北师大版必修三 分层抽样与系统抽样 学案

2．2 分层抽样与系统抽样

知识点一分层抽样

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1．分层抽样

(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．

(2)分层抽样的步骤：

①分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)．

②按所占比例确定每层抽取个体的个数．

③各层分别按简单随机抽样或其他的抽样方法抽取样本．

④综合每层抽样，组成样本．

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1．应用分层抽样时应遵循什么要求？

提示：使用分层抽样应遵循的原则

(1)将相似的个体归入一类，即为一层．分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；

(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．

知识点二 系统抽样

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2．系统抽样

(1)定义：将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔 (称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法称为系统抽样，有时也叫等距抽样或机械抽样．

(2)注意：编号时要随机编号，否则抽取的样本代表性差．

(3)系统抽样的步骤：

①采用随机抽样的方法将总体中的N 个个体编号．

②确定分段间隔k (k ∈N )，将整体按编号进行分段(组)．

③在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号l (l ∈N,0≤l ≤k )．

④按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加上k 得到第3个个体编号l ＋2k ，这样继续下去，直到获取整个样本．

[答一答]

2．在进行系统抽样时，如果遇到N n

不是整数，怎么办？ 提示：用系统抽样法抽取样本，当N n 不为整数时，取k ＝[N n

]，即先从总体中用简单随机抽取的方法剔除N －nk 个个体．且剔除的多余个体不影响抽样的公平性．

三种抽样方法的比较

类型一 分层抽样的概念

例1 (1)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )

A ．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B ．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个．为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本

C ．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D ．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行 ( )

A ．每层等可能抽样

B ．每层可以不等可能抽样

C ．所有层按同一抽样比等可能抽样

D ．所有层抽个体数量相同

解析 (1)A 中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C 和D 中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B 中总体个体差异明显，适合用分层抽样．

(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．

答案 (1)B (2)C

规律方法 (1)为了保证分层抽样的公平性，第i 层抽取的个体数N i 满足N i ＝M i ·n N

(i ＝1,2，…，k )．

其中n ，N 分别为样本容量，总体容量，M i 为第i 层个体总数．

(2)解决此类问题，必须准确理解并掌握分层抽样的概念和特点．

下列各项中属于分层抽样的特点的是( B )

A ．从总体中逐个抽取

B ．将总体分成几层，分层进行抽取

C ．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取

D ．将总体随意分成几部分，然后进行随机抽取

解析：A 属于简单随机抽样的特点，B 属于分层抽样的特点，C 属于系统抽样的特点，D 不属于三种抽样方法，所以应选B.

类型二分层抽样的应用

例2一个地区共有5个乡镇，人口30 000，各乡镇人口比例为32523，要从这30 000人中抽取300人进行癌症发病分析．已知癌症与不同地理位置及水土有关，则应该采用什么样的抽样方法？请写出具体过程．

思路探究由题意，知不同乡镇的发病情况差异比较明显，要想使抽样更加科学合理，应采用分层抽样．首先要确定分层的层次，然后算出各层次的比例系数，最后在各层次抽出相应的样本个数．

解应采用分层抽样的方法，具体过程如下：

第一步：将30 000人分成5层，其中每个乡镇为一层．

第二步：按照样本容量与总体容量的比例及各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇应抽取的样本．因为总体个数为30 000，样本容量为300，故样本容量与总体容量的比例为1100，这5个乡镇人口数依次为6 000，4 000,10 000,4 000,6 000.通过计算，易知在各乡镇应抽取的人数分别为60,40,100,40,60.

第三步：将这300人组合在一起，即得到一个样本．

规律方法当采用分层抽样时，应该严格按照分层抽样的步骤进行，即首先确定抽样比，然后进行层内抽样，最后将各个层的样本综合起来．在进行层内抽样时，需要注明所采用的抽样方法，如抽签法、随机数法或系统抽样，根据各个抽样方法的特点以及适用范围选用合适的方法即可．

某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556，则应从一年级本科生中抽取60名学生．

解析：由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×4

4＋5＋5＋6

＝60.

类型三系统抽样的概念

例3下列抽样中不是系统抽样的是()

A．从标有1～16号的电视机中，任选4个作样本，按从小到大的号数排序，随机选起点K，以后按K＋4、K＋8……(超过16则从1再数起)抽样

B．光明会堂有32排座位，每排有40个座位(座位号为1～40)，一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下座位号为18的所有32名听众进行座谈

C．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员每隔5分钟抽一件产