2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式理

2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式理一、选择题1．若x ＞0，则x ＋4x的最小值为( )．A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析 ∵x ＞0，∴x ＋4x≥4.答案 D2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72B ．4C.92D ．5解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4a b a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 答案 C3．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )．A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋sb＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b ＝0，∴v >a .答案 A4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab 2，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋bab＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤ a ＋b2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝4＋4y x ＋x y≥4＋24yx·x y＝8，当且仅当4y x＝x y， 即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 D6．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b a的最小值为( )．A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析 如图，作出y ＝|log 2x |的图象，由图可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x D x C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m.同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m ＝2m －282m ＋11282m ＋1－12m ＝2m－282m ＋12m－282m ＋12m·282m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为272＝8 2.答案 B 二、填空题7．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析 依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值2105.答案21058．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，2x，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 49．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 解析 由a ，b ∈R ＋，由基本不等式得a ＋b ≥2ab ， 则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0⇔(ab －3)(ab ＋1)≥0⇒ab ≥3， ∴ab ≥9. 答案 [9，＋∞)10．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值为________。

解析 z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f (t )＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值254. 答案254三、解答题11．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，abc都是正数． ∴bc a ＋ca b≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2(bc a ＋ca b ＋abc)≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 12．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 13．设f (x )＝16xx 2＋8(x >0)． (1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a ，b ，恒有f (a )<b 2－3b ＋214.(1)解 f (x )＝16x x 2＋8＝16x ＋8x≤162 x ·8x＝22， 当且仅当x ＝8x时，即x ＝22时，等号成立．所以f (x )的最大值为2 2.(2)证明 b 2－3b ＋214＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3，当b ＝32时，b 2－3b ＋214有最小值3，由(1)知，f (a )有最大值22，∴对任意实数a ，b ，恒有f (a )<b 2－3b ＋214.14．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．解 (1)由图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x＋16x 3，即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x＋16x 3(x ＞0)．(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352. 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米.2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式夯基提能作业本文(I)1.设m=(x+2)(x+3),n=2x 2+5x+9,则m 与n 的大小关系为 ( ) A.m>n B.m<n C.m≥n D.m≤n2.若m<0,n>0且m+n<0,则下列不等式成立的是( ) A.-n<m<n<-m B.-n<m<-m<n C.m<-n<-m<n D.m<-n<n<-m3.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是( ) A.a>b 2B.>C.<D.a 2>2b4.设a,b 是实数,则“a>b>1”是“a+>b+”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是( )A. B.C. D.6.下列四个命题中正确命题的个数为( )①若a>|b|,则a2>b2;②若a>b,c>d,则a-c>b-d;③若a>b,c>d,则ac>bd;④若a>b>0,则>.A.3B.2C.1D.07.若a,b∈R且a>b,则下面三个不等式:①>;②(a+1)2>(b+1)2;③(a-1)2>(b-1)2.其中不成立的是.(填序号)8.已知a≠0,b≠0,且a+b>0,试比较+与+的大小.9.若a>b>0,c<d<0,e<0.求证:>.B组提升题组10.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:①若ab>0,bc-ad>0,则->0;②若ab>0,->0,则bc-ad>0;③若bc-ad>0,->0,则ab>0.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.311.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①>;②a c<b c;③log b(a-c)>log a(b-c).其中所有的正确结论的序号是( )A.①B.①②C.②③D.①②③12.(xx北京朝阳期末)已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+b>0B.>C.ab<b2D.a3-b3<013.下列四个不等式:①x+≥2(x≠0);②<(a>b>c>0);③>(a,b,m>0);④≥,其中恒成立的是.(填序号)14.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是.15.(xx北京海淀二模)在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为.16.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪个更优惠.答案精解精析A组基础题组1.B2.D3.A4.A5.B6.C7.答案①②③解析取a=,b=-3,则==-6,==8,故①不成立,取a=-3,b=-4,则②③均不成立.故答案为①②③.8.解析+-=+=(a-b)·=.∵a+b>0,(a-b)2≥0,a2b2>0,∴≥0.∴+≥+.9.证明∵c<d<0,∴-c>-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴(a-c)2>(b-d)2>0.∴0<<.又∵e<0,∴>.B组提升题组10.D 对于①,∵ab>0,bc-ad>0,∴-=>0,∴①正确;对于②,∵->0,即>0,又ab>0,∴bc-ad>0,∴②正确;对于③,∵->0,即>0,又bc-ad>0,∴ab>0,∴③正确.故选D.11.D ①,⇒a·>b·⇒<⇒>,∴①正确;②,⇒⇒a c<b c,∴②正确;③,⇒log b(a-c)>log a(b-c),∴③正确.故选D.12.D 对于A,当a<b<0时,a+b>0不成立,∴A错误.对于B,当a<0<b时,<,∴B错误.对于C,当a<b<0时,ab>b2,∴C错误.对于D, f(x)=x3在R上是增函数,∴当a<b时,a3<b3,即a3-b3<0,∴D正确.故选D.13.答案②④解析对于①,当x<0时,x+≥2(x≠0)不成立;对于②,∵a>b>0,∴<,∵c>0,∴由不等式的性质知<;对于③,>成立的条件是a,b,m>0且a<b;对于④,2(a2+b2)≥a2+b2+2ab(当且仅当a=b时等号成立),两边同时除以4可得≥.综上,四个不等式恒成立的是②④.14.答案(-∞,-1)解析∵ab2>a>ab,∴a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.综上,b<-1.15.答案甲、丁、乙、丙解析由题意得,甲+丙=乙+丁,①甲+乙>丙+丁,②丁>乙+丙,③由①②可知,甲+乙+(甲+丙)>丙+丁+(乙+丁),甲+乙+(乙+丁)>丙+丁+(甲+丙),可得甲>丁,乙>丙.由③知丁>乙且丁>丙.所以甲>丁>乙>丙.16.解析设该单位去的人数为n(n∈N*),一张全票的价格为x(x>0)元,包甲车队共需y1元,包乙车队共需y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+xn,y2=nx.所以y1-y2=x+xn-nx=x-nx=x.当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.。