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3.3 矩形的判定

【学习目标】理解并掌握矩形的判定方法。使学生能运用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。

【学习难点】矩形的判定及性质的综合应用。

【学习过程】

一、复习引入

1.矩形的定义是怎么叙述的？矩形的定义有什么作用？

有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形的定义规定了矩形的特征性质，可以依此判定一个四边形是矩形。

2.矩形的性质有哪些？

矩形具有平行四边形的所有性质，另外还具有如下的性质：

①对边平行且相等，邻边相互垂直；

②四个内角都是直角；②两条对角线相等且互相平分；

③矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。

3.下列是矩形具有，而菱形不具有的性质（）

A：内角和为360° B：对角相等，邻角互补

C：对角线平分一组对角 D：对角线相等

二、探究新知

借鉴上一节菱形判定的探究方法。要判定一个四边形是矩形，可以从定义入手，

①证明这个四边形是一个____________形；

②证明这个四边形有一个____________。

判定方法1：【定义法】有一个角是直角的平行四边形是矩形

几何推理形式：∵在□ABCD中，∠A=90°

∴□ABCD是矩形.

（一）判定定理1的探究与证明

我们还可以像上节菱形判定那样，将矩形性质定理的条件与结论相交换，形成一个逆命题，然后证明这个逆命题是真命题，从而得到一个判定定理。这种探究方法包含了数学思想____________。

思考1：矩形的第1条性质：“矩形的两条对角线相等且互相平分”的逆命题是什么？

①上述命题的条件是什么？结论是什么？

②如何交换条件与结论？

③请你说出上述性质定理的逆命题：________________________

两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

④如何证明上述命题的正确性？

⑤根据上述证明过程，你能得出什么结论？

判定矩形的两种方法：

判定定理（Ⅰ）对角线相等的平行四边形是矩形；

几何推理形式：∵在□ABCD中，AC=BD

∴□ABCD是矩形.

推论（Ⅱ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

几何推理形式：∵在四边形ABCD中，OA=0C=OB=OD，

∴四边形ABCD是矩形.

说明：这一判定方法在生活中有许多用处，木工师傅在制作门框或其他矩形的物体时，常用测量对角线的方法来检验产品是否符合要求。

（二）例题讲解

【例题1】如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH。

求证：四边形EFGH是矩形。

＝BO＝CO＝DO。有了这个结论，要证四边形EFGH是矩形，

很自然会想到利用刚讲过的矩形判定定理，即想办法去证

明HO＝GO＝FO＝EO。再结合条件AE＝BF＝CG＝DH，问题即

可得证。

试一试：写出证明过程。

（三）判定定理2的探究与证明

思考2：根据矩形的角的性质：“矩形的四个内角都是直角”，

①它的逆命题是什么？

②如何证明它的正确性？

如果这个命题是真命题，我们也就得到了矩形的另一个判定方法：

________________________。

实际上，由于四边形的内角和是360°，所以只要有3个角都是直角，则第四个

角也一定是直角。这样我们只要去证“三个内角都是直角的四边形是矩形”这个命题是真命题就可以了。

已知：如图，四边形ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°。求证：四边形ABCD 是矩形。 证明：∵∠A＝∠B ＝90°， ∴∠A +∠B =180°。 ∴AD∥BC。 ∵∠B＝∠C＝90°， ∴∠C +∠B =180°。 ∴AB∥DC

∴四边形ABCD 是平行四边形。 又∵∠B＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形。

【归纳】矩形判定的判定定理2：有三个内角是直角的四边形是矩形。 几何推理形式：∵在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，

∴四边形ABCD 是矩形.

（四）例题讲解

【例2】已知：如图20.2－5，ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H 。求证：四边形EFGH 是矩形。

H

G

图20.2-5

F

E

D

C B

A

分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图，因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明。

G

图20.2-6

F

E

D

C

B

A

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BD。

∴∠DAB＋∠ABC＝180°。 又AE 平分∠DAB，BG 平分∠ABC，

∴∠EAB ＋∠ABG ＝12

×180°＝90°。

∴∠AFB＝90°。

A

同理可证∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°。

∴四边形EFGH是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）

【例3】已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．

（1）说说AB和CD、BC和AD的位置关系？。

（2）∠ABC 、∠B CD、∠CDA、∠DAB各等于多少度？

（3）你能判定四边形ABCD是矩吗？为什么？

（4）AC和BD有怎样的大小关系？为什么？

三、随堂练习

1、下列四边形中不是矩形的是（）

A、有三个角是直角的四边形是矩形

B、四个角都相等的四边形

C、一组对边平行且对角相等的四边形

D、对角线相等且互相平分的四边形

2、如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是（）

A、一组对边平行而另一组对边不平行

B、对角线相等

C、对角线互相垂直

D、对角线相等互相平分

3、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形．

4、已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm．

（1）平行四边形ABCD是矩形吗？说明你的理由．

（2）求这个平行四边形的面积．