数学的魅力数学难题(免费)
数学之美高中数学中的难题与解法
数学之美高中数学中的难题与解法数学之美：高中数学中的难题与解法数学，作为一门理科学科，被奉为“科学之母”。
它不仅是人类认知和思维的重要工具，更是一门探索真理的重要途径。
在高中数学教育中，我们将会遇到一系列的难题。
这些难题不仅考验了我们的智力，也培养了我们的思维能力和解决问题的能力。
本文将介绍一些高中数学中的经典难题，并分享它们的解法。
一、费马大定理费马大定理是由17世纪法国数学家费马提出的。
它的表述是：对于大于2的任意整数n，关于x、y、z的方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这一定理的证明一直是数学界的难题，在数学史上耗费了许多著名数学家的心血。
尽管费马大定理在数学界被广泛研究，但其完整证明直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯提出。
怀尔斯通过引入椭圆曲线的理论，利用更强的工具得出了费马大定理的证明。
这一难题的解决不仅是数学的巨大突破，更为整个数学领域注入了新的活力。
二、傅里叶级数傅里叶级数是由法国数学家傅里叶提出的。
它的基本思想是任何连续周期函数都可以表示成一系列正弦和余弦函数的和。
然而，在高中数学中，傅里叶级数的推导和应用成为学生们的一大难题。
在解决傅里叶级数的问题时，我们需要了解周期函数和三角函数的相关性质。
通过对周期函数进行傅里叶级数的展开，我们可以得到其各个正弦和余弦函数的系数，进而得到原函数的一种表达形式。
虽然在计算上可能会比较复杂，但傅里叶级数的应用在信号处理等领域具有重要意义。
三、线性规划线性规划是运筹学中的一种数学模型和求解方法。
它的目标是在满足一系列约束条件的前提下，使一个线性目标函数取得最大值或最小值。
线性规划在高中数学中是一个非常经典的难题。
解决线性规划问题的关键在于构建数学模型和建立约束条件。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，我们可以将实际问题转化为数学问题，并通过求解线性规划模型得出最优解。
线性规划不仅在商业管理、物流配送等领域得到广泛应用，也是高中数学中培养学生分析问题和优化解决方案能力的重要工具。
数学文化第四讲 数学的魅力
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一、渔网的几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片 网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼 数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
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多面体的欧拉公式
• V + F– E =2
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数学就有这样的本领，能够把看起来复杂 的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出 规律。
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• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
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• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难， 这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 • 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重要 ,重要的是它们的相互位置。 • 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看, 问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
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拉姆塞（Ramsay）理论
拉姆塞是位天才的英国科学家，只活 了26岁。在他去世的1930年，他发表了 一篇学术论文，其副产物就是所谓拉姆 塞理论。
• 在一个集会上，两个人或者彼此认识，或 者彼此不认识，拉姆塞得出结果是说，当 集会人数大于或等于6时，则必定有3个人 ，他们或者彼此者认识或者彼此都不认识 。6称为拉姆塞数，记r（3,3）。 • 进一步当集会人数大于或等于18时，则必 定有4个人，他们或者彼此都认识或者彼此 都不认识，用记号表示就是r（4,4）=18。
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练习
• 向量组的秩 • 矩阵的秩 • 线性空间的维数
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• 三角形有多种多样，“三角形三内角之和等 于180度”也是“变中有不变”的性质。 • 陈省身说“不好”是相对的，有层次的区别。 “变中有不变”也是有层次的。 • 我们在学习和科学研究中，要善于抓住“变 中有不变”的性质，要有这样的素养！
数学的魅力(5)
把３ Ｏ和 ２ Biblioteka 并列写在一块儿 ， 就是 答案 ３ ２ ０ ４啦。 怎么样？你不信？那
已再 出几个类似的题 目算算吧 ……
中国城市出版社出版的 想数学大战》 。
读 书勤乃成 ， 不勤腹中空。
— —
韩 愈
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不 信 ？答 案 就
： ０ ４。 ３ ２
您 说 普 拉 同是 不 是 算 得 很 快 呢 ？其 实 ，只 要 掌 握 一 个 小 秘 密 ，您也 能和 我 一 样算得很快的。
把个位数 ６ ４ 和 相乘（ 答案 ２ ） ４。 再把 数５ 和比 ５ １ ６ 大 的 相乘（ 答案 ３ ， Ｏ）
口 不 的 ，每 直 上 四 数 和 同 数使 条 线 的 个 之 都
得 ９ 。试试看 ，你能行吗 ？ Ｄ
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北京 图画树
５ ６ｘ５ ＝ ？ ４
答 案应该 是什 么 呢 ？ ３秒钟 内给 出答 案！
什 么，太难 了？哈 哈哈 … …我普 拉 同可 以 立 即告诉你 答案 ！
数学的魅力
素数在加法方面的规律：哥德巴赫猜想 素数在乘法方面的规律：整数的唯一分解定理 造密码
9
6．哥尼斯堡七桥问题
(“抽象”的典型，图论的起源)
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7．庞加莱：
地球上任何时候总有一处风速为0
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8． 把5个重要常数和谐地统一 在一个等式中
i
e
1 0
14
二、数学的“用处”
35
为了下面表述得清楚，我们把前面的一 个结论用“反面说法”，总结为 “把两堆相等的状况留给对方，自己可以
取胜。”
然后再讨论 a、b、c 的不同情况。以其中
最小的a为“主要线索”分情况讨论。
36
（1）a ＝ 1 时，即状况为（1 , b , c）。
下面再 对 b 分情况。
由于a < b < c ,即 a、b、c “前小后大”，因此
这个命题不好。
5
三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
6
n 边形 n 外角之和 = 360 度
不变量 （向量组的秩；矩阵的秩）
曲边形
7
4．圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一
圆，是平面图形中对称性最强的图形
第三节 数学的魅力
1
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律； 你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然 的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐 一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层 次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简 洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。
数学，有无穷的魅力！
2
16
让你爱上数学有趣的数学趣题
让你爱上数学有趣的数学趣题数学是一门既有趣又有挑战的学科。
对许多人来说，数学可能只是一个令人头疼的难题，但实际上，数学中也存在很多有趣的趣题，通过这些趣题，你可能会发现数学的魅力，甚至爱上数学。
本文将介绍一些有趣的数学趣题，希望能够引起你对数学的兴趣。
趣题一：乘法魔法让我们来看一个有趣的乘法问题：找出满足下列条件的四位数M：M乘以4的结果是将M最后两位颠倒过来，并且结果必须是一个回文数（即从前向后读和从后向前读都一样）。
这个问题看起来似乎很复杂，但实际上只需要一些基本的数学运算就可以解决。
首先，我们设M的四位数字为abcd，其中a、b、c、d分别代表千位、百位、十位和个位上的数字。
根据题目描述，我们可以得到一个方程：4M = dcba。
通过展开计算，我们得到以下等式：4(1000a + 100b + 10c + d) = 1000d + 100c + 10b + a。
进行化简，得到3999a = 594b + 90c + 3d。
由于a、b、c、d都是0-9之间的整数，我们可以遍历所有可能的数值，从而找到满足上述条件的数M。
这个趣题是一个简单而有趣的数学问题，通过分析和计算，可以找到最终的答案。
它能够锻炼我们的逻辑思维能力，并且让数学变得有趣起来。
趣题二：逆波兰表达式逆波兰表达式是一种用于计算数学表达式的方法，它与常规的中缀表达式有些不同。
逆波兰表达式将运算符写在操作数的后面，而不是在两个操作数之间。
举个例子，常规的中缀表达式“3 + 4”在逆波兰表达式中为“3 4 +”。
使用逆波兰表达式进行计算时，我们首先将数字入栈，然后遇到运算符时，将栈顶的两个数字弹出进行运算，最后将结果入栈。
这样，通过一系列的运算，最终栈中的唯一数字即为表达式的结果。
逆波兰表达式的计算步骤相对简单，并且可以用栈这种数据结构来实现，这也使得它成为了一个有趣的数学问题。
趣题三：数学推理数学推理是数学中一个非常重要的部分，通过运用逻辑和推理，我们可以解决许多有趣的问题。
数学的迷题小学数学中的数学迷题和难题解析
数学的迷题小学数学中的数学迷题和难题解析数学的迷题——小学数学中的数学迷题和难题解析在小学数学学习中，我们会遇到一些既有趣又具有挑战性的数学迷题和难题。
这些问题不仅能够培养学生的逻辑思维能力，还能加深他们对数学知识的理解。
本文将为大家解析一些小学数学中常见的迷题和难题。
一、等腰三角形面积问题在学习等腰三角形时，我们了解到等腰三角形的两边是相等的，而上底和下底是独立的。
有一道题目如下：“如果一座等腰三角形的上底长为6 cm，下底长为9 cm，求其面积。
”解析：我们可以使用等腰三角形面积公式S=底*高/2。
在这个问题中，“上底”和“下底”可以看作两条并行的底边，而“高”则是两底之间的距离。
根据题目给出的条件，我们可以计算出高为√(9^2 - 6^2) = √(81 -36) = √45 cm。
带入公式计算得到面积S=(6+9)*√45/2=15√45/2 cm²。
二、分数简化问题在学习分数的运算过程中，我们经常会遇到需要简化分数的情况。
有一道题目如下：“将分数12/16化简为最简形式。
”解析：化简分数的关键是找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数得到最简形式。
在本题中，12和16的最大公约数是4。
将分子12和分母16同时除以4，得到3/4。
所以，分数12/16化简为3/4。
三、乘法分配率问题在应用乘法分配率时，我们需要明确当一个数与一个加减式相乘时，应该先将这个数与括号内的各个项分别相乘，然后进行加减运算。
有一道题目如下：“计算72×(13+5)。
”解析：根据乘法分配律，我们需要先将72与13和5分别相乘，然后将两个结果相加。
计算过程如下：72×(13+5) = 72×13 + 72×5 = 936 + 360 = 1296。
所以，72×(13+5)的结果为1296。
四、方程解析问题在解方程的过程中，我们需要根据已知条件找出未知数的值。
数学的魅力——解决复杂的数学问题
数学的魅力——解决复杂的数学问题数学作为一门学科，被认为是最具有挑战性和难度的，但同时也是最具有魅力和吸引力的科学之一。
数学是研究数字、形状、结构以及变换的学科，它的研究对于现代科技发展起到了重要的推动作用。
在今天的社会中，数学不仅是做数学题、计算题的工具，还是解决生活、工作或科学难题的重要方法之一。
接下来，我会从不同的角度来探究数学的魅力，剖析它是如何帮助我们解决复杂的数学问题的。
数学让我们理性思考数学是一门严谨的学科，具有逻辑性和普适性。
在学习数学的过程中，我们需要掌握一定的数理知识，需要对抽象的概念和符号进行分析和表达。
因此，数学不仅是解决问题的方法，更是我们思考问题的方式。
通过学习数学，我们可以养成理性思考的习惯，懂得如何通过分析和推理来解决问题。
数学是实践科学数学是一门实践科学，它的研究目标并不是抽象概念和符号，而是通过数学模型和计算方法来解决实际问题。
例如在金融领域，数学模型可以帮助我们预测股市的走向和交易市场的波动；在交通管理方面，数学模型可以帮助我们规划最优的交通路线，提高交通效率。
又如在疫情控制方面，数学模型可以帮助我们预估病毒的传播速度和繁殖系数，为疫情防控提供科学依据。
因此，数学在实践中发挥了不可或缺的作用。
数学拓展我们的思维数学中提供了许多抽象概念和漂亮的定理，这些定理不仅仅是数学知识，更是开放我们思维的窗户，让我们拓展了思维的边界。
数学许多定理看似简单，实则内涵非常丰富，学会这些定理可以让我们更好地理解和运用它们。
例如费马大定理，这个定理的发现历经了300多年的探索，是数学的巨大成就之一。
许多学者为了寻找证明方法，付出了数十年的心血。
这个定理的发现不仅仅是一个定理的证明，更是从数学探索中走近真理的旅程。
数学解决复杂问题数学可以帮我们解决各种各样的复杂问题，例如：从海量的数据中最快最精确地查找和处理所需的数据，探讨金融市场变化规律和趋势；研究气象预报技术、地震预测技术，解决环境问题等等。
木点--数学的魅力
数学的魅力---木点下面先请大家考虑以下几个问题：1．你能告诉我：人为什么要穿高跟鞋吗？2．你知道UFO（飞碟）是如何从遥远的星球瞬间来到地球的吗/他们又是如何在我们的眼前瞬间消失的吗？3．学数学真的有用吗？今天我讲的题目叫“数学的魅力”，让我们来看一下上述问题是如何用数学的观点得到巧妙地解答的。
下面我主要从三个方面来说明数学的魅力：一是数学美的魅力；二是数学方法的魅力；三是数学功能的魅力。
一．数学美的魅力在大多数人的眼里，数学就是枯燥无味的代名词，相当多的同学仅仅是为了考学而学数学，如果抱有这样的心理去学数学，数学显然是枯燥无味的。
而事实上数学是美丽的，“哪里有数，哪里就有美”。
数学家维纳说过：“数学实质上是艺术的一种”。
世间不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛，只要我们学会用审美的眼光去看数学，你就发现，数学原来是很美的。
对称、和谐美是数学美的基本内容，它给人一种圆满而匀称的美感与享受。
几何中的对称美无处不在，比如有些同学已经学到的圆，和即将学到的椭圆，无不体现出鲜明的对称美。
大家在高中阶段将要学到的波浪滚滚的正弦曲线（图），欲达而不能的渐进线，翩翩起舞的蝴蝶定理，它们在和谐中动静结合，富有诗情。
从自然数到整数，从有理数到实数，数系的每一次的扩充，一次又一次矛盾的冲突与解决，都在新的基础上形成新的和谐。
初等数学中的对称、和谐美最典型的例子要算黄金分割数及其在现实中的应用了。
黄金分割数 618.0215=-=ω，其实黄金分割数还有好几种形式，如： 2sin18ω= ，还有你们在以后上大学还会遇到的几种形式：ω= 111111ω=+++黄金数也是现实世界中美的反应，世界上许多著名的建筑广泛采用黄金分割的比例，给人以舒适的美感；人的肚脐以下的长度与人体长的比例越接近0.618，那么这个人的体形就越匀称漂亮，人穿高跟鞋的目的就是要努力增加下身的高度，使这个比例接近黄金分割数，还有人体的躯干宽与躯干高的比值越是接近黄金分割数，人的体型越是优美，再比如，人的面部的宽和高的比值，以及鼻子，眼睛等器官如果在黄金分割点，那么这个人脸就是最标准的脸，也是最漂亮的脸；一些名画的主题大都画在画面的0.618处，摄影时如果注意到这一点，拍出来的相片会更美观漂亮；弦乐器声码放在琴弦的0.618处会使声音更加圆润甜美。
数学之谜：迷人的数学难题与解答
数学是一门迷人而富有挑战性的学科，它贯穿于我们生活的方方面面。
数学的魅力不仅体现在它的美妙逻辑和严谨性上，还体现在一系列令人着迷的难题中。
这些数学之谜围绕着各种数学概念和定理，挑战着人们的思维和推理能力。
让我们一起探索一些最迷人的数学难题和它们的解答吧！首先，我们来探索一下著名的费马大定理。
费马大定理是一个一度困扰数学家们几个世纪的难题。
它声称没有整数解的方程a^n + b^n = c^n（其中a，b，c 和n都是大于1的整数）。
然而，虽然这个定理在1637年被皮埃尔·德·费马提出，并声称他有一个美妙的证明，但直到1994年才被安德鲁·怀尔斯证明出来。
这个证明使用了先进的数学工具，涉及到椭圆曲线和模形式等领域。
费马大定理的解答证明了数学是难以预料甚至几百年后才能解开的谜团。
接下来，我们来研究一下哥德巴赫猜想。
哥德巴赫猜想声称任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
这个猜想是于1742年由克里斯蒂安·哥德巴赫提出的。
虽然经过多年的尝试，数学家们已经证明了猜想对于非常大的数成立，但它仍然没有从数学上得到证明。
直到2013年，由于数学家们应用了复杂的组合和概率理论，才证明了任何大于2的偶数都可以表示为至多六对素数之和。
这个证明仍然只是一个估计值，但它向我们展示了哥德巴赫猜想的一种可能性。
最后，我们来讨论一下莱布尼茨的无穷级数。
莱布尼茨是一位17世纪的数学家，他证明了以下这个关于π的无穷级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ...这个级数是收敛的，意味着当无限项相加时，可以获得一个有限的结果。
莱布尼茨的证明方法非常巧妙，他使用了一种称为“莱布尼茨交替级数定理”的方法。
这一定理说明了当一个交替无穷级数的项逐渐减小并趋于零时，级数的和是收敛的。
莱布尼茨的无穷级数成为了计算π的一种方法，展示了数学的无限和以及其应用的奇妙之处。
数学之谜无处不在，它们鼓舞着数学家们不断探索和创新。
魅力数学答案完整版
一、单选题（共 20 道试题，共 40 分。
）1. 欧拉是世界上最高产的数学家之一，他出生于那个国家？A. 法国B. 德国C. 瑞士D. 俄罗斯正确答案：C2. 运筹学中经常需要在很多条件的约束下，寻找某一个问题的最优解。
在运筹学中，这种方法被称为：A. 数理统计B. 数学规划C. 决策树D. 启发性算法正确答案：B3. 在植物中会发现很多与黄金比例有关的现象，比如植物的叶序，这些现象存在的原因是A. 植物中的黄金比例只是偶然，没有什么特殊原因B. 黄金比例令植物更加美观C. 植物成长时，按照黄金比例生长的枝叶，可以更好地利用空间和阳光D. 按黄金比例生长的植物，更符合人们的需要正确答案：C4. 迈一步通常是在半米左右，那么估计一亿步是多远的距离？A. 相当于中国从东到西的距离B. 相当于从中国上海到美国洛杉矶的距离C. 相当于绕地球赤道一周多D. 相当于从地球到月亮的距离正确答案：C5. 自然界中存在丰富的斐波那契数列，斐波那契数列来源于一个古老的数学问题，是由12世纪意大利数学家斐波那契在其书中所产生的。
斐波那契数列和黄金分割的关系是？A. 黄金比例是斐波那契数列中的一项B. 斐波那契数列相邻两项的比例逐渐逼近黄金比例C. 黄金分割是指用斐波那契数列对一个量进行分割D. 黄金比例是斐波那契数列的别名正确答案：B6. 运筹学是最为重要的应用数学分支之一，运筹学始于那个年代？A. 20世纪20年代B. 运筹学出现于二战时期C. 公元前500年的春秋战国时期D. 出现在17世纪的欧洲正确答案：B7. 欧几里得几何原本是综合了整个地中海地区的数学成就而得到的。
文献和资料的搜集对于学术的发展和知识的保存起着至关重要的作用。
对欧几里得的几何原本起到重要作用的古代图书馆是：A. 亚历山大图书馆B. 阿拉伯智慧宫C. 罗马梵蒂冈教廷藏书D. 大不列颠图书馆正确答案：A8. 我见到的所有天鹅都是白的我的同学所见到的所有天鹅都是白的所以天鹅是白的这个推理过程所使用的推理方法是：A. 归纳方法B. 演绎方法C. 化归方法D. 模型方法正确答案：A9. 人类的审美行为中，很多都与比例有关。
数学的魅力
七、“蒲丰投针”的故事
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八、“化归”的方法
“化归”，是把未知的问题，转化为已知的问 题；把待解决的问题，归结为已解决的问题， 从而解决问题的过程。
波利亚：关于“烧水”的例子
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九、体会公式 ei 1 0 中的数学美
ei 1 0 可以从公式 ei cos i sin 中，
令 = 推出来。
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找一个公式来表示素数
费马素数 (1640年) Fn = 2 ∧ 2n + 1
梅森素数 (1644年) Mn = 2n – 1
（n = 2、3、5、7、13、17、31、67、127、257 ）
“梅森数中是否有无穷个素数”的问题，也是未解之谜。
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关于费马素数 ，n = 5 时， Fn = 4294967297 = 641 × 6700417
公式 ei 1 0 ，用 “等号” 连接了数学
中五个重要的常数，反映了数学的“统一 美”。
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十、哥尼斯堡七桥问题
M．克莱因（Felix Klein,1849－1925）：
音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心 悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧，科学可以 改善生活，而数学能做到所有这一切。
多的人”
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对于这个命题，纯存在性证明的方法， 比用构造性证明的方法更可靠。
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三、圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一 圆，是平面图形中对称性最强的图形 周长与直径之比是一个常数 这个常数是无理数、超越数 面积相等的图形中圆的周长最短 规尺作图化圆为方不可做
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四、“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不好”
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二、天津市南开区 至少有两个人头发根数一样多
世界上最迷人的数学难题
世界上最迷人的数学难题随着我国数学科研事业在近几年一直持续迅猛发展，数学爱好者规模日益壮大.都说明数学正在越来越受到人们的关注，这是一个非常可喜的现象.正是基于这种考虑，数学工作者不失时机地推出了“世界最迷人的数学难题”评选活动.之所以称之为“迷人”，是因为无数数学家看见她们比看见漂亮美眉还痴迷，就象练武之人见到了武功秘籍.现在由“世界最迷人的数学难题”评选委员会宣布评选结果.此次评选的三等奖获得者三名，她们分别是：“几何尺规作图问题”获奖理由：这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1.化圆为方—求作一正方形使其面积等于一已知圆；2.三等分任意角； 3.倍立方—求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍. 4.做正17边形. 以上4个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.第4个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正17边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上17边形，而是17角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正17边形和圆太像了，大家一定分辨不出来.“蜂窝猜想”获奖理由：4世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表.他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的.他的这一猜想称为蜂窝猜想,但这一猜想一直没有人能证明.1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正六边形的周长是最小的.但如果多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一点.而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小.他已将19页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确的.“孪生素数猜想”获奖理由：1849年，波林那克提出孪生素生猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数.孪生素数即相差2的一对素数.例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数.1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积.孪生素数猜想至今仍未解决，但一般人都认为是正确的.此次评选的二等奖获得者二名，她们分别是：“费马最后定理”获奖理由：在360多年前的某一天，费马突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式x n +y n = z n的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）. 费马声称当n>2时，就找不到满足x n +y n = z n的整数解，例如：方程式x3 +y3 = z3就无法找到整数解. 始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，300多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功.这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快. 不过这个300多年的数学悬案终于解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决.其实威利斯是利用20世纪过去30年来抽象数学发展的结果加以证明.“四色猜想”获奖理由：1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题.世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战. 1976年，美国数学家阿贝尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明.四色猜想的计算机证明，轰动了世界.此次评选的一等奖获得者一名，她是：“哥德巴赫猜想”获奖理由：公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和. (b) 任何一个大于等于9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和. 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意.200年过去了，没有人证明它.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”. 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem) “任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积.”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1 + 2”的形式.我们说“哥德巴赫猜想”无愧于“世界最迷人的数学难题”第一的称号.她用貌似平凡的外表，吸引无数数学家为她神魂颠倒、寝食难安.。
数学的魅力数学难题(免费)
1847 年，德国数学家库默尔用一 种精巧的证明方法，取消了上述“x, y, z 与 n 互素”的条件限制，实现了第一 次重大突破。他因此在 1857 年获得巴 黎科学院颁发奖金3000法郎。
如果n是不超过100的奇素数， n n n 则方程x +y =z 没有正整数解。
费马大定理与第二类曲线 （椭圆曲线）有密切关系。
志村-谷山-外依猜想
关于（第二类）椭圆曲线，有许多 重要猜想，其中一个由日本数学家志村 和谷山，以及法国数学家外依在1950年 提出的猜想，称之为志村-谷山-外依猜 想:
有理数域上的每条椭圆曲 线都是模曲线。
1985年德国数学家符雷在一次会议 上宣布： 如果对某个 n >2 费马大定理不成立， 他可以具体构造一个椭圆曲线，使志村谷山-外依猜想对这条曲线不成立。 因此（逆否命题） 若志村-谷山-外依猜想成立，则对 所有n >2费马大定理成立！
8 3 2
33 1549034 15613
8 2
3
2. Beal猜想 若正整数m ,n, k 3，则不定方程 xn + ym = zk 没有异于（2，2，2）的正整数解组（a, b, c）。 这一猜想是由一个银行职员Andrew Beal 提出的。他为此提供5千美圆的征解 奖金，而且每延长一年，奖金增加5千美 圆，最高到5万美圆。
直观地看： （1）通过两点作直线； （2）以已知点为圆心，已知线段为半径作圆； （3）定出两条已知非平行直线的交点； （4）定出两个已知圆的交点； （5）定出已知直线与已知圆的交点。
1837年数学家万锲尔（P.L. Wantzel, 1814--1848）注意到： 直线方程是（一次）线性的，而圆 的方程是二次的。通过上述五种手段所 能做出的交点问题，转化为求一次与二 次方程组的解的问题。
数学奇思妙想之旅挑战数学思维的练习题
数学奇思妙想之旅挑战数学思维的练习题在我们平凡的生活中，数学似乎是一个孤芳自赏的学科。
许多人认为数学是一门无趣且枯燥的学科，只与公式和计算有关。
然而，事实并非如此。
数学中隐藏着许多奇思妙想，而解决这些思维挑战可以让我们的大脑得到锻炼。
接下来，我将为大家带来一些挑战性的数学练习题，希望能够激发你们的思考，破解数学的谜题。
1. 设有一个长度为1的细棍，同时向前和向后都可以无限次折叠，每次折叠都将细棍的长度减半。
问：经过无限次折叠后，细棍的长度会趋于多少？2. 在一个迷宫中，每个方格要么是黑色要么是白色，迷宫中有一个机器人被放置在一个白色方格中，并希望最终到达一个黑色方格。
机器人可以向上、向下、向左或向右移动，但不能走到白色方格上。
问：机器人能否达到目标？3. 有一堆石头，分成两堆，其中一堆石头的重量是另一堆的两倍。
如果能够一次性称量的石头数量有限，如何快速找出重量较重的一堆？4. 给定一个加密字符串，其中每个字母都被替换成了它后面的第三个字母。
例如，"hello"会被加密成"khoor"。
现在，给定一个加密字符串，请尝试解密它。
以上几个练习题都是充满挑战性的数学思维问题，它们需要我们动动脑筋，运用数学的知识和思维方式来解决。
接下来，我将逐一为大家解析这些问题，并给出解答。
对于第一个问题，我们可以每次折叠细棍时都将其长度除以2。
无论折叠多少次，我们都可以得到一个趋近于0的极限。
因此，经过无限次折叠后，细棍的长度会趋于0。
第二个问题是一个经典的图论问题，可以使用深度优先搜索或宽度优先搜索的算法来解决。
我们可以不断地探索迷宫中的新方格，并标记已经访问过的方格，直到找到一条通往目标方格的路径或者探索完整个迷宫。
如果能够找到一条路径，那么机器人就可以达到目标；反之则无法达到目标。
对于第三个问题，我们可以将石头分成三组：一组的石头重量为x，另一组为2x，剩下一组为空。
然后，我们可以称量两组石头的重量。
数学的魅力 之千年难题_向昭银
向昭银（数学科学学院） 数学的魅力 3
100年前的故事
影响： Hilbert的23个问题涉及现代数学大部分重要领域，极大地推动了 20世纪数学的发展；20世纪的很多重要问题都受23个问题的影 响； 到2000年为止，23个问题中“真正的”问题除了一个之外都已经被 解决。 其他评论： 23个问题中未能包括拓扑学、微分几何等在20世纪成为前沿学科 领域中的数学问题，除数学物理外很少涉及应用数学等； Hilbert未能想象到电脑的产生及其对20世纪数学的重大影响，所 以20世纪数学的发展实际上远远超出了23个问题所预示的范围。
数学的魅力 之 千禧年问题 简介
向昭银 数学科学学院
June 2, 2016
向昭银（数学科学学院）
数学的魅力
向昭银（数学科学学院）
数学的魅力
100年前的故事
1900年8月8日，巴黎(2nd ICM)
Figure: David Hilbert (1862-1943)
1
与 H Poincare (1854—1912)、F Klein (1849—1925)并称为19世纪末20世 纪初最伟大的三位数学家.
2. Yang-Mills 理论和质量缺口假设
Figure: 杨振宁 (1922-)
向昭银（数学科学学院） 数学的魅力
千禧年问题的描述
Yang-Mills 理论和质量缺口假设 Newton物理学解释了太阳系中的物理现象；Einstein相对论解释 了天文尺度上的宇宙；量子理论描述了亚原子尺度上的世界。 Newton物理学可视为Einstein相对论和量子理论在我们生活的中 间尺度的近似；但Einstein相对论和量子理论在某些地方存在矛 盾：在黑洞内部，物质的引理坍缩导致了一个区域，其物理行为 同时是非常大和非常小的。 为了真正了解宇宙，必须寻找一个单一的终极理论，使相对论和 量子理论都是这个理论的近似。这归结为寻找一个单一的框架， 来解释目前认识到的自然界四中基本力：电磁力(Newton力学)、 引力(广义相对论)、强核力与弱核力(量子理论)。 20世纪50年代，杨振宁和Mills提出的理论迈出了第一步，而质量 缺口假设是Yang-Mills理论框架下衍生出的一个特殊数学问题。
数学趣题 解开有趣的数学难题
数学趣题解开有趣的数学难题解开有趣的数学难题数学是一门既有挑战性又有趣味性的学科，它通过解决各种难题来锻炼我们的逻辑思维能力。
本文将介绍几个有趣的数学难题，并提供它们的解答，让我们一起享受数学带来的乐趣吧！难题一：一元二次方程的根已知一元二次方程 x² - 5x + a = 0 的两个根之和等于 8，求 a 的值。
解答：设 x₁和 x₂分别为方程的两个根，根据韦达定理可知：x₁ + x₂ = -(-5) = 5 （根之和等于系数b的相反数）由题意可得：x₁ + x₂ = 85 = 8根据等式左右两边相等的原理，可得：a = 5 - 8a = -3因此，当 a = -3 时，方程 x² - 5x + a = 0 的两个根之和等于 8。
难题二：三角函数的特殊值角度为 30°，60°，90°，120°，150°和 180°分别对应的正弦值和余弦值是多少？解答：首先，我们需要记住 30°，45°，60°和 90°这些角度对应的三角函数值：sin 30° = 1/2，cos 30° = (√3)/2sin 45° = (√2)/2，cos 45° = (√2)/2sin 60° = (√3)/2，cos 60° = 1/2sin 90° = 1，cos 90° = 0进而，利用三角函数的周期性，我们可以推导出其他角度对应的三角函数值：sin 120° = sin (90° + 30°) = sin 30° = 1/2cos 120° = cos (90° + 30°) = -cos 30° = - (√3)/2sin 150° = sin (90° + 60°) = cos 60° = 1/2cos 150° = cos (90° + 60°) = -sin 60° = - (√3)/2sin 180° = 0，cos 180° = -1因此，角度为 30°，60°，90°，120°，150°和 180°分别对应的正弦值和余弦值分别是：sin 30° = 1/2，cos 30° = (√3)/2sin 60° = (√3)/2，cos 60° = 1/2sin 90° = 1，cos 90° = 0sin 120° = 1/2，cos 120° = - (√3)/2sin 150° = 1/2，cos 150° = - (√3)/2sin 180° = 0，cos 180° = -1难题三：猜数字游戏假设有一种猜数字游戏规则如下：每个人可以猜一个 4 位数，每个数字的范围是 0-9，猜中数字且位置正确的获得“a”，数字正确但位置不正确的获得“b”，其他情况不得分。
关于数学魅力的作文
关于数学魅力的作文
《数学的魅力》
嘿，同学们！你们觉得数学怎么样呀？我跟你们说，数学可太有魅力啦！
就拿做数学题来说吧，那感觉就像在玩一场超级有趣的游戏。
有时候遇到一道难题，哎呀，那可真是让人头疼啊！就好像面前有一座高高的大山，怎么也翻不过去。
我就会抓耳挠腮，嘴里嘟囔着：“这题怎么这么难呀！”但当我静下心来，认真思考，突然找到解题方法的时候，哇塞，那种喜悦简直无法形容！就好像我一下子爬上了山顶，看到了最美的风景，心里别提多高兴啦，哈哈！
我们数学老师上课也特别有意思。
有一次，老师在黑板上画了一个大大的圆，然后说：“同学们，你们看这个圆像不像一个超级大的棒棒糖呀？”我们都哈哈大笑起来，然后老师就通过这个“棒棒糖”给我们讲了好多关于圆的知识。
从那以后，我每次看到圆，就会想起那个“超级大棒棒糖”，也一下子就想起了老师讲的那些知识。
这不就是数学的魅力嘛！
还有啊，我和我的好朋友经常会比赛做数学题。
我们会互相出难题，然后比谁先做出来。
有一次，我出了一道特别难的题，本以为他肯定做不出来，结果他居然很快就做出来了，还得意洋洋地对我说：“哈哈，怎么样，我厉害吧！”我虽然有点不服气，但也不得不佩服他。
我们这样在比赛中互相学习，互相进步，数学也变得更加有趣啦！
数学在生活中也无处不在呢！买东西的时候要算账吧，那就是数学呀；看时间也是数学呀；搭积木的时候也要考虑形状和大小，这也是数学呢。
就好像数学是我们生活中的一个好朋友，一直陪着我们。
你们说，数学是不是超级有魅力呀？它就像一把神奇的钥匙，可以打开无数知识的大门；它又像一个神秘的宝藏，等着我们去挖掘。
我呀，以后一定要更加努力地学习数学，去发现它更多的魅力！。
242挑战极限!那些让人欲罢不能的数学难题
挑战极限！那些让人欲罢不能的数学难题数学，这个充满神秘魅力的学科，总是能以其独特的逻辑美和智慧挑战吸引着无数探索者。
今天，就让我们一同走进这个充满趣味的数学世界，挑战那些让人欲罢不能的难题吧！难题一：奇妙的幻方幻方，这个古老而又神秘的数学游戏，以其简单的规则和无穷的变化令人着迷。
在一个由九个格子组成的正方形中，填入数字1到9，使得每一行、每一列以及对角线的数字之和都相等，这就是一个三阶幻方。
挑战这个难题，你不仅需要运用数学知识，还需要发挥你的逻辑思维和想象力。
当你通过反复尝试、不断调整，最终填出一个完美的幻方时，那种成就感和喜悦简直无法用言语来形容。
而且，幻方不仅仅是一个数学游戏，它还蕴含着深刻的数学原理和思想。
通过研究幻方，你可以了解到数学的对称性、平衡性以及数字之间的奇妙联系。
难题二：迷宫中的最短路径迷宫，这个充满未知和挑战的游戏，总是能激发人们的好奇心和探索欲。
而在数学中，迷宫问题其实是一个经典的图论问题，即如何在给定的图中找到从起点到终点的最短路径。
这个问题看似简单，但实际上却需要运用到复杂的数学算法和技巧。
你需要仔细分析迷宫的结构，考虑各种可能的路径组合，然后运用数学方法找到最短的那条。
当你成功找到最短路径时，那种豁然开朗的感觉简直让人陶醉。
而且，这个问题不仅仅是一个数学难题，它还有着广泛的应用价值。
在现实生活中，许多领域都需要用到最短路径算法，比如交通规划、网络通信等。
难题三：神秘的数列数列，这个看似普通的数学概念，却隐藏着无穷的奥秘和趣味。
在数学中，有许多著名的数列，比如斐波那契数列、等差数列、等比数列等。
这些数列不仅有着独特的性质和规律，还与自然界和社会现象有着千丝万缕的联系。
挑战神秘的数列难题，你需要运用数学知识去挖掘数列背后的规律和奥秘。
比如，斐波那契数列中的每一项都是前两项的和，这个简单的规则却产生了许多奇妙的性质和现象。
你可以通过计算、观察、归纳等方法来探索数列的奥秘，感受数学的美妙和神奇。
数学大挑战——数学课高难度问题
数学大挑战——数学课高难度问题数学课是许多学生最害怕的科目之一。
遇到高难度的问题时，学生们常常感到困惑和无助。
然而，正是这些高难度问题挑战了我们的数学能力，激发了我们对数学的兴趣和思考能力。
本文将介绍几个数学课上的高难度问题，帮助读者理解问题的解决方法，同时展示数学的魅力所在。
一、费马大定理费马大定理是数学史上最著名的未证明命题之一。
由法国数学家费马于17世纪提出，大约花费了358年才被证明。
费马大定理陈述为：当n大于2时，对于方程x^n + y^n = z^n，不存在整数解x, y, z（其中x, y, z不为零）。
费马大定理的证明复杂而艰巨，被许多数学家视为数学之王的问题。
直到1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出了一个复杂的证明，引用了大量高深的代数和几何数学知识。
怀尔斯的证明为数学界树立了巨大的里程碑，同时也展示了数学的无限魅力。
二、黎曼猜想黎曼猜想仍然是数学界未解决的难题之一。
它是关于黎曼函数的非平凡零点的分布性质的猜想。
黎曼猜想由德国数学家黎曼于1859年提出，并被视为解决素数分布问题的关键。
黎曼猜想的证明是非常困难的，它涉及到复分析、复杂数论等高深的数学领域。
尽管许多数学家尝试着解决这个问题，但至今仍未有一个完整的证明。
黎曼猜想的解决将为数论和数学物理领域带来巨大的突破。
三、四色定理四色定理是一个有趣而又复杂的数学问题。
它声称任何地图都可以用四种颜色进行染色，使得任意相邻的区域颜色不同。
该问题由英国数学家弗朗西斯·格斯贝（Francis Guthrie）于1852年提出，并称之为“四色猜想”。
四色定理的证明需要借助图论和计算机的帮助。
从1852年到1976年，数学家们花费了124年的时间才最终证明了这个问题。
通过运用复杂的数学算法，数学家们展示了数学的魅力和计算机的威力。
四、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是一个有关素数的问题。
它声称：任何一个大于2的偶数都可以分解为两个质数之和。
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理想数的诞生
库墨尔 Ernst Edward Kummer (1810 - 1893)
德国人
1845 至 1847 年 间 ， 提 出 了 “分圆整数”、“理想数”、 “正规质数”等概念。
证明当 n < 100 时，“费马大 定理”成立。
1857 年，获巴黎科学院颁发奖 金三千法郎。
可见，如果不加 以限制，这样的问题 是复杂的，也是没有 太大意义的。于是， 人们研究各种限制下 的整数分拆问题。
这类问题被华罗 庚称为“堆垒数论”。
华罗庚
这里面第一个问题就是分拆为方幂和 的 问 题 。 1770 年 ， 法 国 数 学 家 拉 格 朗 日 (Lagrange, 1736—1813)证明了：
因此（逆否命题）
若志村-谷山-外依猜想成立，则对 所有n >2费马大定理成立！
最后胜利
1997 年 6 月 27日，外尔斯
荣获德国悬 赏 的 10 万 马 克奖金。
1. Fermat-Catalan猜想
若正整数m, n, k满足 1/m + 1/n + 1/k < 1
则不定方程 xn + ym = zk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直尺和圆规能做什么？
作图工具——直尺和圆规能做什么？
直观地看： （1）通过两点作直线； （2）以已知点为圆心，已知线段为半径作圆； （3）定出两条已知非平行直线的交点； （4）定出两个已知圆的交点； （5）定出已知直线与已知圆的交点。
1837年数学家万锲尔（P.L. Wantzel, 1814--1848）注意到：
这就是著名的“倍立方体问题”， 又叫“第罗问题”：
求作一个正方体，其体积等于已 知正方体体积的两倍
该 问 题 直 到 1837 年 才 由 万 锲 尔 （P.L. Wantzel, 1814--1848）给出否定 的答案。
要确定北门和小桥的位置，关键是算
出夹角 NSH 。记a 为南门S与居室H连线
5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1 =2+1+1+1=1+1+1+1+1
一般地，如果用p(n)表示整数n的加法表 示种数，则它往往是一个很大的数。
P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=5, P(5)=7, P(6)=11, P(7)=15, P(8)=22,…， P(100)=190,569,292（1亿9千万） P(200)=3,972,999,029,388(4万亿)。
每条曲线xn+yn=1上上最多只
有有限多个有理点
差一点儿……
费马猜想
每条曲线xn+yn=1上没有正有理点
符雷的发现
法廷斯证明莫代尔猜想，吸 引了许多几何高手加入研究费 马大定理的行列，为费马大定 理的证明开辟了多条道路，其 中德国数学家符雷偶然发现了 一条蹊径：
费马大定理与第二类曲线 （椭圆曲线）有密切关系。
直线方程是（一次）线性的，而圆 的方程是二次的。通过上述五种手段所 能做出的交点问题，转化为求一次与二 次方程组的解的问题。
简单的代数知识告诉我们：
通过直尺与圆规所能做出 的只能是已知线段（长度） 的和、差、积、商以及开平 方的有限次组合。
三大作图问题的不可能性
三大作图问题要作什么？
（1）“倍立方体” ，要作出数值3 2
14143 22134592 657 92623 153122832 1137
438 962223 300429072 338 15490342 156133
2. Beal猜想
若正整数m ,n, k 3，则不定方程
xn + ym = zk
没有异于（2，2，2）的正整数解组（a, b, c）。
SH与河流之间的夹角，则通过几何知识可
以算出
NSH 2a
北门N
3
小桥P
a
?
南门S
河流
H公主 居室
这就是著名的“三等分任意角”问 题
求作一个角， 等于已知角的三分之一
这个问题流传下来，直到1837年才 由万锲尔给出否定的答案。
深圳大学数学与计算科学学院
3 三大作图难题 难在何处？
zwj@
这一猜想是由一个银行职员Andrew Beal 提出的。他为此提供5千美圆的征解 奖金，而且每延长一年，奖金增加5千美 圆，最高到5万美圆。
SZU
zwj@
zwj@
Goldbach猜想
(1742年—— ? !)
n > 2时，2n=p+q, 其中，p,q是素数
代数问题 方程 xn + yn = 1的正有理数解的可解性
代数问题 方程 xn + yn = 1的正有理数解的可解性
几何问题 平面曲线 xn + yn = 1上是否有纵横坐标 都是正有理数的所谓的正有理点问题
费马猜想
每条曲线xn+yn=1上没有正有理点
法廷斯证明莫代尔猜想
平面曲线分类： （1）有理曲线：包括直线和所有二次曲
志村-谷山-外依猜想
关于（第二类）椭圆曲线，有许多 重要猜想，其中一个由日本数学家志村 和谷山，以及法国数学家外依在1950年 提出的猜想，称之为志村-谷山-外依猜 想:
有理数域上的每条椭圆曲 线都是模曲线。
1985年德国数学家符雷在一次会议 上宣布：
如果对某个n >2费马大定理不成立， 他可以具体构造一个椭圆曲线，使志村谷山-外依猜想对这条曲线不成立。
（2）“化圆为方” ，要作出数
（值3）“三等分角”，如果记a = cosA, 要
作出角度A/3, 也必作出相应的余弦值
x = cos(A/3), 由三倍角公式，此值x
是方4程x3 3x a 0
的解。
三大作图问题是不可能的
（1）“倍立方体” ，要作出数值3 2 ， “三等分角”，要作出是三次方程
世上最多产的数学家。 13岁入大学，17岁取得
硕士学位，30岁右眼失 明，60岁完全失明。
欧拉（ 1707-1783）
n=4的费马大定理证明： 无穷递降法
基本思想：（欧拉：1738）
假如（1）有正整数解(a,b,c), 即
a4 + b4 = c4
(2)
则在正整数解中总有使数 c 最小者，然
几何作图三大难题
In This Section 一家人
化圆 为方
倍立方体
三等 分角
（公元前5世纪——1882年）
=
×2=
这就是化圆为方问题
求作一个正方形， 其面积等于已知圆的面积
该问题直到1882年才被德国数学家林德曼 （C.L.F. Lindemann，1852——1939）证明 为不可能。
每个正整数都是不超过四个正整数 的平方和，也是不超过九个正整数的立 方和，还是不超过十九个正整数的四次 方和。
对于这种形式的分拆，德国数学家希 尔伯特(Hilbert, 1862—1943)证得：
对任一正整数k，都存在一个正整 数c(k),使得每个正整数都是c(k)个正 整数的k次方和.
但是，他并不知道c(k)的具体大小。
对于偶数，一个明显的分拆是可以写 成两个奇数之和。而任意奇数都可以分 解为若干个奇素数之积，因此可以肯定：
每一个大于4的偶数都是“若干(m)”个奇素 数的积加上另外“若干(n)”个奇素数的积。
问题:
这里的“若干”能不能有个限度。 哥德巴赫经过大量的验算后猜想：
其前提是尺规作图。 如果不限于尺规，它就会成为可能， 目前已知的方法就有好几种。 “三等分角问题”除了尺规要求外， 还有一点常被人忽略，那就是三等分 的是“任意角”，对于某些具体的角 度，比如90，它就是可能的。
SZU
zwj@
第二节 Fermat大定理
（1637年——1994年）
几个著名数学问题
范围：古代三大难题；近代三大难题;现代七大
几个著名数学问题
的历史与现状
希尔伯特
选题原则： 典型、重要、著名、合适
• 几何作图三大难题 – 化圆为方 – 倍立方体 – 三等分角
• 费马大定理 • 哥德巴赫猜想 • 四色猜想 • 庞加莱猜想
范围：古代三大难题；近代三大难题;现代七大
SZU
1831年，一位完全靠自学成材的法国 女数学家索菲娅，依靠自己的聪明才智，把 结果向前推进了一大步：
在x, y, z与n互素的前提下，证明了对所 有小于100的奇素数，费马大定理成立。
如果n是不超过100的奇素数， 则不存在正整数组（ x, y, z ）， 使得x, y, z与n互素且满足方程 xn+yn=zn。
x4 + y4 = z2 （3）
没有正整数解。从而方程（2）也没有正整数 解。
证明依赖于勾股数的表示（见本课程第3章）。 此处从略。
新的方向
索菲娅 Sophie Germain (1776 -
1831)
法国人。少数研究数学的女 性。
提出将“费马大定理”分成 两种情况： (I) n 能整除 x、y、z。 (II) n 不能整除 x、y、z。
方程
xn yn zn, n 3
没有正整数解。
该书第二卷命题8给出了方程
x2 + y2 = z2
的整数通解。 若m, n 是两个正整数，且2mn是完全平方 数，则通解为
x m 2mn y n 2mn z m n 2mn
1637 年 ， 费 马 在 阅 读 这 一 命 题 后 ， 在该命题旁边空白处用拉丁文写下一段具 有历史意义的批注：
只有有限多个互素的正整数解组（a, b, c）.