最新勒让德(legendre)多项式及其性质
勒让德多项式
勒让德多项式[编辑]维基百科，自由的百科全书伴随勒让德多项式有时也简称为“勒让德多项式”。
数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）:上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。
勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。
当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。
勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。
当方程满足|x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。
并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ±1 点亦有有界解。
这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。
勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为：目录 [隐藏]1 正交性2 部分实例3 在物理学中的应用4 其他性质4.1 奇偶性4.2 递推关系5 移位勒让德多项式6 分数阶勒让德多项式7 参见8 外部链接9 参考文献正交性[编辑]勒让德多项式的一个重要性质是其在区间−1 ≤x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即：其中δmn 为克罗内克δ记号，当m = n 时为1，否则为0。
事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。
之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的strum-liouville问题：其中本征值λ对应于原方程中的n(n+1)。
部分实例[编辑]下表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式：n12345678910头6阶（n 从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：在物理学中的应用[编辑]在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开：其中和分别为位置向量和的长度，为两向量的夹角。
最新勒让德（legendre）多项式及其性质
最新勒让德（legendre）多项式及其性质勒让德（legendre ）多项式及其性质⼀．勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德⽅程的通解推导出来的，所以我们⾸先引⼊勒让德⽅程，以及勒让德⽅程的幂级数解，勒让德⽅程的表达式如下：2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为⾮负实数（1.1）它的幂级数解如下：12y y y =+ （1.2）其中：2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kk k n n n n n n y a x a x x ∞=+-++==-+∑ （1.3）213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!k k k n n n n n n y a xa x x x ∞++=-+--++==-++∑ （1.4）由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作⽤，显然，在区间（－1，1）内1y 和2y 都是⽅程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上⾯（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。
并且，我们发现，当n 取⾮负整数时，1y 和2y 中有⼀个便退化为n 次多项式，它就是⽅程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。
此时，适当的选定这个多项式的最⾼次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第⼀类勒让德函数，记作()n P x ，下⾯我们来推导勒让德多项式()nP x 的表达式。
①当n 为正偶数时1y 退化为n 次多项式。
为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表⽰其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：2(2)(1)()(1)k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）在（1.5）式中取2kn =-，得：n n n n a a n --=-- （1.6）习惯上取n a 为 2(2)2(!)n nn a n = （1.7）于是有：2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-----(22)!2(1)!(2)!nn n n -=--- （1.8）在（1.5）式中取4kn =-，并利⽤2n a -之值得：42(2)(3)4(23)n n n n a a n ----=--2(2)(3)(22)!(1)4(23)2(1)!(2)!n n n n n n n ---=----2(24)!(1)2(2!)(2)!(4)!nn n n -=--- （1.9）⼀般地，我们有()()222!12!()!(2)!mn m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2nm =）（1.10）我们将这些系数带⼊（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：(22)!()(1)2!()!(2)!n mn mn n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。
第六章 勒让德多项式
y1 ( x ) = ∑ m = 0 a2 m x 2 m ,
∞
y2 ( x ) = a1 x + a3 x 3 + a5 x 5
西安理工大学应用数学系
不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？ 不妨取 为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 为非负整数
an+2 = an+4 =⋯= 0 ak ≠ 0, k ≤ n
( n − 1)( n + 2) a3 = − a1 3⋅ 2 ( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
西安理工大学应用数学系
( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
y2 ( x ) 中有
西安理工大学应用数学系
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak k = 0,1, 2,⋯ ( k + 1)( k + 2) m n( n − 2)⋯ ( n − 2 m + 2)( n + 1)( n + 3)⋯ ( n + 2 m − 1) a2 m = ( −1) a0 (2m )! m ( n − 1)( n − 3)⋯( n − 2m + 1)( n + 2)( n + 4)⋯( n + 2m ) a2 m +1 = ( −1) a1 (2m + 1)!
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ak = ak + 2 k ≤ n−2 ( k − n)( k + n + 1) n( n − 1) an − 2 = − an 2(2n − 1) ( n − 2)( n − 3) n( n − 1)( n − 2)( n − 3) an − 4 = − an − 2 = an 4(2n − 3) 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3) n( n − 1)( n − 2)⋯( n − 2m + 1) m an − 2 m = ( −1) an 2 ⋅ 4⋯ ⋅ 2m (2n − 1)⋯ (2n − 2m + 1)
最新勒让德(legendre)多项式及其性质资料
勒让德（legendre ）多项式及其性质一． 勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1）它的幂级数解如下：12y y y =+ （1.2）其中：2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kk k n n n n n n y a x a x x ∞=+-++==-+⋅⋅⋅∑（1.3）213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!k k k n n n n n n y a xa x x x ∞++=-+--++==-++⋅⋅⋅∑ （1.4）由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。
并且，我们发现，当n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。
此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()nP x 的表达式。
① 当n 为正偶数时1y 退化为n 次多项式。
为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：2(2)(1)()(1)k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）在（1.5）式中取2kn =-，得：2(1)2(21)n n n n a a n --=-- （1.6）习惯上取n a 为 2(2)2(!)n nn a n = （1.7）于是有：2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-----(22)!2(1)!(2)!nn n n -=--- （1.8）在（1.5）式中取4kn =-，并利用2n a -之值得：42(2)(3)4(23)n n n n a a n ----=--2(2)(3)(22)!(1)4(23)2(1)!(2)!n n n n n n n ---=---- 2(24)!(1)2(2!)(2)!(4)!nn n n -=--- （1.9）一般地，我们有()()222!12!()!(2)!mn m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2nm =⋅⋅⋅⋅⋅⋅） （1.10）我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：220(22)!()(1)2!()!(2)!nmn m n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。
勒让德多项式表达式
勒让德多项式表达式
勒让德多项式是描述矩形表面和口径的另外一组多项式集合，它的优点是具有正交性。
由于存在正交性条件，高阶项系数趋于零，并且增加和删除一个项对其他项没有影响。
不过，这个多项式集合通常不在光学设计软件中使用。
勒让德多项式的数学描述如下
式中，
下图为几个低阶的勒让德多项式
在区间[一1，1]带权函数ρ(x)=1的正交多项式为
它称为勒让德(Legendre)多项式。
由于（x²-1）ⁿ是2n次多项式，求n阶导数后．得到
于是，得到首项(最高次项)xⁿ的系数：显然．首项系数为1的勒让德多项式为。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式是很多数学领域中应用广泛的多项式，它的微分表达式是这个领域的重要组成部分。
本文将概述勒让德多项式的微分表达式，讨论其特点及应用。
勒让德多项式的定义
勒让德多项式是由英国数学家约翰勒让德在18th世纪提出的。
在数学上，它是一种形式如下的多项式：
Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn
其中，a0、a1、a2、a3…an是实数，n是正整数。
勒让德多项式的微分表达式
从数学角度来看，勒让德多项式的微分表达式是由它的各项构成的：
dPn(x)/dx = a1 + 2a2x + 3a3x2 + + nana-1xn-1 从这个公式可以清晰地看出，在求勒让德多项式的导数时，各项的系数a1,a2,a3…an也将会发生变化。
勒让德多项式的特点及应用
勒让德多项式是一种经典的数学函数，它在许多数学领域都应用得很广泛，同时它也具有一些独特的特点。
首先，勒让德多项式可以用来描述复杂的常量变化过程，例如如果需要描述某种曲线的方程，可以考虑勒让德多项式，因为它能够把该曲线表示出来。
其次，勒让德多项式的微分表达式也是它的一个重要特点，它的
微分表达式可以用来求解曲线某个点的斜率，也可以用来求解某个函数在某一点处的单位切线的斜率。
最后，勒让德多项式也可以用来研究物体在几何上的变形过程，例如用它来分析某个几何图形变形时的变化规律。
总结
本文介绍了勒让德多项式的定义，以及它的微分表达式，并讨论了其特点及应用。
勒让德多项式的性质
三、正交性 1 §14.2 勒让德多项式的性质用途：可计算含 pl (x 的积分。
2 ∫−1 Pl (x Pk (x dx = 2l + 1 δ kl , k , l = 0,1,2,..., (6 问: ∫ ∫ 1 2 2 P8 (x dx = ? = −1 2 ⋅ 8 + 1 17 1 0 ∫−1 P8 (x P9 (x dx = ? 1 9 2 ∫−1 xP8 (x P9 (x dx = ? = 17 ⋅ 18 + 1 2 −1 1 P 199 ( x P 300 ( x dx = ? 0四、广义傅氏展开f (x = ∑ Cl Pl (x l =0 ∞ §14.2 勒让德多项式的性质 (9 2l + 11 Cl = f ( x Pl ( x dx ∫2 −1 (10 用途： (1在物理中常需将作为表征的物理量展开为级数进行分析。
(2在求解数学物理方程时其解常是某函数的无穷级数，如稳恒电场的解，就是 Legendre级数。
五.小结一、母函数关系式二、递推公式三、正交性1 1− 2x t + t 2 §14.2 勒让德多项式的性质= ∑ Pl (x t l , t < 1 (1 l =0 ∞ 1. (l + 1Pl +1 ( x − (2l + 1x Pl ( x + l Pl−1 ( x = 0 (2 2. (2l + 1Pl (x = Pl′+1 ( x − Pl′−1 (x (3 ∫ 1 −1 Pl ( x Pk (x dx = 2 δ kl , k , l = 0,1,2,..., (6 2l + 1 ∞ 四、广义傅氏展开f ( x = ∑ Cl Pl ( x l =0 (9 2l + 1 1 Cl = f (x Pl ( x dx ∫ − 1 2 (10本节作业一．由勒让的多项式的母函数关系式推出下列递推关系： 1. (l + 1Pl +1 (x − (2l + 1x Pl ( x + l Pl −1 ( x = 0 (2 2. (2l + 1Pl (x = Pl′+1 ( x − Pl′−1 (x (3 二．P280. 2。
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。
legendre多项式推导
legendre多项式推导勒让德多项式（Legendre polynomials）是一类重要的正交多项式，其推导过程可以通过递归关系和积分方法得到。
1. 递归关系推导：勒让德多项式可以通过以下递归关系定义：P_0(x) = 1P_1(x) = x(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)其中，P_n(x)表示阶数为n的勒让德多项式。
利用这个递归关系，我们可以依次计算出更高阶的勒让德多项式。
2. 积分方法推导：另一种推导勒让德多项式的方法是使用积分。
设f(x)为一个可积函数，我们想要将它展开成勒让德多项式的级数形式。
首先假设可以将f(x)展开为如下形式：f(x) = ∑_{n=0}^∞ a_n P_n(x)我们的目标是求解每个a_n的值。
为了实现这一点，我们将上述等式两边乘以P_m(x)并在区间[-1,1]上进行积分，可以得到：∫_{-1}^1 f(x)P_m(x)dx = ∑_{n=0}^∞ a_n ∫_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx由于勒让德多项式是正交的，即∫_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx = 0 (n ≠ m)，所以上述等式简化为：∫_{-1}^1 f(x)P_m(x)dx = a_m ∫_{-1}^1 P_m(x)P_m(x)dx =a_m(c_m)，其中c_m是一个常数。
我们可以通过计算∫_{-1}^1 f(x)P_m(x)dx 来求解 a_m 的值，从而得到展开式中每个项的系数。
综上所述，勒让德多项式可以通过递归关系或积分方法推导出来，并且可以用于展开函数。
其在物理学、数学和工程等领域中有广泛的应用。
勒让德多项式归一化
勒让德多项式归一化（原创版）目录1.勒让德多项式的基本概念2.勒让德多项式归一化的定义3.勒让德多项式归一化的方法4.勒让德多项式归一化的应用正文1.勒让德多项式的基本概念勒让德多项式（Legendre polynomial）是一种特殊的多项式，用于描述球坐标系中的函数。
在数学、物理和工程领域中，勒让德多项式被广泛应用。
勒让德多项式的基本形式为：Pn(x) = Rn(x) / Rn(1)，其中 Rn(x) 是勒让德多项式的 n 阶导数，Rn(1) 是勒让德多项式在 x=1 处的值。
2.勒让德多项式归一化的定义勒让德多项式归一化是指将勒让德多项式进行标准化处理，使得它在某个区间内具有特定的性质，如归一化常数、正交性等。
勒让德多项式归一化的目的是为了将复杂的函数表示为简单的多项式形式，从而方便进行求解和分析。
3.勒让德多项式归一化的方法常见的勒让德多项式归一化方法有以下几种：（1）直接积分法：通过对勒让德多项式进行积分，可以得到其归一化后的形式。
这种方法适用于较简单的勒让德多项式。
（2）正交化方法：通过对勒让德多项式进行正交化处理，使得它们满足正交条件。
正交化方法包括：格拉米 - 施密特正交化、勒让德正交化等。
这种方法适用于较复杂的勒让德多项式。
（3）单位化方法：通过对勒让德多项式进行单位化处理，使得它们满足归一化条件。
单位化方法通常用于具有特定边界条件的问题。
4.勒让德多项式归一化的应用勒让德多项式归一化在许多领域具有广泛的应用，如：（1）在数值分析中，勒让德多项式归一化可用于求解微分方程、插值和逼近问题。
（2）在物理学中，勒让德多项式归一化可用于描述原子、分子和凝聚态系统的波函数。
（3）在工程领域中，勒让德多项式归一化可用于优化控制系统、信号处理和数据压缩等问题。
勒让德多项式及性质1
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
即当
l 为偶数时，勒让德多项式 Pl ( x) 为偶函数， l 为奇数时 Pl ( x) 为奇函数
一、勒让德多项式的正交关系
0
1
1
Pk ( x) P ( x)dx 0 l
(k l )
(k l )
Pk (cos ) Pl (cos ) sind 0
2 2 2
d d m 方程解出:(1 x ) 2 2 x [l (l 1) ] 0，x cos 2 dx dx 1 x d 2 d 2 m 0时，成为l阶勒让德方程： x ) 2 2 x (1 l (l 1) 0 dx dx 用常点邻域 a0 y0 ( x), l为偶数时 k , 令 y ak x a0 y0 ( x) a1 y1 ( x) 的级数解法 k 0 a1 y1 ( x)，l为奇数时
f
(l )
l! f ( ) ( z) C ( z )l 1 d 2πi
容易证明微分表示也可表示为环路积分形式
1 1 Pl ( x) 2πi 2l
C为
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．
同样若记
arc cos x
y( x) ( x)
l
阶勒让德方程
则上述方程也可写为下列形式的
d 2 dy [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
轴对称球函数 现在注意：m 0时， ( ) A cos m B sin m A(常数) （r , , ） R(r )( )( ) AR(r )( ) （r , ） u u 即在以r， 构成的锥体上各点的u值相同。
勒让德多项式
课程设计报告n 阶勒让德(Legendre)多项式一、设计任务与目标n 阶勒让德(Legendre)多项式可以递归定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧>---===--1/))(*)1()(**)12((101)(21n nx p n x p x n n xn x p n n n(1) 输入n 和x 的数值，输出此时勒让德多项式的数值。
例如输入2，1，应输出1/2。
(2)输入n 的数值, 输出此时的勒让德多项式。
例如输入2，应输出3/2 x 2 - 1/2。
本次上机实践所使用的平台和相关软件。
平台：Windows xp 相关软件：VC6.0二、方案设计与论证对于这个题目，我分析了一下，第一问是要求我要用递归方法去求最终的值，所以我在程序中编写了子函数treat ，并在主函数main 中调用，在子函数中不断调用自己本身。
第二问，由于不能按照常规来做，只能够想一些特别的方法，例如：利用字符串输出，但这种方法不行。
经老师提醒，先做好这个表达式的每一项的情况，然后再将他们整合输出，于是我选择了这个方法并向着这个方向去做，后来在网上找了相关的资料，我发现了这么一条公式：∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-----=202)!2()!(!2)!22()1()(n m mn nmn x m n m n m m n x p ，这一条公式可以求出表达式的每一项，我利用四个数组，第一个数组是记录m)1(-的结果；第二个数组是记录)!2()!22(m n m n --约简后的结果；第三个数组是记录)!(!2m n m n -约简后的结果；第四个数组是记录m n 2-的结果。
最后输出每一项并整合最终的结果。
在计算)!2()!22(m n m n --之前，我采用了没有约简的方法去做，结果数值超出了我设定的int 型数据的范围，导致我只能够输出n=6的情况，n=7输出错误。
后来利用约简的方法，于是结果达到了n=8的情况。
接着我采用了double 型，结果能输出n=10的情况，但是在运行的过程中发现，输出很慢。
勒让德多项式及性质
例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数
f ( x) 2 x 3 3x 4 在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。
1 1 2 P2 ( x) (3x 1) (3cos 2 1) 2 4 1 1 3 P3 ( x) (5x 3x) (5cos3 3cos ) 2 8 1 1 4 2 P4 ( x) (35x 30 x 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15x) (63cos5 35cos3 30cos ) 8 128 1 1 P6 ( x) (231x6 315x4 105x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
前面已学：勒让德方程在x 1有自然边界条件： x 1 有限，从而构成 y 本征值问题，本征值是l (l 1), l 0,1, 2, 3..., 在l为整数条件下，勒让德方程 的两个线性独立特解y ( x ) a0 y0 ( x ) a1 y1 ( x )之一退化为l次多项式。 z l为2k (偶数): a y ( x) ~
l 2n (n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( )
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
二、勒让德多项式
1、前几个勒让德多项式: （注意到 x cos ) P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 11.1
2、勒让德多项式的微分表示
1 dl Pl ( x) l ( x 2 1)l 2 l ! dx l
数理方程第12讲勒让德多项式
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则
m 0 ，即有
（1.5）
1 d d sin l (l 1) 0 sin d d
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记
arc cos x
，
y( x) ( x)
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 1 (3x 2 1) (3cos 2 1) 2 4
1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30cos ) 8 128
d ( x 1) 1 ( x 1) dx2l dx
1 2l 2 l 2 l
( x 2 1) l 是
2l 次多项式，其 2l
1
阶导数也就是最高幂项
x 2 l 的 2l 阶导数为 (2l )! ．故
(2l )! N (1) 2l 2 2 (l !)
2 l l
1
( x 1)l ( x 1)l dx
2 l 1
1
为了分部积分的方便，把上式的 Pl ( x)用微分表示给出，则有
1 N 2l 2 2 (l !)
2 l
d l ( x 2 1)l d d l 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl dx d x
1 1
legendre多项式推导
legendre多项式推导一、Legendre多项式的定义和性质Legendre多项式是一类重要的正交多项式，用于描述量子力学中的波函数。
它源于法国数学家Adrien-Marie Legendre在18世纪末的研究。
Legendre多项式的定义如下：P_n(x) = ∏(x - λ_i)，其中λ_i是方程x^2 - 2px + 1 = 0的根。
其中，n为正整数，p为参数。
Legendre多项式具有以下性质：1.归一化：P_n(1) = 1，使得P_n(x)在[0, 1]区间上的积分等于1。
2.正交性：P_n(x)与P_m(x)在[0, 1]区间上的内积为0，其中m ≠ n。
3.递推关系：P_n+1(x) = x * P_n(x) - λ_n * P_{n-1}(x)，其中λ_n是方程x^2 - 2px + 1 = 0的根。
二、Legendre多项式的推导过程以下是Legendre多项式的推导过程：1.基于Hermite多项式的递推关系，我们可以得到：PH_n(x) = x * PH_{n-1}(x) - 2 * PH_{n-2}(x)2.将Hermite多项式中的x替换为x^2 - 1，得到：PH_n(x^2 - 1) = (x^2 - 1) * PH_{n-1}(x^2 - 1) - 2 * PH_{n-2}(x^2 - 1)3.利用(x^2 - 1)^2 - 4 = (x - 1)^2 * (x + 1)^2，化简得：PH_n(x^2 - 1) = (x - 1) * (x + 1) * PH_{n-1}(x^2 - 1) - 2 * PH_{n-2}(x^2 - 1)4.将PH_n(x^2 - 1)展开为Legendre多项式形式，得到：P_n(x) = (x - 1) * (x + 1) * P_{n-1}(x) - 2 * P_{n-2}(x)三、Legendre多项式的应用场景1.量子力学：Legendre多项式在描述量子力学中的波函数具有重要作用，可以用于求解薛定谔方程。
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勒让德（legendre ）多项式及其性质一． 勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1）它的幂级数解如下：12y y y =+ （1.2）其中：2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kk k n n n n n n y a x a x x ∞=+-++==-+⋅⋅⋅∑ （1.3）213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!k k k n n n n n n y a xa x x x ∞++=-+--++==-++⋅⋅⋅∑ （1.4）由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。
上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。
并且，我们发现，当n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。
此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()nP x 的表达式。
① 当n 为正偶数时1y 退化为n 次多项式。
为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：2(2)(1)()(1)k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）在（1.5）式中取2kn =-，得：2(1)2(21)n n n n a a n --=-- （1.6）习惯上取n a 为 2(2)2(!)n nn a n = （1.7）于是有：2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-----(22)!2(1)!(2)!nn n n -=--- （1.8）在（1.5）式中取4kn =-，并利用2n a -之值得：42(2)(3)4(23)n n n n a a n ----=--2(2)(3)(22)!(1)4(23)2(1)!(2)!n n n n n n n ---=----2(24)!(1)2(2!)(2)!(4)!nn n n -=--- （1.9）一般地，我们有()()222!12!()!(2)!mn m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2nm =⋅⋅⋅⋅⋅⋅） （1.10）我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：220(22)!()(1)2!()!(2)!n mn mn n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。
② 当n 为正奇数时2y 退化为n 次多项式，我们把2y 记作()n P x ，同理可得：1220(22)!()(1)2!()!(2)!n mn m n n m n m p x x m n m n m --=-=---∑ （1.12）把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得[]220(22)!()(1)2!()!(2)!nmn m n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.13）其中[]2n 表示2n的整数部分由上述讨论可知，当n 为非负整数时，1y 和2y 中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作()n Q x ，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：12()()n n y c P x c Q x =+ （1.14）特别当0,1,2,3,4,5n =时，由（1.11）和（1.12）式得：0()1P x = 1()P x x = 221()(31)2P x x =- 331()(53)2P x x x =- 4241()(35303)8P x x x =-+ 5351()(637015)8P x x x x =-+它们的图形如下：二． 勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数： 试将函数122(,)(12)x z xz z -∅=-+ （1.15）展开成z 的幂级数(,)n n n x z A z ∞=∅=∑ （1.16）可以证明(,)x z ∅级数展开式中n z 的系数恰好是勒让德多项式，最终得到122(,)(12)()n n n x z xz z P x z ∞-=∅=-+=∑ （1.17）因此称(,)x z ∅为勒让德多项式的母函数。
1．()(1)()nn n P x P x -=- （1.18）将式（1.17）中的x 以x -代入，z 以z -代入，立即得到此结果。
此式说明()n P x 的奇偶性由n 而定，当n 为偶数时，()n P x 为偶函数，当n 为奇数时，()n P x 为奇函数。
2．(1)1,(1)(1)nn nP P =-=- （1.19） 将1x =代入式（1.17），得到1(1)(1)n n n z P z ∞-=-=∑而1(1)n n z z ∞-=-=∑所以(1)1n P =由上式和（1.18）立即得到(1)(1)(1)n n n P P -=-3．勒让德多项式的递推公式：11(1)()(21)()()0n n n n P x n xP x nP x +-+-++= （1.20）'''11()()2()()n n n n P x P x xP x P x +-=-+ （1.21）''1()()(1)()n n n P x xP x n P x +=++ （1.22）''1()()()n n n xP x P x nP x --= （1.23） ''11()()(21)()n n n P x P x n P x +--=+ （1.24）现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数(,)x z ∅分别对,x z 微分，得到3222(12)12z z xz z x xz z -∂∅∅=+-+=∂-+ 3222()(12)12x z x z xz z z xz z-∂∅-=--+=∂-+ 得到下列两个恒等式2(12)0xz z z x∂∅-+-∅=∂ （1.25） 2(12)()0xz z z x z∂∅-++-∅=∂ （1.26）又从式（1.25）和（1.26）得到()0zz x z x∂∅∂∅+-=∂∂ （1.27） 将（1.17）两端分别对,x z 微分，得到'()n n n P x z x ∞=∂∅=∂∑ （1.28） 11()n n n nP x z z ∞-=∂∅=∂∑ （1.29） 然后将它们带入（1.27），得到''111()[()()]n nn n n n n xP x z nP x P x z ∞∞-===+∑∑ 于是得到()n P x 与导数之间的关系式''1()()()n n n xP x P x nP x --=其它的导数公式这里不在一一证明。
将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到110[(1)()(21)()()]0n n n n n Px n xP x nP x ∞+-=+-++=∑上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到11(1)()(21)()()0n n n n P x n xP x nP x +-+-++=这就是递推公式，由0()P x ，1()P x 可以推出2()P x ，由1()P x ，2()P x 可以推出3()P x ，…..4．勒让德多项式的正交性：勒让德多项式在[-1,1]上正交，即112()()21n m P x P x dx n -=+⎰当n m =时 （1.30） 11()()0n m P x P x dx -=⎰当n m ≠时 （1.31）勒让德多项式正交性的证明比较繁琐，这里不再证明。
窗体顶端中国人民银行货币反假考试20181109首次考试开考时间 : 2018-11-09 10:20:00 收卷时间 : 2018-11-09 11:10:00 总时间 : 50分 单选题(点击收缩)1 国务院反假货币工作联席会议的日常办事机构为（B ）。
A . 国务院秘书处；B . 联席会议办公室；C . 联席会议办公室秘书处；D . 国务院办公厅。
2 银行业金融机构反假货币联络会议是国务院反假货币工作联席会议的延伸,在（A ）指导下开展工作。
A . 国务院反假货币工作联席会议；B . 中国人民银行；C . 国务院；D . 国务院反假货币工作联席会议办公室。
3 《假人民币没收收据》第（A ）联交原收缴单位。
A . 二；B . 一；C . 三；D . 四。
4 为规范对假币的收缴、鉴定行为，保护货币持有人的合法权益。
中国人民银行制定并公布了（D），自2003年7月1日起施行。
A . 《中华人民共和国刑法》；B . 《中华人民共和国中国人民银行法》；C . 《中华人民共和国人民币管理条例》；。