数学的魅力数学难题(免费)
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只有有限多个互素的正整数解组（a, b, c）.
1995年，H.Damon 和 A. Granville 找 到了10个这样的解，它们是：
1m 23 32
25 72 92
73 132 29
27 173 712
35 114 1222 177 762713 210639282
其前提是尺规作图。 如果不限于尺规，它就会成为可能， 目前已知的方法就有好几种。 “三等分角问题”除了尺规要求外， 还有一点常被人忽略，那就是三等分 的是“任意角”，对于某些具体的角 度，比如90，它就是可能的。
SZU
zwj@szu.edu.cn
第二节 Fermat大定理
（1637年——1994年）
x4 + y4 = z2 （3）
没有正整数解。从而方程（2）也没有正整数 解。
证明依赖于勾股数的表示（见本课程第3章）。 此处从略。
新的方向
索菲娅 Sophie Germain (1776 -
1831)
法国人。少数研究数学的女 性。
提出将“费马大定理”分成 两种情况： (I) n 能整除 x、y、z。 (II) n 不能整除 x、y、z。
理想数的诞生
库墨尔 Ernst Edward Kummer (1810 - 1893)
德国人
1845 至 1847 年 间 ， 提 出 了 “分圆整数”、“理想数”、 “正规质数”等概念。
证明当 n < 100 时，“费马大 定理”成立。
1857 年，获巴黎科学院颁发奖 金三千法郎。
几个著名数学问题
范围：古代三大难题；近代三大难题;现代七大
几个著名数学问题
的历史与现状
希尔伯特
选题原则： 典型、重要、著名、合适
• 几何作图三大难题 – 化圆为方 – 倍立方体 – 三等分角
• 费马大定理 • 哥德巴赫猜想 • 四色猜想 • 庞加莱猜想
范围：古代三大难题；近代三大难题;现代七大
SZU
线； （2）椭圆曲线：即三次曲线y2
=x3+ax+b, 其中，a,b是整数，并且 方程x3+ax+b=0没有重根； （3）其它曲线。（比如：平面曲线 xn +
yn = 1，n > 2 )
法廷斯证明莫代尔猜想
1922年，英国数学家莫代尔提出猜想：
每条第三类曲线上最多只有 有限多个有理点
1983年，法廷斯证明了莫代尔猜想. 从而
代数问题 方程 xn + yn = 1的正有理数解的可解性
代数问题 方程 xn + yn = 1的正有理数解的可解性
几何问题 平面曲线 xn + yn = 1上是否有纵横坐标 都是正有理数的所谓的正有理点问题
费马猜想
每条曲线xn+yn=1上没有正有理点
法廷斯证明莫代尔猜想
平面曲线分类： （1）有理曲线：包括直线和所有二次曲
每条曲线xn+yn=1上上最多只
有有限多个有理点
差一点儿……
费马猜想
每条曲线xn+yn=1上没有正有理点
符雷的发现
法廷斯证明莫代尔猜想，吸 引了许多几何高手加入研究费 马大定理的行列，为费马大定 理的证明开辟了多条道路，其 中德国数学家符雷偶然发现了 一条蹊径：
费马大定理与第二类曲线 （椭圆曲线）有密切关系。
SH与河流之间的夹角，则通过几何知识可
以算出
NSH 2a
北门N
3
小桥P
a
?
南门S
河流
H公主 居室
这就是著名的“三等分任意角”问 题
求作一个角， 等于已知角的三分之一
这个问题流传下来，直到1837年才 由万锲尔给出否定的答案。
深圳大学数学与计算科学学院
3 三大作图难题 难在何处？
zwj@szu.edu.cn
可见，如果不加 以限制，这样的问题 是复杂的，也是没有 太大意义的。于是， 人们研究各种限制下 的整数分拆问题。
这类问题被华罗 庚称为“堆垒数论”。
华罗庚
这里面第一个问题就是分拆为方幂和 的 问 题 。 1770 年 ， 法 国 数 学 家 拉 格 朗 日 (Lagrange, 1736—1813)证明了：
（2）“化圆为方” ，要作出数
（值3）“三等分角”，如果记a = cosA, 要
作出角度A/3, 也必作出相应的余弦值
x = cos(A/3), 由三倍角公式，此值x
是方4程x3 3x a 0
的解。
三大作图问题是不可能的
（1）“倍立方体” ，要作出数值3 2 ， “三等分角”，要作出是三次方程
每个正整数都是不超过四个正整数 的平方和，也是不超过九个正整数的立 方和，还是不超过十九个正整数的四次 方和。
对于这种形式的分拆，德国数学家希 尔伯特(Hilbert, 1862—1943)证得：
对任一正整数k，都存在一个正整 数c(k),使得每个正整数都是c(k)个正 整数的k次方和.
但是，他并不知道c(k)的具体大小。
这一猜想是由一个银行职员Andrew Beal 提出的。他为此提供5千美圆的征解 奖金，而且每延长一年，奖金增加5千美 圆，最高到5万美圆。
SZU
zwj@szu.edu.cn
zwj@szu.edu.cn
Goldbach猜想
(1742年—— ? !)
n > 2时，2n=p+q, 其中，p,q是素数
“将一个正整数的立方表为两个正整数 的立方和；将一个正整数的四次方表为 两个正整数的四次方和；或者，一般地， 将一个正整数的高于二次的幂表为两个 正整数的同一次幂的和，这是不可能的。 对此，我找到了一个真正奇妙的证明， 但书页的空白太小，无法把它写下。”
用式子来表达这段话就是：
方程
xn + yn = zn
几何作图三大难题
In This Section 一家人
化圆 为方
Байду номын сангаас
倍立方体
三等 分角
（公元前5世纪——1882年）
=
×2=
这就是化圆为方问题
求作一个正方形， 其面积等于已知圆的面积
该问题直到1882年才被德国数学家林德曼 （C.L.F. Lindemann，1852——1939）证明 为不可能。
方程
xn yn zn, n 3
没有正整数解。
该书第二卷命题8给出了方程
x2 + y2 = z2
的整数通解。 若m, n 是两个正整数，且2mn是完全平方 数，则通解为
x m 2mn y n 2mn z m n 2mn
1637 年 ， 费 马 在 阅 读 这 一 命 题 后 ， 在该命题旁边空白处用拉丁文写下一段具 有历史意义的批注：
后从这组解(a, b, c)出发，导出一组新的
正整数解(a1, b1, c1) ， 而且c1 < c ，这与c 的最小性相矛盾
费马发明了一种“无穷递降法”，用以 给出了一个定理，由这个定理可以给出n=4的 情形。这个定理是：边长为整数的直角三角 形的面积不是一个完全平方数。用这种方法 可以证明方程
数的分解问题
整数的分解与分拆： 对于乘法，
算术基本定理：任一自然数都可以唯一 分解为若干个素数之积。
10 2 5; 30 2 3 5; 60 2 2 3 5; 100 2 2 5 5 ......
数的分解问题
对于加法，人们也可以研究自然数的构 成：将一个自然数写成若干个较小的自 然数之和，这个过程叫做数的分拆。其 结论是极其复杂的。如：
(1)
在n > 2时没有正整数解。
在费马去世五年后的1670年，费马的儿 子在整理父亲遗留的书籍时，发现了这 一批注，并公开出版。
深圳大学数学与计算科学学院
2
两个特例：n=3,4
zwj@szu.edu.cn
新人出击
欧拉 Leonhard Euler (1707 - 1783)
瑞士人。 18世纪最优秀的数学家。
世上最多产的数学家。 13岁入大学，17岁取得
硕士学位，30岁右眼失 明，60岁完全失明。
欧拉（ 1707-1783）
n=4的费马大定理证明： 无穷递降法
基本思想：（欧拉：1738）
假如（1）有正整数解(a,b,c), 即
a4 + b4 = c4
(2)
则在正整数解中总有使数 c 最小者，然
直线方程是（一次）线性的，而圆 的方程是二次的。通过上述五种手段所 能做出的交点问题，转化为求一次与二 次方程组的解的问题。
简单的代数知识告诉我们：
通过直尺与圆规所能做出 的只能是已知线段（长度） 的和、差、积、商以及开平 方的有限次组合。
三大作图问题的不可能性
三大作图问题要作什么？
（1）“倍立方体” ，要作出数值3 2
对于偶数，一个明显的分拆是可以写 成两个奇数之和。而任意奇数都可以分 解为若干个奇素数之积，因此可以肯定：
每一个大于4的偶数都是“若干(m)”个奇素 数的积加上另外“若干(n)”个奇素数的积。
问题:
这里的“若干”能不能有个限度。 哥德巴赫经过大量的验算后猜想：
这就是著名的“倍立方体问题”， 又叫“第罗问题”：
求作一个正方体，其体积等于已 知正方体体积的两倍
该 问 题 直 到 1837 年 才 由 万 锲 尔 （P.L. Wantzel, 1814--1848）给出否定 的答案。
要确定北门和小桥的位置，关键是算
出夹角 NSH 。记a 为南门S与居室H连线
4x3 3x a 0 的解。1837年万锲尔 证明，这两个问题都是用直尺和圆规 不能作出的。
（2）“化圆为方” ，要作出数值 ，
1882年德国数学家林德曼（C.L.F. Lindemann，1852——1939）证明了 是超越数，随即解决了“化圆为方” 问题的不可能性。
几何三大作图难题是已经解决 了的，结论为“不可能”。
5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1 =2+1+1+1=1+1+1+1+1
一般地，如果用p(n)表示整数n的加法表 示种数，则它往往是一个很大的数。
P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=5, P(5)=7, P(6)=11, P(7)=15, P(8)=22,…， P(100)=190,569,292（1亿9千万） P(200)=3,972,999,029,388(4万亿)。
志村-谷山-外依猜想
关于（第二类）椭圆曲线，有许多 重要猜想，其中一个由日本数学家志村 和谷山，以及法国数学家外依在1950年 提出的猜想，称之为志村-谷山-外依猜 想:
有理数域上的每条椭圆曲 线都是模曲线。
1985年德国数学家符雷在一次会议 上宣布：
如果对某个n >2费马大定理不成立， 他可以具体构造一个椭圆曲线，使志村谷山-外依猜想对这条曲线不成立。
因此（逆否命题）
若志村-谷山-外依猜想成立，则对 所有n >2费马大定理成立！
最后胜利
1997 年 6 月 27日，外尔斯
荣获德国悬 赏 的 10 万 马 克奖金。
1. Fermat-Catalan猜想
若正整数m, n, k满足 1/m + 1/n + 1/k < 1
则不定方程 xn + ym = zk
直尺和圆规能做什么？
作图工具——直尺和圆规能做什么？
直观地看： （1）通过两点作直线； （2）以已知点为圆心，已知线段为半径作圆； （3）定出两条已知非平行直线的交点； （4）定出两个已知圆的交点； （5）定出已知直线与已知圆的交点。
1837年数学家万锲尔（P.L. Wantzel, 1814--1848）注意到：
1847年，德国数学家库默尔用一 种精巧的证明方法，取消了上述“x, y, z与n互素”的条件限制，实现了第一 次重大突破。他因此在1857年获得巴 黎科学院颁发奖金3000法郎。
如果n是不超过100的奇素数， 则方程xn+yn=zn没有正整数解。
问题转化
代数问题 方程 xn + yn = zn 的正整数解的可解性
14143 22134592 657 92623 153122832 1137
438 962223 300429072 338 15490342 156133
2. Beal猜想
若正整数m ,n, k 3，则不定方程
xn + ym = zk
没有异于（2，2，2）的正整数解组（a, b, c）。
1831年，一位完全靠自学成材的法国 女数学家索菲娅，依靠自己的聪明才智，把 结果向前推进了一大步：
在x, y, z与n互素的前提下，证明了对所 有小于100的奇素数，费马大定理成立。
如果n是不超过100的奇素数， 则不存在正整数组（ x, y, z ）， 使得x, y, z与n互素且满足方程 xn+yn=zn。
1995年，H.Damon 和 A. Granville 找 到了10个这样的解，它们是：
1m 23 32
25 72 92
73 132 29
27 173 712
35 114 1222 177 762713 210639282
其前提是尺规作图。 如果不限于尺规，它就会成为可能， 目前已知的方法就有好几种。 “三等分角问题”除了尺规要求外， 还有一点常被人忽略，那就是三等分 的是“任意角”，对于某些具体的角 度，比如90，它就是可能的。
SZU
zwj@szu.edu.cn
第二节 Fermat大定理
（1637年——1994年）
x4 + y4 = z2 （3）
没有正整数解。从而方程（2）也没有正整数 解。
证明依赖于勾股数的表示（见本课程第3章）。 此处从略。
新的方向
索菲娅 Sophie Germain (1776 -
1831)
法国人。少数研究数学的女 性。
提出将“费马大定理”分成 两种情况： (I) n 能整除 x、y、z。 (II) n 不能整除 x、y、z。
理想数的诞生
库墨尔 Ernst Edward Kummer (1810 - 1893)
德国人
1845 至 1847 年 间 ， 提 出 了 “分圆整数”、“理想数”、 “正规质数”等概念。
证明当 n < 100 时，“费马大 定理”成立。
1857 年，获巴黎科学院颁发奖 金三千法郎。
几个著名数学问题
范围：古代三大难题；近代三大难题;现代七大
几个著名数学问题
的历史与现状
希尔伯特
选题原则： 典型、重要、著名、合适
• 几何作图三大难题 – 化圆为方 – 倍立方体 – 三等分角
• 费马大定理 • 哥德巴赫猜想 • 四色猜想 • 庞加莱猜想
范围：古代三大难题；近代三大难题;现代七大
SZU
线； （2）椭圆曲线：即三次曲线y2
=x3+ax+b, 其中，a,b是整数，并且 方程x3+ax+b=0没有重根； （3）其它曲线。（比如：平面曲线 xn +
yn = 1，n > 2 )
法廷斯证明莫代尔猜想
1922年，英国数学家莫代尔提出猜想：
每条第三类曲线上最多只有 有限多个有理点
1983年，法廷斯证明了莫代尔猜想. 从而
代数问题 方程 xn + yn = 1的正有理数解的可解性
代数问题 方程 xn + yn = 1的正有理数解的可解性
几何问题 平面曲线 xn + yn = 1上是否有纵横坐标 都是正有理数的所谓的正有理点问题
费马猜想
每条曲线xn+yn=1上没有正有理点
法廷斯证明莫代尔猜想
平面曲线分类： （1）有理曲线：包括直线和所有二次曲
每条曲线xn+yn=1上上最多只
有有限多个有理点
差一点儿……
费马猜想
每条曲线xn+yn=1上没有正有理点
符雷的发现
法廷斯证明莫代尔猜想，吸 引了许多几何高手加入研究费 马大定理的行列，为费马大定 理的证明开辟了多条道路，其 中德国数学家符雷偶然发现了 一条蹊径：
费马大定理与第二类曲线 （椭圆曲线）有密切关系。
SH与河流之间的夹角，则通过几何知识可
以算出
NSH 2a
北门N
3
小桥P
a
?
南门S
河流
H公主 居室
这就是著名的“三等分任意角”问 题
求作一个角， 等于已知角的三分之一
这个问题流传下来，直到1837年才 由万锲尔给出否定的答案。
深圳大学数学与计算科学学院
3 三大作图难题 难在何处？
zwj@szu.edu.cn
可见，如果不加 以限制，这样的问题 是复杂的，也是没有 太大意义的。于是， 人们研究各种限制下 的整数分拆问题。
这类问题被华罗 庚称为“堆垒数论”。
华罗庚
这里面第一个问题就是分拆为方幂和 的 问 题 。 1770 年 ， 法 国 数 学 家 拉 格 朗 日 (Lagrange, 1736—1813)证明了：
（2）“化圆为方” ，要作出数
（值3）“三等分角”，如果记a = cosA, 要
作出角度A/3, 也必作出相应的余弦值
x = cos(A/3), 由三倍角公式，此值x
是方4程x3 3x a 0
的解。
三大作图问题是不可能的
（1）“倍立方体” ，要作出数值3 2 ， “三等分角”，要作出是三次方程
每个正整数都是不超过四个正整数 的平方和，也是不超过九个正整数的立 方和，还是不超过十九个正整数的四次 方和。
对于这种形式的分拆，德国数学家希 尔伯特(Hilbert, 1862—1943)证得：
对任一正整数k，都存在一个正整 数c(k),使得每个正整数都是c(k)个正 整数的k次方和.
但是，他并不知道c(k)的具体大小。
这一猜想是由一个银行职员Andrew Beal 提出的。他为此提供5千美圆的征解 奖金，而且每延长一年，奖金增加5千美 圆，最高到5万美圆。
SZU
zwj@szu.edu.cn
zwj@szu.edu.cn
Goldbach猜想
(1742年—— ? !)
n > 2时，2n=p+q, 其中，p,q是素数
“将一个正整数的立方表为两个正整数 的立方和；将一个正整数的四次方表为 两个正整数的四次方和；或者，一般地， 将一个正整数的高于二次的幂表为两个 正整数的同一次幂的和，这是不可能的。 对此，我找到了一个真正奇妙的证明， 但书页的空白太小，无法把它写下。”
用式子来表达这段话就是：
方程
xn + yn = zn
几何作图三大难题
In This Section 一家人
化圆 为方
Байду номын сангаас
倍立方体
三等 分角
（公元前5世纪——1882年）
=
×2=
这就是化圆为方问题
求作一个正方形， 其面积等于已知圆的面积
该问题直到1882年才被德国数学家林德曼 （C.L.F. Lindemann，1852——1939）证明 为不可能。
方程
xn yn zn, n 3
没有正整数解。
该书第二卷命题8给出了方程
x2 + y2 = z2
的整数通解。 若m, n 是两个正整数，且2mn是完全平方 数，则通解为
x m 2mn y n 2mn z m n 2mn
1637 年 ， 费 马 在 阅 读 这 一 命 题 后 ， 在该命题旁边空白处用拉丁文写下一段具 有历史意义的批注：
后从这组解(a, b, c)出发，导出一组新的
正整数解(a1, b1, c1) ， 而且c1 < c ，这与c 的最小性相矛盾
费马发明了一种“无穷递降法”，用以 给出了一个定理，由这个定理可以给出n=4的 情形。这个定理是：边长为整数的直角三角 形的面积不是一个完全平方数。用这种方法 可以证明方程
数的分解问题
整数的分解与分拆： 对于乘法，
算术基本定理：任一自然数都可以唯一 分解为若干个素数之积。
10 2 5; 30 2 3 5; 60 2 2 3 5; 100 2 2 5 5 ......
数的分解问题
对于加法，人们也可以研究自然数的构 成：将一个自然数写成若干个较小的自 然数之和，这个过程叫做数的分拆。其 结论是极其复杂的。如：
(1)
在n > 2时没有正整数解。
在费马去世五年后的1670年，费马的儿 子在整理父亲遗留的书籍时，发现了这 一批注，并公开出版。
深圳大学数学与计算科学学院
2
两个特例：n=3,4
zwj@szu.edu.cn
新人出击
欧拉 Leonhard Euler (1707 - 1783)
瑞士人。 18世纪最优秀的数学家。
世上最多产的数学家。 13岁入大学，17岁取得
硕士学位，30岁右眼失 明，60岁完全失明。
欧拉（ 1707-1783）
n=4的费马大定理证明： 无穷递降法
基本思想：（欧拉：1738）
假如（1）有正整数解(a,b,c), 即
a4 + b4 = c4
(2)
则在正整数解中总有使数 c 最小者，然
直线方程是（一次）线性的，而圆 的方程是二次的。通过上述五种手段所 能做出的交点问题，转化为求一次与二 次方程组的解的问题。
简单的代数知识告诉我们：
通过直尺与圆规所能做出 的只能是已知线段（长度） 的和、差、积、商以及开平 方的有限次组合。
三大作图问题的不可能性
三大作图问题要作什么？
（1）“倍立方体” ，要作出数值3 2
对于偶数，一个明显的分拆是可以写 成两个奇数之和。而任意奇数都可以分 解为若干个奇素数之积，因此可以肯定：
每一个大于4的偶数都是“若干(m)”个奇素 数的积加上另外“若干(n)”个奇素数的积。
问题:
这里的“若干”能不能有个限度。 哥德巴赫经过大量的验算后猜想：
这就是著名的“倍立方体问题”， 又叫“第罗问题”：
求作一个正方体，其体积等于已 知正方体体积的两倍
该 问 题 直 到 1837 年 才 由 万 锲 尔 （P.L. Wantzel, 1814--1848）给出否定 的答案。
要确定北门和小桥的位置，关键是算
出夹角 NSH 。记a 为南门S与居室H连线
4x3 3x a 0 的解。1837年万锲尔 证明，这两个问题都是用直尺和圆规 不能作出的。
（2）“化圆为方” ，要作出数值 ，
1882年德国数学家林德曼（C.L.F. Lindemann，1852——1939）证明了 是超越数，随即解决了“化圆为方” 问题的不可能性。
几何三大作图难题是已经解决 了的，结论为“不可能”。
5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1 =2+1+1+1=1+1+1+1+1
一般地，如果用p(n)表示整数n的加法表 示种数，则它往往是一个很大的数。
P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=5, P(5)=7, P(6)=11, P(7)=15, P(8)=22,…， P(100)=190,569,292（1亿9千万） P(200)=3,972,999,029,388(4万亿)。
志村-谷山-外依猜想
关于（第二类）椭圆曲线，有许多 重要猜想，其中一个由日本数学家志村 和谷山，以及法国数学家外依在1950年 提出的猜想，称之为志村-谷山-外依猜 想:
有理数域上的每条椭圆曲 线都是模曲线。
1985年德国数学家符雷在一次会议 上宣布：
如果对某个n >2费马大定理不成立， 他可以具体构造一个椭圆曲线，使志村谷山-外依猜想对这条曲线不成立。
因此（逆否命题）
若志村-谷山-外依猜想成立，则对 所有n >2费马大定理成立！
最后胜利
1997 年 6 月 27日，外尔斯
荣获德国悬 赏 的 10 万 马 克奖金。
1. Fermat-Catalan猜想
若正整数m, n, k满足 1/m + 1/n + 1/k < 1
则不定方程 xn + ym = zk
直尺和圆规能做什么？
作图工具——直尺和圆规能做什么？
直观地看： （1）通过两点作直线； （2）以已知点为圆心，已知线段为半径作圆； （3）定出两条已知非平行直线的交点； （4）定出两个已知圆的交点； （5）定出已知直线与已知圆的交点。
1837年数学家万锲尔（P.L. Wantzel, 1814--1848）注意到：
1847年，德国数学家库默尔用一 种精巧的证明方法，取消了上述“x, y, z与n互素”的条件限制，实现了第一 次重大突破。他因此在1857年获得巴 黎科学院颁发奖金3000法郎。
如果n是不超过100的奇素数， 则方程xn+yn=zn没有正整数解。
问题转化
代数问题 方程 xn + yn = zn 的正整数解的可解性
14143 22134592 657 92623 153122832 1137
438 962223 300429072 338 15490342 156133
2. Beal猜想
若正整数m ,n, k 3，则不定方程
xn + ym = zk
没有异于（2，2，2）的正整数解组（a, b, c）。
1831年，一位完全靠自学成材的法国 女数学家索菲娅，依靠自己的聪明才智，把 结果向前推进了一大步：
在x, y, z与n互素的前提下，证明了对所 有小于100的奇素数，费马大定理成立。
如果n是不超过100的奇素数， 则不存在正整数组（ x, y, z ）， 使得x, y, z与n互素且满足方程 xn+yn=zn。