结构力学第五版李廉锟
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结构力学第五版 李廉锟 结构位移计算1图文
F
Δ11
第六章 结构位移的计算
（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因
素引起的。
若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一
个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿 F1方向又产生了位移Δ12如图所示。
力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在
位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如
图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动
了一段距离 C C， 称为C点的线位移或挠度 ；支座截
面B转动了一个角度
，称为截面的角位移或转角。
B
(a)
第六章 结构位移的计算
又如图所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所
示的变形。刚架上的C点移动至C点，则称 CC 为点C的线位
移，用ΔC表示。
还可将该线位移分解
为沿水平方向和竖直方向的
两个分量，分别称为点C的
水平位移和竖向位移，分
别用ΔCx和ΔCy表示，几何关
系如图（b）所示，图中的 C
Cy
为截面C的转角，称为截面
C的角位移，上述线位移和
C x
角位移统称为绝对位移。
第六章 结构位移的计算
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。 例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚 线所示的变形。
A、B两点的水平位移分
别为ΔAH和ΔBH，它们之和 为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称 为A、B两点的水平相对
线位移。A、B两个截面
的转角分别为 和 ，它
们之和A 为B
，
称为AAB、B两A 个截B 面的相
对角位移。
Δ11
第六章 结构位移的计算
（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因
素引起的。
若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一
个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿 F1方向又产生了位移Δ12如图所示。
力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在
位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由
例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如
图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动
了一段距离 C C， 称为C点的线位移或挠度 ；支座截
面B转动了一个角度
，称为截面的角位移或转角。
B
(a)
第六章 结构位移的计算
又如图所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所
示的变形。刚架上的C点移动至C点，则称 CC 为点C的线位
移，用ΔC表示。
还可将该线位移分解
为沿水平方向和竖直方向的
两个分量，分别称为点C的
水平位移和竖向位移，分
别用ΔCx和ΔCy表示，几何关
系如图（b）所示，图中的 C
Cy
为截面C的转角，称为截面
C的角位移，上述线位移和
C x
角位移统称为绝对位移。
第六章 结构位移的计算
此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。 例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚 线所示的变形。
A、B两点的水平位移分
别为ΔAH和ΔBH，它们之和 为(ΔAB )H =ΔAH+ΔBH，称 为A、B两点的水平相对
线位移。A、B两个截面
的转角分别为 和 ，它
们之和A 为B
，
称为AAB、B两A 个截B 面的相
对角位移。
结构力学第五版 李廉锟 第七章 力法(7-6---7-13)
A
EI
(a)
B
得到力法方程： 1 (δ11 ) X 1 Δ1p 0 k 由图乘得到 4 l3 ql 11 ， Δ1p 3EI 8 EI
11 X 1 Δ1p 0
(3) 计算系数及自由项。 计算FN1和FNP。
F C
0
0
X1 =1
D 0
C 1
D
C
-0.442 F
D
0.558F
F
A
-
1
2F
F NP
B
A
FN1
25 6 . 0
A
F
-0
.78 9F
B
B
1 Fl Δ1p F 1 l 2 F ( 2 ) 2l 1 2 2 EA EA 2 FN 1 l 1 2 2 l 11 1 l 3 2 2l 2 3 4 2 EA EA EA
EIEI 2 2 BA
l
A
l /2 l /2
B
A
B
基本体系
解: (1)原结构是三次超静定。 力法基本方程为： 11 X 1 12 X 2 13 X 3 Δ1p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 Δ2 p 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 Δ3p 0
C F
C P
D
D
F P
C F
Mp
D F a
Fa
MP AB B A Pa Fa Pa
Fa
A
Fa
B
(g)
(g)
(h)
例 7-7 试用力法计算图示单跨梁。梁的 B 支座 为弹簧支承，弹簧的刚度系数为k (当B点产生单位位 移弹簧所产生的反力 )。 q q
结构力学第五版 李廉锟版 14结构动力学
m m
k11
yd y
F1 ( t )
质点在惯性力F1和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：
将F1和Fc的表达式代入 或 令 有
my k11 y 0 my k11 y 0 k11 2 m 2 y 0 y
F1 Fc 0
（14-1） （14-2）
振动微分方程的建立方法：
（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有： (a) 弹簧恢复力
Fc k11 y
(b) 惯性力
该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方 向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。
单自由度结构自由振动微分方程
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10:36
§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
y F111 my11
即
my k11 y 0
结构力学
结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。
结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。 考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。
3. 结构动力计算可分为两大类：
ω的单位为弧度／秒(rad／s)，亦常简写为1／s (s-1)。从圆周运动的角度来看 称它为圆频率，一般称ω为自振频率。
根据式(14-1)，可给出结构自振频率ω的计算公式如下：
k11
yd y
F1 ( t )
质点在惯性力F1和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：
将F1和Fc的表达式代入 或 令 有
my k11 y 0 my k11 y 0 k11 2 m 2 y 0 y
F1 Fc 0
（14-1） （14-2）
振动微分方程的建立方法：
（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有： (a) 弹簧恢复力
Fc k11 y
(b) 惯性力
该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方 向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。
单自由度结构自由振动微分方程
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§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
y F111 my11
即
my k11 y 0
结构力学
结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。
结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。 考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。
3. 结构动力计算可分为两大类：
ω的单位为弧度／秒(rad／s)，亦常简写为1／s (s-1)。从圆周运动的角度来看 称它为圆频率，一般称ω为自振频率。
根据式(14-1)，可给出结构自振频率ω的计算公式如下：
结构力学第五版 李廉锟 第三章讲诉
tan dy ; tan1(tan )
dx
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
B
mB 0; FA 6 m1 4q 2 0
4m
FB
FA 6kN
Fy 0; FA FB 4q 0
FB 18kN
第三章 静定梁与静定刚架
m=12kN.m q=6kN/m
1 A1
23 5 23 5
4 4B
AC：
A
MC
左
Fs2 6kN
2m C
FA=6kN 6kN
Fs图 ⊕
4m
FB=18kN FA
K
n
(a)
F2 B FB
内力符号规定 ：
F1
FAX A
FAY
M
K
FN
FS
(b)
第三章 静定梁与静定刚架
（2）M、FS、FN图正负号规定 ①弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤
维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯 矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
②剪力FS：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正， 反之为负。
单跨静定梁
从支承情况不同又分为：
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
第三章 静定梁与静定刚架
1. 反力 以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力（简支 梁、外伸梁） 三个支座反力 整体隔离体——平衡方程求解
第三章 静定梁与静定刚架
2. 内力 (1)截面法，取隔离体利用静力平衡条件求截面内力
F1
FAX
A
FAY
m
第三章 静定梁与静定刚架
例 用叠加法画图示梁的弯矩图。
P=4kN 8kN.m q=2kN/m
dx
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
B
mB 0; FA 6 m1 4q 2 0
4m
FB
FA 6kN
Fy 0; FA FB 4q 0
FB 18kN
第三章 静定梁与静定刚架
m=12kN.m q=6kN/m
1 A1
23 5 23 5
4 4B
AC：
A
MC
左
Fs2 6kN
2m C
FA=6kN 6kN
Fs图 ⊕
4m
FB=18kN FA
K
n
(a)
F2 B FB
内力符号规定 ：
F1
FAX A
FAY
M
K
FN
FS
(b)
第三章 静定梁与静定刚架
（2）M、FS、FN图正负号规定 ①弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤
维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯 矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
②剪力FS：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正， 反之为负。
单跨静定梁
从支承情况不同又分为：
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
第三章 静定梁与静定刚架
1. 反力 以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力（简支 梁、外伸梁） 三个支座反力 整体隔离体——平衡方程求解
第三章 静定梁与静定刚架
2. 内力 (1)截面法，取隔离体利用静力平衡条件求截面内力
F1
FAX
A
FAY
m
第三章 静定梁与静定刚架
例 用叠加法画图示梁的弯矩图。
P=4kN 8kN.m q=2kN/m
结构力学(李廉锟第五版)
思考：变形与位移的差别？
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。
两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一 定有形变。
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22:16
§6-1 概述
结构力学
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
dn
1 2
Md
d ds d ds d kds
1 ds
所以
dw
1 2
FNds
1 2
FSds
1 2
Mκds
由胡克定律有：
FN , FS , 1 M
EA
GA EI
故
dw 1 FN2 ds 1 FS2 ds 1 M 2 ds
2 EA 2 GA 2 EI
实功数值上就等于微段的应变能。
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22:17
§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
例：当A支座向上移动一个
A'
已知位移c1，求点B产生的竖向
位移⊿。
c1
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件 F yA b a
A F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚
功方程
Δ1 c1 F yA 0
总的来讲： 单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
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§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 结构力学
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。
两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一 定有形变。
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§6-1 概述
结构力学
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
dn
1 2
Md
d ds d ds d kds
1 ds
所以
dw
1 2
FNds
1 2
FSds
1 2
Mκds
由胡克定律有：
FN , FS , 1 M
EA
GA EI
故
dw 1 FN2 ds 1 FS2 ds 1 M 2 ds
2 EA 2 GA 2 EI
实功数值上就等于微段的应变能。
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§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
例：当A支座向上移动一个
A'
已知位移c1，求点B产生的竖向
位移⊿。
c1
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件 F yA b a
A F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，得虚
功方程
Δ1 c1 F yA 0
总的来讲： 单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
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§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 结构力学
结构力学第五版 李廉锟 第二章
A
1
B
2
C
第二章 平面体系的机动分析
几何不变体系——铰结三角形规则 （刚片——联系——条件） 1．三刚片规则 三刚片用不共线的三个铰两两相联 2．二元体规则 增 ⁄ 减二元体，机动性质不变* 3．两刚片规则 两刚片用不共线—铰—链杆相联， 不交于一点，也不平行的三链杆相联 ——体系为几何不变，且无多余约束。 ——实质为一条规则：三刚片规则 ——计算自由度w＝0（体系本身w＝3），无多余联系
第二章 平面体系的机动分析
四个规律只是相互之间变相，终归为三角形稳定性
第二章 平面体系的机动分析 §2-4 瞬变体系 特点：
从微小运动角度看，这是一 个可变体系； 微小运动后即成不变体系； 瞬变体系必存在多余约束。
第二章 平面体系的机动分析
瞬变体系——原为几何可变，经微小位移后即转化为 几何不变的体系。
第二章 平面体系的机动分析
C E
【习题4】分析图示链杆体系的几何组成。
A
B D F
无多余约束的几何不变体系。
【习题5】分析图示体系的几何组成。
A
B
C
D
无多余约束的几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
【习题6】分析图示体系的几何组成。
D C
E D C E D C E
A
B
A
B
A
B
无多余约束的 几何不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
四、瞬变体系的静力特性
理论上分析：瞬变体系只能发生很小 的变形； 实际情况: 变形一般不会很小。 ( 即使承受很小荷载，也可能产生很 大内力，体系可能发生破坏)
Fx A a b Fy C B h
F F
(NEW)李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 结构动力学12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 结构弹性稳定13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 结构的极限荷载14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 悬索计算15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第12章 结构动力学12.1 复习笔记【知识框架】动力荷载与静力荷载基本概念自由振动和强迫振动 结构动力计算的目的 振动自由度的定义结构振动的自由度 结构按自由度的数目分类：单自由度结构和多自由度结构 确定结构的振动自由度 无限自由度结构 自由振动的原因：初始位移、初始速度单自由度结构的自由振动 不考虑阻尼时的自由振动 考虑阻尼时的自由振动 简谐荷载作用下单自由度受迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的受迫振动 不考虑阻尼的纯受迫振动考虑阻尼的纯受迫振动 瞬时冲量作用于质点单自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 任意动力载荷作用下的质点位移公式 振动微分方程 两种特殊载荷作用下的质点位移公式 按柔度法求解多自由度结构的自由振动按刚度法求解主振型的正交性多自由度结构在筒谐荷载作用下的的受迫振动 按柔度法求解振型分解法的优点 按刚度法求解振型分解法振型分解法的步骤 振动微分方程组的建立多自由度结构在任意荷载作用下的受迫振动 振动微分方程组的解耦待定常数的确定求解的具体步骤 地震作用的基本概念 地震作用的定义地震作用的计算 地震作用的分类：水平地震和竖向地震地震作用的实质单自由度结构的地震作用计算 多自由度结构的地震作用计算 梁的自由振动无限自由度结构的振动简谐均布干扰力作用下的受迫振动计算频率的近似计算方法：能量法、集中质量法、用相当梁法计算桁架的最低频率【重点难点归纳】一、基本概念1．动力载荷与静力载荷（1）静力载荷静力荷载是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。
结构力学第五版李廉锟第五章.
1、桁架是一种重要的结构形式（厂房屋顶、桥梁等）。 2、在结点荷载作用下，桁架各杆以承受轴力为主。 3、取桁架计算简图时采用的假定： （1）各杆两端用理想铰联结； （2）各杆轴线绝对平直，在同一平面内且通过铰的中心。 （3）荷载和支座反力都作用在结点上并位于桁架平面内。 通常把理想情况下计算出的应力称为“初应力”或“基本应力”； 因理想情况不能完全实现的而出现的应力称为“次应力”。
第五章 静定平面桁架
5．平面汇交力系 ——解二斜杆问题 选适当投影轴： 力矩方程： 平衡——对平面内任意一点，主矩 = 0 力——沿作用线可任意平移 力矩方程——力可分解为投影计算
第五章 静定平面桁架
3．零杆判定
（1）L型结点：无荷载，FN1=FN2=0 （2）T型结点：无荷载 其中二杆共线，FN1=FN2，FN3=0, （3）X型结点：无荷载 两两共线，FN1=FN2 ，FN3=FN4 （4）K型结点：无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同侧，且 夹角相等。FN3=－FN4
斜杆FN=0 竖杆FN=P
第五章 静定平面桁架
③三角形 r = 竖杆长度
——直线变化递增 弦杆内力： 下弦杆S —由两端的中间递减 腹杆—由两端向中间递增 结论： （1）平行弦：内力分布不均匀 构造简单 （2）抛物线形 内力分布均匀 构造复杂——适于大跨度桥梁 （3）三角形：内力分布不均匀 构造较复杂，但有斜面——适用于屋架
A A A
②结点平衡X=H （梁式杆N=0） ③Ⅰ—Ⅰ（左）
' " mc 0, H z H ( f '2) (VA VA ) l1 P e 0 1 1
' " Hf ' P1c1 (V A VA )l
M c0 H f'
第五章 静定平面桁架
5．平面汇交力系 ——解二斜杆问题 选适当投影轴： 力矩方程： 平衡——对平面内任意一点，主矩 = 0 力——沿作用线可任意平移 力矩方程——力可分解为投影计算
第五章 静定平面桁架
3．零杆判定
（1）L型结点：无荷载，FN1=FN2=0 （2）T型结点：无荷载 其中二杆共线，FN1=FN2，FN3=0, （3）X型结点：无荷载 两两共线，FN1=FN2 ，FN3=FN4 （4）K型结点：无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同侧，且 夹角相等。FN3=－FN4
斜杆FN=0 竖杆FN=P
第五章 静定平面桁架
③三角形 r = 竖杆长度
——直线变化递增 弦杆内力： 下弦杆S —由两端的中间递减 腹杆—由两端向中间递增 结论： （1）平行弦：内力分布不均匀 构造简单 （2）抛物线形 内力分布均匀 构造复杂——适于大跨度桥梁 （3）三角形：内力分布不均匀 构造较复杂，但有斜面——适用于屋架
A A A
②结点平衡X=H （梁式杆N=0） ③Ⅰ—Ⅰ（左）
' " mc 0, H z H ( f '2) (VA VA ) l1 P e 0 1 1
' " Hf ' P1c1 (V A VA )l
M c0 H f'
【经典】结构力学(李廉坤第五版)-下
2、计算固端弯矩
F M DE 2kN m F M DC 5.62kN m F M CD 9.38kN m
各固端弯矩及计算过程如图b
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-3 试用力矩分配法计算图a所示刚架。
图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1， 其典型方程为
r11Z1 R1P 0
M P、M 1 图如图b、c
F F F R1P M 12 M 13 M 14 M 1Fj
→刚臂反力矩或结点上的不平衡力矩
解典型方程得
F R1P M 1 j Z1 r11 S1 j
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一半刚架的弯矩图如图d。
原刚架的弯矩图可利用对称性作出。（略）
§9-4 无剪力分配法
图a所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两 组，如图b、c。
荷载正对称时如图b， 结点只有转角，没有侧移，可用力矩分配法计算。 荷载反对称时如图c， 结点有转角，还有侧移，要采用无剪力分配法计算。
柱EG：除本层荷载外还有柱顶剪力20kN。
F F M EG 45kN m，M GE 55kN m
§9-4 无剪力分配法
计算分配系数，如图b。 整个计算过程如图b。 弯矩图如图c。
§9-4 无剪力分配法
例9-5 试作图a所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求 结点F的竖向位移。
取一半结构计算，如图d。
由于假设H点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪 力静定杆→可用无剪力分配法求解。
§9-4 无剪力分配法
(NEW)李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】
目 录第一部分 名校考研真题第12章 结构动力学第13章 结构弹性稳定第14章 结构的极限荷载第15章 悬索计算第二部分 课后习题第12章 结构动力学第13章 结构弹性稳定第14章 结构的极限荷载第15章 悬索计算第三部分 章节题库第12章 结构动力学第13章 结构弹性稳定第14章 结构的极限荷载第15章 悬索计算第四部分 模拟试题李廉锟《结构力学》（第5版）（下册）配套模拟试题及详解第一部分 名校考研真题第12章 结构动力学一、填空题1．设直杆的轴向变形不计，则图12-1所示体系的质量矩阵[M]＝]______。
[西南交通大学2007研【答案】【解析】首先判断结构有两个动力自由度：最右端m1的竖向自由度和水平方向上的自由度。
竖向自由度对应的质点的质量为m1，水平自由度对应的质点的质量为2m1，故该结构的质量矩阵为。
2．如图12-2所示结构的动力自由度为______（不计杆件质量）。
[中南大学2003研]图12-2二、选择题1．如图12-3所示结构，不计阻尼与杆件质量，若要发生共振，θ应等于（ ）。
[天津大学2005研]A ．B ．3【答案】一个自由质点的动力自由度为两个（不考虑转动自由度），本题所示结构中有三个质点，第一层的两个质点只有一个水平自由度，第二层的质点有水平和竖向两个自由度，故一共有三个动力自由度。
【解析】C ．D．图12-3【解析】当体系的自振频率与外部激励荷载的频率相同时，体系发生共振。
首先求该结构的自振频率，设m 处的位移为u （t ），质量m 处的惯性力向下为，质量3m 处的惯性力向下，弹性力向上为，向左端铰支座处取矩，列运动方程为：。
所以体系的自振频率为。
2．如图12-4所示体系（不计阻尼）的稳态最大动位移y max ＝4Pl 3/9EI ，则最大的动力弯矩为（ ）。
[浙江大学2007研]A ．7Pl/3 B ．4Pl/3C ．Pl D ．Pl/3B【答案】图12-4【解析】在质点m 处的静位移为：，则动力放大系数R d ＝；最大静力弯矩为Pl ，故最大动力弯矩为。
结构力学：第1-11章课后答案(第五版李廉锟上下册)
结构力学：第1-11章课后答案(第五版李廉锟上下册) 第一章：结构力学基本原理1.1 选择题1.（D）材料的流变效应是指在恒定的应力下长时间内所发生的持续性变形。
2.（C）结构力学是研究结构在受力作用下的平衡条件、变形特点以及保证结构安全可靠的一门学科。
3.（B）静力学是结构力学的基础和起点，为后续结构力学的学习打下了坚实的理论基础。
4.（D）载荷是指作用在结构上的外力或内力引起的结构内力。
5.（D）结构承受荷载时产生的内力只有两种，即剪力和弯矩。
1.2 计算题1.（略）1.3 解答题1.（略）第二章：静定结构的受力分析2.1 选择题1.（C）静定杆系是指感力作用下平衡的杆件系统。
2.（B）双铰支座在支座点允许的转动是绕一个垂直轴线。
3.（C）简支梁在跨中承受的弯矩最大。
4.（C）连续梁是指有多个支座并且跨度超过3倍的梁。
5.（A）当两个力的作用线相交于一点时，这两个力称为共点力。
2.2 计算题1.（略）2.3 解答题1.（略）第三章：约束结构的受力分析3.1 选择题1.（C）约束支座限制了结构的自由度。
2.（B）在平面约束条件下，三个约束就可以确定结构的静定条件。
3.（A）约束力分解是将复杂的约束力分解为多个简单的约束力。
4.（D）简支梁在跨中承受的弯矩最大。
5.（D）当两个力构成一个力偶时，它们可以合成一个力偶。
若力偶平行于结构截面，力偶不会在结构内产生剪力和弯矩。
3.2 计算题1.（略）3.3 解答题1.（略）第四章：图解法与力法4.1 选择题1.（D）作用在梁上的集中力可以用力的大小和作用点位置的乘积表示。
2.（B）变形图中每个单元代表一个约束力。
3.（C）悬臂梁上的力和矩可以通过力的图解法求解。
4.（D）力法是通过构造力平衡方程解得结构的内力。
5.（A）设计中常用的受力分析方法有解析法、图解法和力法。
4.2 计算题1.（略）4.3 解答题1.（略）第五章：静定系数法与弹性能力法5.1 选择题1.（C）在确定支座反力时，要根据结构属于静定结构、不完全静定结构还是超静定结构来决定求解的方程数。
【经典】结构力学(李廉坤第五版)-上
超静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和 内力不能由静力平衡条件确定。
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 §2-2
§2-3
§2-4
§2-5
§2-6 况 §2-7
概述 平面体系的计算自由度 几何不变体系的基本组成规则 瞬变体系 机动分析示例 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情 几何构造与静定性的关系
图示铰接链杆体 系
j ：结点数 体b系: 的计杆算件自数 由W=度2j为-（b+r）
结点数：
j杆=件6 数： 支b=座9 链杆数：r=3
W =2×6-（9+3）
=0
§2-2 平面体系的计算自由度
体系计算自由度的计算结果
（1）W>0：表示体系缺少足够的联系，是 几（2何）可W变=0的：；表示体系具有成为几何不变所
§1-5 结构的分类
（6）悬索结构：主要承重构件为悬挂于塔、柱上的缆索， 索只受轴向拉力。
§1-5 结构的分类
按杆轴线和外力的空间位置分 平面结构：各杆轴线及外力均在同一平面内的结构。 空间结构：各杆轴线及外力不在同一平面内的结构。
§1-5 结构的分类
按内力是否静定分
静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力 都可以由静力平衡条件确定。
矩图 取出该段为隔离体 如图b 图b与图c具有相同的
求内出力端图截面的弯矩MA、MB
并连接（虚线）；在此直 线上叠加相应简支梁在荷
载q作用下叠的加弯矩图。
§3-1 单跨静定梁
绘制内力图的一般 步骤
（1）求反力（悬臂梁可不求） （2）分段，外力不连续点作为分段点 （3）定点，计算控制截面的内力，即内力图 上的控制点 （4）连线，将控制点以直线或曲线连接（叠 加法）
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 §2-2
§2-3
§2-4
§2-5
§2-6 况 §2-7
概述 平面体系的计算自由度 几何不变体系的基本组成规则 瞬变体系 机动分析示例 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情 几何构造与静定性的关系
图示铰接链杆体 系
j ：结点数 体b系: 的计杆算件自数 由W=度2j为-（b+r）
结点数：
j杆=件6 数： 支b=座9 链杆数：r=3
W =2×6-（9+3）
=0
§2-2 平面体系的计算自由度
体系计算自由度的计算结果
（1）W>0：表示体系缺少足够的联系，是 几（2何）可W变=0的：；表示体系具有成为几何不变所
§1-5 结构的分类
（6）悬索结构：主要承重构件为悬挂于塔、柱上的缆索， 索只受轴向拉力。
§1-5 结构的分类
按杆轴线和外力的空间位置分 平面结构：各杆轴线及外力均在同一平面内的结构。 空间结构：各杆轴线及外力不在同一平面内的结构。
§1-5 结构的分类
按内力是否静定分
静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力 都可以由静力平衡条件确定。
矩图 取出该段为隔离体 如图b 图b与图c具有相同的
求内出力端图截面的弯矩MA、MB
并连接（虚线）；在此直 线上叠加相应简支梁在荷
载q作用下叠的加弯矩图。
§3-1 单跨静定梁
绘制内力图的一般 步骤
（1）求反力（悬臂梁可不求） （2）分段，外力不连续点作为分段点 （3）定点，计算控制截面的内力，即内力图 上的控制点 （4）连线，将控制点以直线或曲线连接（叠 加法）
结构力学第五版李廉锟版静定平面桁架
FNEC
F NEA
FNED
5 kN 2m
10 kN E
10 kN 10 kN
C
F
5 kN
A 20 kN
G
D
HB
2 m 4=8 m
20 kN
取E点为隔离体，由
X 0 FNEC cos FNED cos FNEA cos 0
FNEC FNED 33.54 kN
Y 0 FNEC sin - FNED sin FNEA sin 10 kN 0
分类 力矩法和投影法
1. 求反力(同静定梁)；
2. 作截面(用平截面，也可用曲截面)截断桁架，取隔离体；
3. (1)选取矩心，列力矩平衡方程(力矩法)(2)列投影方程(投影法)；
4. 解方程。
注意事项
1、尽量使所截断的杆件不超过三根(隔离体上未知力不超过三个)，
可一次性求出全部内力；
2、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力，
结构力学
桁架各部分名称：
斜杆 Diagonal chard
弦杆
上弦杆 Top chard
竖杆Vertical chard
腹杆
下弦杆 Bottom chard
桁高
d 节间
跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷 载作用的直杆、铰结体系”的工程结构—桁架
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04:52
§5-1 平面桁架的计算简图
当荷载向下时，M0E为正，FNCD为拉力，即简支桁 架下弦杆受拉。
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04:52
§5-3 截面法
结构力学
(3) 求上弦杆EF内力
结构力学(李廉锟第五版)
X
3m
f=4m B
FH= 82.5 kN F = 115 kN
VB
当x =5.25m 时，y =3.938m
5.25m 12m
y tan 2 6 x
9
故 tanD 0.1667 ，因而 sin D 0.1644 ，cosD 0.9864
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13:45
由 0
η FVA
FNK FVA F1 F2 sin FH cos 0 F1 F2
与代梁相比较
A
FV0A
a1
K C
FNK FS0K sin FH cos
a2 a3
F3
B
FV0B
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13:45
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计 算公式：
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13:45
§4-1 概 述
结构力学
拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小 得多，所以拱结构适用于大跨度的建筑物。它广泛 地应用房屋桥梁和水工建筑物中。由于推力的存在 它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用 拱的结构形式时必须注意的。
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13:45
§4-2 三铰拱的数值解
C
结构力学
C
A B
B
A
B
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
B
A
B
曲梁
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13:45
§4-1 概 述
3m
f=4m B
FH= 82.5 kN F = 115 kN
VB
当x =5.25m 时，y =3.938m
5.25m 12m
y tan 2 6 x
9
故 tanD 0.1667 ，因而 sin D 0.1644 ，cosD 0.9864
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由 0
η FVA
FNK FVA F1 F2 sin FH cos 0 F1 F2
与代梁相比较
A
FV0A
a1
K C
FNK FS0K sin FH cos
a2 a3
F3
B
FV0B
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§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
三铰拱任意截面K上的内力MK、FSK和FNK的计 算公式：
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§4-1 概 述
结构力学
拱与其同跨度同荷载的简支梁相比其弯矩要小 得多，所以拱结构适用于大跨度的建筑物。它广泛 地应用房屋桥梁和水工建筑物中。由于推力的存在 它要求拱的支座必须设计得足够的牢固，这是采用 拱的结构形式时必须注意的。
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§4-2 三铰拱的数值解
C
结构力学
C
A B
B
A
B
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
B
A
B
曲梁
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13:45
§4-1 概 述
结构力学(李廉锟第五版)
两内边设设3个岸临孔时3墩7m，，上拱1立9圈9钢厚0支湖1.架1南m、。凤拱下架凰部等结县，构的其为乌上重砌巢力筑式河主石桥拱砌圈墩（。台L。=该12桥0施m工）在主孔范围
世界上跨径最大的石拱桥。桥宽8m，双肋石拱桥，腹拱为9孔13m，南岸引桥3孔13m，北 岸引桥1孔15m。主拱圈由两条分离式矩形石肋和8条钢筋混凝土横系梁组成。拱轴线为悬
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结构力学
23:11
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
由于当x =0时， dy 0，故常数A等于零，即 dx
dy dx
sh
p FH
x
再积分一次，得
y FH ch p x B p FH
由于当x=0时，y=0，
故 B FH p
最后得
y
FH p
ch
p FH
x 1
等截面拱在自重荷载作用下，合理轴线为一悬链线。
物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式
为
y
4f l2
x，l 已x知D截面的坐标为: xD=5.25m 。
q=20 kN/m
Y F = 100 kN
解:(1) 代入数据后拱
C
轴线方程为：
y 1 x(12 x) 9
FH= 82.5 kN
D y=3.983 m A
X
FVA =105 kN 3m
f=4m B
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23:11
§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
一、三铰拱的反力和内力计算。
1.支座反力 计算（与三铰刚 架反力的求法类 似）。
y FHA
代梁：同跨度、同
荷载的简支梁,其反力、
世界上跨径最大的石拱桥。桥宽8m，双肋石拱桥，腹拱为9孔13m，南岸引桥3孔13m，北 岸引桥1孔15m。主拱圈由两条分离式矩形石肋和8条钢筋混凝土横系梁组成。拱轴线为悬
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结构力学
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
由于当x =0时， dy 0，故常数A等于零，即 dx
dy dx
sh
p FH
x
再积分一次，得
y FH ch p x B p FH
由于当x=0时，y=0，
故 B FH p
最后得
y
FH p
ch
p FH
x 1
等截面拱在自重荷载作用下，合理轴线为一悬链线。
物线，当坐标原点选在左支座时，它的轴线方程式
为
y
4f l2
x，l 已x知D截面的坐标为: xD=5.25m 。
q=20 kN/m
Y F = 100 kN
解:(1) 代入数据后拱
C
轴线方程为：
y 1 x(12 x) 9
FH= 82.5 kN
D y=3.983 m A
X
FVA =105 kN 3m
f=4m B
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§4-2 三铰拱的数值解
结构力学
一、三铰拱的反力和内力计算。
1.支座反力 计算（与三铰刚 架反力的求法类 似）。
y FHA
代梁：同跨度、同
荷载的简支梁,其反力、
结构力学第五版 李廉锟 第八章位移法
1
l
B
l/2 A Z1 Z1
FP l/2 C
F1=0 A Z1 Z1 A
A
FP
l/2
FP l/2
F1P A
F1=0 Z1 C A Z1 Z1
FP
FP C
F11
C C C
F1P
Z Z 1
1
A A
Z1 EI =常数
l
Z1
EI =常数 B
l
BB
B
B
B
B
B
F11
F11
a) A 原结构C
b)
A
C 基本结构
Z1 A Z1 Z1
第八章 位移法
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构 1.位移法的基本未知量
刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变）
位移法的基本未知量是各结点的角位移和线位移, 计 算时应首先确定独立的角位移和线位移数目。
第八章 位移法
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
(1) 独立角位移数目 同一刚结点,各杆端转角相等一个独立的角位移未知量。 固定支座处，转角=0,已知量; 铰结点或铰支座各杆端的转角不独立，不必作为基本未知量。 独立角位移数目=结构刚结点的数目 例如, 图示刚架 独立的结点角位移 数目为2。
4 5 6 1 2 3
EI i 称为“线刚度”、 AB 称为“旋转角” l l
第八章 位移法
一端（B端）有不同支座时的刚度方程 （1）B端固定支座
6i 令 B 0， M AB 4i A l 6i M BA 2i A l
（2）B端铰支座
1 6i 令M BA =0 B 2i A－ 4i l 3i M AB 3i A l
l
B
l/2 A Z1 Z1
FP l/2 C
F1=0 A Z1 Z1 A
A
FP
l/2
FP l/2
F1P A
F1=0 Z1 C A Z1 Z1
FP
FP C
F11
C C C
F1P
Z Z 1
1
A A
Z1 EI =常数
l
Z1
EI =常数 B
l
BB
B
B
B
B
B
F11
F11
a) A 原结构C
b)
A
C 基本结构
Z1 A Z1 Z1
第八章 位移法
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构 1.位移法的基本未知量
刚架 —— 除结点角位移外还有结点线位移 假定 ①理想刚结点，铰结点 ②忽略轴力产生的轴向变形 ③小变形（直杆弯曲两端距离不变）
位移法的基本未知量是各结点的角位移和线位移, 计 算时应首先确定独立的角位移和线位移数目。
第八章 位移法
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
(1) 独立角位移数目 同一刚结点,各杆端转角相等一个独立的角位移未知量。 固定支座处，转角=0,已知量; 铰结点或铰支座各杆端的转角不独立，不必作为基本未知量。 独立角位移数目=结构刚结点的数目 例如, 图示刚架 独立的结点角位移 数目为2。
4 5 6 1 2 3
EI i 称为“线刚度”、 AB 称为“旋转角” l l
第八章 位移法
一端（B端）有不同支座时的刚度方程 （1）B端固定支座
6i 令 B 0， M AB 4i A l 6i M BA 2i A l
（2）B端铰支座
1 6i 令M BA =0 B 2i A－ 4i l 3i M AB 3i A l
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超静定结构是有多余约束的几何不变体系,其反力和 任意一截面的内力不能由静力平衡条件唯一确定。
滚轴支座
F xA
计算简图
Fy
A
C
D
B
F yA
F yC
FyD FyB
第三章 静定梁与静定刚架 求解静定结构的方法
取隔离体、列平衡方程。
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁
梁：受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力；其 轴线通常为直线（有时也为曲线）。
1 A1
23 2 C3
45 4 D5
6B 6
2m 2m 2m
FA=5kN
FB=7kN
P
4
5kN
A
4 M4
⊕ Fs 图
1kN
FA
Fs 4
○－
m4 0; M4 FA 4 P 2 0
7kN
M图 ⊕
M 4 8kN.m
10kN.m 8kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的内力图。
q=1kN/m m=6kN.m
F=6kN q=3kN/m 解：取整体
1
A1
23 2 C3
45 4 D5
6B 6
mA 0; FB 6 F 2 2q 5 0
2m
FA
2m 2m
FB 7kN
FB
Fy
0;
FA
FB
F
4q
0
Fs图
FA 5kN
M图
第三章 静定梁与静定刚架
P=6kN q=3kN/m
1 A1
23 2 C3
K
n
(a)
F2 B FB
内力符号规定 ：
F1
FAX A
FAY
M
K
FN
FS
(b)
第三章 静定梁与静定刚架
（2）M、FS、FN图正负号规定 ①弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤
维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯 矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
②剪力FS：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正， 反之为负。
3m
A
○－ CB：FA
Fs2 M A 0
MC左 12kN.m
MC
Fs4
Fs3
右
Fs3 12kN
M图 12kN.m ⊕
18kN
Fs4 18kN
MB
q MC右 24kN.m MB 0
24kN.m 27kN.m
5
M5 5 Fs5
M 5 27kN.m
FB
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的剪力图和弯矩图。
控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的内力图。
A FA=qa
qa B
qa
m=3/2qa2 q
C
DE
F
a
a
a
a
2a
FE=2qa
G
H
a
q
第三章 静定梁与静定刚架
画图示梁的剪力图和弯矩图。
m=12kN.m q=6kN/m 解：取整体6
2m 2m 2m
FA=5kN
FB=7kN
P3
5kN
A
3 M3
⊕ Fs图
1kN
○－
FA
Fs3
Fy 0; FA P Fs3 0
M图 ⊕
7kN
Fs 1kN
m3 0; M 3 FA 2 0
10kN.m
M 3 10kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
P=6kN q=3kN/m
B
mB 0; FA 6 m1 4q 2 0
4m
FB
FA 6kN
Fy 0; FA FB 4q 0
FB 18kN
第三章 静定梁与静定刚架
m=12kN.m q=6kN/m
1 A1
23 5 23 5
4 4B
AC：
A
MC
左
Fs2 6kN
2m C
FA=6kN 6kN
Fs图 ⊕
4m
FB=18kN FA
第三章 静定梁与静定刚架 静定结构定义
在荷载等因素作用下，其全部支座反力和任意 一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确定的结构。
F F F xA
F yA
F yB
（a）静定梁
Fx M Fy
（b）静定刚架
第三章 静定梁与静定刚架
静定结构的基本特征
几何特征： 几何不变且无多余联系。 静力特征： 未知力的数目=独立平衡方程式的数目。
单跨静定梁
从支承情况不同又分为：
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
第三章 静定梁与静定刚架
1. 反力 以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力（简支 梁、外伸梁） 三个支座反力 整体隔离体——平衡方程求解
第三章 静定梁与静定刚架
2. 内力 (1)截面法，取隔离体利用静力平衡条件求截面内力
F1
FAX
A
FAY
m
FS图： (FS =0) (FS =0)
(变号)
M图：
(M极值)
第三章 静定梁与静定刚架
简易法作内力图：
利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值
基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。
③轴力FN ：拉为正，压为负。剪力图和轴力图可绘在杆 轴的任意一侧，但必须标注正负号。
M
M
FS
FS
FN
FN
M
M
FS
F
F
S
F
第三章 静定梁与静定刚架
求所示简支梁任一截面的内力。
解 (1)求出支座反力。
由整体平衡： Fx 0
FAx 0
M A 0 20 2 15 4 6 32 FBy 12 0
44 kN
15 kN/m
20 kN AC D
44 kN
FSⅡ MⅡ
取截面Ⅲ-Ⅲ以左为隔离体
20 kN
AC
44 kN
D
15 kN/m E
FSⅢ MⅢ
第三章 静定梁与静定刚架
3.内力与外力间的微分关系及内力图形状判断
dFs q( x) dx
dM dx
FS
d 2M d 2x
q( x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
FBy 36 kN
M B 0 FAy 12 2010 15 4 6 32 0
FAy 44 kN
第三章 静定梁与静定刚架
(2) 分别求截面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ和Ⅳ-Ⅳ的内力。
可以判定所有截面的轴力均为零, 取截面Ⅰ-Ⅰ以左为 隔离体。
20 kN
AC
FSⅠ MⅠ
取截面Ⅱ-Ⅱ以左为隔离体
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其 凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力 偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
第三章 静定梁与静定刚架
• 荷载： q = 0， q = c， F作用点，集中力偶M， 铰处
F=3kN 解：取整体，
A
1 1
23 45
6
mA 0;
4m
23 4 B 2m
5C
3m
6D FC 6 m F 9 6q 3 0
FA
FC
FC 6.5kN
Fs图
(kN)
Fy 0;
FA FC F 6q 0 FA 2.5kN
滚轴支座
F xA
计算简图
Fy
A
C
D
B
F yA
F yC
FyD FyB
第三章 静定梁与静定刚架 求解静定结构的方法
取隔离体、列平衡方程。
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁
梁：受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力；其 轴线通常为直线（有时也为曲线）。
1 A1
23 2 C3
45 4 D5
6B 6
2m 2m 2m
FA=5kN
FB=7kN
P
4
5kN
A
4 M4
⊕ Fs 图
1kN
FA
Fs 4
○－
m4 0; M4 FA 4 P 2 0
7kN
M图 ⊕
M 4 8kN.m
10kN.m 8kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的内力图。
q=1kN/m m=6kN.m
F=6kN q=3kN/m 解：取整体
1
A1
23 2 C3
45 4 D5
6B 6
mA 0; FB 6 F 2 2q 5 0
2m
FA
2m 2m
FB 7kN
FB
Fy
0;
FA
FB
F
4q
0
Fs图
FA 5kN
M图
第三章 静定梁与静定刚架
P=6kN q=3kN/m
1 A1
23 2 C3
K
n
(a)
F2 B FB
内力符号规定 ：
F1
FAX A
FAY
M
K
FN
FS
(b)
第三章 静定梁与静定刚架
（2）M、FS、FN图正负号规定 ①弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤
维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯 矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。
②剪力FS：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正， 反之为负。
3m
A
○－ CB：FA
Fs2 M A 0
MC左 12kN.m
MC
Fs4
Fs3
右
Fs3 12kN
M图 12kN.m ⊕
18kN
Fs4 18kN
MB
q MC右 24kN.m MB 0
24kN.m 27kN.m
5
M5 5 Fs5
M 5 27kN.m
FB
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的剪力图和弯矩图。
控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的内力图。
A FA=qa
qa B
qa
m=3/2qa2 q
C
DE
F
a
a
a
a
2a
FE=2qa
G
H
a
q
第三章 静定梁与静定刚架
画图示梁的剪力图和弯矩图。
m=12kN.m q=6kN/m 解：取整体6
2m 2m 2m
FA=5kN
FB=7kN
P3
5kN
A
3 M3
⊕ Fs图
1kN
○－
FA
Fs3
Fy 0; FA P Fs3 0
M图 ⊕
7kN
Fs 1kN
m3 0; M 3 FA 2 0
10kN.m
M 3 10kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
P=6kN q=3kN/m
B
mB 0; FA 6 m1 4q 2 0
4m
FB
FA 6kN
Fy 0; FA FB 4q 0
FB 18kN
第三章 静定梁与静定刚架
m=12kN.m q=6kN/m
1 A1
23 5 23 5
4 4B
AC：
A
MC
左
Fs2 6kN
2m C
FA=6kN 6kN
Fs图 ⊕
4m
FB=18kN FA
第三章 静定梁与静定刚架 静定结构定义
在荷载等因素作用下，其全部支座反力和任意 一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确定的结构。
F F F xA
F yA
F yB
（a）静定梁
Fx M Fy
（b）静定刚架
第三章 静定梁与静定刚架
静定结构的基本特征
几何特征： 几何不变且无多余联系。 静力特征： 未知力的数目=独立平衡方程式的数目。
单跨静定梁
从支承情况不同又分为：
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
第三章 静定梁与静定刚架
1. 反力 以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力（简支 梁、外伸梁） 三个支座反力 整体隔离体——平衡方程求解
第三章 静定梁与静定刚架
2. 内力 (1)截面法，取隔离体利用静力平衡条件求截面内力
F1
FAX
A
FAY
m
FS图： (FS =0) (FS =0)
(变号)
M图：
(M极值)
第三章 静定梁与静定刚架
简易法作内力图：
利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值
基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。
③轴力FN ：拉为正，压为负。剪力图和轴力图可绘在杆 轴的任意一侧，但必须标注正负号。
M
M
FS
FS
FN
FN
M
M
FS
F
F
S
F
第三章 静定梁与静定刚架
求所示简支梁任一截面的内力。
解 (1)求出支座反力。
由整体平衡： Fx 0
FAx 0
M A 0 20 2 15 4 6 32 FBy 12 0
44 kN
15 kN/m
20 kN AC D
44 kN
FSⅡ MⅡ
取截面Ⅲ-Ⅲ以左为隔离体
20 kN
AC
44 kN
D
15 kN/m E
FSⅢ MⅢ
第三章 静定梁与静定刚架
3.内力与外力间的微分关系及内力图形状判断
dFs q( x) dx
dM dx
FS
d 2M d 2x
q( x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
FBy 36 kN
M B 0 FAy 12 2010 15 4 6 32 0
FAy 44 kN
第三章 静定梁与静定刚架
(2) 分别求截面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ和Ⅳ-Ⅳ的内力。
可以判定所有截面的轴力均为零, 取截面Ⅰ-Ⅰ以左为 隔离体。
20 kN
AC
FSⅠ MⅠ
取截面Ⅱ-Ⅱ以左为隔离体
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其 凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力 偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
第三章 静定梁与静定刚架
• 荷载： q = 0， q = c， F作用点，集中力偶M， 铰处
F=3kN 解：取整体，
A
1 1
23 45
6
mA 0;
4m
23 4 B 2m
5C
3m
6D FC 6 m F 9 6q 3 0
FA
FC
FC 6.5kN
Fs图
(kN)
Fy 0;
FA FC F 6q 0 FA 2.5kN