的应用，例如：1.椭圆在物理学中，描述行星运动的轨迹。
2.椭圆在工程学中，用于设计望远镜的反射镜和卫星天线的轨道。
3.椭圆在数学中，与其他曲线（如双曲线、抛物线）共同构成了解析几何的基本研究对象。
总结：椭圆是一种重要的数学曲线，它具有丰富的几何性质和应用。
高三椭圆的相关知识点总结
高三椭圆的相关知识点总结椭圆是高中数学中的一个重要概念，涉及到椭圆的性质、方程以及相关的数学定理等内容。
本文将对高三椭圆的相关知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握椭圆的概念和性质。
一、椭圆的定义和性质1. 定义：椭圆可以由一个固定点F（焦点）和一条固定线段2a （长轴）的长度之和等于定值2c（焦距）的所有点构成。
2. 方程：椭圆的标准方程是(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1。
其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，a > b > 0。
3. 圆与椭圆的关系：当椭圆的半长轴和半短轴相等时，即a = b，就是一个圆。
4. 离心率：椭圆的离心率e与焦点F和轴的关系为e = c/a。
离心率是描述椭圆的扁平程度的参数，0 < e < 1。
5. 焦点和准线：椭圆的焦点到准线的距离之和等于2a。
二、椭圆的参数方程和直线性质1. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ。
其中θ是椭圆上的任意一点P与椭圆主轴正方向的夹角。
2. 直线性质：椭圆与直线的相交情况：(1) 直线与椭圆相离：直线与椭圆没有交点。
(2) 直线与椭圆相切：直线与椭圆有且仅有一个切点。
(3) 直线与椭圆相交：直线与椭圆有两个交点。
三、椭圆的对称性和焦点性质1. 对称性：椭圆具有两个重要的对称性质：(1) 椭圆关于x轴对称，对于椭圆上任意一点P(x, y)，P'(-x, y)也在椭圆上。
(2) 椭圆关于y轴对称，对于椭圆上任意一点P(x, y)，P'(x, -y)也在椭圆上。
2. 焦点性质：(1) 焦点的定位：焦点位于椭圆的长轴上，离圆心的距离为c （焦距）。
(2) 焦点的判定：对于已知椭圆的方程，焦点的坐标可以通过勾股定理计算。
(3) 焦点的连线：椭圆上的任意一点P和其对应的直径垂直联结，焦点在直径垂直联结的中点上。
四、椭圆的常用定理和应用1. 定理一：满足椭圆方程的点P(x, y)到焦点F的距离PF和到准线的距离PL之和等于椭圆长轴的长度，即PF + PL = 2a。
高三椭圆的知识点
高三椭圆的知识点椭圆是高中数学中重要的几何图形之一，它在解决实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍高三椭圆的相关知识点，包括定义、性质以及常见的解题方法。
一、椭圆的定义椭圆可由平面上到两个定点（焦点）F1和F2的距离之和等于常数2a，确定的点P的轨迹得到。
椭圆的中心为焦点连线中点O，以及焦点连线的中垂线l。
离心率e小于1，表明椭圆是一个封闭图形。
二、椭圆的性质1. 焦距性质：椭圆上的每一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
2. 几何定义椭圆：直角坐标系中，椭圆的方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中（h，k）为椭圆的中心坐标，a为横半轴长，b为纵半轴长。
椭圆的右右焦点F（h+c，k）和左焦点（h-c，k）。
3. 参数方程椭圆：通过参数方程x = h + a*cosθ，y = k + b*sinθ，其中θ为参数。
4. 离心率与半轴关系：离心率e的定义为e = c/a，离心率与半轴关系式为c^2 = a^2 - b^2。
5. 曲线方程性质：椭圆是一个二次曲线，代数方程为Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0。
三、椭圆的重要定理1. 线性方程：椭圆的一般方程Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0可以通过平行于坐标轴的两条直线进行化简，并找到方程相应的参数。
2. 切线与法线：过椭圆上任一点的切线与法线斜率的关系式分别为k1 = -x0b^2 / (y0a^2)，k2 = y0b^2 / (x0a^2)。
3. 曲线的切线方程：切线方程的一般形式为y = kx + b，切线与椭圆交点的坐标可通过求解方程得到。
4. 曲线的法线方程：法线方程的一般形式为y = -kx + c，法线与椭圆交点的坐标可通过求解方程得到。
四、椭圆的解题方法在解题过程中，可以运用椭圆的基本定义、性质和定理来求解与椭圆相关的各种问题。
具体方法如下：1. 已知椭圆方程求解：将已知的椭圆方程转化为标准方程，找出椭圆的参数，并求解各属性，如中心坐标、焦点坐标、离心率等。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结椭圆是一个在数学中经常被研究的几何图形。
它有许多重要的性质和特点，是高中数学中的重要知识点之一、在以下的总结中，我将介绍椭圆的定义、方程、性质、焦点及其应用等方面的知识点。
一、椭圆的定义：椭圆可以通过两个焦点和一个定长的线段来定义。
具体地说，椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于定长的点的集合。
这两个给定点称为焦点，定长称为焦距。
二、椭圆的方程：椭圆的标准方程为：[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
三、椭圆的性质：1.椭圆的长半轴和短半轴之间存在关系：c^2=a^2–b^2，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
2.椭圆是对称图形，具有关于x轴和y轴的对称性。
3.椭圆的离心率e满足0<e<1，且离心率越大，椭圆越扁平；离心率为0时，椭圆退化成为一个点。
4.椭圆的周长可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：L=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类型椭圆积分。
5. 椭圆的面积可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：S =πab。
四、椭圆的焦点：椭圆上有两个与焦点有关的重要的点，分别是两个焦点的位置。
焦点到椭圆上任一点的距离之和等于椭圆的焦距。
焦距与椭圆的半轴之间的关系为c^2=a^2–b^2五、椭圆的应用：1.椭圆在天文学中被广泛应用，用于描述行星和卫星的轨道形状。
2.椭圆在工程学中用于设计椭圆形的机械零件。
3.椭圆在地理学中用于描述地球的地理形状和地球上的纬度和经度线。
4.椭圆在艺术和建筑设计中被用于创作椭圆形的艺术品和建筑结构。
总结：椭圆是一个广泛应用于数学和其他科学领域的重要几何图形。
通过椭圆的定义、方程、性质和焦点等方面的知识点，我们可以更好地理解和应用椭圆。
椭圆的应用广泛，涉及到天文学、工程学、地理学、艺术和建筑设计等不同领域。
掌握椭圆的相关知识，对于我们理解和应用数学都有很大的帮助。
高二人教版数学椭圆知识点
高二人教版数学椭圆知识点椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，它在二维平面上呈现出特定的形状和性质。
本篇文章将为大家介绍高二人教版数学课程中关于椭圆的基本知识点。
一、椭圆的定义椭圆是指到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，2a为椭圆的长轴长度。
二、椭圆的性质1. 焦距性质：椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。
2. 对称性质：椭圆关于长轴和短轴都具有对称性。
3. 半焦距性质：椭圆的焦点到椭圆上任意一点P的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
4. 离心率性质：椭圆的离心率定义为离心率e = F1P / PF2，其中P为椭圆上任意一点。
离心率决定了椭圆形状的圆形程度，当离心率小于1时，椭圆更加靠近圆形。
三、椭圆的方程椭圆的标准方程可以表示为(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长轴半径和短轴半径。
四、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为x = h + acosθ，y = k + bsinθ，其中θ为参数。
五、椭圆的几个重要点1. 中心点：椭圆的中心点坐标为(h, k)。
2. 长轴端点：椭圆的长轴端点坐标为(h ± a, k)。
3. 短轴端点：椭圆的短轴端点坐标为(h, k ± b)。
4. 焦点坐标：椭圆的焦点坐标为(h ± c, k)，其中c = √(a² - b²)。
六、椭圆的参数方程的参数意义在椭圆的参数方程中，参数θ表示椭圆上的任意一点的弧度角，取值范围为0至2π。
通过改变θ的取值，可以得到椭圆上的所有点坐标。
七、椭圆的图像与实际应用椭圆图形在现实生活中有广泛的应用。
例如，椭圆形状的行星轨道、地球绕太阳的轨迹等都可以用椭圆来描述。
此外，椭圆在艺术设计和建筑设计中也常常被使用。
高中椭圆知识点归纳
高中椭圆知识点归纳一、椭圆的定义1. 椭圆的数学定义- 椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。
- 椭圆的标准方程。
2. 椭圆的基本要素- 焦点（F1, F2）- 长轴（2a）- 短轴（2b）- 焦距（2c）- 离心率（e）二、椭圆的性质1. 焦点性质- 焦点位于主轴上。
- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数，等于长轴的长度。
2. 离心率- 离心率是衡量椭圆形状的一个参数。
- 离心率的计算公式：e = c/a。
3. 椭圆的对称性- 椭圆关于长轴和短轴具有对称性。
三、椭圆的几何关系1. 长轴和短轴的关系- b^2 = a^2 - c^2。
2. 焦点与椭圆的关系- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度。
四、椭圆的方程1. 标准方程- 椭圆的标准方程形式为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。
2. 椭圆的参数方程- 参数方程的形式：x = a * cos(t), y = b * sin(t)，其中t为参数。
五、椭圆的应用1. 天文学- 行星轨道的描述。
2. 工程学- 轮轴和凸轮设计。
3. 物理学- 电场和磁场中的某些路径。
六、椭圆的图形绘制1. 绘制方法- 使用绘图工具（如圆规）绘制椭圆。
2. 椭圆的变换- 平移和旋转椭圆。
七、椭圆与圆的关系1. 特殊情形- 当离心率为0时，椭圆变为圆。
- 当两个焦点重合时，椭圆退化为抛物线。
八、练习题1. 椭圆方程的求解。
2. 焦点性质的应用。
3. 椭圆的几何关系计算。
以上是关于高中椭圆知识点的归纳文档的大纲和示例内容。
在实际编写文档时，每个部分都应包含详细的解释、公式推导、图示和实例。
此外，文档应使用专业的排版和格式，确保清晰易读，并且方便编辑和打印。
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结第一篇：椭圆的定义及基本性质一、椭圆的定义椭圆是指平面内到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
两点F1和F2称为椭圆的焦点，中间的线段称为椭圆的长轴，垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。
二、椭圆的基本性质1. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
2. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之差等于椭圆的短轴长度2b。
3. 椭圆上与长轴平行的直线称为椭圆的次中心轴，垂直于长轴的直线称为椭圆的主中心轴。
4. 椭圆的离心率e等于焦点距离除以长轴长度，即e=√(a²-b²)/a。
5. 椭圆的面积为πab。
6. 椭圆的周长无解析式，但可以通过积分求解。
7. 椭圆对称性：关于长轴、短轴、次中心轴和主中心轴都有对称轴。
三、椭圆的求解椭圆的标准方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，其中a和b 分别为半长轴和半短轴的长度。
椭圆的一般方程为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C、D、E、F为常数。
常用的求解方法有以下几种：1. 椭圆的标准方程变形法。
通过移项、变形等方法将一般方程转化为标准方程。
2. 半坐标轴法。
通过平移和旋转椭圆，使其长轴与坐标轴平行或垂直。
3. 矩阵法。
通过矩阵运算，将一般方程转化为标准方程。
四、椭圆的应用椭圆在生活和工程中有广泛的应用。
例如，在太阳系中行星的运动轨迹、卫星的轨道以及天体的椭球形等都具有椭圆的特征。
此外，在建筑设计中，椭圆形的建筑物也十分常见，如伦敦的温布利球场和巴黎的凯旋门等。
椭圆也广泛应用于牙轮、机械手、调速器等机械制造中。
高中数学-椭圆知识点
高中数学-椭圆知识点椭圆是一种常见的几何图形，在高中数学中经常被讨论和应用。
下面是椭圆的一些重要知识点：1. 椭圆的定义和性质- 椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的轨迹。
这两个给定点称为焦点，距离之和称为焦距。
- 椭圆的形状是一个长轴和短轴决定的闭合曲线。
长轴的两个端点是焦点，短轴是长轴垂直的线段。
- 椭圆有对称轴和中心，对称轴是长轴和短轴的中垂线，中心是椭圆的中点。
2. 椭圆的方程- 椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的半长。
- 标准方程中的参数a和b决定了椭圆的大小和形状。
- 当椭圆的中心在坐标原点时，方程简化为x²/a² + y²/b² = 1。
- 椭圆的离心率e是焦距与长轴长度之比。
3. 椭圆的性质和推论- 椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率越接近0，椭圆越圆。
- 椭圆的焦点到直径的垂直距离是常数，称为椭圆的算术平均数定理。
- 椭圆的面积为πab，周长近似为2π√((a²+b²)/2)。
- 椭圆关于长轴和短轴有对称性，即对称轴垂直于长轴和短轴。
4. 椭圆的应用- 椭圆在物理学、工程学、天文学等领域中有广泛应用，例如描述行星轨道、弹道等。
- 椭圆可以用来模拟和预测某些运动和变化的特性。
- 椭圆的数学性质可以用于解决一些几何和物理问题。
以上是关于高中数学中椭圆的一些重要知识点。
了解和掌握这些知识有助于更好地理解椭圆的性质和应用。
（注：此处提供的是简要的椭圆知识点概述，具体内容请参考相关高中数学教材或资料。
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高中数学选修一第2章-2.2椭圆-知识点
1高中数学选修一第2章-2.2椭圆-知识点1、椭圆：平面内到两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数2a (2a ﹥F 1F 2)的点的轨迹。
定点F 1,F 2是椭圆的焦点，F 1F 2=2c 叫做焦距。
★注意：①当a ﹥c 时，轨迹是椭圆，②当a = c 时；轨迹是线段F 1F 2；③当a ﹤c 时，轨迹不存在。
2、椭圆的标准方程及性质： 标准方程12222=+b y a x (a>b>0)12222=+b x a y (a>b>0)图形焦点在x 轴上焦点在 y 轴上性 质对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点焦点 F 1(-c,0),F 2(c,0) F 1(0,-c),F 2(0,c) 顶点 A 1(-a ，0)，A 2(a ，0)， B 1(0，-b )，B 2(0，b )。
A 1(0，-a )，A 2(0，a )，B 1(-b ，0)，B 2(b ，0)。
轴 长轴A 1A 2的长为 2a ，短轴B 1B 2的长为 2b 。
范围 x ϵ[-a,a]，y ϵ[-b,b]。
x ϵ[-b,b],y ϵ[-a,a]。
离心率 e= c/a ，（ 0<e<1 )a,b,c 的关系 a 2=c 2+b 23、求椭圆方程，一般用待定系数法，先确定焦点位置，然后再建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设为mx 2+ny 2=1,m>0, n>0,m ≠n 。
4、焦点三角形：椭圆上点P 与椭圆两焦点构成的三角形。
若∠F 1PF 2=θ，△F 1PF 2的面积S=b 2·tan(θ/2)。
5、点P(x 0,y 0)与椭圆12222=+b y a x 位置关系:①PF 1+PF 2﹤2a ⇔点在椭圆内⇔2222b y a x +﹤1；②PF 1+PF 2 = 2a ⇔点在椭圆上⇔2222b y a x + =1；③PF 1+PF 2﹥2a ⇔点在椭圆外⇔2222b y a x +﹥1。
高中椭圆的相关知识点总结
高中椭圆的相关知识点总结椭圆是高中数学中重要的一部分内容，涉及到多种知识点和应用领域，如几何、物理、化学等。
本文将从定义、性质、方程、焦点、直径、离心率、参数方程、运动学等多个方面综合总结高中椭圆的相关知识点。
一、椭圆的定义与性质椭圆是一个平面内到两个定点的距离之和等于常数的点集，该常数称为椭圆的长轴长度。
椭圆的短轴长度等于两定点的距离差的一半。
椭圆的对称轴分为长轴和短轴，中心是椭圆两个焦点的中点。
椭圆有以下性质：1. 椭圆两个焦点到中心的距离相等；2. 椭圆长轴、短轴相互垂直；3. 椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度。
二、椭圆的方程椭圆的方程常常用标准方程表示。
标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad (a>b>0) $$其中，$a$、$b$分别为椭圆的长轴长度和短轴长度。
若焦点所在两端点在$x$轴上，则椭圆的标准方程为：$$(x-\frac{c}{a})^2+y^2=\frac{b^2-c^2}{a^2}x^2\quad (a>b>0)$$其中，$c$为椭圆的焦距，满足$c^2=a^2-b^2$。
三、椭圆的焦点和直径椭圆的焦点是椭圆上距离中心相等的两点。
椭圆的直径有长直径和短直径之分。
长直径是椭圆上距离两个焦点的距离的两倍，短直径是椭圆上距离两个焦点连线垂线的长度的两倍。
椭圆上的一条直线既是长直径又是短直径，这条直线被称为椭圆的主对称轴。
椭圆还有次对称轴和交错对称轴，它们分别与主对称轴垂直或成一定的夹角。
四、椭圆的离心率离心率是描述椭圆形状的一个重要指标，它等于椭圆长轴与短轴之差的一半与长轴的一半之比，即：$$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} $$离心率越小，椭圆形状越扁平，越接近于一个圆形；离心率越大，椭圆形状越拉长，越接近于一条线段。
五、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是用参数的方式表示椭圆上的点坐标。
高中数学---椭圆知识点小结
高中数学---椭圆知识点小结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆知识点1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作ac a c e ==22。
高中数学---椭圆知识点小结
高二数学椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 c a x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=4、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
高中文科数学椭圆知识点总结
高中文科数学椭圆知识点总结高中数学椭圆知识点1一、椭圆知识点总结1、椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫椭圆、这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：（1）若a＞c，则集合P为椭圆；（2）若a＝c，则集合P为线段；（3）若a＜c，则集合P为空集。
2、椭圆的标准方程和几何性质一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的`关系：两种方法（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。
三种技巧（1）椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c。
（2）求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e（0＜e＜1）。
（3）求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴。
二、复习指导1、熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程。
2、掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等、体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题。
高中数学椭圆知识点2正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2px-x2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c.h斜棱柱侧面积S=c'.h正棱锥侧面积S=1/2c.h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi.r2圆柱侧面积S=c.h=2pi.h圆锥侧面积S=1/2.c.l=pi.r.l弧长公式l=a.ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2.l.r 锥体体积公式V=1/3.S.H圆锥体体积公式V=1/3.pi.r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s.h圆柱体V=p.r2h乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab +b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1.X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根高中数学椭圆知识点3椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（a>b>0）；其中a^2—c^2=b^2推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）椭圆的对称性：不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
椭圆知识点总结_高三数学知识点总结
椭圆知识点总结_高三数学知识点总结椭圆是数学中的一个重要概念，它在几何学、代数学、物理学等领域都有着广泛的应用。
在高中数学中，学生学习了椭圆的基本知识，包括椭圆的定义、性质、方程、参数方程、焦点、直径等内容。
本文将对高中数学中关于椭圆的知识点进行总结，帮助学生更好地掌握和理解椭圆的相关知识。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。
定点F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴长度。
二、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有关于长轴和短轴的两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
椭圆关于长轴和短轴对称。
2. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
3. 直径性质：椭圆的直径是椭圆内任意两点连线中最长的。
椭圆上通过焦点的直径垂直于椭圆的长轴。
4. 离心率：椭圆的离心率0＜e＜1，其中e＝c/a，c是焦点到圆心的距离，a是椭圆长轴的一半。
5. 参数方程：椭圆可以有参数方程表示为x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中t∈[0,2π]。
三、椭圆的方程椭圆的标准方程为(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1。
a、b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+2Dx+2Ey+F=0。
通过对一般方程进行平移变换和旋转变换，可以将椭圆的一般方程化为标准方程。
五、椭圆的焦点和直径椭圆有两个焦点F1和F2，它们与椭圆的长轴之间的距离等于椭圆长轴长度的一半。
椭圆的两个焦点确定了椭圆的形状和大小。
六、椭圆的常见问题解答1. 求椭圆的焦点坐标：通过椭圆的标准方程可以求得焦点的坐标。
2. 求椭圆的离心率：通过椭圆的焦距和长轴长度可以求得椭圆的离心率。
高中数学选修2-1-椭圆的方程及其性质
椭圆的方程及其性质知识集结知识元椭圆的定义知识讲解1．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 叫椭圆的离心率．3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A点评：本题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆基础知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：已知椭圆上的一点P到左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为（）A．2B．2C．5D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣＝，离心率e＝，再由椭圆的第二定义得＝e＝，∴点P到右准线的距离d＝5，故选C．点评：本题考查椭圆的第一定义和第二定义，以及椭圆的简单性质．例题精讲椭圆的定义例1.'点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求M的轨迹．'例2.'已知P为⊙B：（x+2）2+y2=36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．'例3.'已知△ABC 的周长等于18，B 、C 两点坐标分别为（0，4），（0，-4），求A 点的轨迹方程．'椭圆的标准方程知识讲解1．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）（a ＞b ＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F （±c ，0），焦距|F 1F 2|＝2c ；（2）（a ＞b ＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，±c ），焦距|F 1F 2|＝2c ．两种形式相同点：形状、大小相同；都有a ＞b ＞0；a 2＝b 2+c 2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在x 轴上（a ＞b ＞0）中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点A（a ，0），A ′（﹣a ，0）B （0，b ），B ′（0，﹣b ）A （b ，0），A ′（﹣b ，0）B （0，a ），B ′（0，﹣a ）对称轴x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上x 轴、y 轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）F 1（0，﹣c ），F 2（0，c ）焦距|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2|F 1F 2|＝2c （c ＞0）c 2＝a 2﹣b 2离心率e ＝（0＜e ＜1）e ＝（0＜e ＜1）准线x ＝±y ＝±例题精讲椭圆的标准方程例1.'已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为12，离心率为，求椭圆的标准方程．'例2.'写出适合下列条件的曲线方程：（1）求椭圆的标准方程．（2）已知双曲线两个焦点分别为F 1（-5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．'例3.'若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．'椭圆的性质知识讲解1．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的范围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．例题精讲椭圆的性质例1.'求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程：（1）椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A（3，2）；（2）双曲线的焦点在x轴上，右焦点为F，过F作重直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且|AB|=3，离心率为．'例2.'已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，-3）．（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，已知直线OP的斜率为，求点Q的坐标．'例3.'如图，椭圆E：+=1（a>b>0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．'当堂练习解答题练习1.'已知椭圆的中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）求四边形AEBF面积的最大值．'练习2.'椭圆C：=1（a>b>0）的左焦点为F1（-1，0），点P（1，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上另一点M满足△ABM的重心为坐标原点O，求△ABM的面积．'练习3.'已知P是右焦点为F的椭圆Γ：上一动点，若|PF|的最小值为1，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）当PF⊥x轴且点P在x轴上方时，设直线l与椭圆Γ交于不同的两点M，N，若PF平分∠MPN，则直线l的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．'练习4.'己知椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为，直线y=x+m 交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设点C（1，1），当△ABC的面积为1时，求实数m的值．'练习5.'已知椭圆Γ：，B1，B2分别是椭圆短轴的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点B1，B2的点，若△B1F1B2的边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程；（3）设点R满足：RB1⊥PB1，RB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△RB1B2的面积之比为定值．'练习6.'已知曲线Γ：=1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1∙k2是定值；（2）设点C满足=λ（λ>0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．'练习7.'已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，△ABE的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为原点，圆D：（x-3）2+y2=r2（r>0）与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C 上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：|OG|∙|OH|为定值．'练习8.'已知椭圆E：=1（a>b>0）的离心率为，且过点A（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）问：是否存在过点M（0，2）的直线l，使以直线l被椭圆E所截得的弦CD为直径的圆过点N（-1，0），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．'练习9.'已知椭圆C：=1（a>b>0）的短轴长为2，离心率为，直线l：y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N，A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当△AMN的面积为时，求1的方程．'练习10.'求与双曲线-=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．'练习11.'求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．'练习12.'已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和x轴上的较近端点的距离为4（-1），求椭圆方程．'。
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椭圆及其性质1.方程122=+ny m x 表示椭圆⇔m >0，n >0，且m ≠n ；2a 是m ，n 中之较大者，焦点的位置也取决于m ，n 的大小。
[举例] 椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则m = 解析：方程中4和m 哪个大哪个就是2a ，因此要讨论；（ⅰ）若0<m <4,则,42=a m b =2，∴m c -=4，∴e =24m -=21，得m =3；（ⅱ）m >4,则,42=b m a =2，∴4-=m c ，∴e =m m 4-=21，得m =316；综上：m =3或m =316。
[巩固]若方程：x 2+ay 2=a 2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a 的允许值的个数是A 1个B .2个 C.4个 D.无数个2．椭圆12222=+by a x 关于x 轴、y 轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b ，a-c ≤|PF|≤a+c ，（其中F 是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a ，椭圆的焦准距为c b 2，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab 2，通经是过焦点最短的弦。
[举例1] 已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
解析：|AB|2=a 2+b 2，|BF|=a ，|FA|=a +c ，在Rt ⊿ABF 中，(a +c )2=a 2+b 2+a 2化简得： c 2+a c -a 2=0，等式两边同除以a 2得：012=-+e e ，解得：e =215-。
注：关于a ,b ，c 的齐次方程是“孕育”离心率的温床。
[举例2] 已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的离心率为53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转2π后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为y =316，则原来椭圆的方程是 。
解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x 轴上，直线y =316为新椭圆的上准线，故新椭圆的焦准距为316，∴原来椭圆的焦准距也为316，于是有：c b 2=316 ①，a c =53②，由①②解得：a =5，b =3。
[巩固1]一椭圆的四个顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为 。
[巩固2] 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(A)2 (B)22 (C) 21(D)42 [迁移]椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点P 1，P 2，P 3，…，P n ，椭圆的右焦点F ，数列{| P n F|} 是公差大于1001的等差数列，则n 的最大值为 （ ） A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。
[举例1]已知⊙Q ：(x-1)2+y 2=16,动⊙M 过定点P(-1,0)且与⊙Q 相切，则M 点的轨迹方程是： 。
解析：P(-1,0)在⊙Q 内，故⊙M 与⊙Q 内切，记：M(x,y)，⊙M 的半径是为r ，则：|MQ|=4-r ，又⊙M 过点P ，∴|MP|=r ，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M 点的轨迹是以P 、Q 为焦点（c=1）的椭圆，a=2。
[举例2] 若动点P （x,y ）满足|x+2y-3|=522)2()1(++-y x ，则P 点的轨迹是： A ．圆 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现xy 项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。
但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以5，于是有：5|32|-+y x =522)2()1(++-y x ，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了，只需将方程再变形为：555|32|)2()1(22=-+++-y x y x ，即动点P （x,y ）到定点A （1，2）与到定直线x+2y-3=0的距离之比为55，∴其轨迹为椭圆。
[巩固1] 已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 .[巩固2]设x 、y ∈R ，在直角坐标平面内，a =(x,y+2),b =(x,y-2),且|a |+|b |=8，则点 M(x,y)的轨迹方程为 。
[提高]已知A （0，7），B （O ，-7），C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 。
[迁移] P 为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F 1（-1，0）、F 2（1，0），则椭圆过P 点且长轴最短时的方程为 。
4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。
[举例1] 如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过 每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=____________．解析：P 1与P 7，P 2与P 6，P 3与P 5关于y 轴对称，P 4在y 轴上， 记椭圆的另一个焦点为F /，则|P 7F|=|P 1F /|，|P 6F|=|P 2F /|，|P 5F|=|P 3F /|，于是127......PF P F P F +++=|P 1F|+|P 1F /|+|P 2F|+|P 2F /|+|P 3F|+|P 3F /|+|P 4F|=7a=35.[举例2] 已知A 、B 是椭圆19252222=+ay a x 上的两点，F 2是椭圆的右焦点，如果,58||||22a BF AF =+ AB 的中点到椭圆左准线距离为23，则椭圆的方程 .解析： a BF AF 58||||22=+⇒||2||211BF a AF a -+-=a 58⇒|||11BF AF +=a 512，记AB 的中点为M ，A 、B 、M 在椭圆左准线上的射影分别为A 1、B 1，M 1，由椭圆第二定义知：|AF 1|=e|AA 1|，|BF 1|=e|BB 1|，于是有：e （|AA 1|+|BB 1|）=a 512，而e=54∴|AA 1|+|BB 1|=3a ⇒2|MM 1|=3a ，又|MM 1|=23，得a=1，故椭圆方程为192522=+y x 。
[巩固1] 椭圆的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为 。
[巩固2]已知F 1、F 2是椭圆459522=+y x 的左右焦点，点P 是此椭圆上的一个动点，)1,1(A 为一个定点，则1PF PA +的最大值为 ，223PF PA +的最小值为 。
[提高] 过椭圆左焦点F 且斜率为3的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率e=_____5．研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，常用椭圆定义及正、余弦定理。
[举例]已知焦点在x 轴上的椭圆),0(,14222>=+b b y x F 1,F 2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得→→=⋅021PF PF ，则b 的取值范围是 。
解析：思路一：先证一个结论：若B 为椭圆短轴端点，则∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2。
记∠F 1PF 2=θ,|PF 1|=r 1, |PF 2|=r 2,cos θ=212222124r r c r r -+=21221221242)(r r c r r r r --+=12442122--r r c a又21r r ≤(221r r +)2=2a ,∴cos θ≥222224a c a a -+=cos ∠F 1BF 2,当且仅当r 1=r 2时等号成立，即∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2。
题中椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2=900，当且仅当∠F 1BF 2≥900，即 cos ∠F 1BO ≤22⇔b ≤22a=2,∴b ∈(0, 2].思路二：用勾股定理：r 1+r 2=2a ① r 12+r 22=4c 2②,由①②得：2r 1r 2=4b 2,又2r 1r 2≤r 12+r 22∴b 2≤c 2=4-b 2即b ∈(0, 2].思路三：用向量的坐标运算：记P(x 0,y 0),1PF =(-c-x 0,-y 0), 2PF =(c-x 0,-y 0),⋅→1PF 2PF =c 2-x 02+y 02=0⇔(b 2+4)x 02=4(c 2-b 2),注意到：0≤x 02≤4，∴0≤4(c 2-b 2)≤4(b 2+4)即0≤4-2b 2≤b 2+4，得b ∈(0, 2].[巩固1]椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是________。
[巩固2]已知P 是椭圆14522=+y x 上一点，F 1和F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．334 B ．)32(4-C ．)32(4+D ．46．椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。
[举例]若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+bD ．2b解析：本题可以直接借助于椭圆方程把x 2用y 表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记x=2cos θ,y=bsin θ, y x 22+=4cos2θ+2bsin θ=f(θ),f(θ)=-4sin 2θ+2bsin θ+4=-4(sin θ-4b )2+442+b , sin θ∈[-1,1] 若0<4b ≤1⇒0<b ≤4，则当sin θ=4b 时f(θ)取得最大值442+b ；若4b>1⇒b>4,则当sin θ=1时f(θ)取得最大值2b ，故选A[巩固]椭圆14922=+y x 上的点到直线2x-3y+33=0距离的最大值是_____________。