高中数学平行线分线段

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平行线等分线段定理及证明

平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。

也称“一二三定理”。

第二第三条即常说的“中位线定理”。

定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图) 求证：GH:HI=JK:KL
证明：。

高中数学平行线分线段成比例

专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．ABCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ．求证：PQ •PT ＝P R •PS ．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ •PT ＝P R •PS ，需证PQ PS ＝PRPT，由于PQ ，PT ，P R ，PS 在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB ＝PE ＋PF ，即要证明PE AB ＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．A BCD EF P图2A BCD EF P图1QARBCD SP（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ；（2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P g g g 图3QA BCDEFGM NP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿．（镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝FA ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab的值为（） AB．CD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（） A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ．求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）求OE AD ＋OEBC的值；（3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF．（宿迁市中考试题）12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰FA ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB DEFM第6题ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题ABCDEF M NP5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+．（宁波市竞赛试题）10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD+＝1EF成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么，（1）11AB CD +＝1EF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）12．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，过D 点的直线PQ 交边AC 于点P ，交边AB 的延长线于点Q ．（1）如图1，当PQ ⊥AC 时，求证：11AQ AP +＝；（2）如图2，当PQ 不与AD 垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC ＝60°，其它条件不变，且11AQ AP +＝nAD，则n ＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQBCDP图1AQBCDP图2AQBCDP图3ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。

人教版高中数学选修1.1-平行线等分线段定理ppt课件

(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必
．
平(2分)推第论三2：边经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分
．
另一腰
[小问题·大思维] 1．在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线有什么样的位置关系？提示：在平行线等分线段定理中，被平行线所截取的两条直线的位置不影响定理的结论，即这两条直线可以平行也可以相交．
[研一题]
[例2] 已知：如图，在直角梯形AB CD中，∠C＝90°，AD∥BC，AD＋BC＝ AB，E是CD的中点，且AD＝2，BC＝8，求BE的长度．
分析：本题考查平行线等分线段定理及其推论的应用．解答本题需将 BE放在Rt△BCE中求解，因为BC＝8为已知，故可考虑如何求CE.
解：过E作EF∥BC，交AB于F，过B作BG∥CD，交EF的延长线于G，则四边形GBCE是平行四边形． ∵在直角梯形ABCD中， ∠C＝90°，AD∥BC，AD＝2，BC＝8， ∴四边形GBCE是距形， ∴EG＝BC＝8， ∵E是CD的中点，∴DE＝EC， ∴AF＝FB，
∠AEC＝∠MEC， EC＝EC， ∠ACE＝∠MCE，
所以△AEC≌△MEC，AE＝EM. 即 E 是 AM 的中点．又因为在△ABM 中，EF∥BM，所以点 F 是 AB 边的中点．所以 AF＝BF.
利用平行线等分线段定理及其推论解决与平行线有关的计算问题是考试的热点.2012年广州模拟以填空题的形式考查了定理及推论的应用，是高考模拟命题的一个新亮点．
∴EF∥BC，EF＝12(AD＋BC)＝5， ∴GF＝EG－EF＝3， ∵AD＋BC＝AB， ∴AB＝10，BF＝12AB＝5. ∵在 Rt△BGF 中，∠G＝90°，∴BG＝4， ∴在 Rt△BGE 中， BE＝ BG2＋GE2＝ 42＋82＝4 5.

平行线等分线段定理

l1
A
l2
B
l3
C
A1 B1 C1
平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线
上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
AD
A
E ？F
E ？F
？
？
B
图4
C
B
图5
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的推论2 经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言：
1）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC A ∴AE=EB
B E
易证ME是AB的垂直平分线
2）如图，已知AC AB，DB AB，O为CD中点，
求证：OA=AB
D
证明：过O做OE AB于E
A FH
GB
E
C
证明：四边形ABCD是平行四边形
AD//BC AD=BC
DF=1/2AD
BE=1/2BC
四边形FDEB是平行四边形
BF//DE AF=DF
AH=HG 同理CG=HG
AH=HG=CG
练习题
辅助线点滴：有线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理及推论的基本图形。
符号语言
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
∴AF=FC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ求作：线段ＡＢ的五等分点。
作法：１）作射线ＡＣ。

人教版高中数学选修4-1 1.2《平行线分线段成比例》练习及答案

1．2平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则________．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段____________．用符号语言表述为：如图所示，若a∥b∥c，则__________________．预习导学1．成比例ABBC＝DEEF2．成比例ADAB＝AEAC►一层练习1．如图，l1∥l2∥l3，已知AB＝6 cm，BC＝3 cm，A1B1＝4 cm，则B1C1的长为()A．6 cm B．4 cmC．3 cm D．2 cm1．D2．如图所示，AD是△ABC的中线，点E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶12.D3．如图所示，△ACE的中，点B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是()A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCEB．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDED．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE3.D4．如图所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论不正确的是()A.ADDC＝AF DEB.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC 4.D5．如图，E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且DC BE ＝32，则ADBF＝________．5.52 ►二层练习6．如图所示，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，E 是DC 延长线上一点，AE 交BD 于点G ，交BC 于点F ，下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ；④AF CD ＝AEDE.其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6.C7．如图所示，已知有▱ABCD ，点N 是AB 延长线上一点，DN 交BC 于点M ，则BC BM －ABBN 为( )A.12 B ．1 C.32 D.23 7.B8．(2015·汕头市高三质量监测，文)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝2，EC ＝1，BC ＝4，则BF ＝____．8.439．如下图(左)所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，且AB ＝2，AD ＝2，则AF ＝________．9.110．如上图(右)，E ，F 是梯形ABCD 的腰AD ，BC 上的点，其中CD ＝2AB ，EF ∥AB ，若EF AB ＝CD EF ，则AEED＝________． 10．解析：过A 作AH ∥BC ，交EF 、CD 于G 、H .设AB ＝a ，CD ＝2a ，则EF AB ＝CDEF .有EF ＝2a .由EF ∥AB ∥CD 得AE AD ＝EG DH ＝EF －ABCD －AB ＝2a －a 2a －a ＝2－1.又AD ＝AE ＋ED ，故AE AE ＋ED＝2－1，得AE ED ＝22.答案：2211．如图所示，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值．11．解析：过D 作DG ∥CA 交BF 于G ，则BG GF ＝BD DC ＝53.∵E 为AD 的中点，DG ∥AF ， ∴△DGE ≌△AFE ，EG ＝EF . ∴BG EF ＝BG 12GF ＝2BG GF ＝2×53＝103.故BE EF ＝BG ＋EF EF ＝BG EF ＋1＝103＋1＝133. ►三层练习12．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．12.7513．在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足BE ＝13BD ，延长AE交BC 于点F ，则BFFC的值为________．13．解析：如图，过D 作DG ∥AF ，交BC 于G . 在△BDG 中，DG ∥AF 且BE ＝13BD ，则BF ＝12FG ，同理，CG ＝12FC .即CG ＝FG .∴BF ＝14FC .即BF FC ＝14.答案：1414．已知：如图所示，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连接AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交DE 于点G .求证：FC ＝FG .14．证明：在正方形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴CF AB ＝EF AE .∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF AE .∴CFAB ＝FGAD.∵AB ＝AD ，∴CF ＝FG . 15．如图所示，在▱ABCD 中，点E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于点G ，交BC 于点F .(1)求证：DG 2＝GE ·GF ； (2)求证：CF CB ＝AB AE.15．证明：(1)∵CD ∥AE ，∴DG GE ＝CG AG .又∵AD ∥CF ，∴GF DG ＝CG AG ，∴DG GE ＝GFDG，即DG 2＝GE ·GF .(2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DF DE .又∵CD ∥BE ，∴CF CB ＝DF DE ，∴CF CB ＝ABAE.点评：利用定理或其推论解决问题时，要注意寻找图形中的基本图形“A ”型或“X ”型． 16．如图所示，AC ∥BD ，AD 、BC 相交于点E ，EF ∥BD ，求证：1AC ＋1BD ＝1EF.16．证明：∵AC ∥EF ∥BD ，∴EF AC ＝BF AB ，EF BD ＝AF AB. 两式相加得：EF AC ＋EF BD ＝BF ＋AF AB ＝AB AB ＝1，即1AC ＋1BD ＝1EF.1．定理应用注意事项．(1)定理的条件：与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行，构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截，平行线的条数还可以更多．(2)定理比例的变式：对于3条平行线截两条直线的图形，需要注意以下变化：如果已知a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，可以归纳为上下＝上下，上全＝上全，左右＝左右等，便于记忆． 2．解题思路．(1)利用平行线分线段成比例定理及其推论，要注意线段的对应关系，有时要用到比例的一些性质才能解决相关问题，过定点作某一线段的平行线是常用的作辅助线的方法．(2)“平行线”在解决比例问题时有很重要的作用，如题目中有平行线，要充分利用这一条件，若没有平行关系，需构造一组平行线，利用平行关系，找出对应的比例关系．【习题1.2】 1．解析：如图所示，由题意知△OCD ∽△OAB ，∴△OCD 与△OAB 的三边对应成比例．∴AB CD ＝OB OD .∵CD ＝6，AB ＝8，BD ＝15，∴86＝OB 15－OB ，解得OB ＝607，∴OD ＝15－607＝457. 2．证明：(1)如图所示，由题意知DE ∥BC ，∴DF BG ＝AF AG ，FE GC ＝AF AG，∴DF BG ＝FE GC ，∴BG GC ＝DF FE. (2)由题意知DE ∥BC ，∴FE BG ＝DF OG ，DF GC ＝OF OG ，∴FE BG ＝DF GC ，即BG GC ＝FE DF .又由(1)知BG GC ＝DF FE ，∴BG GC ＝GCBG，即BG 2＝GC 2，∴BG ＝GC . 3．解析：方案1：如图(1)所示，在AB 的一侧选择一点C ，连接AC ，BC (保证AC 的长度能够测量)，测量出AC 的长．在AC 上选一点D ，过点D 作DE ∥AB (即∠1＝∠2)交CB 于点E (保证DE 的长度能够测量)，再测量出CD ，DE 的长．此时，△CDE 与△CAB 的三边对应成比例，所以CD AC ＝DEAB，由此可以计算出AB 的长度．方案2：如图(2)所示，在AB 的一侧选择一点C ，使AC ⊥AB 于A (保证BC 的长度能够测量)，测出AC ，BC 的长度，由勾股定理即可算出AB 的长．说明：此题是一个开放性问题，测量AB 的长度的方案还有许多(如取∠ACB 为特殊角等)，因此，可以去积极探索不同方案．4．(1)证明：如图所示，连接AC ，与EF 交于G ，∵EF ∥AD ∥BC ，∴EG BC ＝AE AB，即EG ＝AE AB ·BC ，GF AD ＝CFCD ，即GF ＝CFCD·AD . ∵AE EB ＝12，∴AE AB ＝13，而AE AB ＝DF CD ，∴DF CD ＝13，∴CF CD ＝23， ∴EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝13BC ＋23AD ，∴3EF ＝BC ＋2AD .(2)证明：如果AE EB ＝23，那么AE AB ＝25.同理可推得CF CD ＝35.由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝AE AB ·BC ＋CF CD ·AD ＝25BC ＋35AD ，∴5EF ＝2BC ＋3AD .(3)解析：如果AE BE ＝m n ，那么AE AB ＝mm ＋n.同理可推得CF CP ＝n m ＋n .由(1)知EF ＝EG ＋GF ＝m m ＋n BC ＋nm ＋n AD ，∴(m ＋n )EF ＝mBC ＋nAD .。

人教版高中数学选修4-11.2《平行线分线段成比例定理》典型例题

典型例题：平行线分线段成比率定理平行线分线段成比率是相像三角形学习的基础，但学习的策略是同样的，我以为需要掌握必定数目的基本图形，需要有学习者个独自的独到的解答策略。

而好多同学常常都不过用原有的方法解决以后学习的内容，这对几何学习，特别是相像三角形的学习是相当不利的。

下边介绍一些平行线分线段成比率的基本习题。

例 1（1）已知a2b 9，则=2a b 2（2）假如xy z 0 ，那么xy z的值是（）234x yzA ．7B ．8C ．9D ．10剖析本考题主要考察比与代数式比的交换 .第（ 1）小题可将代数式比的形式转变成积的形式：，整理后再转变成比的形式，便有关于第（ 2）小题，可连续运用两次等比定理，得出x y z x yz，即2 3 4 23 4x y z 9，其比的比值为 9，应选 C ，但这里需要注意的是：第一，等比定xy z1理自己隐含着一个拘束条件 —— 分母为零；第二， “比”与 “比值 ”是两个不一样的观点，比是一种运算，而比的比值是运算的结果 .例 2、已知： 1、2 、 2 三个数，请你再添上个数，写出一个比率式.剖析这是一道开放型试题，旨在考察学生的发散思想能力，因为题中没有明确见告求 1、2 、2 的第四比率项，所以，所添的数可能是前三数的第四比率项，也可能不是前三数的第四比率项，这样本考题便有多种确立方法，如从可求出，便有比率式或，从，又能求出，也获得比率式等等 .例 3以下列图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.剖析应想法在已知比率式 BD：DC 与未知比率式 BE：EF 之间架设桥梁，即添平行线协助线 .解过D作DG∥CA交BF于G，则中点， DG∥AF ，例 4 以下列图，AC∥BD，AD、BC订交于E，EF∥BD，求证：111AC BD EF剖析待证式可变形为EFEF 1 依AC∥∥BD，可将线段的比率式EF与AC BD.EF ACEF化归为同向来线 AB 上的线段比而证得 .BD证明AC∥EF∥BD，.说明证明线段倒数和的关系的常有方法是先变形为证线段比的和为必定值，而后化归为同向来线上的线段比 .例 5、已知 a、b、c 均为非零的实数，且知足a b ca b c a b c 求c b a(a b)(b c)(c a)的值 .abc解设 a b c a b c a b c =kc b a则三式相加，得当时，有时，则，这时1,( a b c0)原式 =8, (a b c0)例 6以下列图，中，D是AB上一点，E是内一点，DE∥BC，过D 作 AC 的平行线交 CE 的处长线于 F，CF 与 AB 交于 P，求证 BF∥AE.证明DE∥AC ，PD PEPB PC∥，PF PD. PC PA.PF PAPF PBBF∥AE.。

人教版-高中数学选修4-1 平行线分线段成比例定理

设AB=X，则BC=8—X ， l3 X 2 16 = ∴ X= 8- X 3 5 16 即：AB= 5 方法二解：因为 l1 // l2 // l3 AB DE（平行线分线段成 ∴ = 比例定理）。 AC DF比例定理）。 16 AB 2 即： ∴ AB= = 5 8 2+3
作业
已知AB CD为梯形ABCD的底对角线AC BD的 AB、为梯形ABCD的底， AC、 1、已知AB、CD为梯形ABCD的底，对角线AC、BD的交点为O AB=8，CD=6,BD=15， OB、OD的长的长。交点为O，且AB=8，CD=6,BD=15，求OB、OD的长。
已知：例1 已知：如图 EF=4。求BC。。。
A B C D E F
l1 // l2 // l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
l1 l2
l3
练习：已知：如图，练习：已知：如图， l // l // l ，AB= a, BC= b, 1 2 3 EF=c. 求DE。。
A B C
D E F
l1 l2 l3
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
AD AE 4 2 = = = ∴ AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF ∴ = AB CB
l1 l2 l3
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例如图已知l1∥l2∥l3 AB DE 求证 = BC EF 或
或
AB DE = AC DF
BC EF = AC DF

高中数学选修4-1-1.2《平行线分线段成比例定理》 (1)

(2) BG OG GC FE OF DF
DF
E
O
B
G
C
BG FE GC DF BG DF GC FE
BG2 GC2 BG GC.
作业1.2
例:3 如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,
BC=8.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分
DC AE
练习、填空题
1、已知AB∥CD∥EF， AF交BE于O，且AO=OD=DF，
若BE=60厘米，那么BO= 20 厘米.
A
E C
O
B D
F
2、已知AD∥EF∥BC，
且AE=BE，那么DF= CF .
A
D
EF
CB
3、已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，
则DG= BG ， H是 AC 的中点，
F是 CD 的中点. A
D
E G HF
B
C
三、定理的运用
（一、基础题）
1、已知： L1∥L2∥L3 则:
A
AB ( DE) BC ( EF)
B
BC ( EF) AC ( DF) F AB (BC) ( AC)
DE (EF ) ( DF)
2、如图L1∥L2∥L3 ，
A
（1）已知BC=3，DEEF 3，则AB=（９） B
AB AE
D AF AE
AD AC
F
D
E
B
C
例题：1：已知：如图，梯形ABCD中，
AD∥BC，∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB

人教版新高一初升高数学《平行线分线段成比例定理)》专题知识衔接过关讲义

衔接教材09 平行线分线段成比例定理知识点讲解在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，123////l l l ，有AB DE BC EF .当然，也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.经典例题解析例1如图，123////l l l ，且2,3,4,ABBC DF 求,DE EF . 解1232////,,3AB DE l l l BC EF 28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DE AB AC BC==. 证法（一）：//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ ADE ∴∽ABC ，.AD AE DE AB AC BC∴== 证法（二）：如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AE AB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC∴==.AD AE DE AB AC BC ∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.解假设能找到，如图，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G . //,EG AC EF FC =，∴EGF CDF ≅，且EG DC =，1//,2EG AD BEG BAD ∴，且1,2BE EG BA AD == E ∴为AB 的中点.可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，求证：AB BD AC DC. 证明过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，//,.BA BD AD CE AE DCAD 平分,,BAC BAD DAC 由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE,,E ACE AE AC 即AB BD AC DC. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.实时训练一、单选题1．如图，l 1∥l 2∥l 3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（）A ．AD CE BC DF =B ．AD BC BE AF = C ．AB CD CD EF = D ．AD DF BC CE= 【答案】D【分析】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴ADDF =BCCE，即ADBC=DFCE，所以A选项错误，D选项正确；AD AF =BCBE，所以B选项错误；同理C选项也错误．故选D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例．2．关于某一点成中心对称的两个图形，下列说法中，正确的个数有（）①这两个图形完全重合；②对称点的连线互相平行③对称点所连的线段相等；④对称点的连线相交于一点；⑤对称点所连的线段被同一点平分⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等．A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】【分析】根据对称中心图形的性质分别判断得出即可．【详解】①这两个图形能够完全重合，此选项错误；②对称点的连线应相交于一点，故此选项错误；③对称点所连的线段不一定相等，此选项错误；④对称点的连线相交于一点，此选项正确；⑤对称点所连的线段被同一点平分，此选项正确；⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等，此选项正确．故正确的有3个．故选：A．【点睛】此题主要考查了对称图形的性质，根据其定义得出是解题关键．二、填空题3．在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则ABCD的周长为_____.【答案】20cm或22cm；【分析】∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，设∠A的平分线交BC于E点，有两种可能，BE=4或3，证明△ABE是等腰三角形，分别求周长．【详解】解：设∠A的平分线交BC于E点，∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE，又∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE∴AB=BE．而BC=3+4=7．①当BE=4时，AB=BE=4，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（4+7）=22；②当BE=3时，AB=BE=3，▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（3+7）=20．所以▱ABCD的周长为22cm或20cm．故答案为22cm或20cm．【点睛】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三、解答题4．证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.已知（如图）1l ∥2l ∥3l ，求证：AB DE BC EF.【答案】见解析.【分析】通过作平行，将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题，即可得证．【详解】证明：如图，过点E 作直线MN ∥AC ，交1l 、3l 于点G 、H ，∵1l ∥2l ∥3l ，MN ∥AC ，∴四边形ABEG 、BCHE 是平行四边形∴AB=GE,BC=EH,且DGH ,GHF GDF DFH ∠=∠∠=∠∴△DGE ∽△FHE ， ∴DE GE AB EF HE BC== 即AB DE BC EF = 原题得证．【点睛】本题考察了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质与判定．通过条件将问题转化为两个相似三角形的问题是解题关键．5．为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC 、CD 、DE ，做成折线ABCDE ，如图1，且在折点B 、C 、D 处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成50B ∠=︒，85C ∠=︒，35D ∠=︒，判断AB 是否平行于ED ，并说明理由；（2）如图3，若35C D ∠=∠=︒，调整线段AB 、BC 使得//AB CD 求出此时B 的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若85C ∠=︒，35D ∠=︒，//AB DE ，请直接写出此时B 的度数．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）35°或145°，画图、过程见解析；（3）50°或130°或60°或120°【分析】（1）过点C 作CF ∥AB ，根据∠B =50°，∠C =85°，∠D =35°，即可得CF ∥ED ，进而可以判断AB 平行于ED ；（2）根据题意作AB ∥CD ，即可∠B =∠C =35°；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B 的度数．【详解】解：（1）AB 平行于ED ，理由如下：如图2，过点C 作CF ∥AB ，∴∠BCF =∠B =50°，∵∠BCD =85°，∴∠FCD =85°-50°=35°，∵∠D =35°，∴∠FCD =∠D ，∴CF ∥ED ，∵CF ∥AB ，（2）如图，即为所求作的图形．∵AB∥CD，∴∠ABC=∠C=35°，∴∠B的度数为：35°；∵A′B∥CD，∴∠ABC+∠C=180°，∴∠B的度数为：145°；∴∠B的度数为：35°或145°；（3）如图2，过点C作CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠FCD=∠D=35°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-35°=50°，∴∠B=∠BCF=50°．答：∠B的度数为50°．如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=35°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-35°=50°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=130°；如图6，∵∠C=85°，∠D=35°，∴∠CFD=180°-85°-35°=60°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=60°，如图7，同理得：∠B=35°+85°=120°，综上所述，∠B 的度数为50°或130°或60°或120°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运用．6．如图，已知点()A 4,0，()B 0,3，点C 是直线AB 上异于点B 的任一点，现以BC 为一边在AB 右侧作正方形BCDE ，射线OC 与直线DE 交于点P ，若点C 的横坐标为m ．()1求直线AB 的函数表达式．()2若点C 在第一象限，且点C 为OP 的中点，求m 的值．()3若点C 为OP 的三等分点(即点C 分OP 成1：2的两条线段)，请直接写出点C 的坐标．【答案】（1）3y x 34=-+；（2）48m 25=；（3）2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图，作OG ⊥BC 于G ，OH ⊥OB 于H ．只要证明△OCG ≌△CPD ，利用全等三角形的性质可得OG=CD ，由此构建方程即可解决问题；（3）在第一象限和第二象限分两种情形，分别构建方程求出m 即可解决问题；【详解】解：()1设直线AB 的解析式为()y kx b k 0=+≠，把()A 4,0，()B 0,3代入得到{4k b 0b 3+==，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为3y x 34=-+．()2如图，作OG BC ⊥于G ，OH OB ⊥于H ．四边形BCDE 是正方形，BC//ED ∴，OCG CPD ∠∠∴=，CO CP =，OGC CDP 90∠∠==， OCG ∴≌CPD ，OG CD ∴=，AB 5∴=，OA OB 12OG AB 5⋅∴==，CH m =，4cos BCH cos BAO 5∠∠==，5BC m 4∴=，5CD m 4∴=，512m 45∴=，48m 25∴=．()3①当点C 中第一象限，OC 2PC =时， OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 2=：1，55BC m 4=，56m 45∴=，24m 25∴=，∴C （2425，5725）②当点C 中第一象限，PC 2OC =时，． OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 1=：2，24CD 5∴=， 5BC m 4=，524m 45∴=，96m 25∴=，∴C （9625，325）③当点C 中第二象限，PC 2OC =时，． OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 1=：2，24CD 5∴=， 5BC m 4=-，524m 45∴-=，96m 25∴=-，∴C （9625-，14725）.④当点C 中第二象限，OC 2PC =时，OCG ∽CPD ，OG ∴：CD 2=：1，55BC m 4=-， 56m 45∴-=， 24m 25∴=-， ∴C （2425-，9325）综上所述，满足条件的点C 坐标为2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．如图在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，点P 是边BC 上由B 向C 运动（不与点B 、C 重合）的一动点，P 点的速度是1cm/s ，设点P 的运动时间为t ，过P 点作AC 的平行线交AB 与点N ，连接AP ，（1）请用含有t 的代数式表示线段AN 和线段PN 的长，（2）当t 为何值时，△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一？（3）在点P 的运动过程中，是否存在某一时刻的t 的值，使得△APN 的面积有最大值，若存在请求出t 的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） PN=34t ，AN =5﹣54t ；（2）当t 为43s 时，△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一；（3）t=2时，△PAN 的面积最大，最大值为32．【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，再利用平行线分线段成比例定理，求出PN 、BN 即可解决问题；（2）由题意：12•PN•PC ＝13×12•PC•AC ，推出AC ＝3PN ，由此构建方程即可解决问题；（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，∴AB=（cm ），∵PN ∥AC ，PB=t ， ∴PB BC =BN BA =PN AC， ∴4t =5BN =3PN ， ∴BN=54t ，PN=34t ， ∴AN=AB ﹣BN=5﹣54t ．（2）由题意：12•PN•PC=13×12•PC•AC ， ∴AC=3PN ，∴3=334⨯t ， ∴t=43， ∴当t 为2s 时，△APN 的面积等于△ACP 面积的三分之一．（3）由题意：S △APN =12•PN•PC=12•34t （4﹣t ）=﹣38（t ﹣2）2+32， ∵﹣38＜0， ∴t=2时，△PAN 的面积最大，最大值为32．【点睛】本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．8．西成高铁的开通，使得以前的“蜀道难”变的不再难了，从西安出发的列车，经过4小时左右即可到达成都．周末小华和小亮计划去成都游玩，准备一起去北客站乘车．为了赶时间，他们通过“滴滴打车”叫了一辆快车前往北客站．如图，是小华和小亮一起去北客站乘坐快车的费用y （元）与行驶路程x （千米）之间的函数图象．请你根据以上信息，解答下列问题：（1）求线段AB 所在直线的函数关系式；（2）已知该滴滴打车在高峰时期低速行驶时，每分钟加收0.6元，小华和小亮到达北客站时，共付费43.2元，其中低速行驶8分钟，求小华他们的出发地离北客站有多少千米？【答案】（1） 2.2 3.2y x =+；（2）16千米【详解】解：（1）设线段AB 所在直线的函数关系式为y kx b =+，根据题意，将点()()4,12,9,23A B 代入得412923k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 2.23.2k b =⎧⎨=⎩， ∴线段AB 所在直线的函数关系式为 2.2 3.2y x =+；（2）根据题意得2.2 3.20.6843.2x ++⨯=，解得16x =，答：小华他们的出发地到北客站的路程有16千米．。

高中数学第一讲二平行线分线段成比例定理学案含解析新人教A版选修

∴四边形 DEBF 为平行四边形． ∴ DE＝ BF，DF ＝ EB.
AD AF AF ∴ DC＝ FB＝ DE ， A 正确． CE DE BF CB＝ AB ＝AB ， B 正确． CD CE CE AD ＝ EB＝ DF ， C 正确． 2．已知线段 a，m， n 且 ax＝ mn，求作 x，图中作法正确的是 ( )
an 解析：选 C 因为 ax＝ mn，所以 m＝ x，故选 C.
3.如图，在△ ACE 中， B，D 分别在 AC，AE 上，下列推理不．正确的是( )
AB BD A． BD∥ CE? AC＝ CE
AD BD B．BD ∥ CE? AE ＝ CE
AB AD C． BD ∥CE? BC＝ DE
AB BD D ． BD ∥CE? BC＝ CE
FC EF ∴ AB＝ AE .
FG EF ∵ FG∥ AD ，∴ AD ＝ AE .
FC FG ∴ AB＝ AD .
∵ AB＝ AD .
∴ FC＝FG .
4．如图，在 ? ABCD 中， E 是 AB 延长线上一点， DE 交 AC
于点 G，交 BC 于点 F. 求证： (1)DG 2＝ GE· GF；
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
2.如图，已知 AE ∥ CF∥ DG，AB∶ BC∶CD ＝ 1∶ 2∶ 3，CF＝ 12 cm，
求 AE， DG 的长．
AE AB
解：∵
AE ∥
CF，∴
CF＝
. BC
AB ∴ AE＝ BC· CF.
∵ AB∶ BC＝ 1∶ 2， CF＝12 cm，
AE 2
∵
EB＝
， 3

选修4-1 平行线等分线段定理

平行线等分线段定理截得的线段也相等。

平分线分线段成比例定理相似三角形的判定及性质值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

形与三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

条直线平行于三角形的第三边。

1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

例，那么这两个直角三角形相似。

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

圆周定理90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质与圆有关的比例线段相等。

的比例中项。

两条切线的夹角。

平行线等分线段定理课件

[证明] 过点 M 作 ME∥BC 交 AB 于点 E.
∵AD∥BC，∴AD∥EM∥BC. 又∵M 是 CD 的中点， ∴E 是 AB 的中点． ∵∠ABC＝90°， ∴ME 垂直平分 AB. ∴AM＝BM.
Hale Waihona Puke 有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．
[思路点拨] AF＝FC，GF∥EC → AG＝GE → △BDG≌△CDE → AG＝2DE
[证明] 在△AEC 中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又 BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故 DG＝DE，即 GE＝2DE， ∴AG＝2DE.
[说明] (1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条或三条以上的平行线组成的． (2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论 (1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 _平__分__第三边． (2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分 _另__一__腰__． [说明] 推论既可用来平分已知线段，也可用来证明线段的倍数问题．
平行线等分线段定理
[例1] 如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，l， l′分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D和A1， B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.
求证：A1B1＝B1C1＝C1D1.
[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可． [证明] ∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，∴A1B1＝B1C1. ∵直线l2∥l3∥l4，且BC＝CD，∴B1C1＝C1D1， ∴A1B1＝B1C1＝C1D1.

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已知 : 如图1 14, DE // BC , DE分别交AB、AC于点D、 AD AE DE E.求证 : . AB AC BC
A
D B
E C
证明过点 E作EF // AB, 交 BC于点 F ,
F
图1 14
AD AE BF AE 因为 DE // BC , EF // AB , 所以 , , AB AC BC AC
单击图标, 打开几何画板, 通过实验, 探究在图1 8中, AB DE 与的关系. BC EF
C B A D E
l1
l2
F
l3
图1 8
我们可以将上述问题化归为平行线间距离相等的情形 . AB 2 如图1 9, 如果 , 设线段 BC 3 AB的中点为P1 , 线段BC 的三分点为P2、P3 , 这时有 AP 1 P 1 B BP2 P 2P 3 P 3C .
l A P1 B P2 P3 C
l` D Q1 E Q2 Q3 F
l1 a1 l2 a2 a3 l3
图1 9
分别过P1、P2、P3 作直线a1、a2、a3平行于l1 , 与l `的交点分别为Q1、Q2、Q3 .由平行线等分线段定理可知 : DQ1 Q1 E EQ2 Q2Q3 Q3 F . 因为 DE DQ1 Q1 E 2DQ1 , EF EQ2 Q2Q3 Q3 F 3DQ1 ,
l2
E C
l3
图1 10
l
D A B C l` E
l2
l1
看成是平行于 ABC的BC 边的直线, 那么可以得到:
推论平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
l3
图1 11
例1 如图1 12, ABC 中, DE // BC , DF // AC , AE 4, EC 2, BC 8.求 BF 和 CF 的长.
且四边形 DEFB为平行四边形 , 故 DE BF.
AE DE AD AE DE 则 . 因此 . AC BC AC AC BC
"平行线分线段成比例定理" 是平面几何中的定理, 一个自然的想法是, 这个定理在空间中也成立吗? 请你完成这个探究 .
a c t, b d 请你证明这设两个等式(比例的性质) .
AB DE AB DE BC EF , , . BC EF AC DF AC DF
一般地, 我们有
平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线, 所截的对应线段成比例 .
l
A D B
l`
l1
观察图1 10 和图1 11 , 它们是图1 8 的特殊情形, 即 l 与 l `的交点都在l1上 . 根据平行线分线段成比例定理 , 可得 AD AE . AB AC 如果把图 1 10 和图1 11中的直线l2
DE 2 DQ1 2 AB DE 所以 ,因此 . EF 3 DQ1 3 BC EF
1
a c 如果 , b d b d 那么 , a c ab cd b d 成立吗?
AB AB m 当为有理数时, 即 (m, n是互质的正 BC BC n 整数), AB是长度单位的m倍, BC 是长度单位的 n倍, 依照上面的方法, 可以证明1成立. AB 更一般地, 可以证明,当l1 // l2 // l3 , 且是实数 BC 时, 1式也成立. 由1式和比例性质, 可以得到
即 AD是 AB和 AF 的比例中项 .
A
例 3 用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形 , 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 .
D B
E C
F
图1 14 已知 : 如图1 14, DE // BC , DE分别 AD AE DE 交AB、AC于点D、E.求证 : . AB AC BC
分析由平行线分线段成比例定理的推理可直接得到 AD AE AE .为了用平行线分线段成比例定理证明 AB AC AC DE ,需要构造一组平行线 , 使AE、AC、DE、BC 成为由 BC 这组平行线截得的线段 , 只要过点E作 EF // AB, 交BC 于点F , 就可以达到上述目的 .
解因为 DE // BC, 所以 AD 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
B D
A
E F C
图1 12
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
例 2 如图1 13, ABC 中, DE // BC , EF // CD . 求证 : AD是AB和AF的比例中项.
证明在ABC中, 因为 DE // BC, AB AC 所以 AD AE
B D
A F
E C
图1 13
1
AD AC 2 在ADC 中,因为 EF // CD, 所以 AF AE AB AD 由12式得 .所以 AD 2 AB AF . AD AF
二平行线分线段成比例定理
我们看到 , 平行线等分线定理以 " 相邻两条平行线间的距离相等"为条件.如果一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等 .又可以得出怎样的结论呢?
l A B l` D
l1
E
l2
C
F
l3
图1 8
观察如图1 8 , 两条直线被一组平行线所截,当平行线间的距离不相等时, 所截的线段 AB与BC 、DE 与EF 之间有什么关系 ?
容易发现, AB BC , DE EF .
由以往学习平面几何的经验,当几何图形不全等时, 可以考察它们是否相似 .而相似是通过" 对应边成比例, 对应角相等"来表现的 .由此得到启发 , 我们可以研究被一组平行线截得的线段是否有 " 对应边成比例" ? AB DE AB 2 探究在图1 8中, 相等吗? 取 BC EF BC 3 的特殊情形进行探讨. l l`