集合论的创立与发展

三次数学危机与集合论的创立

一、 前言

每一门学科都有其自己的历史。数学，常被认为是一门完善的自然学科也有着自己的发展历程。同一切事物一样，数学在其发展的过程中，并非是一帆风顺的，而是经历了很多次问题的出现和解决才逐步发展起来的。无论是概念还是体系，内容还是方法，理论还是应用，都是伴随着各种问题的斗争和解决而进步和发展的。比如无理数，连续，无穷等概念的出现，没一个新问题的提出都刺激着数学的发展。

1、数学危机

虽然总是不断的有新问题的出现，但是就数学的整个历史发展历程来说，曾遇到过三次数学危机。第一次危机是由无理数的发现引发的；第二次危机是由于无穷小量引发的；第三次危机则是由罗素悖论产生的。每一次危机的出现都猛烈冲击着原有的理论体系，都是对原有理论体系内在矛盾的揭示，通过对其中逻辑矛盾的发现，启发人们对原有理论的缺陷或局限性进行思考。

危机的出现刺激着人们更加深入的研究，而每一次危机的解决都是对科学的进一步的改正、完善、补充和促进，对数学的发展有重要的意义，也必将推动数学的快速发展。正如人们常说，“危机是一种激化了的非解决不可的矛盾冲突，每一次危机都大大推动了数学的发展。”

2、集合论简介

集合论作为整个现代数学的基础，是数学中有着极为重要的作用。集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔G.Cantor 1845 - 1918创立的。集合论到现在已经被应用到了各个科学领域，并成为了数学的基础，产生了很多数学分科。

3、集合论与数学危机的联系

集合论的出现，使得第一第二次数学危机得到了很好的解决，成为了其理论基础。而第三次数学危机的出现对作为根基的集合论提出了矛盾，从而形成了更大的危机。

二、 三次数学危机

1、 第一次数学危机

第一次数学危机是由希泊索斯（Hippasis ）对无理数的发现而引发的。

在公元前580～568年之间的古希腊，当时“万物皆数”是在学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派的一个信条。他们认为一切都可以归结到整数或整数比，也就是说世上只有有理数。当时毕达哥拉斯学派还有一大贡献就是毕达哥拉斯定理，即勾股定理。然而希泊索斯发现了不可公度性的两条线段——等腰直角三角形的腰长与斜边，致使毕达哥拉斯学派内部的理论体系中产生了矛盾。

假设等腰直角三角形腰长a b =，而其斜长c 为有理数。

反证法：可知，22222c a b a =+=。不妨设a 和c 互素，则可以知道 c 为偶

数，必有a 为奇数。取2c p =，得到22

2a p =，a 为偶数。得到矛盾。

对于第一次危机的研究，人们把几何建立在古典逻辑的基础上，不再把几何与数密切联系起来（数形分离），促进了几何学的发展。对于这个危机要么勾股定理不对，要么就承认有理数的不完备，进而预示着无理数的存在。

2、 第二次数学危机

（1）危机产生

无理数的引入建立了完整的实数理论，第一次数学危机也促进了几何学的发展

解析几何将数学演算与几何图形结合起来。十七和十八世纪，微积分得到了发展和创立，并在生活中用于解决实际问题，得到了广泛的应用。由于微积分的不严密性，引发了科学家对无穷小的怀疑，这个新的数学领域对传统的数学产生了巨大的冲击，第二次数学危机在这个时候产生。 当时对导数的定义为y x ∆∆或()dy f x dx

'=，,dx dy 为无穷小量。并解释无穷小量为绝对值很小的书，比任何正数都小，但是不为零。莱布尼兹还把无穷小量称为“正在消失的量”。但是由于没有严密的理论基础，而不能自圆其说。如，牛顿在求n y x

=的导数时，有()12(1)()2

n n n n n n n x x x nx x x x x --++∆=+∆+∆++∆，则()112()(1)2

n n n n n x x x n n nx x x x ---+∆-+=+++∆∆，将无穷小量舍去，得到其导数为1n y nx -'=。贝克莱指出，其中前面除以x ∆认为其不是

零，后面将含x ∆的项舍掉又认为其为零，自身前后矛盾。

因此贝克莱嘲笑其为“消去的量的鬼魂”。

同样，对于曲边梯形的面积，用到面积微元

()dA f x dx =，求累积()b

a A f x dx =⎰。但是利用面积微元求累积得到的曲边梯形的面积是否得到了真正的面积？以及对无穷级数不讨论收敛性而使用，到底是否存在和？等等，这些问题都是这次危机所研究的。

无穷小量到底是否为零，并且无穷小的存在及其分析到底是否合理，导数、微

分、积分、无穷小、无穷大、级数收敛等问题的出现，引发了第二次危机。

（2）危机的解决——集合论的诞生

这次危机的产生，推动了集合论的诞生和发展。柯西（Cauchy ）用εδ-语言

对无穷小进行了定义，维尔斯特拉斯（Weierstrass ）对其又进行了加工，给出了极限的定义。极限的研究为有限和无限的联系逐渐明确。之后代德金，康托尔，海涅等人对实数理论的研究，完成了实数的完备性工作。康托尔（Cantor ）又将主要工作放在了对无穷量的研究上，在考察实数理论的基础是，康托尔有创立了集合论。实数理论与极限理论、集合论的几何，为微积分建立了稳固的基础。第二次数学危机得到了解决。

3、 第三次数学危机

（1） 危机的产生

第二次危机的产生，促进了微积分理论的基础的完善，集合论得到了创立。

集合论被认为是其他概念的基础。但在数学家们考虑理论体系是否完善的时候，

英国数学家罗素（Russell ）对作为基础的集合论提出了疑问。

罗素提出了一个著名的悖论——“理发师难题”。他提出，如果有个理发师，

他“只给不给自己理发的人理发”，那么理发师是否为自己理发？这就是罗素悖

论。还有其他相类似的悖论，如谎言悖论，鳄鱼悖论，上帝万能论。罗素悖论可

以用集合来表示做：考察把集合分做两类，N 类：不以自身作为元素的集合；M

类：以自身作为自身元素的集合。可知两集合相互拍此，任何一集合必属于其中