【苏教版】2018-2019学年高中数学选修2-1新学案：同步练习(含答案)
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 模块综合 Word版含答案
模块综合试卷(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则綈p 为________．答案∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0解析全称命题的否定是存在性命题．2．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇏p .3．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是________．答案(0，－2)解析抛物线方程化为标准方程为x 2＝－8y ，∴2p ＝8，∴p2＝2.∵抛物线开口向下，∴抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标为(0，－2)．4．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为________．答案y24－x24＝1解析由题意设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)，则a ＝2,2a ＋2b ＝22c ，得b ＝2c －2，结合a 2＋b 2＝c 2，得b ＝2，故双曲线方程为y24－x24＝1.5．若a ＝(1，－1，－1)，b ＝(0,1,1)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值是________．答案1解析λb ＝(0，λ，λ)，a ＋λb ＝(1，λ－1，λ－1)．∵(a ＋λb )⊥b ，∴(a ＋λb )·b ＝0.∴λ－1＝0，即λ＝1.6．设F 1和F 2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．答案2解析由题意知tan π6＝c 2b ＝33，所以3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝ca＝2.7．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案充分不必要解析由q ⇒綈p 且綈p ⇏q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇏p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 8．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．答案4解析根据题意知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆的右焦点为(2,0)，即p2＝2，解得p ＝4.9．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．答案4解析抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.10．已知a ＞0且a≠1，设p ：y ＝a x 是R 上的单调递减函数；q ：函数g (x )＝lg(2ax 2＋2x ＋1)的值域为R ；如果“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则a 的取值范围是________．答案⎝⎛⎭⎫12，1解析由题意知，p ：0＜a ＜1，q ：0＜a ≤12，当p 真q 假时，得12＜a ＜1；当p 假q 真时，无解．故a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.11．已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，MF ＋NF ＝6，则MN 的中点的横坐标为________． 答案2解析∵F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，∴F (1,0)，准线为直线x ＝－1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴MF ＋NF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝6，解得x 1＋x 2＝4.∴线段MN 的中点的横坐标为2.12．设P 为直线y ＝b3ax 与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.答案324解析由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上，可得P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .又因为点P 在直线y ＝b 3a x 上，所以－b2a＝b 3a ×(－c )，整理得c ＝3b ，根据c 2＝a 2＋b 2得a ＝22b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b ＝324. 13．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若PF 1＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案120°解析在椭圆x29＋y22＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7.因为PF 1＝4，且PF 1＋PF 2＝2a ＝6，所以PF 2＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝错误!＝－错误!，因为0°<∠F 1PF 2<180°，所以∠F 1PF 2＝120°.14．已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________． 答案63解析以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)，所以BD1→＝(－1，－2,1)．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB →＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量． 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成的角为θ， 则有sin θ＝|cos 〈AB →，BD1→〉|＝|AB →·BD1→||AB →||BD1→|＝错误!＝错误!.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围．解对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝|1－m|2<1，∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根，∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4， ∴错误!或错误!解得0<m <4.∵綈p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是[2＋1,4)．16．(14分)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．(1)用p 表示线段AB 的长；(2)若OA →·OB →＝－3，求这个抛物线的方程．解(1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝x －p2，得x 2－3px ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p24，∴AB ＝x 1＋x 2＋p ＝4p .(2)由(1)知x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫x1－p 2⎝⎛⎭⎫x2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p24＝p24－3p22＋p24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p24－p 2＝－3p24＝－3，解得p 2＝4，∵p ＞0，∴p ＝2.∴抛物线的方程为y 2＝4x .17．(14分)已知命题p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解由x 2－8x －20>0，得x <－2或x >10，即命题p 对应的集合为P ＝{x |x <－2或x >10}，由x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，得[x －(1－m )][x －(1＋m )]>0(m >0)，解得x <1－m 或x >1＋m (m >0)，即命题q 对应的集合为Q ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以P 是Q 的真子集． 故有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≥－2，1＋m<10或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m>－2，1＋m≤10.解得0<m ≤3.所以实数m 的取值范围是(0,3]．18．(16分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·OB →＝8x ＝0，n·OE →＝－4y ＋3z ＝0， 解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)，所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n .又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .19．(16分)已知椭圆x2b2＋y2a2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝59上，求m 的值．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2＝2b ，b2＝a2－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，由Δ＝4m 2－12(m 2－2)＝－8m 2＋24＞0，得－3＜m ＜ 3.所以x 0＝x1＋x22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝59上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝59，解得m ＝±1，满足Δ＞0，故m ＝±1.20．(16分)如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，点E为AB 的中点．(1)求证：BD 1∥平面A 1DE ；(2)求证：D 1E ⊥A 1D ；(3)在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1－MC －D 的大小为π6？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明由题意可得D 1D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,2,0)， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，B (1,2,0)，E (1,1，0)．DA1→＝(1,0,1)，DE →＝(1,1,0)，设平面A 1DE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n1·DA1—→＝0，n1·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＋z1＝0，x1＋y1＝0，取x 1＝1，则n 1＝(1，－1，－1)是平面A 1DE 的一个法向量，又BD1—→＝(－1，－2,1)，且BD1—→·n 1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故BD1—→⊥n 1，又BD 1不在平面A 1DE 内，故BD 1∥平面A 1DE .(2)证明由题意得D1E —→＝(1,1，－1)，DA1—→＝(1,0,1)，D1E —→·DA1—→＝(1,1，－1)·(1,0,1)＝0，D1E —→⊥DA1—→，故D 1E ⊥A 1D .(3)解设M (1，y 0，0)(0≤y 0≤2)，因为MC →＝(－1,2－y 0，0)，D1C —→＝(0,2，－1)， 设平面D 1MC 的一个法向量为v 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧v1·MC →＝0，v1·D1C —→＝0，得错误!取y ＝1，则v 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为v 2＝(0,0,1)，要使二面角D 1MCD 的大小为π6，则cos π6＝|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v1·v2||v1||v2|＝错误!＝错误!，解得y 0＝2－33(0≤y 0≤2)．所以当AM ＝2－33时，二面角D 1MCD 的大小为π6.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 疑难规律方法 Word版含答案
1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层 用已知向量表示未知向量例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N ―→；(3)MP →＋NC 1―→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1―→＋A 1D 1――→＋D 1P ―→＝a ＋AD →＋12D 1C 1――→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A ―→＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又NC 1―→＝NC →＋CC 1―→＝12BC →＋AA 1―→＝12AD →＋AA 1―→＝12c ＋a ， ∴MP →＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c . 点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 第2层 化简向量例2 如图，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD .设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AG →－12(AB →＋AC →)．解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12BC →＋12BD →＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →. (3)AG →－12(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →. AD →，AG →，MG →如图所示．点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第3层 证明立体几何问题例3 如图，已知M ，N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，又∵BN →与BG →有公共点B ， ∴B ，G ，N 三点共线．2 空间向量易错点扫描易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例1 “a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 错解 a·b <0⇔cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |<0⇔〈a ，b 〉为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的充要条件．错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况． 剖析 当〈a ，b 〉＝π时，a·b <0，但此时夹角不为钝角， 所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件． 正解 必要不充分易错点2 忽略两向量的夹角的定义例2 如图所示，在120°的二面角α—AB —β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，试求线段CD 的长．错解 ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，∵二面角α—AB —β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝120°. ∴CD 2＝CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD ＝6 2.错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念．向量CA →，BD →的夹角与二面角α—AB —β的平面角互补，而不是相等． 正解 ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，∵二面角α—AB —β的平面角为120°， ∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD 2＝CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12. 易错点3 判断是否共面出错例3 已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间的一个基底的是________．(将正确答案的序号填上) ①OA →；②OB →；③OC →；④OA →或OB →.错解 a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →， 相加得OA →＋OB →＝12(a ＋b )，所以OA →，OB →都与a ，b 共面，不能构成空间的一个基底，故填④.剖析 OA →＋OB →＝12(a ＋b )，说明OA →＋OB →与a ，b 共面，但不能认为OA →，OB →都与a 、b 共面．设OA →＝x a ＋y b ，因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，代入整理得(x ＋y －1)OA →＋(x ＋y )OB →＋(x －y )OC →＝0，因为O ，A ，B ，C 四点不共面， 所以OA →，OB →，OC →不共面，所以x ＋y －1＝0，x ＋y ＝0，x －y ＝0， 此时，x ，y 不存在，所以a ，b 与OA →不共面， 故a ，b 与OA →可构成空间的一个基底． 同理a ，b 与OB →也可构成空间的一个基底．因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，相减有OC →＝12(a －b )，所以OC →与a ，b 共面，故不能构成空间的一个基底． 正解 ③易错点4 混淆向量运算和实数运算例4 阅读下列各式，其中正确的是________．(将正确答案的序号填上) ①a ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c ②a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0 ③(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )④OA →·BO →＝|OA →||BO →|cos(180°－∠AOB ) 错解 ①(或②或③)剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故①③错误；若a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故②错误；OA →·BO →的夹角是180°－∠AOB . 正解 ④易错点5 忽略建系的前提例5 四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AE ⊥平面ABCD ，AE ＝2，F 为CE 的中点，试合理建立坐标系，求AF →，BC →所成角的余弦值．错解 以A 为坐标原点，以AB →，AD →，AE →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A －xyz .此时AF →＝(1,1,1)，BC →＝(0,2,0)，所以cos 〈AF →，BC →〉＝33.剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB 与AD 不垂直． 正解 设AC ，BD 交于点O ，则AC ⊥BD . 因为F 为CE 中点，所以OF ∥AE ，因为AE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，OF ⊥AC ，OF ⊥BD ，以O 为坐标原点，以OC →，OD →，OF →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz .此时AF →＝(1,0,1)，BC →＝(1，3，0)， 所以cos 〈AF →，BC →〉＝24.易错点6 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误 例6 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求二面角A －BD 1－C 的大小．错解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知DA 1―→是平面ABD 1的一个法向量，DA 1―→＝(1,0,1)，DC 1―→是平面BCD 1的一个法向量，DC 1―→＝(0,1,1)，所以cos 〈DA 1―→，DC 1―→〉＝DC 1―→·DA 1―→|DC 1―→||DA 1―→|＝12.所以〈DA 1―→，DC 1―→〉＝60°.所以二面角A －BD 1－C 的大小为60°.剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置．正解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知DA 1―→＝(1,0,1)是平面ABD 1的一个法向量，DC 1―→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量． 所以cos 〈DA 1―→，DC 1―→〉＝DC 1―→·DA 1―→|DC 1―→||DA 1―→|＝12，所以〈DA 1―→，DC 1―→〉＝60°.结合图形知二面角A －BD 1－C 的大小为120°.3 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 1．利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)， 所以BC 1―→＝(－2，－3,2)，CD →＝(0，－1,0)． 所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1―→·CD ―→|BC 1―→||CD ―→|＝31717.故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717.点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可． 2．利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．解 过B 点作BP ⊥BB 1交C 1C 于点P ， 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ， 所以BP ⊥平面ABB 1A 1，以B 为原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3，所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，C 1⎝⎛⎭⎫32，32，0，E ⎝⎛⎭⎫32，12，0，A 1(0,2，2)．点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口． 3．利用面面垂直关系例3 如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连结BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 所成的锐角的大小．解 取AE 中点M ，连结BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， 所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形， 所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M －xyz ，如图，则M (0,0,0)，B (0,0，3)，C (2，3，0)，D (0，3，0)， 所以DC →＝(2,0,0)，BD →＝(0，3，－3)， 设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0.取y ＝1，得m ＝(0,1,1)，又因为平面ABE 的一个法向量MD →＝(0，3，0)， 所以cos 〈m ，MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22，所以平面ABE 与平面BCD 所成的锐角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．4 用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动． 1．求解、证明问题例1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .证明 以O 为坐标原点，OA ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )． 设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴A 1F ―→＝(－x ，a ，－a )， C 1E ―→＝(a ，x －a ，－a )．∵A 1F ―→·C 1E ―→＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a ) ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴A 1F ―→⊥C 1E ―→，即A 1F ⊥C 1E . 2．定位问题例2 如图，已知四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，在DG 上是否存在点M ，使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解题提示 假设存在点M ，设平面BEF 的法向量为n ，设BM 与平面BEF 所成的角为θ，利用sin θ＝|BM →·n ||BM →||n |求出点M 的坐标，若满足条件则存在．解 因为四边形CDGF ，ADGE 均为正方形， 所以GD ⊥DA ，GD ⊥DC .又DA ∩DC ＝D ，DA ，DC ⊂平面ABCD ， 所以GD ⊥平面ABCD .又DA ⊥DC ，所以DA ，DG ，DC 两两互相垂直，如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)． 因为点M 在DG 上，假设存在点M (0,0，t )(0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°. 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为BE →＝(0，－1,1)，BF →＝(－1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0， 令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量．又BM →＝(－1，－1，t )，直线BM 与平面BEF 所成的角为45°，所以sin 45°＝|BM →·n ||BM →||n |＝|－2＋t |t 2＋2×3＝22， 解得t ＝－4±3 2.又0≤t ≤1，所以t ＝32－4.故在DG 上存在点M (0,0,32－4)，且DM ＝32－4时，直线MB 与平面BEF 所成的角为45°.点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．5 向量与立体几何中的数学思想1．数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．例1 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2，点E 在棱AB 上，平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F .(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点，求二面角A 1－EC －D 的余弦值；(3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值．(1)证明 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱，所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF ＝EC ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ，所以A 1F ∥EC .又因为A 1F ⊄平面B 1CE ，EC ⊂平面B 1CE ，所以A 1F ∥平面B 1CE .(2)解 因为AA 1⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，所以AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A 1(0,0,2)，E (1,0,0)，C (2,1,0)，所以A 1E ―→＝(1,0，－2)，A 1C ―→＝(2,1，－2)．设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ A 1E ―→·m ＝0，A 1C ―→·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0. 令z ＝1，得m ＝(2，－2,1)．又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13， 由图可知，二面角A 1－EC －D 的平面角为锐角，所以二面角A 1－EC －D 的余弦值为13. (3)解 过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ，因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1，FM ⊂平面A 1B 1C 1D 1，FM ⊥A 1B 1，所以FM ⊥平面A 1ABB 1，所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝13×11A B E S ×FM＝13×2×22×FM ＝23FM . 因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)，所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43.2．转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A －DF －C 的平面角的余弦值．分析 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(1)证明 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．∵E 为AB 的中点，∴E (1,1,0)，∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F ―→＝23D 1E ―→＝23(1,1，－2)＝⎝⎛⎭⎫23，23，－43， ∴DF →＝DD 1―→＋D 1F ―→＝(0,0,2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 1＋23y 1＋23z 1＝0，2y 1＝0.取x 1＝1，得平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0，－1)．设p ＝(x 2，y 2，z 2)是平面D 1EC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F ―→＝0，p ·D 1C ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 2＋23y 2－43z 2＝0，2y 2－2z 2＝0，取y 2＝1，得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1)，∵n ·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴n ⊥p ，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x 3，y 3，z 3)是平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 3＋23y 3＋23z 3＝0，x 3＝0，取y 3＝1，得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1，－1)，设二面角A －DF －C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos θ＝－|n ·q ||n ||q |＝－|0＋0＋1|2×2＝－12， ∴二面角A －DF －C 的平面角的余弦值为－12. 3．函数思想例3 已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且c ＝a ＋t b ，a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)．问|c |能否取得最大值？若能，求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不能，请说明理由．分析 写出|c |关于t 的函数关系式，再利用函数观点求解．解 由题意知Δ≥0，得－4≤t ≤－43， 又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t )，∴|c |＝(－1＋t )2＋(3－2t )2＋1＝ 5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. 当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，f (t )＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减函数，∴f (t )max ＝f (－4)，即|c |的最大值存在，此时c ＝(－5,1,11)．b·c ＝－27，|c |＝7 3.而|b |＝5，∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－275×73＝－91535. 点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．4．分类讨论思想例4 如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD上方)，问BC 边上是否存在点Q ，使PQ →⊥QD →？分析 由PQ →⊥QD →，得PQ ⊥QD ，所以在平面ABCD 内，点Q 在以边AD 为直径的圆上，若此圆与边BC 相切或相交，则BC 边上存在点Q ，否则不存在．解 假设存在点Q (Q 点在边BC 上)，使PQ →⊥QD →，即PQ ⊥QD ，连结AQ .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QD .又PQ →＝P A →＋AQ →且PQ →⊥QD →，∴PQ →·QD →＝0，即P A →·QD →＋AQ →·QD →＝0.又由P A →·QD →＝0，∴AQ →·QD →＝0，∴AQ →⊥QD →.即点Q 在以边AD 为直径的圆上，圆的半径为a 2. 又∵AB ＝1，由题图知，当a 2＝1，即a ＝2时，该圆与边BC 相切，存在1个点Q 满足题意； 当a 2>1，即a >2时，该圆与边BC 相交，存在2个点Q 满足题意； 当a 2<1，即0＜a <2时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 满足题意． 综上所述，当a ≥2时，存在点Q ，使PQ →⊥QD →；当0<a <2时，不存在点Q ，使PQ →⊥QD →.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版第2章 圆锥曲线与方程 §2.1 Word版含答案
§圆锥曲线学习目标.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点，处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案＋是常数(大于)．梳理平面内到两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点，叫做焦点椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点或，拉开或闭拢拉链，拉链头经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考图中动点的几何性质是什么？答案－为一个正常数．思考若－＝，则动点的轨迹是什么？答案以为端点，向右边延伸的射线．等于常数绝对值平面内到两个定点，的距离的差的梳理(小于的正数的点的轨迹叫做双曲)线，两个定点，叫做双曲线的焦点焦距．，两焦点间的距离叫做双曲线的知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点和定直线，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点的轨迹．则动点的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点到定点和定直线距离相等，且不在上．梳理平面内到一个定点和一条定直线(不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做焦点抛物线的，定直线叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例平面内动点到两点(－)，()的距离之和为，问取何值时的轨迹是椭圆？。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 滚动训练(二) Word版含答案
滚动训练(二)一、填空题1、已知命题p ：∃x ∈R ,x 2＋ax ＋a <0,若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是________、 答案 [0,4]解析 ∵p 是假命题,∴∀x ∈R ,x 2＋ax ＋a ≥0恒成立,∴Δ＝a 2－4a ≤0,∴0≤a ≤4.2、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是________、考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 椭圆解析 设椭圆的右焦点为F 2,由题意,知PO ＝12MF 2,PF 1＝12MF 1, 又MF 1＋MF 2＝2a ,所以PO ＋PF 1＝a >F 1O ＝c ,故由椭圆的定义,知P 点的轨迹是椭圆、3、命题“∀x ∈R ,∃n ∈N *,使得n ≥x 2”的否定形式是________、答案 ∃x ∈R ,∀n ∈N *,使得n ＜x 2解析 原命题是全称命题,条件为∀x ∈R ,结论为∃n ∈N *,使得n ≥x 2,其否定形式为存在性命题,条件中改量词,并否定结论、4、已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是________、答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ,则MF ＋ME ＝10,∴ME ＝8,又ON 为△MEF 的中位线,∴ON ＝12ME ＝4.5、直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是________、答案 ⎝⎛⎭⎫－23，13 解析 将直线y ＝x ＋1代入椭圆x 2＋2y 2＝4中,得x 2＋2(x ＋1)2＝4,∴3x 2＋4x －2＝0,∴弦的中点的横坐标是x ＝12×⎝⎛⎭⎫－43＝－23, 代入直线方程y ＝x ＋1中,得y ＝13, ∴弦的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－23，13. 6、设函数f (x )＝|log 2x |,则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________、 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示,可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1， 故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件、7、已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率e 的取值范围是________、答案 ⎝⎛⎭⎫0，22 解析 设M (x ,y ),∵MF 1→·MF 2→＝0,∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2,点M 的轨迹是以原点为圆心的圆,其中F 1F 2为圆的直径、 由题意知,椭圆上的点P 总在圆外,所以OP >c 恒成立,由椭圆性质知OP ≥b ,∴b >c ,∴a 2>2c 2,∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12,∴0<e <22.8、若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32,则m ＝________. 答案 14或4 解析 方程化为x 2＋y 21m ＝1,则有m >0且m ≠1. 当1m<1,即m >1时,依题意有1－1m 1＝32, 解得m ＝4,满足m >1；当1m>1,即0<m <1时,依题意有1m －11m ＝32, 解得m ＝14,满足0<m <1. 综上,m ＝14或4. 9、椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中,F 1,F 2分别为其左、右焦点,M 为椭圆上一点且MF 2⊥x 轴,设P 是椭圆上任意一点,若△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍(O 为坐标原点),则该椭圆的离心率e ＝________.考点 椭圆的离心率问题题点 求a ,b ,c 得离心率答案 53解析 由题意,可得M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a 或M ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵△PF 1F 2面积的最大值是△OMF 2面积的3倍,∴12×2c ×b ＝3×12×c ×b 2a, ∴b ＝23a ,∴c ＝a 2－b 2＝53a , ∴e ＝c a ＝53. 10、已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1.与椭圆相交于A ,B 两点,则弦AB 的长为________、考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案 553解析 由题意知,椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0),直线AB 的方程为y ＝2(x －1)、由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1， 消去y ,整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0. 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. 11、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)及点B (0,a ),过B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ,F 为椭圆的右焦点,则∠ABF ＝________.考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 90°解析 由题意知,切线的斜率存在,设切线方程为y ＝kx ＋a (k ＞0), 与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y , 整理得b 2x 2＋a 2(kx ＋a )2－a 2b 2＝0,即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 4－a 2b 2＝0,由Δ＝4a 6k 2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0,得k ＝c a, 从而y ＝c ax ＋a ,交x 轴于A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0, 又F (c,0),所以BA →＝⎝⎛⎭⎫－a 2c ，－a ,BF →＝(c ,－a ),则BA →·BF →＝0,故∠ABF ＝90°.二、解答题12、已知方程x 25－2m ＋y 2m ＋1＝1表示椭圆,求实数m 的取值范围、 考点 椭圆的标准方程题点 已知椭圆的焦点位置、焦距求参数解 (1)当方程表示焦点在x 轴上的椭圆时,则有5－2m >m ＋1>0,解得－1<m <43； (2)当方程表示焦点在y 轴上的椭圆时,则有m ＋1>5－2m >0,解得43<m <52. 综上,m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，43∪⎝⎛⎭⎫43，52. 13、在平面直角坐标系xOy 中,点A (－2,0),B (2,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是－34. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l ：y ＝x －1与曲线C 相交于P 1,P 2两点,Q 是x 轴上一点,若△P 1P 2Q 的面积为62,求Q 点的坐标、考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积解 (1)设M (x ,y ),则y x ＋2×y x －2＝－34, 化简整理得,点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)、 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x －1，消去y ,得7x 2－8x －8＝0. 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝87,x 1x 2＝－87, ∴P 1P 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝247. 设Q (m,0),则Q 到直线l 的距离d ＝|m －1|2, 依题意,得12×P 1P 2×d ＝62, 化简得|m －1|＝7,解得m ＝8或m ＝－6,故所求点为Q (8,0)或Q (－6,0)、 三、探究与拓展14、已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,若△F 1PF 2为直角三角形,则这样的点P 有______个、答案 6解析 当∠PF 1F 2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时,这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时,∠F 1PF 2最大,且为直角,此时这样的点P 有2个、故符合要求的点P 有6个、15、已知圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ,过圆外一点(m,0)(m ＞a )且倾斜角为3π4的直线l 交椭圆于C ,D 两点、 (1)求椭圆的方程；(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部,求m 的取值范围、 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中定点、定值、取值范围问题解 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－x －3y ＝0经过点F ,B ,∴F (1,0),B (0,3),∴c ＝1,b ＝3,∴a 2＝4,故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )(m ＞2)、由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝－(x －m )，消去y , 得7x 2－8mx ＋(4m 2－12)＝0.设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝8m 7,x 1x 2＝4m 2－127, ∴y 1y 2＝[－(x 1－m )]·[－(x 2－m )] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2.∵FC →＝(x 1－1,y 1),FD →＝(x 2－1,y 2), ∴FC →·FD →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝2x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋1＋m 2 ＝7m 2－8m －177. ∵点F 在圆E 的内部,∴FC →·FD →＜0,即7m 2－8m －177＜0, 解得4－3157＜m ＜4＋3157. 由Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＞0, 解得－7＜m ＜7.又m ＞2,∴2＜m ＜4＋3157.。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 滚动训练(四) Word版含答案
滚动训练(四)一、填空题1、“相似三角形的对应角相等”的否命题是________、 答案 不相似的三角形的对应角不相等 解析 否命题是条件、结论都否定、2、已知a ＝(t ＋1,1,t ),b ＝(t －1,t,1),则|a －b |的最小值为________、 答案 2解析 |a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4, 所以当t ＝1时,|a －b |取得最小值2.3、双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是________、答案 m ＞1解析 依题意知,e ＝c a ,e 2＝c 2a 2＞2,得1＋m ＞2,所以m ＞1.4、已知A (1,5,－2),B (2,4,1),C (x,3,y ＋2),且A ,B ,C 三点共线,则实数x ,y 的值分别为________、 答案 3,2解析 若A ,B ,C 三点共线,则AB →,BC →也共线、 又AB →＝(1,－1,3),BC →＝(x －2,－1,y ＋1), ∴1x －2＝1＝3y ＋1,∴x ＝3,y ＝2. 5、已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(3,2,－1),则p 在基底⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，－b ，12c 下的坐标是________、答案 ⎝⎛⎭⎫32，－2，－2 解析 由已知得p ＝3a ＋2b －c , 则p ＝32(2a )＋(－2)(－b )＋(－2)⎝⎛⎭⎫12c . 故p 在基底⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，－b ，12c 下的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－2，－2. 6、已知直线l 1,l 2的方向向量分别为a ,b ,且a ＝(1,2,－2),b ＝(－2,3,m ),若l 1⊥l 2,则实数m 的值为________、 答案 2解析 ∵l 1⊥l 2,∴a ⊥b .∴a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝4－2m ＝0, ∴m ＝2.7、已知a ＝3m －2n －4p ≠0,b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ,且m ,n ,p 不共面,若a ∥b ,则x ,y 的值分别为________、 答案 －13,8 解析 ∵a ∥b 且a ≠0,∴b ＝λa ,即(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp . 又∵m ,n ,p 不共面,∴x ＋13＝8－2＝2y －4,∴x ＝－13,y ＝8.8.如图,在三棱锥A －BCD 中,AB ＝AC ＝AD ＝2,∠BAD ＝90°,∠BAC ＝60°,则AB →·CD →＝________.答案 －2 解析 AB →·CD → ＝AB →·(AD →－AC →) ＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos90°－|AB →||AC →|cos60° ＝2×2×cos90°－2×2×cos60°＝－2.9、在底面为直角梯形的四棱锥S －ABCD 中,∠ABC ＝90°,SA ⊥平面ABCD ,SA ＝AB ＝BC ＝1,AD ＝12,则平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为________、答案63解析 以点A 为坐标原点,AD ,AB ,AS 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),D ⎝⎛⎭⎫12，0，0,C (1,1,0),S (0,0,1), 平面SAB 的一个法向量AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0, 并求得平面SCD 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12, 则cos 〈AD →,n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝63.10.如图,AB ＝AC ＝BD ＝1,AB ⊂平面α,AC ⊥平面α,BD ⊥AB ,BD 与平面α成30°角,则C ,D 间的距离为________、答案2解析 |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝ 2.11、平面α的法向量为m ＝(1,0,－1),平面β的法向量为n ＝(0,－1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为______、 答案 60°或120° 解析 ∵cos 〈m ,n 〉＝m·n|m||n |＝－12×2＝－12, ∴〈m ,n 〉＝120°,即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°. 二、解答题12.如图所示,在四棱锥P －ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC ＝2,在四边形ABCD 中,∠B ＝∠C ＝90°,AB ＝4,CD ＝1,点M 在PB 上,PB ＝4PM ,PB 与平面ABCD 成30°的角、求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点,CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz,∵PC ⊥平面ABCD ,∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角, ∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2,∴BC ＝23,PB ＝4.∴D (0,1,0),B (23,0,0),A (23,4,0),P (0,0,2),M ⎝⎛⎭⎫32，0，32,∴DP →＝(0,－1,2),DA →＝(23,3,0),CM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32,(1)方法一 令n ＝(x ,y ,z )为平面P AD 的一个法向量, 则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2,得n ＝(－3,2,1)、∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0,∴n ⊥CM →,又CM ⊄平面P AD ,∴CM ∥平面P AD . 方法二 ∵PD →＝(0,1,－2),P A →＝(23,4,－2),令CM →＝xPD →＋yP A →,则⎩⎨⎧32＝23y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组有解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝14，∴CM →＝－PD →＋14P A →,由共面向量定理知CM →与PD →,P A →共面,又∵CM ⊄平面P AD ,∴CM ∥平面P AD . (2)取AP 的中点E ,连结BE ,则E (3,2,1),BE →＝(－3,2,1), ∵PB ＝AB ,∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3,2,1)·(23,3,0)＝0, ∴BE →⊥DA →,∴BE ⊥DA ,又P A ∩DA ＝A , P A ,DA ⊂平面P AD ,∴BE ⊥平面P AD ,又∵BE ⊂平面P AB , ∴平面P AB ⊥平面P AD .13、已知A ,B 是抛物线y 2＝52x 上不同于原点O 的两点,OA ⊥OB .(1)求证：直线AB 恒过定点T ,且以OT 为直径的圆过点D (2,1)； (2)若直线AB 与⊙O ：x 2＋y 2＝5相切,求切点坐标及直线AB 的方程、 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线的综合问题(1)证明 设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ,t ＞0,代入y 2＝52x ,得2y 2－5my －5t ＝0.Δ＝25m 2＋40t＞0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)、则y 1y 2＝－5t 2,x 1x 2＝2y 215·2y 225＝425(y 1y 2)2＝t 2.又OA →⊥OB →,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即t 2－5t 2＝0,解得t ＝52或t ＝0(舍)、所以直线AB 的方程为x ＝my ＋52,恒过点T ⎝⎛⎭⎫52，0. 所以OD →·TD →＝(2,1)·⎝⎛⎭⎫－12，1＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1＝0, 所以OD →⊥TD →,即OD ⊥TD , 所以点D 在以OT 为直径的圆上、(2)解 由(1)知直线AB 的方程为2x －2my －5＝0, 由题意得|－5|4＋4m 2＝5,解得m ＝±12.当m ＝12时,切线AB 的方程为2x －y －5＝0,此时,切点坐标为(2,－1)、当m ＝－12时,切线AB 的方程为2x ＋y －5＝0,此时,切点坐标为(2,1)、 三、探究与拓展14、已知Rt △ABC 的两条直角边BC ＝3,AC ＝4,PC ⊥平面ABC ,PC ＝95,则点P 到斜边AB 的距离是______、 答案 3解析 以C 为坐标原点,CA ,CB ,CP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系、则A (4,0,0),B (0,3,0), P ⎝⎛⎭⎫0，0，95, 所以AB →＝(－4,3,0),AP →＝⎝⎛⎭⎫－4，0，95,所以AP 在斜边AB 上的投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165,所以点P 到斜边AB 的距离为d ＝|AP →|2－⎝⎛⎭⎫1652＝16＋8125－25625＝3.15.如图,在五面体ABCDEF 中,F A ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ∥FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小； (2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角ACDE 的余弦值、(1)解 如图所示,以点A 为坐标原点,AB ,AD ,AF 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设AB ＝1,依题意得B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),E (0,1,1),F (0,0,1),M ⎝⎛⎭⎫12，1，12. BF →＝(－1,0,1),DE →＝(0,－1,1),于是cos 〈BF →,DE →〉＝|BF →·DE →||BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°. (2)证明 由AM →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12,CE →＝(－1,0,1), AD →＝(0,2,0),可得CE →·AM →＝0,CE →·AD →＝0. 因此,CE ⊥AM ,CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ,AM ⊂平面AMD ,AD ⊂平面AMD , 故CE ⊥平面AMD .又CE ⊂平面CDE ,所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解 设平面CDE 的法向量为u ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0，令x ＝1,可得u ＝(1,1,1)、 又由题设知,平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)、 所以,cos 〈u ,v 〉＝u·v |u||v |＝0＋0＋13×1＝33.因为二面角ACDE 为锐角,所以其余弦值为33.。
【苏教版】2018-2019学年高二数学选修2-1课时跟踪训练全集(含答案)
课时跟踪训练(一) 四 种 命 题1．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5>0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________________________．3．命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．4．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是__________． 5．给出下列命题：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“若{a n }既是等差数列，又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题；③“若m >1，则不等式x 2＋2x ＋m >0的解集为R ”的逆否命题．其中所有真命题的序号是________．6．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)奇函数的图像关于原点对称；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－3或x ＝1；(3)a <0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大．7．证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2.8．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，b 2－4ac <0，则该函数图像与x 轴有交点．答 案1．解析：①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命题．答案：①③⑤ ⑤2．若|a |＝|b |，则a ＝－b3．解析：逆命题：对于正数a ，若lg a >0，则a >1.否命题：对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0.逆否命题：对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1.根据对数的性质可知都是真命题．答案：44．解析：将条件与结论分别否定，再交换即可．答案：若tan α≠1，则α≠π45．解析：①的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{a n }中，若a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0……；对于③当m >1时，Δ＝4－4m <0恒成立，x 2＋2x ＋m >0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．答案：①③6．解：(1)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称，是真命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－3或x ＝1，是假命题．(3)若a <0，则函数y ＝ax ＋b 的值随着x 值的增大而增大，是假命题．7．证明：将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m ＋n >2，则m 2＋n 2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2， 所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．8．解：(1)该命题为真．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．(2)该命题为假．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点，则b2－4ac<0，为假．否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则函数图像与x轴无交点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无交点，则b2－4ac≥0，为假．课时跟踪训练(二)充分条件和必要条件1．(安徽高考改编)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；③“a<5”是“a<3”的必要条件；④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．其中真命题的序号为________．4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的____________条件．5．若p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．6．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.7．求直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件．8．已知p：－6≤x－4≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．答 案1．解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0，因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．解析：由1×3－a ×(a －2)＝0，得a ＝3或－1，而a ＝3时，两条直线重合，所以a ＝－1.答案：－13．解析：①“a ＝b ”是ac ＝bc 的充分不必要条件，故①错，②a >b 是a 2>b 2的既不充分也不必要条件，故②错．③④正确．答案：③④4．解析：由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．解析：p ：0<x <3，q ：x <3＋m 2， 若p 是q 的充分不必要条件，则3＋m 2≥3，即m ≥3. 答案：[3，＋∞)6．证明：(1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.7．解：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3＝0，3x －5y ＋1＝0，得交点P (174，114)． 若直线l ：ax －y ＋b ＝0经过点P ，则a ×174－114＋b ＝0.∴17a ＋4b ＝11.设a ，b 满足17a ＋4b ＝11，则b ＝11－17a 4， 代入方程ax －y ＋b ＝0，得ax －y ＋11－17a 4＝0， 整理，得⎝⎛⎭⎫y －114－a ⎝⎛⎭⎫x －174＝0. ∴直线l ：ax －y ＋b ＝0恒过点⎝⎛⎭⎫174，114，此点即为l 1与l 2的交点．综上，直线l ：ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1：2x －2y －3＝0和l 2：3x －5y ＋1＝0交点的充要条件为17a ＋4b ＝11.8．解：p ：－6≤x －4≤6⇔－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为q 是p 的充分不必要条件．即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，如图，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的范围为{m |0<m ≤3}．课时跟踪训练(三) “且”“或”“非”1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是________．2．如果原命题是“p 或q ”的形式，那么它的否定形式是________________________．3．由命题p ：6是12的约数，q ：6是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是 _________________________________________________________________________， “p 且q ”形式的命题是____________________________________________________， “非p ”形式的命题是______________________________________________________．4．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是_____________________， 否命题是__________________________________________________________________．5．分别用“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”填空：(1)命题“非空集A ∩B 中的元素既是A 中的元素，也是B 中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．6．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)12可以被3或4整除；(2)3是12和15的公约数．7．分别写出由命题p：方程x2－4＝0的两根符号不同，q：方程x2－4＝0的两根绝对值相等构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．8．写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.答案1．解析：正方形的两条对角线互相垂直并且平分，是p且q的形式．答案：p且q2．綈p且綈q3．6是12或24的约数6是12的约数且是24的约数6不是12的约数4．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除5．解析：(1)命题可以写为“非空集A ∩B 中的元素是A 中的元素，且是B 中的元素”，故填p 且q ；(2)“是A 中元素或B 中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p 或q ；(3)“不是A 中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p .答案：(1)p 且q (2)p 或q (3)非p6．解：(1)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：12可以被3整除；q ：12可以被4整除．(2)这个命题是“p 且q ”的形式，其中p ：3是12的约数；q ：3是15的约数．7．解：p 或q ：方程x 2－4＝0的两根符号不同或绝对值相等．p 且q ：方程x 2－4＝0的两根符号不同且绝对值相等．非p ：方程x 2－4＝0的两根符号相同．8．解：(1)否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零；否命题：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2≠0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零．(3)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0；否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.课时跟踪训练(四) 含逻辑联结词的命题的真假判断1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________．①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题2．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下面为真命题的是________．①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q .3．已知命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p 且q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q .6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)，q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)．7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若q ⇒綈p ，求实数a 的取值范围．8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数，分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)p ∨q 为真命题；(2)“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假．答 案1．解析：p 是真命题，则綈p 是假命题．q 是假命题，则綈q 是真命题．故p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题．答案：①②③2．解析：当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2，此时，a x <log a x ，故p 为假命题．命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨((綈q )为真命题．答案：②3．解析：命题p 是假命题，因为当a <0或a ＝0时解集与已知不同；命题q 也是假命题，因为不知道a ，b 的大小关系．所以只有非p 是真命题．答案：非p4．解析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以綈p 且綈q 为真命题，綈p 或綈q 为真命题．答案：③④5．解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．答案：①6．解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数；p 且q ：5是有理数且5是整数；非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)．因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．7．解：(1)由于a ＝1，则x 2－4ax ＋3a 2<0⇔x 2－4x ＋3<0⇔1<x <3.所以p ：1<x <3.解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3得2<x <3， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a >0，x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔x ≤a 或x ≥3a ，所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，由(1)知q ：2<x ≤3，设B ＝{x |2<x ≤3}．由于q ⇒綈p ，所以B A ，所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥3， 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1.① 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.② (1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－12或a ＞13； ∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13. (2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－12. ∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 13＜a ≤1或－1≤a ＜－12.课时跟踪训练(五) 量 词1．下列命题：①有的质数是偶数；②与同一平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形的三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(只填序号)2．下列命题中的假命题是________．①∀x ∈R,2x －1>0； ②∀x ∈N *，(x －1)2>0；③∃x ∈R ，lg x <1；④∃x ∈R ，tan x ＝2.3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题：(1)实数的平方大于或等于0： _________________________________________________；(2)存在一对实数，使3x －2y ＋1≥0成立： ________________________________.4．命题“∀x ∈R ＋，2x ＋1x＞a 成立”是真命题，则a 的取值范围是________． 5．已知“∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．6．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假：(1)对任意x ∈R ，z x ＞0(z >0)；(2)对任意非零实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则1x 1>1x 2； (3)∃α∈R ，使得sin(α＋π3)＝sin α； (4)∃x ∈R ，使得x 2＋1＝0.7．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12； (2)∃α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β；(3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ；(4)∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3.8．(1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．答 案1．解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题．答案：②④ ①③2．解析：对②，x ＝1时，(1－1)2＝0，∴②假．答案：②3．(1)∀x ∈R ，x 2≥0(2)∃x ∈R ，y ∈R,3x －2y ＋1≥04．解析：∵x ∈R ＋，∴2x ＋1x≥22，∵命题为真，∴a ＜2 2. 答案：(－∞，22)5．解析：当a ＝0时，不等式为1>0，对∀x ∈R,1>0成立．当a ≠0时，若∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1.综上，a 的取值范围为[0,1)． 答案：[0,1)6．解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题．(1)∵z x ＞0(z >0)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝－1，x 2＝1，x 1＜x 2，但1x 1<1x 2， ∴命题(2)是假命题．(3)当α＝π3时，sin(α＋π3)＝sin α成立， ∴命题(3)为真命题．(4)对任意x ∈R ，x 2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．7．解：(1)法一：当x ∈R 时，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34>12，所以该命题是真命题．法二：x 2－x ＋1>12⇔x 2－x ＋12>0，由于Δ＝1－4×12＝－1<0，所以不等式x 2－x ＋1>12的解集是R ，所以该命题是真命题．(2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22，此时cos (α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题． (3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题．(4)当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，即∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3，所以该命题是真命题．8．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R .∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－ 2. 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立．∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R .∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2， 2 ]， 又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解．∴只要m <2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．课时跟踪训练(六) 含有一个量词的命题的否定1．(重庆高考改编)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是______________．2．命题“∃x ∈∁R Q ，x 3∈Q ”的否定是________________．3．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0”的否定是_________________________________．4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是___________________．5．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．6．设语句q (x )：cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x ： (1)写出q ⎝⎛⎭⎫π2，并判定它是不是真命题；(2)写出“∀a ∈R ，q (a )”，并判断它是不是真命题．7．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等．8．∀x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围．答案1．解析：因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x2<0”．答案：存在x∈R，使得x2<02．解析：存在性命题的否定是全称命题．答案：∀x∈∁R Q，x3∉Q3．解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：∃x∈R，x2－x＋3≤04．解析：此命题是一个全称命题，全称命题的否定是存在性命题．故该命题的否定是：“存在能被2整除的整数不是偶数”．答案：存在能被2整除的整数不是偶数5．解析：该命题p的否定是綈p：“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1>0的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)6．解：(1)q ⎝⎛⎭⎫π2：cos ⎝⎛⎭⎫π2－π2＝sin π2， 因为cos 0＝1，sin π2＝1， 所以q ⎝⎛⎭⎫π2是真命题．(2)∀a ∈R ，q (a )：cos ⎝⎛⎭⎫a －π2＝sin a ， 因为cos ⎝⎛⎭⎫a －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－a ＝sin a ， 所以“∀a ∈R ，q (a )”是真命题．7．解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题． (2)这一命题的否定形式是綈q ：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0.利用配方法可以验证綈q 是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r ：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r 是一个假命题．8．解：已知不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0.①令t ＝2x ，∵x ∈[－1,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，则不等式①化为：t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2，原命题等价于：∀t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，a >t 2－2t ＋2恒成立，令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，当t∈⎣⎡⎦⎤12，4时，y max ＝10.所以只须a >10即可．即所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)．课时跟踪训练(七) 圆锥曲线1．平面内到一定点F 和到一定直线l (F 在l 上)的距离相等的点的轨迹是________________________．2．设F 1、F 2为定点，PF 1－PF 2＝5，F 1F 2＝8，则动点P 的轨迹是________．3．以F 1、F 2为焦点作椭圆，椭圆上一点P 1到F 1、F 2的距离之和为10，椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2，则P 2F 1＝________.4．平面内动点P 到两定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离之差为m ，若动点P 的轨迹是双曲线，则m 的取值范围是________．5．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1、F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________．6．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过F 作直线与抛物线相交于A 、B 两点，试判断以AB 为直径的圆与l 的位置关系．7．动点P (x ，y )的坐标满足(x －2)2＋y 2＋(x ＋2)2＋y 2＝8.试确定点P 的轨迹．8．在相距1 600 m 的两个哨所A ，B ，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时间早3 s ．试判断爆炸点在怎样的曲线上？答 案1．过点F 且垂直于l 的直线2．解析：∵5＜8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线．答案：双曲线3．解析：∵P 2在椭圆上，∴P 2F 1＋P 2F 2＝10，又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5.答案：54．解析：由题意可知，|m |＜4，且m ≠0，∴－4<m <4，且m ≠0.答案：(－4,0)∪(0,4)5．解析：∵PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝(202)2＝100.答案：1006．解：如图，取AB 的中点O2，过A 、B 、O 2分别作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，O 2O 1⊥l ，根据抛物线的定义，知AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，∴O 2O 1＝AA 1＋BB 12＝AF ＋BF 2＝AB 2＝R (R 为圆的半径)， ∴以AB 为直径的圆与l 相切．7．解：设A (2,0)，B (－2,0)， 则(x －2)2＋y 2表示P A ，(x ＋2)2＋y 2表示PB ，又AB ＝4，∴P A ＋PB ＝8＞4，∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．8．解：由题意可知点P 离B 比离A 远，且PB －P A ＝340×3＝1 020 m ，而AB ＝1 600 m ＞1 020 m ，满足双曲线的定义，∴爆炸点应在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近A 的一支上．课时跟踪训练(八) 椭圆的标准方程1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．2．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.5．已知P 为椭圆x 225＋4y 275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)．7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．答 案1．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±320. 答案：⎝⎛⎭⎫0，±320 3．解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°， 即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34. 答案：25 346．解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． ∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5.∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)法一：由9x 2＋5y 2＝45，得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43，所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)， 将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧ x P＝x ，y P ＝54y . ∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25. 即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. 8．解：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________________________________________________________________________．3．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．5．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．6．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．答 案1．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：332．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝13．解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4.故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距4．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2.所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．解析：设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a 2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．解：设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4b 2＝1.① 由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a 2＋4×2516a 2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x 225＋y 216＝1.7．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 8．解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a.设P (－c ，b 2a )，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－ba，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.课时跟踪训练(十) 双曲线的标准方程1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.3．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．4．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是__________． 6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．8．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．答 案1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF1F 2⇒12×PF 2×r＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3.答案：－3<k <34．解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF .∴|1MF |2＋|2MF |2＝40.∴(|1MF |－|2MF |)2＝|1MF |2－2|1MF |·|2MF |＋|2MF |2＝40－2×2＝36.∴||1MF |－|2MF ||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2 ＝⎪⎪⎪⎪(414)2－ (94)2＝8，即2a ＝8，则a ＝4. 又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33.8．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sinC ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．课时跟踪训练(十一) 双曲线的几何性质1．(陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54.则m ＝________.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．3．焦点为(0,6)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是___________．4．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为____________________．5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率e 的取值范围是________．6．根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点(154，3)，且一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0.(2)P (0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.7．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)求△F 1MF 2的面积．答 案1．解析：∵a ＝4，b ＝m ，∴c 2＝16＋m ，e ＝ca ＝16＋m 4＝54，∴m ＝9.答案：92．解析：根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以结果为2或233. 答案：2或2333．解析：由x 22－y 2＝1，得双曲线的渐近线为y ＝±22x .设双曲线方程为：x 22－y 2＝λ(λ<0)，∴x 22λ－y 2λ＝1.∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.故双曲线方程为y 212－x 224＝1. 答案：y 212－x 224＝14．解析：∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12，∴y ＝±12x .答案：y ＝±12x5．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，由此解得|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即c ≤2a ，e ＝ca≤2.又e >1，∴离心率e 的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]6．解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0， ∴可设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)．∵双曲线经过点⎝⎛⎭⎫154，3，∴19×15216－3216＝λ.即λ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x 轴上， ∵PF 1⊥PF 2，且OP ＝6， ∴2c ＝F 1F 2＝2OP ＝12，∴c ＝6. 又P 与两顶点连线夹角为π3，∴a ＝|OP |·tan π6＝2 3，∴b 2＝c 2－a 2＝24.故所求双曲线的标准方程为x 212－y 224＝1.7．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由PF 2＝QF 2，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|， ∴b 2a ＝2c ，∴b 2＝2ac . 由a 2＋b 2＝c 2， 得c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c a －1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.8．解：(1)∵离心率e ＝2，∴设所求双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，知λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1.(2)若点M (3，m )在双曲线上，则32－m 2＝6，∴m 2＝3. 由双曲线x 2－y 2＝6知，F 1(2 3，0)，F 2(－2 3，0)， ∴MF 1―→·MF 2―→＝(2 3－3，－m )·(－2 3－3，－m ) ＝9－(2 3)2＋m 2＝0.∴MF 1―→⊥MF 2―→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12×2c ×|m |＝c |m |＝2 3×3＝6.课时跟踪训练(十二) 抛物线的标准方程1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是________．2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上的点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为________．3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．4．抛物线x 2＝－ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值是________．5．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．6．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5.7．设抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程．。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷 Word版含答案
章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．椭圆x24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝33x 的距离是________．答案12解析∵椭圆x24＋y23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x －3y ＝0的距离d ＝33＋9＝12.2．已知F 1，F 2分别是椭圆x2k ＋2＋y2k ＋1＝1的左、右焦点，弦AB 过F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为________．答案12解析△ABF 2的周长为4a ，且4a ＝8，所以a ＝2，得k ＝2，所以b 2＝3， 所以e ＝ca ＝4－32＝12.3．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.答案2解析设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2， 则依题意有焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝2，∴x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故BF ＝AF ＝2.4．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是________．答案32解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.5．已知椭圆x2a2＋y216＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．答案20解析由椭圆定义知，△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5，∴△ABF 2的周长为20.6．已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案44解析由题意，因为双曲线的右焦点(5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，利用双曲线的定义得FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，由P A ＋QA ＝PQ ＝2×8＝16，得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.7．已知双曲线x2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．答案y ＝±33x解析∵y 2＝8x 焦点坐标是(2,0)，∴双曲线x2a2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，∴a ＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x .8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________．答案3x 2－y 2＝1解析由题意可得e ＝ca＝2，则c ＝2a ，设其一焦点为F (c,0)，渐近线方程为bx ±ay ＝0，那么d ＝bc b2＋a2＝bcc＝b ＝1， 而c 2＝4a 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝13，则所求的双曲线方程为3x 2－y 2＝1.9．已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足PA →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程为________．答案x24＋y22＝1解析设点P (x ，y )，则PA →＝(1－x,1－y )，PB →＝(－1－x ，－1－y )．所以PA →·PB →＝(1－x )(－1－x )＋(1－y )(－1－y )＝x 2＋y 2－2.由已知得x 2＋y 2－2＝x22，即x24＋y22＝1.10．已知椭圆x225＋y216＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，且椭圆上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则△PF 1F 2的面积为________．答案45解析点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，不妨记PF 1＝3，则PF 2＝7，又2c ＝6， 所以cos ∠PF 2F 1＝72＋62－322×6×7＝1921，从而可得sin ∠PF 2F 1＝4521，所以＝12×6×7×sin ∠PF 2F 1＝4 5.11．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．答案57解析在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ，所以a ＝7，则e ＝c a ＝57.12．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sinA ＋sinBsinC的值等于________．答案3解析在△ABC 中，由正弦定理得sinA ＋sinB sinC ＝CB ＋CAAB，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sinA ＋sinB sinC ＝2a 2c ＝1e＝3.13．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．答案138解析由P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138.14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x23＋y22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线方程是x ＝－18；④双曲线y249－x225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中所有不正确命题的序号是________．答案①②④解析①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝33；③正确；④渐近线方程为y ＝±75x . 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，离心率e ＝223，求椭圆的标准方程．解(1)当焦点在x 轴上时，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．∵离心率e ＝223，∴c a ＝223.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3b . 又∵椭圆经过点P (3,0)，∴9a2＋0b2＝1，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．同理可得a ＝3b .又∵椭圆经过点P (3,0)，∴0a2＋9b2＝1，∴b 2＝9，∴b ＝3，a ＝9.∴椭圆的标准方程为y281＋x29＝1.综上，椭圆的标准方程为x29＋y 2＝1或y281＋x29＝1.16．(14分)求与椭圆x2144＋y2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解椭圆x2144＋y2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y24－x221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .17．(14分)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程． 解设椭圆的方程为x2a21＋y2b21＝1，双曲线的方程为x2a22－y2b22＝1，焦距2c ＝213，由已知得a 1－a 2＝4，c a1∶ca2＝3∶7，解得a 1＝7，a 2＝3，c ＝13，所以b 21＝36，b 2＝4，所以两条曲线的方程分别为x249＋y236＝1，x29－y24＝1.18．(16分)已知直线y ＝x －4被抛物线y 2＝2mx (m ≠0)截得的弦长为62，求抛物线的标准方程．解设直线与抛物线的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2mx ，y ＝x －4，得x 2－2(4＋m )x ＋16＝0，Δ＝4(4＋m )2－64＞0，所以x 1＋x 2＝2(4＋m )，x 1x 2＝16，所以弦长为错误!＝错误!＝错误!＝2错误!.由2错误!＝6错误!，解得m ＝1或m ＝－9.经检验，m ＝1或m ＝－9均符合题意且满足Δ＞0. 所以所求抛物线的标准方程为y 2＝2x 或y 2＝－18x .19．(16分)已知椭圆C 的左，右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标．解(1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a2－c2＝1， 所以椭圆C 的方程为x23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x23＋y2＝1得x ＝±错误!，所以圆P 的半径为错误!.当圆P 与x 轴相切时，|t |＝错误!，解得t ＝±错误!，所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，±32.20．(16分)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴的一个端点A 与短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM . (1)求椭圆的离心率；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是椭圆的右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．解(1)依题意知F 1点坐标为(－c,0)，设M 点坐标为(－c ，y )．若A 点坐标为(－a,0)，则B 点坐标为(0，－b )，则直线AB 的斜率k ＝－ba.错误!则有y －c＝－b a ，∴y ＝bc a .①又∵点M 在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴c2a2＋y2b2＝1.②由①②得c2a2＝12，∴c a ＝22，即椭圆的离心率为22.(2)设QF 1＝m ，QF 2＝n ，∠F 1QF 2＝θ，则m ＋n ＝2a ，F 1F 2＝2c .在△F 1QF 2中，cos θ＝m2＋n2－4c22mn ＝错误!＝错误!－1≥错误!－1＝0.当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴0≤cos θ＜1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2.又当Q 为椭圆的左、右顶点时，θ＝0，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.即∠F 1QF 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 §1.2 第2课时 Word版含答案
第2课时“非”学习目标1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一逻辑联结词“非”思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根．(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数．答案两组命题中，命题q都是命题p的否定．梳理(1)命题的否定：一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p 的否定”．(2)命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．知识点二“p∧q”与“p∨q”的否定对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“∨”变为“∧”．复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：(1)确定复合命题的构成形式；(2)判断其中各简单命题的真假；(3)利用真值表判断复合命题的真假．知识点三命题的否定与否命题思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p的否定：平行四边形的对角线不相等．命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定原命题的结论，不能否定原命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定．梳理(1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定．①“綈p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“綈p”与否命题的区别；②p与“綈p”的真假必定相反；③“綈p”必须包含p的所有对立面．(2)否命题：求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定．1．命题的否定和否命题是一回事．(×)2．命题“方程x2－3＝0没有有理根”的否定为“方程x2－3＝0有有理根”．(√)3．命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的否定为“若a2＞b2，则|a|＜|b|”．(×)类型一綈p命题及构成形式例1写出下列命题的否定形式．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.引申探究写出本例中所给命题的否命题．解(1)面积不相等的三角形不都是全等三角形．(2)若m2＋n2≠0，则实数m，n不全为零．(3)若xy≠0，则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．跟踪训练1写出下列命题的否定形式．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3<2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数．解(1) 綈p：y＝sin x不是周期函数．(2) 綈p：3≥2.(3) 綈p：空集不是集合A的子集．(4) 綈p：5是75的约数．类型二含逻辑联结词的命题的真假判断例2分别判断由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；q：函数y＝2x是增函数．(2)p：7＞7；q：7＝7.考点綈p形式命题真假性的判断题点判断綈p的真假解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．引申探究在本例条件不变的前提下，对(1)判断“(綈p)∧q”“(綈q)∨p”的真假；对(2)判断“p∧(綈q)”“p∨(綈q)”“(綈p)∧(綈q)”“(綈p)∨(綈q)”的真假．解(1)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，即(綈p)∧q为真命题，(綈q)∨p为假命题．(2)因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以綈p是真命题，綈q是假命题，所以p∧(綈q)为假命题，p∨(綈q)为假命题；(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．反思与感悟判断复合命题真假的关键是准确判断简单命题的真假．跟踪训练2已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①(綈p)∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．考点“綈p”形式命题真假性的判断题点判断綈p的真假答案④解析由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题．类型三命题的否定的真假应用例3已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．解命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 错误!⇔错误!，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧ a>0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a2－4a<0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≤－1，a<0或a≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．反思与感悟由真值表可判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假也可判断p ，q 的真假情况．一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集． 跟踪训练3已知命题p ：|x 2－x |≤2，q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“綈p ”同时为假命题，则x 的取值范围为________． 答案{x |－1<x <2且x ≠0,1}解析由p 得－1≤x ≤2，又q ：x ∈Z ，得p ∧q ：x ∈{－1,0,1,2}．綈p ：x <－1或x >2，因为“p ∧q ”与“綈p ”同时为假，所以p 真且q 假，故－1<x <2且x ≠0,1.1．已知命题p ：2＋2＝5，命题q ：3>2，则下列判断正确的是________．(填序号) ①“p ∨q ”为假，“綈q ”为假； ②“p ∨q ”为真，“綈q ”为假； ③“p ∧q ”为假，“綈p ”为假； ④“p ∧q ”为真，“p ∨q ”为假． 答案②解析显然p 假q 真，故“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真，“綈q ”为假，故②正确．2．命题“若a >b ，则3a >3b ”的否命题是________________，命题的否定为________________． 答案若a ≤b ，则3a ≤3b 若a >b ，则3a ≤3b 3．“a ≥5且b ≥2”的否定是________． 答案a <5或b <2解析“p ∨q ”的否定是“(綈p )∧綈q ”，而“p ∧q ”的否定为“(綈p )∨(綈q )”．4．给出命题p ：直线ax ＋3y ＋1＝0与直线2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行的充要条件是a ＝－3，命题q ：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.关于以上两个命题，下列结论中正确的是________．(填序号) ①命题“p ∧q ”为真；②命题“p ∨q ”为假； ③命题“p ∨(綈q )”为真；④命题“p ∧(綈q )”为真． 答案③④解析依题意得命题p 为真命题，命题q 为假命题．故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∨(綈q )为真，p ∧(綈q )亦为真，只有③④正确． 5．已知a ＞0，且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，q ：抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，若(綈p )∧q 为真命题，则实数a 的取值范围为________________． 考点“非p ”形式命题真假性的判断 题点由“非p ”命题的真假求参数的取值范围答案⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞解析由函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减，知0＜a ＜1. 若抛物线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点， 则Δ＝(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.∵(綈p )∧q 为真命题，∴p 为假命题，且q 为真命题，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＜12或a ＞52，∴a ＞52.∴所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．2．“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论．否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假．一、填空题1．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出綈p 为真．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(填序号)答案②③解析由不等式性质知：命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q 为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题①p1∨p2，②p1∧p2，③(綈p1)∨p2和④p1∧(綈p2)中，为真命题的是________．(填序号)答案①④解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴①p1∨p2是真命题，②p1∧p2是假命题，∴③(綈p1)∨p2为假命题，④p1∧(綈p2)为真命题．∴为真命题的是①④.4．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)①p假q真；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真；④“非p”为真．答案②解析由(x＋2)(x－3)<0，得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p 真． ∵∅≠{0}，∴q 为假， ∴“p ∨q ”为真．5．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 答案[1,2)解析x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题， 所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．6．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的________条件． 答案充分不必要解析p ：{x |x >1或x <－3}，q ：{x |2<x <3}． 则綈p ：{x |－3≤x ≤1}，綈q ：{x |x ≥3或x ≤2}． ∴(綈p )⇒(綈q )且(綈q )⇏(綈p )． ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．7．若命题p ：x ∈{1,2,3,4}，命题q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则p 是綈q 的____________条件． 答案充分不必要解析∵q ：x ∈{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈q ：x ∈{x |0<x <5，x ∈R }， ∴p ⇒綈q 但綈q ⇒/p .8．已知p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“綈q ”同时为假，则x 的值为________． 答案－1,0,1,2解析∵p 且q 为假，∴p ，q 中至少有一个为假．又“綈q ”为假，∴q 为真，进而可知p 为假．由p 假q真可得⎩⎪⎨⎪⎧ |x2－x|<6，x∈Z，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<3，x∈Z，∴x 的取值为－1,0,1,2.9．命题p ：函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p 是假命题，则a 的取值范围是__________________________________________、_______________________．考点“非p ”形式命题真假性的判断 题点由“非”命题的真假求参数的取值范围 答案(－∞，－3]解析由题意，知－错误!≥4，解得a ≤－3.10．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(x ＋1)]为偶函数；命题q ：函数y ＝ex －1ex ＋1为偶函数，下列说法正确的是________．(填序号)①p ∨q 是假命题；②(綈p )∧q 是假命题；③p ∧q 是真命题；④(綈p )∨q 是真命题． 答案②解析p 中，f (－x )＝ln [(1＋x )(1－x )]＝f (x )，又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p 为真；q 中，f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－exex ＋1＝－f (x )，定义域为R ，故函数为奇函数，故q 为假，故(綈p )∧q 为假． 11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b⊥c ，则a∥c .对以上两个命题，下列结论中：①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案②解析命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面或相交． 二、解答题12．写出下列命题的否定及否命题．(1)若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 全为零； (2)若x <0，则x 2>0.解(1)命题的否定：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． 否命题：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2≠0， 则实数m ，n ，x ，y 不全为零． (2)命题的否定：若x <0，则x 2≤0. 否命题：若x ≥0，则x 2≤0.13已知p ：关于x 的不等式|2x －3|<m (m >0)，q ：x (x －3)<0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解由|2x －3|<m (m >0)，得3－m 2<x <3＋m2.由x (x －3)<0，得0<x <3.若綈p 是綈q 的必要不充分条件， 则q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，3－m2>0，3＋m 2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，3－m2≥0，3＋m 2＜3，解得0<m <3.故实数m 的取值范围是(0,3)． 三、探究与拓展14．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则下列说法正确的是________．(填序号)①p ∧q 是真命题；②p ∨q 是假命题；③綈p 是假命题；④綈q 是假命题． 考点“p ∨q ”“p ∧q ”形式命题真假性的判断 题点判断“p ∨q ”“p ∨q ”形式命题的真假 答案③解析因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题．因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 是假命题，綈q 是真命题．15．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x －3<0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}． (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若綈p 是綈q 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解(1)A ＝{x |2<x <3}，当a ＝12时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x<94.∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≤12或x≥94，∴(∁UB )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪94≤x<3.(2)由綈p 是綈q 的必要条件，得q 是p 的必要条件， 即p ⇒q ，可知A ⊆B ，由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}．∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤2，a2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1,2]．。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案
§2.2椭圆 2.2.1椭圆的标准方程学习目标1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形．知识点椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a >b >c 一定成立吗？答案不一定，只需a >b ，a >c 即可，b ，c 的大小关系不确定．梳理(1)椭圆标准方程的两种形式(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y25＋x24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距F 1F 2＝2.1．椭圆的标准方程只与a ，b 的大小有关．(×)2．椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a ，b ，c 且a 2＝b 2＋c 2.(√)类型一求椭圆的标准方程命题角度1用待定系数法求椭圆的标准方程例1求焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程．解方法一①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b2＝1，0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝15，b2＝14.由a >b >0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a2＋0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝14，b2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.方法二设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎪⎨⎪⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1， 故椭圆的标准方程为y214＋x215＝1.引申探究求与椭圆x225＋y29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．解据题可设其方程为x225＋λ＋y29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)，故所求的椭圆方程为x236＋y220＝1.反思与感悟1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．2．与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x2a2＋λ＋y2b2＋λ＝1(a >b >0，λ>－b 2)，与椭圆y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y2a2＋λ＋x2b2＋λ＝1(a >b >0，λ>－b 2)．跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； (2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)． 解(1)设其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．依题意得，2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x2913＋y29116＝1. (3)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a2＝1，1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝1，∴所求椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.命题角度2用定义法求椭圆的标准方程 例2已知一动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心M 的轨迹方程．解依题意得C 1(－3,0)，r 1＝1，C 2(3,0)，r 2＝9， 设M (x ，y )，动圆的半径为R ， 则MC 1＝1＋R ，MC 2＝9－R ， 故MC 1＋MC 2＝10>6＝C 1C 2，据椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16. 故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x225＋y216＝1.反思与感悟用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a ，b 的值． 跟踪训练2已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过点P 作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2， 不妨取PF 1＝453，PF 2＝253，由椭圆的定义，知2a ＝PF 1＋PF 2＝25.即a ＝5.由PF 1>PF 2知，PF 2垂直于焦点所在的坐标轴．在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝PF 21－PF 2＝609，∴c 2＝53，∴b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上， 故所求的椭圆方程为x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.类型二椭圆中焦点三角形问题例3已知P 是椭圆y25＋x24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2，∴c ＝a2－b2＝1，∴F 1F 2＝2.又由椭圆的定义，知PF 1＋PF 2＝2a ＝25.在△F 1PF 2中，由余弦定理得F 1F 2＝PF 21＋PF 2－2PF 1·PF 2cos ∠F 1PF 2， 即4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2cos30°， 即4＝20－(2＋3)PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝16(2－3)．∴＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2 ＝12×16(2－3)×12＝8－43.反思与感悟1.在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．2．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义MF 1＋MF 2＝2a 及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 跟踪训练3在椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点P 的坐标为(x 0，y 0)，求证：△PF 1F 2的面积＝b 2tan α2.证明在△PF 1F 2中，根据椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝2a . 两边平方，得PF 21＋PF 2＋2PF 1·PF 2＝4a 2.① 根据余弦定理，得PF 21＋PF 2－2PF 1·PF 2cos α＝4c 2.② ①－②，得(1＋cos α)PF 1·PF 2＝2b 2， 所以PF 1·PF 2＝2b21＋cosα.根据三角形的面积公式，得＝12PF 1·PF 2sin α＝12·2b21＋cosα·sin α＝b 2·sinα1＋cosα. 又因为sinα1＋cosα＝2sin α2cos α22cos2α2＝sinα2cosα2＝tan α2，所以＝b 2tan α2.类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例4已知B ，C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解以BC 的中点O 为坐标原点，过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由BC ＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由AB ＋AC ＋BC ＝18得AB ＋AC ＝10>8＝BC ，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x225＋y29＝1(y ≠0)．反思与感悟求动点的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．跟踪训练4如图，设定点A (6,2)，P 是椭圆x225＋y29＝1上的动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．考点椭圆标准方程的求法 题点定义法求椭圆的标准方程解设M (x ，y )，P (x 1，y 1)． ∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2x －6，y1＝2y －2，又∵x2125＋y219＝1，∴点M 的轨迹方程为错误!＋错误!＝错误!.1．椭圆8x 2＋3y 2＝24的焦点坐标为________________．答案(0，－5)，(0，5)解析椭圆方程可化为y28＋x23＝1，它的焦点位于y 轴上，且c ＝5，故两焦点坐标分别为(0，－5)，(0，5)．2．已知椭圆x220＋y2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．答案11或29解析当焦点在x 轴上时，20－k ＝32，解得k ＝11；当焦点在y 轴上时，解得k －20＝32，即k ＝29. 3．设P 是椭圆x216＋y212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形．答案直角解析根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8. 又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3. 而F 1F 2＝4，所以F 1F 2＋PF 2＝PF 21，所以△PF 1F 2是直角三角形．4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件．答案充要解析方程可化为x21m＋y21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5．已知椭圆x249＋y224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________.答案48解析依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10.由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得PF 21＋PF 2＝F 1F 2，即PF 21＋PF 2＝100.又由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝14，∴(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100，即196－2PF 1·PF 2＝100.解得PF 1·PF 2＝48.1．椭圆的定义式：PF 1＋PF 2＝2a (2a >F 1F 2)．在解题过程中将PF 1＋PF 2看成一个整体，可简化运算． 2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义MF 1＋MF 2＝2a (M 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M (x 0，y 0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算．一、填空题1．椭圆x2m ＋y215＝1的焦距等于2，则m 的值为________．答案16或14解析由m －15＝±1得m ＝16或14.2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为________． 答案1解析原方程可化简为x 2＋y25k＝1，因为c 2＝5k－1＝4，得k ＝1.3．已知椭圆x2a2＋y22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的标准方程为________．答案x26＋y22＝1解析由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6， ∴所求椭圆的方程为x26＋y22＝1.4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4解析由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0<α<π4.5．过椭圆9x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的三角形ABF 2的周长是________． 答案4解析方程可化为x219＋y 2＝1，∴焦点在y 轴上，且a 2＝1，∴a ＝1.∴△ABF 2的周长为AF 1＋AF 2＋BF 2＋BF 1＝2a ＋2a ＝4a ＝4. 6．设F 1，F 2分别是椭圆x225＋y216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________． 答案15解析由椭圆定义知PM ＋PF 1＝PM ＋2×5－PF 2， 而PM －PF 2≤MF 2＝5， 所以PM ＋PF 1≤2×5＋5＝15. 7．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左，右两个焦点，若椭圆C 上的点A⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是____________． 答案x24＋y23＝1解析由AF 1＋AF 2＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x24＋y2b2＝1，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x24＋y23＝1.8．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x24＋y29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为________________． 答案y28＋x23＝1解析椭圆x24＋y29＝1的焦点在y 轴上，且c ＝9－4＝5，故所求椭圆的焦点在y 轴上． 又∵它过点(3，0)，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝8.故这个椭圆的标准方程为y28＋x23＝1.9．“1<m <3”是“方程x2m －1＋y23－m ＝1表示椭圆”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案必要不充分解析当方程x2m －1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m>0，m －1≠3－m ，所以1<m <3且m ≠2；当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．10．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 答案(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x21k2－1＋y213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k2－1＞0，1k2－1＜13.解得k ＞2或k ＜－2.11．若椭圆x2100＋y264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________． 答案6433解析由已知得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，F 1F 2＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝PF 21＋PF 2－2PF 1·PF 2·cos60°， 即144＝(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2， ∴PF 1·PF 2＝2563，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin60°＝6433.二、解答题12．点A 在椭圆x2900＋y2324＝1上运动，B (－4,0)，C (4,0)，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．解设G (x ，y )，A (x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋4＋x′3，y ＝y′3，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝3y. 又点A 在椭圆x2900＋y2324＝1上，∴错误!＋错误!＝1.故所求的轨迹方程为x2100＋y236＝1(y ≠0)．13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程． 解设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A, ∴F1A →·F2A →＝0，而F1A →＝(－4＋c,3)，F2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝AF 1＋AF 2 ＝错误!＋错误! ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.三、探究与拓展 14．已知F 1，F 2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若F 2A ＋F 2B ＝12，则AB ＝________. 答案8解析由题意，知(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝AB ＋AF 2＋BF 2＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得AB ＋(BF 2＋AF 2)＝20，即AB ＝8.15．已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m ，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m ，求这个椭圆的标准方程．解以两个焦点连线的中点为坐标原点，两焦点F 1，F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，依题意得，2a ＝3,2c ＝2.4，故a ＝1.5，c ＝1.2，所以b 2＝a 2－c 2＝0.81. 所以这个椭圆的标准方程为x22.25＋y20.81＝1.。
数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 章末复习 含答案
章末复习学习目标 1.梳理本章知识，整合知识网络.2.巩固圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质.3.能综合应用本章知识解决相关问题．1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹 平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)距离相等的点的轨迹 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个 两个 一个 离心率 0<e <1 e >1e ＝1 准线方程 x ＝±a 2cx ＝±a 2cx ＝－p2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小2．待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．也可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，其中当1A >1B 时，焦点在x 轴上，当1A <1B 时，焦点在y 轴上；双曲线方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，当1A <0时，焦点在y 轴上，当1B <0时，焦点在x 轴上．(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p 的大小．当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)，然后建立方程求出参数p 的值． 3．圆锥曲线的统一定义(1)定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离比等于常数e 的点的轨迹．当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e ＞1时，表示双曲线；当e ＝1时，表示抛物线． 其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． (2)对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)对应的准线方程分别为x ＝－a 2c ，x ＝a 2c.1．设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，P A －PB ＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线．(×) 2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(×)3．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根x 1，x 2(x 1＜x 2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率．(√) 4．已知方程mx 2＋ny 2＝1，则当m ＞n 时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆．(×) 5．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，116a .(√)类型一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________________． 考点 椭圆的标准方程 题点 由椭圆的几何特征求方程答案 x 216＋y 28＝1解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为AB ＋BF 2＋AF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝4a ＝16，故a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 反思与感悟 1.涉及椭圆，双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决． 2．涉及焦点，准线，离心率，圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题． 3．求轨迹问题，最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若AF ，BF ，CF 成等差数列，则下列说法正确的是________．(填序号) ①x 1，x 2，x 3成等差数列； ②y 1，y 2，y 3成等差数列； ③x 1，x 3，x 2成等差数列； ④y 1，y 3，y 2成等差数列． 答案 ①解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知：AF ＝AA ′，BF ＝BB ′，CF ＝CC ′. ∵2BF ＝AF ＋CF ， ∴2BB ′＝AA ′＋CC ′.又∵AA ′＝x 1＋p 2，BB ′＝x 2＋p 2，CC ′＝x 3＋p 2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，∴2x 2＝x 1＋x 3， ∴x 1，x 2，x 3成等差数列．类型二 圆锥曲线性质的应用例2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________． 答案 (1,3] 解析 如图所示，由PF 1＝2PF 2知P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ， 又PF 1＝2PF 2， ∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1，∴－1≤54－e 24<1，由e >1，解得1<e ≤3.反思与感悟 圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到解题中去．跟踪训练2 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是________．答案2解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，故b 2a 2＝1，所以c 2－a 2a 2＝1， 即e 2＝2，因为e ＞1，所以双曲线的离心率e ＝ 2.类型三 直线与圆锥曲线的位置关系问题例3 已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当直线AB 与x 轴不垂直时，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入椭圆方程x 2＋3y 2＝5，消去y 整理，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.则⎩⎨⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1·x 2＝3k 2－53k 2＋1.所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2 ＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2. 将上式整理，得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m 2 ＝⎝⎛⎭⎫2m －13(3k 2＋1)－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1).注意到MA →·MB →是与k 无关的常数， 从而有6m ＋14＝0，解得m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－1，233，⎝⎛⎭⎫－1，－233，当m ＝－73时，亦有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M ⎝⎛⎭⎫－73，0，使MA →·MB →为常数． 反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 章末复习 Word版含答案
章末复习学习目标 1.理解命题及四种命题的概念,掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念,掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、存在性命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定．1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题,关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义若p则q为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件．如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q,则称p是q的充分必要条件,简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件,则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件．即若p⇒q,q⇒r,则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性,但若p是q的充分条件,q是r的必要条件,则p与r的关系不能确定．3．简单的逻辑联结词与量词(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词,通常用符号“∀x ”表示“对任意x ”．(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词,通常用符号“∃x ”表示“存在x ”．(4)含有全称量词的命题叫做全称命题,含有存在量词的命题叫做存在性命题．1．已知命题p ：∀x ＞0,x 3＞0,那么綈p ：∃x ＞0,x 3≤0.(√) 2．命题“若x ＞0且y ＞0,则x ＋y ＞0”的否命题是假命题．(√) 3．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件．(×)4．“若a ＋b ≥2,则a ,b 中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题．(×)类型一 命题及其关系 例1 (1)有下列命题：①“若x ＋y >0,则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q ≤1,则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ①③(2)设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p ：若a ·b ＝0,b ·c ＝0,则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 考点 “p ∨q ”形式的命题 题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假 答案 ①解析 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题；命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题．故①为真命题．反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p 与綈p ”一真一假,“p ∨q ”一真即真,“p ∧q ”一假就假． 跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1,则x <－1或x >1”的逆否命题是________． 考点 四种命题题点 四种命题概念的理解 答案 若－1≤x ≤1,则x 2≤1(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②q 为真；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 考点 “p ∧q ”形式的命题 题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假 答案 ③解析 由题意知p 是假命题,q 是假命题,因此只有③正确． 类型二 充分条件与必要条件例2 已知p ：x －5x －3≥2,q ：x 2－ax ≤x －a ,若綈p 是綈q 的充分条件,求实数a 的取值范围．解 由p 得1≤x <3,≧q ：x 2－ax ≤x －a ,≨x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0, 即(x －1)(x －a )≤0, ①当a <1时,a ≤x ≤1； ②当a ＝1时,x ＝1； ③当a >1时,1≤x ≤a .≧綈p 是綈q 的充分条件,≨q 是p 的充分条件． 设q 对应集合A ,p 对应集合B ,则A ⊆B , 当a <1时,A ⊈B ,不合题意； 当a ＝1时,A ⊆B ,符合题意；当a >1时,1≤x ≤a ,要使A ⊆B ,则1<a <3. 综上所述,a 的取值范围为[1,3)．反思与感悟 若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件,即q 的充分条件是p ,p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”,则可认为p 的必然结果是q ,q 是p 的必然结果．则p ⇏q 易表述为以下几种说法： p 是q 的不充分条件,q 的不充分条件是p ； q 是p 的不必要条件,p 的不必要条件是q .跟踪训练2 已知命题p ：(4x －3)2≤1,命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0,若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围．解 由(4x －3)2≤1,得－1≤4x －3≤1,即12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0,得(x －a )(x －a －1)≤0,即a ≤x ≤a ＋1. 因为p 是q 的充分条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12 类型三 等价转化思想的应用例3 已知c >0且c ≠1,设p ：函数y ＝log c x 在(0,＋∞)上是减少的；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题,求c 的取值范围． 解 函数y ＝log c x 在(0,＋≦)上是减少的⇔0<c <1. 不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.≧x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，≨函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c , ≨2c >1且c ≠1,得c >12且c ≠1.如果p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12； 如果q 真p 假,则⎩⎪⎨⎪⎧c ＞1，c >12且c ≠1，解得c ＞1.≨c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪(1,＋≦)． 反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想,本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等,即以充要条件为基础,把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式,从而使复杂问题简单化、具体化．跟踪训练3 已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0,命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5,“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题,求实数x 的取值范围． 解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0,解得－1≤x ≤5.命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)．≧p 是q 的充分条件,≨[－1,5]⊆[1－m,1＋m ],≨⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5≤1＋m ，解得m ≥4, 则实数m 的取值范围为[4,＋≦)． (2)≧m ＝5,≨命题q ：－4≤x ≤6. ≧“p ∨q ”为真命题,“p ∧q ”为假命题, ≨命题p ,q 为一真一假．当p 真q 假时,可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ＞6，无解；当q 真p 假时,可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.因此x 的取值范围是[－4,－1)∪(5,6]． 类型四 分类讨论思想的应用例4 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围． 解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4,由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ＝4a 2－16<0,≨－2<a <2. 又≧函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数, ≨3－2a >1,≨a <1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，≨1≤a <2；②若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，≨a ≤－2.综上可知,所求实数a 的取值范围 为(－≦,－2]∪[1,2)．反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一,利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：其一,分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点,有利于对学生知识面的考查；其二,解分类讨论问题需要有一定的分析能力,一定的分类讨论思想与技巧,因此有利于对能力的考查；其三,分类讨论问题常与实际问题相联系．解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决,化成部分后,可以增加题设条件,这也是解分类讨论问题总的指导思想．跟踪训练4 已知a >0,a ≠1,设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0,＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点,如果p ∨q 为真,p ∧q 为假,求a 的取值范围． 解 方法一 由题意知,p 和q 有且只有一个为真．p 为真时,0＜a ＜1；≧y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点,≨Δ＝(2a －3)2－4＞0,得a ＜12或a ＞52,即q 为真时,0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真,且q 为假时,a ∈(0,1)∩⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52,即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)当p 为假,且q 为真时,a ∈(1,＋≦)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋≦,即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋≦. 综上,a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋≦. 方法二 ≧A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1},B ＝{a |q (a )}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52, ≨p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B , 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋≦.1．设命题p ：∃n ∈N *,n 2>2n ,则綈p 为_______________． 答案 ∀n ∈N *,n 2≤2n解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”,“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．2．已知命题p ：|x ＋1|>2,命题q ：x >a ,且綈p 是綈q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 答案 [1,＋∞)解析 綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件,即q ⇒p ,而p ⇏q ,命题p 化简为x >1或x <－3,所以当a ≥1时,q ⇒p . 3．给出以下四个判断：①若“p 或q ”为真命题,则p ,q 均为真命题；②命题“若x ≥4且y ≥2,则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6,则x ＜4且y ＜2”； ③若x ≠300°,则cos x ≠12；④命题“∃x ∈R ,e x ≤0”是假命题．其中是真命题的是________．(填序号) 考点 命题真假性的判断 题点 命题的真假性判断 答案 ④解析 若“p 或q ”为真命题,则p ,q 至少有一个为真命题,故①错误；命题“若x ≥4且y ≥2,则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6,则x ＜4或y ＜2”,故②错误；若x ≠300°,则cos x ≠12,错误,如x ＝60°≠300°,但cos 60°＝12；由指数函数的值域可知,命题“∃x ∈R ,e x ≤0”是假命题．4．对任意x ∈[－1,2],x 2－a ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________． 考点 全称命题的真假性判断 题点 恒成立求参数的取值范围 答案 (－∞,0]解析 由x 2－a ≥0,得a ≤x 2,故a ≤(x 2)min ,得a ≤0.5．分别指出下列各组命题的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的新命题的真假． (1)p ：2>2,q ：2＝2；(2)p ：∅是{0}的真子集,q ：0∈∅；(3)p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点,q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根． 考点 “或”“且”“非”的综合问题 题点 判断复合命题的真假解 (1)≧p ：2>2,是假命题,q ：2＝2,是真命题, ≨命题p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,綈p 是真命题． (2)≧p ：∅是{0}的真子集,是真命题,q ：0∈∅,是假命题, ≨命题p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,綈p 是假命题． (3)≧p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点,是假命题, q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根,是真命题,≨命题p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,綈p 是真命题．1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义,应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断． 2．判断命题真假的步骤：确定复合命题的构成形式 ⇒判断其中简单命题的真假 ⇒ 根据真值表判断复合命题的真假3．命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断,如下表：4.含有一个量词的命题的否定：特别提醒：(1)全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题．(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定,就是要对其结论进行否定,而否命题是既否定条件又否定结论．一、填空题1．命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是________．答案∃x∈R,x2＝x解析全称命题的否定是存在性命题,所以“∀x∈R,x2≠x”的否定为“∃x∈R,x2＝x”．2．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*,(x－1)2>0；③∃x∈R,lg x<1；④∃x∈R,tan x＝2.答案②解析①中命题是全称命题,易知2x－1>0恒成立,故是真命题；②中命题是全称命题,当x＝1时,(x－1)2＝0,故是假命题；③中命题是存在性命题,当x＝1时,lg x＝0,故是真命题；④中命题是存在性命题,依据正切函数定义,可知是真命题．3．已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1,则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的________条件．答案充分不必要解析因为两直线平行,所以有a2－9＝0,解得a＝±3,当a＝±3时,显然两条直线平行,故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件．4．下列命题中,为真命题的全称命题是________．(填序号)①对任意的a,b∈R,都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；②菱形的两条对角线相等；③∃x,x2＝x；④对数函数在定义域上是单调函数．答案④解析①中含有全称量词“任意”,因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0,是假命题；②④在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,菱形的对角线不一定相等；③是存在性命题,④正确．5．命题p：若ac＝b,则a,b,c成等比数列,则命题p的否命题是________命题．(填“真”“假”) 答案假解析其原命题的否命题是：若ac≠b,则a,b,c不成等比数列．若b＝－ac,则b2＝ac,此时a,b,c也可以成等比数列,故为假命题．6．已知a,b为任意非零向量,有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．(填序号)答案①②③解析由a＝b可以推得①,②,③均成立,而由①,②或③都推不出a＝b.7．下列有关命题的叙述,①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R,使得x2＋x－1<0,则綈p：∀x∈R,使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0,则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为________．答案 2解析若p∨q为真命题,则p,q至少有一个为真,所以p∧q不一定为真,所以①错误；x2－4x －5>0得x>5或x<－1,所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件,②正确；根据存在性命题的否定是全称命题知③正确；“若x2－3x＋2＝0,则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2－3x＋2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为2.8．有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m,n与同一个平面所成的角相等,则m,n互相平行；④若直线m,n是异面直线,则与m,n都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________． 答案 3解析 ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确； ②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,错误；③若直线m ,n 与同一个平面所成的角相等,则m ,n 互相平行或相交或异面,错误； ④若直线m ,n 是异面直线,则与m ,n 都相交的两条直线是异面直线或相交直线,错误． 9．命题p ：若a >0,b >0,则ab ＝1是a ＋b ≥2的必要不充分条件,命题q ：函数y ＝log 2x －3x ＋2的定义域是(－∞,－2)∪(3,＋∞),则以下四个命题中正确的是________．(填序号) ①“p ∨q ”为假；②“p ∧q ”为真；③p 真q 假；④p 假q 真． 答案 ④解析 由命题p ：a >0,b >0,ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2,所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3,所以q 为真命题．10．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2,λ)共线,则λ＝－4；命题q ：任意k ∈R ,直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是________．(填序号)①(綈p )∨q 是真命题；②p ∧(綈q )是真命题；③p ∧q 是假命题；④p ∨q 是假命题． 答案 ①解析 命题p 为真,命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝0k 2＋1<1,命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．11．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”,例如{1.2}＝2,{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．(填序号) ①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y ),则x －y <1； ③任意x ,y ∈R ,f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )； ④f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )； ⑤函数f (x )为奇函数． 答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立,如x 取1.5；f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立,如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系,如f (1.6)＝2,f (－1.6)＝－1.故答案为②③.二、解答题12．对于任意实数x ,不等式sin x ＋cos x >m 恒成立,求实数m 的取值范围．解 令y ＝sin x ＋cos x ,x ∈R ,≧y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2, 又≧∀x ∈R ,sin x ＋cos x >m 恒成立,≨只要m <－2即可．≨所求m 的取值范围是(－≦,－2)．13．已知命题p ：“存在a >0,使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞,2]上单调递减”,命题q ：“存在a ∈R ,使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题,求实数a 的取值范围．解 若p 为真,则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－≦,2]的右侧,即2a≥2,≨0<a ≤1. 若q 为真,则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根,∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0,≨12<a <32. ≧命题“p ∧q ”为真命题,≨命题p ,q 都为真,≨⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，≨12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.三、探究与拓展14．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ,B 两点,则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件． 考点 充分、必要条件的概念及判断题点 充分不必要条件的判断答案 充分不必要解析 由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ,B 两点,易知k ≠0,且圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2＜1,所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2 ＝2k 21＋k 2. 若k ＝1,则|AB |＝2,d ＝22, 所以△OAB 的面积为12×2×22＝12. 反过来,若△OAB 的面积为12, 则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12, 解得k ＝±1.故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件． 15．设命题p ：a ＞1；命题q ：不等式－3x ≤a 对一切正实数x 均成立．(1)若命题q 为真命题,求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题,且“p ∧q ”为假命题,求实数a 的取值范围． 解 (1)≧x ＞0,≨3x ＞1,≨－3x ＜－1,≧－3x ≤a ,≨a ≥－1,≨实数a 的取值范围是[－1,＋≦)．(2)由命题“p ∨q ”为真,且“p ∧q ”为假,得命题p ,q 一真一假．①当p 真q 假时,则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＜－1，无解； ②当p 假q 真时,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥－1， 解得－1≤a ≤1,≨实数a 的取值范围是[－1,1]．。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.3-3.1.4 Word版含答案
3.1.3空间向量基本定理 3.1.4空间向量的坐标表示学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一空间向量基本定理思考只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直． 梳理空间向量基本定理 (1)定理内容：①条件：三个向量e 1，e 2，e 3不共面．②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底：(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.知识点二空间向量的坐标表示思考若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？答案不一定．由向量的坐标表示知，若向量AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)．梳理(1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →＝(x ，y ，z )． (2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)类型一空间向量基本定理及应用 命题角度1空间基底的概念例1已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－67e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ， 使OA →＝xOB →＋yOC →成立． 所以OA →＝e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y ⎝⎛⎭⎫e 1＋e 2－67e 3 ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋⎝⎛⎭⎫2x －67y e 3. 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －67y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝74.故OA →，OB →，OC →共面，不可以构成空间的一个基底． 反思与感悟基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．(填序号) ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量；③如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底． 答案②③解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确． 命题角度2空间向量基本定理的应用例2如图，在空间四边形OABC 中，点D 是边BC 的中点，点G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.解因为OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)，又点D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH →＝OH →－OG →，又因为OH →＝23OD →＝23·12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .引申探究若将本例中的“G 是△ABC 的重心”改为“G 是AD 的中点”，其他条件不变，应如何表示OG →，GH →？解OG →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )． 所以GH →＝OH →－OG → ＝13(b ＋c )－⎝⎛⎭⎫12a ＋14b ＋14c ＝－12a ＋112b ＋112c .反思与感悟用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．跟踪训练2如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解连结AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′—→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′—→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′—→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′—→＋AD ′—→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→)]＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′—→＝AC →＋45(AA ′—→－AC →)＝15AC →＋45AA ′—→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′—→＝15a ＋15b ＋45c . 类型二空间向量的坐标表示例3如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′—→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.解(1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′—→＝AD →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0， AF →＝AA ′—→＋A ′D ′—→＋D ′F —→＝12AB →＋AD →＋AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′—→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝12AB →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝AB →－12AD →－12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0. 引申探究本例中，若以{DA →，DC →，DD ′—→}为基底，试写出AE →，AG →，EF →的坐标． 解AE →＝AD →＋DE →＝－DA →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， AG →＝AB →＋BG →＝DC →－12DA →＝－12DA →＋DC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0， EF →＝12DC →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 反思与感悟用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN →的坐标．解∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB →，AD →，AP →是两两垂直的单位向量．设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz . ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AC →)＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AB →＋AD →)＝12AP →＋12AD →＝12e 2＋12e 3， ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.类型三空间向量的坐标运算及应用例4已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)． (1)求AB →＋AC →，AB →－AC →；(2)是否存在实数x ，y ，使得AC →＝xAB →＋yBC →成立，若存在，求x ，y 的值；若不存在，请说明理由．解AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)AB →＋AC →＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)． AB →－AC →＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)． (2)假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知可得 BC →＝(－2，－1,2)．由题意得 (－1,0,2)＝x (1,1,0)＋y (－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x －2y ，x －y,2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x －2y ，0＝x －y ，2＝2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以存在实数x ＝1，y ＝1使得结论成立．反思与感悟1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． 2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．跟踪训练4已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明∵AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴－24＝3－6＝－36， ∴AB →与CD →共线，即AB ∥CD ，又∵AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， ∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD →与BC →不平行． ∴四边形ABCD 为梯形．1．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A在基底{i ，j ，k }下的坐标是________． 答案(12,14,10)解析设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 2．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 答案(2，－4,2)解析依题意，得b ＝a －(－1,2，－1) ＝a ＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．3．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b ＝________. 答案(8,0,4)解析4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1—→的坐标为________，AC 1—→的坐标为________．答案(0,2,1)(2,2,1)解析根据已建立的空间直角坐标系知，A (0,0,0)，C 1(2，2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1—→的坐标为(2,2,1)．5．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案12a ＋14b ＋14c解析OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．一、填空题1．有下列三个命题：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．其中为真命题的是________．(填序号) 答案①②解析①正确．作为基底的向量必须不共面；②正确；③不正确．a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．2．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 答案(5,13，－3)解析由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即D 点坐标为(5,13，－3)．3.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为________，DC 1—→的坐标为________，B 1D —→的坐标为________.答案(1,0,0)(1,0,1)(－1,1，－1)解析由题图可知，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，所以AB →＝(1,0,0)，DC 1—→＝(1,0,1)，B 1D —→＝(－1,1，－1)．4．已知a ＝(3,5,7)，b ＝(6，x ，y )，若a ∥b ，则xy 的值为________．答案140解析显然x ≠0，y ≠0.因为a ∥b ，所以36＝5x ＝7y， 即x ＝10，y ＝14，所以xy ＝140.5．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________．答案52，－1，－12解析∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________. 答案0解析因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2,6)，由题意得AB →∥AC →，所以m －12＝1－2＝m －2n －36， 所以m ＝0，n ＝0，所以m ＋n ＝0.7．已知A (2,3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值分别为________． 答案2,10,7解析∵A 与A ′关于x 轴对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3－μ＝－7，－1＋v ＝6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝10，v ＝7.8．已知向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案16 －32解析∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，∴2x 1＝1－2y ＝39(y ≠0)， ∴x ＝16，y ＝－32. 9．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是________． 考点空间向量的正交分解题点向量的坐标答案⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 解析设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )．又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →， ∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85. 10.如图，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则实数组(x ，y ，z )＝________.答案⎝⎛⎭⎫12，0，－1 解析因为DM →＝OM →－OD →＝12OA →＋0OC →－OD →，所以实数组(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1. 11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案12a －12b ＋c解析∵AB →＝－2CD →，∴OB →－OA →＝－2(OD →－OC →)，∴b －a ＝－2(OD →－c )，∴OD →＝12a －12b ＋c . 二、解答题12．已知向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝4，z ＝－1，故p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1)．13．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分别满足下列条件的P 点坐标：(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)． 解AB →＝OB →－OA →＝(2,6，－3)，AC →＝OC →－OA →＝(－4,3,1)．(1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 所以OP →＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝OP →－OA →＝(x －2，y ＋1，z －2)，由(1)知12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝12，z ＝0，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 三、探究与拓展14．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是________．(填序号)①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c .答案③④解析∵p ＝2a －b ，q ＝a ＋b ，∴p 与q 共面，a ，b 共面．而c 与a ，b 不共面，∴c 与p ，q 可以构成另一个基底，同理a ＋c 与p ，q 也可构成一组基底．15．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1—→，AB 1—→，AC 1—→的坐标．解分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示，则A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，A 1⎝⎛⎭⎫32，0，2，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，2，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，2，所以AA 1—→＝(0,0,2)，AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2， AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，2.。
(新教材)高中数学苏教版选修2-1全册同步练习(含解析)
课时分层作业(十四)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．以q 为公比的等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中，若a 1>0，则a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1；若q >1，则有q 2>1，所以a 1q 2>a 1，即a 1<a 3，所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件．]2．已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．故选A.]3．函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1 A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇒ 函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇒ 函数y ＝2x 的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]二、填空题4．已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．[解析]α∥β⇒a，b无公共点，反之不成立．故p是q的必要不充分条件．[答案]必要不充分5．给出下列三个命题：①“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件；②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要条件．其中正确命题的序号为________．[解析]对于①，当a＝0时，f(x)＝x3＋ax2＝x3为奇函数．即“a＝0”⇒“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数．”若f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数，则任意x∈R，都有f(－x)＝(－x)3＋a(－x)2＝－f(x)＝－x3－ax2成立，即2ax2＝0对任意x∈R都必成立，所以a＝0.故“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”⇒“a＝0”．综上所述，可知“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，是正确的；对于②，因为“α＞β”是“cos α＜cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；对于③，因为指数函数y＝2x是R上的单调增函数，所以“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件，故③错误．[答案]①6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________(填序号)．①b≥0；②b＞0；③b＜0；④b≤0.[解析]∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴根据二次函数＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的的性质得出：－b2≤0，b≥0，∴函数y＝x2充要条件是b≥0，故填①.[答案] ①7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的________条件．[解析] 充分性：“x ≠y ”不一定能推出“cos x ≠cos y ”，如x ＝0，y ＝2π，此时cos x ＝cos y ．必要性：“cos x ≠cos y ”一定能推出“x ≠y ”，所以“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a .p 是q 的充分不必要条件，所以a ≥2.[答案] [2，＋∞)三、解答题9．若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．[解] 方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，则方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是f (3)<0，即32－3m ＋2m <0，解得m >9.故其中一根大于3，一根小于3的充要条件是(9，＋∞)．10．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 解不等式x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，解不等式|x －3|<a (a >0)，得－a ＋3<x <a ＋3，设A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a >4.所以实数a 的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升练]1．设p：x2－x－20＞0，q：1－x2|x|－2＜0，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[不等式x2－x－20＞0的解集A＝{x|x＜－4或x＞5}，不等式1－x2|x|－2＜0的解集B＝{x|x＞2或x＜－2或－1＜x＜1}，由于A B，所以p⇒q且q p，所以p是q的充分不必要条件．故选A.]2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．[解析]若函数f(x)在[0,1]上是增函数，则根据f(x)是偶函数可知f(x)在[－1,0]上是减函数，结合f(x)的周期为2可知f(x)在[3,4]上是减函数．反过来，若函数f(x)为[3,4]上的减函数，则根据f(x)的周期为2，可知f(x)为[－1,0]上的减函数．因此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．[答案]充要3．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．[解析]①当k>4，b<5时，一次函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象如图．②若一次函数y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，当x＝0时，y＝b－5<0，∴b<5.当y＝0时，x＝5－bk－4>0.∵b<5，∴k>4.故“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．[答案]充要4．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.[证明]必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 课时分层作业(十五)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题中为全称命题的是()A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数B[命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是()A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形C[A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为存在性命题．] 3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∀x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数D[A中的命题是全称命题，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称命题，但是假命题；C中的命题是全称命题，但x2＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]二、填空题4．命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．[解析]因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是“∃x＞0，x2＋x≤0”．[答案]∃x＞0，x2＋x≤05．已知命题p：∃x∈N，x2＜4，则非p为________．[解析]因为存在性命题的否定是全称命题，所以非p为∀x∈N，x2≥4.[答案]∀x∈N，x2≥46．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.[答案](－∞，3]7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]由条件知，“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1<a<3.[答案](－1,3)8．对下列命题的否定说法错误的是________．①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；④p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0，非p：∀x∈R，x2＋x＋2>0.[解析]根据含有一个量词的命题的否定知③错误．[答案]③三、解答题9．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(2)p：每一个非负数的平方都是正数；(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；(4)p：有的四边形没有外接圆；(5)p：某些梯形的对角线互相平分．[解](1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a ＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．[解]法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax ＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.整理得a＞－3或a＞－2，即a ＞－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：非p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ＞0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3. 故命题p 中，a ＞－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．有四个关于三角函数的命题：p 1：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3A [∵∀x ∈R ，均有sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，而不是12，故p 1为假命题．当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z)时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．∵cos2x ＝1－2sin 2x ，∴1－cos 2x 2＝1－1＋2sin 2x 2＝sin 2x .又x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴∀x ∈[0，π]，均有1－cos 2x 2＝sin x ，故p 3是真命题．当sin x ＝cos y ，即sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y 时，x ＝2k π＋π2－y 或x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－y ＝(2k ＋1)π，即x ＋y ＝2k π＋π2或x －y ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故p 4为假命题．故选A.] 2．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]3．若命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为________．[解析] 命题“∀x ≥1，x 2≥a ”的否定为“∃x ≥1，x 2＜a ”为真命题，所以a ∈(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ∶∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0.∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， ∴a ≤－2或a ＝1. 课时分层作业(十六)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( )A 一个椭圆B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线ABB [定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上．]2．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时，一定有ab <0，反之，当ab <0时，若c ＝0， 则方程不表示双曲线．]3．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a 为3或5时，点P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线D [依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6<|F 1F 2|，故点P 的轨迹为双曲线的一支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故点P 的轨迹为一条射线．故选D.]二、填空题4．已知双曲线的焦点为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足|PF 1－PF 2|＝2.若点M 也在双曲线上，且MF 1＝4，则MF 2＝________.[解析] 由双曲线的定义可知，|MF 1－MF 2|＝2.又MF 1＝4，所以|4－MF 2|＝2，解得MF 2＝2或6.[答案] 2或65．已知点A (－1,0)，B (1,0)．曲线C 上任意一点P 满足PA →2－PB →2＝4(|PA →|－|PB →|)≠0.则动点P 的轨迹是________．[解析] 由条件可化简为PA ＋PB ＝4，因为4>2＝AB ， 所以曲线C 是椭圆． [答案] 椭圆6．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)[解析] 由题意P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹为一条抛物线．[答案] 抛物线7．已知平面上定点F 1，F 2及动点M ，命题甲：|MF 1－MF 2|＝2a (a 为常数)，命题乙：点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．[解析] 根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲D 乙，只有当0<2a <|F 1F 2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．[答案] 必要不充分8．△ABC 的顶点A (0，－4)，B (0,4)，且4(sin B －sin A )＝3sin C ，则顶点C 的轨迹是________．[解析] 运用正弦定理，将4(sin B －sin A )＝3sin C 转化为边的关系，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫b2R －a 2R ＝3×c 2R ，则AC －BC ＝34AB ＝6<AB .显然，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．[答案] 以A ，B 为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3) 三、解答题9．已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．[解] 方程可变形为(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1，∵(x －1)2＋(y －1)2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离． 又由(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M 的轨迹是抛物线．10．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？[解] 由声速为340 m/s ，可知F 1，F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，且小于F 1F 2＝10 000(m)，因此爆炸点在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，又因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的双曲线一支上．[能力提升练]1．已知点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2－(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝±4，则动点P 的轨迹是________．[解析] 方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<(1＋3)2＋(1＋3)2，∴点P 的轨迹是双曲线．[答案] 双曲线2．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________．[解析] 由条件知PF 1＋PF 2＝20，∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 22 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫202 2＝100.当且仅当PF 1＝PF 2时取得等号．[答案] 1003．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．[解析] 连接FP (图略)，∵M ，F 关于直线CD 对称， ∴PF ＝PM ，∴PF ＋PO ＝OP ＋PM ＝OM (定值)． ∵OM >OF ，∴点P 的轨迹是以F ，O 为焦点的椭圆． [答案] 以F ，O 为焦点的椭圆4．在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且sin B ，sin A ，sin C 成等差数列． (1)顶点A 的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．[解] (1)由sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得AB ＋AC ＝2BC .又因为BC ＝10，所以AB ＋AC ＝20，且20>BC ， 所以点A 的轨迹是椭圆(除去直线BC 与椭圆的交点)． (2)椭圆的焦点为B ，C ，焦距为10.课时分层作业(十七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8 D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1.由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意．]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．42 A [由椭圆的定义得， |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．22B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]二、填空题4．若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是________．[解析] ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m ＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1. [答案] (0,1)5．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，点P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)[解析] 不妨设PF 1>PF 2，由条件知PF 1－PF 2＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ＝8，解得PF 1＝5，PF 2＝3.又∵F 1F 2＝2c ＝216－12＝4，∴F 1F 22＋PF 22＝PF 21， 故△PF 1F 2是直角三角形． [答案] 直角6．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] 根据椭圆定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，|PF 1|＋|PF 2|＝7，因此|PF 1|＝4，|PF 2|＝3.又因为|F 1F 2|＝5，因此△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12×3×4＝6.[答案] 67．过点(3，－ 5 )且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．[解析] 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x24＝1.[答案] y 220＋x 24＝18．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．[解析] 设椭圆的另一焦点为F 2，由条件可知PF 2∥OM ，∴PF 2⊥x 轴．设P 点纵坐标为y ，则由x 212＋y 23＝1，得y ＝±32，∴点M 的纵坐标为±34. [答案] ±34三、解答题9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，求b 的值．[解] 如图所示，PF 1⊥PF 2，F 1F 2＝2c ， 根据椭圆的定义可知，PF 1＋PF 2＝2a ，在Rt △F 1PF 2中，PF 21＋PF 22＝4c 2. 又S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝9，即PF 1·PF 2＝18.∴(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4c 2＋36＝4a 2， ∴4a 2－4c 2＝36，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，∴b ＝3.10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆，求k 的取值范围； (2)若椭圆8k 2x 2－ky 2＝8的一个焦点为(0，7)，求k 的值． [解] (1)原方程可化为x 22＋y 22k ＝1.∵其表示焦点在x 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k <2，解得k >1.故k 的取值范围是(1，＋∞)．(2)原方程可化为x 21k 2＋y 28－k＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－8k >0，－8k >1k 2，－8k －1k 2＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k <－18，k ＝－1或k ＝－17.故k 的值为－1或－17.[能力提升练]1．以圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为椭圆的右焦点，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程为( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.4x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋4y 29＝1 B [由已知c ＝1，且焦点在x 轴上， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入求得a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]2．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与x 轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．[解析] 由题意知椭圆焦点在x 轴上，设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为x 216＋y 212＝1.[答案] x 216＋y 212＝13．“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件． [解析] 由方程mx 2＋ny 2＝1，得x 21m ＋y 21n＝1，所以要使 方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，m ≠n ，即m >0，n >0且m ≠n .所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分4．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，焦距为6，求实数m 的值．[解] ①当椭圆焦点在x 轴上时， 由2c ＝6，得c ＝3.由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝25，b 2＝m 2， 所以m 2＝25－9＝16. 因为m >0，所以m ＝4.②当椭圆焦点在y 轴上时，由2c ＝6，得c ＝3. 由椭圆的标准方程为x 225＋y 2m 2＝1(m >0)，得a 2＝m 2，b 2＝25， 所以m 2＝25＋9＝34. 因为m >0，所以m ＝34.综上所述，实数m 的值为4或34.课时分层作业(十八)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．9B [由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.]2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 ( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对C[⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝45，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.] 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 A [由题意，得4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2＜4，则－2＜m ＜2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.]二、填空题4．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[解析] 由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1. [答案] x 236＋y 29＝15．椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为12，则实数m 的值为________．[解析] 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－4m ＝14，∴m ＝163； 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4， 则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－m 4＝14，∴m ＝3. [答案] 3或1636．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b7，则椭圆的离心率为________． [解析] 由题意知直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.左焦点为F (－c,0)，则|－cb ＋ab |a 2＋b 2＝b 7. ∴7(a －c )＝a 2＋b 2，∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54.又∵0<e <1，∴e ＝12.[答案]127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至 1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．[解析] 可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750. 又a ＋c ＝1 700＋1 800，∴c ＝750. ∴e ＝c a ＝7502 750＝311.[答案]3118．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB ＝________.[解析] 椭圆左焦点为(－2，0)， ∴直线方程为y ＝33(x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋2)，x 2＋2y 2＝4得5x 2＋42x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－425，x 1x 2＝－85，∴弦长AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝165. [答案] 165三、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．[解] 令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a . 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.[解] (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0， 解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423. [能力提升练]1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32B ．26C ．27D ．42C [设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n >0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0，消去x ，得(3m ＋n )y 2＋83m m y ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m ＝16 ①.又由焦点F 1(－2,0)，F 2(2,0)在x 轴上，得1m －1n ＝4②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17n ＝13，故椭圆的方程为x 27＋y 23＝1，所以长轴长为27.故选C.]2．若A 为椭圆x 2＋4y 2＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．[解析] 由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y ＝x －2，代入x 2＋4y 2＝4，得5x 2－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝65.把x ＝65代入椭圆方程，得y ＝±45，所以三角形的面积S ＝12×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－65＝1625.[答案]16253．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是________．[解析] 因为13 <k <12，所以点B 在第一象限．由题意可知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .因为点A 的坐标为(－a ，0)， 所以k ＝b 2a －0c ＋a，所以13<b 2a －0c ＋a <12.又因为b 2＝a 2－c 2，所以b 2a －0c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2a 2＋ac＝a －c a ＝1－e ，所以13 <1－e <12，解得12<e <23，故椭圆离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，234.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点Q 在椭圆C 上，且∠F 1QF 2＝π3，求QF 1·QF 2的值；(3)设直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．[解] (1)∵椭圆过点P (3,1)， ∴9a 2＋1b2＝1. 又S △PF 1F 2＝12×2c ×1＝22，解得c ＝2 2.又a 2＝b 2＋c 2解得a 2＝12，b 2＝4，∴椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)当∠F 1QF 2＝π3时，有⎩⎨⎧QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22－2QF 1·QF 2cos π3＝(2c )2＝32，∴QF 1·QF 2＝163.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 24＝1，y ＝x ＋k得4x 2＋6kx ＋3k 2－12＝0，故x 1＋x 2＝－3k2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2－124.∵以AB 为直径的圆经过坐标原点，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，解得k ＝±6， 此时Δ＝120＞0，满足条件，因此k ＝± 6.课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．双曲线x 2a ＋y 2a －1＝1的焦距为( )A ．1B ．2C ．22a －1D ．21－2aB [∵a (a －1)＜0，∴0＜a ＜1，方程化为标准方程为x 2a －y 21－a＝1，∴c 2＝a ＋1－a ＝1，∴焦距2c ＝2.]2．若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是 ( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6 C [由题意知c ＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2(4,0)，且|PF 2|＝8.当P 点在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝12；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝4，解得|PF 1|＝4，所以|PF 1|＝4或12，即P 到它的左焦点的距离为4或12.]3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48 C [由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.]二、填空题4．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P (－3,2)的双曲线的标准方程是________．[解析] 由题意，焦点在y 轴上，且c ＝2，可设双曲线方程为y 2m －x 24－m ＝1(0<m <4)，将P (－3,2)代入，解得m ＝1.因此所求双曲线标准方程为y 2－x 23＝1. [答案]y 2－x 23＝1 5．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．[解析] 不妨设P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝PF 21＋PF 22，又因为|PF 1－PF 2|＝2，所以(PF 1－PF 2)2＝4，可得2PF 1·PF 2＝4，则(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝12，所以PF 1＋PF 2＝2 3.[答案] 236．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．[解析] 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5代入双曲线可得|y M |＝163，即双曲线上一点M 到右焦点的距离为163，故利用双曲线的定义可求得点M 到左焦点的距离为2a ＋|y M |＝6＋163＝343. [答案]3437．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.[解析] 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|.由双曲线方程知a 2＝16，b 2＝25， ∴c 2＝a 2＋b 2＝16＋25＝41， 又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.[答案] －18．若圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －9＝0，x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3.∵圆x 2＋y 2－4x －9＝0与y 轴的两个交点A ，B 都在双曲线上，且A ，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A (0，－3)，B (0,3)，且a ＝3,2c ＝18， ∴b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1822－32＝72，∴双曲线方程为y 29－x 272＝1.[答案] y 29－x 272＝1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103； (2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.10．已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[能力提升练]1．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ( )A.x 25－y 2＝1 B.y 25－x 2＝1 C.x 225－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 A [依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，故双曲线标准方程为x 25－y 2＝1.]2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________________________________________．[解析] 对于椭圆C 1，∵长轴长2a 1＝26，∴a 1＝13， 又离心率e 1＝c 1a 1＝513，∴c 1＝5.由题意知曲线C 2为双曲线，且与椭圆C 1共焦点， ∴c 2＝5.又2a 2＝8，∴a 2＝4，b 2＝c 22－a 22＝3，又焦点在x 轴上，故曲线C 2的标准方程为x 216－y 29＝1.[答案] x 216－y 29＝13．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为________．[解析] 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2. 根据勾股定理得PF 21＋PF 22＝(2c )2，即PF 21＋PF 22＝20.根据双曲线定义，有PF 1－PF 2＝±2a . 两边平方并代入PF 1·PF 2＝2，得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1.故双曲线的标准方程是x24－y2＝1.[答案]x24－y2＝14．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB 送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．[解]矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则PA ＋MA ＝PB ＋MB ，MA －MB ＝PB －PA ＝50(定值)，所以界线是以A ，B 为焦点的双曲线的右支的一部分．如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为a ＝25,2c ＝|AB | ＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507，所以c ＝257，b 2＝c 2－a 2＝3 750， 故双曲线的标准方程为x 2625－y 23 750＝1.注意到点C 的坐标为(257，60)，故y 的最大值为60，此时x ＝35，故界线的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(25≤x ≤35，y >0)．课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5 B ．5 C.2 D ．2 A [由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.] 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 A [∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，∴a ＝2，又∵e ＝ca ＝5，∴c ＝25，∴b ＝c 2－a 2＝20－4＝4.则双曲线的标准方程x 24－y 216＝1.]3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为 ( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A [由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2， ∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0，∴x ±2y ＝0.] 二、填空题4．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．[解析] 由2a ＋2c ＝4b ，得a ＋c ＝2b ＝2c 2－a 2，即a 2＋2ac ＋c 2＝4c 2－4a 2，得5a 2＋2ac －3c 2＝0，(5a －3c )·(a ＋c )＝0，即5a ＝3c ，e ＝c a ＝53.[答案] 535．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．[解析] 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，则双曲线的标准方程是x 29－y 216＝1.[答案] x 29－y 216＝16．当双曲线C ：x 2m 2－y 22m ＋4＝1(－2＜m ＜0)的焦距取得最小值时，双曲线C 的渐近线方程为________．[解析] 由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋4＝(m ＋1)2＋3， ∴当m ＝－1时，焦距2c 取得最小值， 此时双曲线C 的标准方程为x 2－y 22＝1。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第1章常用逻辑用语Word版含答案
充足条件和必需条件学习目标 1.理解充足条件、必需条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题建立的充足条件、必需条件、充要条件 .3.能够利用命题之间的关系判断充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充足条件与必需条件1．框图表示2．条件与结论之间的关系p? q 且 q? p p 是 q 的充足不用要条件p? q 且 q? p p 是 q 的必需不充足条件p? q 且 q? p p 是 q 的既不充足又不用要条件知识点二充要条件思虑在△ ABC 中，角A，B，C 为它的三个内角，则“A，B，C 成等差数列”是“B＝ 60°”的什么条件？答案因为A，B， C 成等差数列，故2B＝ A＋C，又因为A＋ B＋C＝ 180°，故B＝ 60°，反之，亦建立，故“A， B，C 成等差数列”是“B＝ 60°”的充足必需条件．梳理(1)假如 p? q，且 q? p，那么称p 是 q 的充足必需条件，简称为p 是q 的充要条件，记作 p? q.(2) 充要条件的本质是原命题的充要条件，那么q 也是“若 p 则 q”和其抗命题“若 q 则 p”均为真命题，假如p 的充要条件，即假如p? q，那么 p 与 q 互为充要条件．p 是q1．当q 是p 的必需条件时，p 是q 的充足条件．(√)2．当p 是q 的充足必需条件时，那么q 也必定是p 的充足必需条件．(√ )种类一充足条件、必需条件的判断例 1 对于二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) ，以下结论正确的选项是 ________． (填序号 )①Δ＝b2－4ac≥ 0 是函数 f(x)有零点的充要条件；2②Δ＝b －4ac＝ 0 是函数 f(x)有零点的充足条件；2③Δ＝b －4ac＞ 0 是函数 f(x)有零点的必需条件；2④Δ＝b －4ac＜ 0 是函数 f(x)没有零点的充要条件．答案①②④分析①正确，因为＝b2－4ac≥ 0?方程ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)有实根 ? f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 有零点；②正确，因为＝ b2－ 4ac＝ 0? 方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)有实根，所以函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋c(a≠ 0)有零点，可是 f( x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)有零点时，有可能＞ 0；③错误，因为函数 f(x)＝ ax2＋bx＋ c(a≠ 0)有零点时，方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)有实根，但未必有＝ b2－ 4ac＞ 0，也有可能＝ 0；④正确，因为＝ b2－ 4ac＜ 0? 方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)无实根 ? 函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a ≠0)无零点．反省与感悟充足、必需条件判断的常用方法(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转变成它的等价命题判断．追踪训练 1 指出以下各题中， p 是 q 的什么条件？(1) p： ax2＋ax＋ 1>0 的解集是R，q：0<a<4；6(2)p： |x－2|<3， q：x－5<－ 1；(3)p： A∪ B＝A， q：A∩ B＝ B；α>2 ，α＋β>4，(4) p：q：β>2 ，αβ>4.解 (1)当 a＝ 0 时， 1>0 知足题意；＝a2－ 4a<0 ，当 a≠ 0 时，由可得0<a<4.a>0，故 p 是 q 的必需不充足条件．(2)易知 p：－ 1<x<5， q：－ 1<x<5，所以 p 是 q 的充要条件．(3)因为 A∪ B＝ A? A∩ B＝B，所以 p 是 q 的充要条件．α>2，依据同向不等式相加、相乘的性质，(4) 由β>2，α＋β>4，α＋β>4 ，α>2，有即 p? q.但?αβ>4，αβ>4 β>2，α＋β＝6>4 ，比方，当α＝1，β＝5时，而α<2，αβ＝ 5>4，所以 q? p，所以 p 是 q 的充足不用要条件．种类二充要条件的研究与证明命题角度 1充要条件的研究例 2求ax2＋2x＋1＝0起码有一个负实根的充要条件是什么？解 (1)当 a＝ 0 时，原方程变成 2x＋ 1＝ 0，即 x＝－12，切合要求．(2) 当 a≠0 时，ax2＋ 2x＋ 1＝ 0 为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥ 0，即4－4a≥ 0，∴a≤ 1.Δ≥0，a≤ 1，①方程 ax2＋ 2x＋1＝ 0 只有一个负实根的充要条件是即1 ∴ a<0.x1 x2<0，a<0，Δ≥ 0，a≤ 1，221＋x2 即－ <0，∴ 0<a≤1.②方程 ax ＋ 2x＋1＝ 0 有两个负实根的充要条件是<0， axx1x2>0， 1a>0，综上所述， ax2＋2x＋ 1＝ 0 起码有一个负实根的充要条件是a≤ 1.反省与感悟研究一个命题的充要条件，能够利用定义法进行研究，即分别证明“条件 ? 结论” 和“结论 ? 条件”，也能够追求结论的等价命题，还能够先追求结论建立的必需条件，再证明它也是其充足条件．追踪训练 2 已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n＝ (n＋ 1)2＋ t( t 为常数 )，试问 t＝－ 1 能否为数列 { a n} 是等差数列的充要条件？请说明原因．解是充要条件．(充足性 )当 t＝－ 1 时， S n＝ (n＋ 1)2－ 1＝ n2＋ 2n.a1＝ S1＝3，当 n≥ 2 时， a n＝ S n－ S n－1＝2n＋ 1.又 a1＝ 3 切合上式，∴a n＝ 2n＋ 1(n∈N* )，又∵ a n＋1－ a n＝2(常数 )，∴数列 { a n} 是以 3 为首项， 2 为公差的等差数列．故 t＝－ 1 是 { a n } 为等差数列的充足条件．(必需性 )∵ { a n} 为等差数列，则 2a2＝ a1＋ a3，∵ a1＝ S1＝4＋ t ，a2＝ S2－ S1＝ 5，a3＝ S3－ S2＝7，∴ 10＝11＋t，解得 t＝－ 1，故 t＝－ 1 是 { a n } 为等差数列的必需条件．综上， t＝－ 1 是数列 { a n} 为等差数列的充要条件．命题角度 2 充要条件的证明例 3 已知 A，B 是直线 l 上的随意两点， O 是直线 l 外一点，求证：点P 在直线 l 上的充要→→→条件是 OP＝ xOA＋ yOB，此中 x， y∈R，且 x＋ y＝ 1.证明①充足性：若点→→→P 知足 OP＝ xOA＋ yOB，此中 x， y∈R，且 x＋ y＝ 1，消去 y，得→→→→→→OP＝xOA＋ (1－ x)OB＝ x(OA－ OB)＋ OB，→→→→→→∴OP－ OB＝ x(OA－ OB)，即 BP＝ xBA. ∴点 P 在直线 AB 上，即点 P 在直线 l 上．②必需性：设点 P 在直线 l 上，则由共线向量基本定理知，→→→存在实数 t ，使得 AP＝ tAB＝ t(OB→－OA)，→→→→→→→→∴OP＝ OA＋ AP＝ OA＋ tOB－ tOA＝ (1－ t)OA＋ tOB.→→→令 1－ t＝ x， t＝ y，则 OP＝ xOA＋ yOB，此中 x， y∈R，且 x＋y＝ 1.→→→综上，点 P 在直线 l 上的充要条件是 OP＝ xOA＋ yOB，此中 x， y∈R，且 x＋ y＝ 1.反省与感悟证明充要条件时要从充足性和必需性两个方面分别证明，第一分清哪个是条件，哪个是结论，而后确立推出方向，即充足性需要证明“条件”? “ 结论”，必需性需要证明“结论”? “条件”．追踪训练 3 已知 ab≠ 0，求证： a＋ b＝ 1 是 a3＋ b3＋ab－ a2－ b2＝ 0 的充要条件．证明①充足性：∵ a＋ b＝ 1，∴ b＝ 1－ a，∴a3＋ b3＋ ab－ a2－b2＝ a3＋ (1－ a) 3＋ a(1－ a) － a2－ (1－ a)2＝ a3＋ 1－ 3a＋ 3a2－ a3＋ a－ a2－a2－ 1＋ 2a－ a2＝ 0，即 a3＋ b3＋ ab－ a2－b2＝0.②必需性：∵ a3＋ b3＋ ab－a2－ b2＝ 0，∴( a＋ b)( a2－ ab＋ b2)－ (a2－ ab＋ b2)＝ 0，∴( a2－ ab＋ b2)( a＋b－ 1)＝ 0.∵ab≠ 0，∴ a≠ 0 且 b≠ 0，∴ a 2－ ab ＋ b 2≠ 0.∴ a ＋ b － 1＝ 0，∴ a ＋ b ＝ 1.综上可知，当 ab ≠ 0 时， a ＋b ＝ 1 是 a 3＋ b 3 ＋ab － a 2－ b 2＝ 0 的充要条件．种类三利用充足条件、必需条件求参数的值 (或范围 )例 4 已知 p ： 2x 2－3x － 2≥ 0，q ： x 2－ 2(a － 1)x ＋ a(a － 2)≥ 0，且命题 p 是命题 q 的充足不必需条件，务实数a 的取值范围．解 令 M ＝ { x|2x 2－ 3x － 2≥ 0} ＝ { x|(2x ＋ 1)(x － 2)≥ 0} ＝ x x ≤ － 1 或 x ≥ 2 ， N ＝ { x|x 2－ 2(a2－ 1)x ＋a(a － 2)≥ 0} ＝ { x|(x － a)[x － (a － 2)]≥ 0} ＝ { x|x ≤ a － 2 或x ≥a} ．由已知 p? q 且 q? p ，得 M?N ，1，或 a －1，∴ a － 2≥ －22>－ 2 a<2a ≤ 2，3 33 ≤ a ≤2.解得 ≤ a<2或 <a ≤ 2，即 22 2即实数 a 的取值范围是 3， 2 .2反省与感悟 1.在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件 p 和 q 转变成会合，进而转化为两会合之间的子集关系，再转变成不等式 (或方程 )，进而求得参数的取值范围．2．依据充足条件或必需条件求参数范围的步骤 (1) 记会合 M ＝ { x|p(x)} ，N ＝ { x|q(x)} ．(2) 若 p 是 q 的充足不用要条件，则 M?N ，若 p 是 q 的必需不充足条件，则N?M ，若 p 是 q的充要条件，则M ＝N.(3) 依据会合的关系列不等式 (组 )．(4) 求出参数的范围．追踪训练 42x 1 设 A ＝ y y ＝ x， x ∈R ，B ＝ y y ＝ x ＋ m ， x ∈[ －1， 1] ，记命题 p ：“ y2 ＋ 13∈A ”，命题 q ：“ y ∈ B ”，若 p 是 q 的必需不充足条件，则 m 的取值范围为 ______________．1 2答案3，31 ， m ＋ 1分析 由题意知 A ＝ (0,1) ， B ＝ m －3 3 ，依题意，得 B?A ，1m － 3>0，12故1∴ 3<m<3. m ＋3<1，1．从“ ? ”，“ ? /”与“ ? ”中选出适合的符号填空：(1)x＞ 1________x＞0；(2)a＞ b________a2＞b2；2 2(3)a ＋ b ＝ 2ab________a＝ b；(4)A?? ________A＝ ?.答案(1)?(2) ?(3)?(4)?12．“ a>1”是“a<1 ”的 ________条件． (填“充足不用要”“必需不充足” “充要”“既不充足又不用要” )答案充足不用要分析1由 a>1 可获得 <1，反之不建立．a2B.若“ x∈ A”是3．记不等式 x ＋ x－ 6<0 的解集为会合 A，函数 y＝ lg(x－ a)的定义域为会合“x∈ B”的充足条件，则实数 a 的取值范围为 ________ ．答案(－∞，－ 3]分析因为 A＝ { x|x2＋ x－ 6<0} ＝ { x|－ 3<x<2} ，B＝ { x|y＝ lg(x－ a)} ＝ { x|x>a} ，而“x∈ A”是“x∈ B”的充足条件，则有A? B，则有 a≤ － 3.4．设 p： 1≤ x＜ 4， q： x＜ m，若 p 是 q 的充足条件，则实数m 的取值范围是 ________．考点充足条件的观点及判断题点由充足条件求取值范围答案[4，＋∞ )分析因为 p 为 q 的充足条件，所以[1,4) ? (－∞， m)，得 m≥ 4.5．“ a＝ 0”是“直线 l 1：x－2ay－ 1＝ 0 与 l 2：2x－ 2ay－ 1＝ 0 平行” 的 ________条件． (填“充分不用要”“必需不充足”“充要”“既不充足又不用要”)答案充要分析(1)∵ a＝ 0，∴ l1：x－ 1＝ 0， l2： 2x－1＝ 0，∴l1∥ l 2，即 a＝ 0? l1∥ l2.(2) 若 l1∥ l2，当 a≠ 0 时，l 1： y＝1x－1， l2 ：y＝1x－ 1 . 2a 2a a 2a令2a 1＝1a，方程无解．当 a ＝ 0 时， l 1： x －1＝ 0， l 2： 2x － 1＝ 0，明显 l 1∥ l 2. ∴a ＝ 0 是直线 l 1 与 l 2 平行的充要条件．充足不用要条件、 必需不充足条件、 充要条件、 既不充足又不用要条件反应了条件 p 和结论q 之间的因果关系，在联合详细问题进行判断时，常采纳以下方法：(1) 定义法：分清条件 p 和结论 q ，而后判断 “p? q ” 及 “q? p ” 的真假，依据定义下结论． (2) 等价法：将命题转变成另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3) 会合法：写出会合 A ＝{ x|p(x)} 及会合 B ＝ { x|q(x)} ，利用会合之间的包括关系加以判断．一、填空题1．“ φ＝ π”是“曲线 y ＝ sin(2x ＋ φ)过坐标原点”的 ________条件． 答案 充足不用要分析 由 sin φ＝ 0 可得 φ＝ k π(k ∈ Z ) ，此为曲线 y ＝ sin(2x ＋ φ)过坐标原点的充要条件，故 “ φ＝π” 是 “ 曲线 y ＝sin(2 x ＋ φ)过坐标 原点 ” 的充足不用要条件．x2．若会合 A ＝ xx － 1 <0 ， B ＝ { x|x － 2<2} ，则“ m ∈ A ”是“ m ∈ B ”的 ________条件．答案 充足不用要分析 ∵ A ＝ xx<0 ＝{ x|0<x<1} ， B ＝ { x|x － 2<2} ＝ { x|x<4} ．x － 1∴A?B ，则 “ m ∈ A ”是 “ m ∈ B ”的充足不用要条件．3．“ k>4， b<5”是“一次函数 y ＝ ( k －4)x ＋ b － 5 的图象交 y 轴于负半轴，交 x 轴于正半轴”的________条件．答案 充要分析 ①当 k>4， b<5 时，一次函数y ＝ (k － 4)x ＋ b － 5 的图象如图．②当一次函数y ＝( k － 4)x ＋ b － 5 交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴，即当x ＝ 0 时， y ＝b －5<0，∴ b<5.k － 4 >0.∵ b<5，∴ k>4.当 y ＝ 0 时， x ＝ 5－b4．已知不等式 m － 1<x<m ＋ 1 建立的一个充足不用要条件是1<x< 1，则实数 m 的取值范围是32 ________．答案－ 1， 42 3分析 由题意得1， 1?(m － 1， m ＋1)，3 2m － 1≤ 1 ， m － 13 1< ，则有 或311m ＋ 1>2m ＋ 1≥ 2.∴－ 1≤ m ≤ 4.2 35．对随意实数 a ， b ， c ，以下命题中，是真命题的是 ________． (填序号 )①“ ac>bc ”是“ a>b ”的必需条件； ②“ ac ＝ bc ”是“ a ＝b ”的必需条件； ③“ ac 2>bc 2”是“ a>b ”的充足条件； ④“ ac ＝ bc ”是“ a ＝b ”的充足条件． 答案 ②③分析 由②适合 a ＝b 时，获得 ac ＝ bc ；由③得 ac 2>bc 2? a>b.6．对于 x 的方程 m 2x 2－ (m ＋ 1)x ＋ 2＝ 0 的实数根的总和为 2 的充要条件是 ________． 答案 m ＝ 0分析 当 m ＝ 0 时，原方程即 x ＝ 2，知足条件，当 m ＋ 1 m ≠ 0 时，2 ＝ 2，则 m ＝ 1 或 m ＝－ 1，m2但 ＝ [ －(m ＋ 1)] 2－ 8m 2，m ＝1 及 m ＝－ 1均使 <0 ，故 m ＝0.27．在△ ABC 中，“ sinA ＝ sinB ”是“ a ＝ b “的 ________条件． 答案 充要分析 在△ ABC 中，由正弦定理及 sinA ＝ sinB 可得 2RsinA ＝ 2RsinB ，即 a ＝ b ；反之也建立． 8．设 n ∈N * ，一元二次方程 x 2 －4x ＋ n ＝ 0 有整数根的充要条件是 n ＝ ________.答案 3 或 4分析 因为方程有整数根，由鉴别式 ＝ 16－ 4n ≥ 0 得 1≤ n ≤ 4，逐一剖析，当 n ＝1,2 时，方程没有整数解；而当n ＝ 3 时，方程有正整数解 1,3；当 n ＝ 4 时，方程有正整数解 2.9．若 p ：x(x － 3)＜ 0 是 q ：2x － 3＜ m 的充足不用要条件，则实数 m 的取值范围是 ________．答案 [3，＋∞ )分析 p ： 0＜ x ＜ 3， q ： x ＜3＋m，2若 p 是 q 的充足不用要条件，则3＋m≥ 3，即 m≥3.210．给出以下三个命题：①“ a>b”是“ 3a>3b”的充足不用要条件；②“ α>β”是“ cosα<cosβ”的必需不充足条件；③“ a＝ 0”是“函数 f(x)＝ x3＋ ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．此中正确命题的序号为 ________．答案③分析①∵函数 y＝ 3x是R上的增函数，∴“ a>b”是“ 3a>3b”的充要条件，故①错误；②ππ∵2π>，cos2π>cos，∴α>β? cos α<cos β；∵ cos π<cos 2π，π<2π，∴ cos α<cos β? α>β.∴“ α>β”2 2是“ cosα<cosβ”的既不充足又不用要条件，故②错误；③“ a＝ 0”是“函数 f(x)＝ x3＋ ax2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．11．有以下命题：①“ x＞ 2 且 y＞ 3”是“ x＋ y＞ 5”的充足条件；2③“ a＝ 2”是“直线ax＋ 2y＝ 0 平行于直线x＋ y＝ 1”的充足不用要条件；④“ xy＝ 1”是“ lgx＋ lgy＝ 0”的必需不充足条件．此中真命题的序号为________．考点充足条件、必需条件的判断题点充足、必需条件的判断答案①④分析①当 x＞ 2 且 y＞3 时， x＋ y＞ 5 建立，反之不必定，所以“x＞ 2 且y＞ 3”是“ x＋ y ＞5”的充足不用要条件，故①为真命题；②x＞ 0? x2＞ 0， x2＞0? x＞ 0，故②为假命题；③当 a＝ 2 时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a＝2，所以 a＝ 2，所以“ a＝ 2”是“两1 1直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lg x＋lg y＝ lg( xy)＝ 0，所以 xy＝ 1 且 x＞ 0，y＞ 0，所以 xy＝ 1 必建立，反之否则，所以“ xy＝1”是“ lg x＋ lg y＝0”的必需不充足条件，故④为真命题．综上可知，真命题是①④ .二、解答题12．判断以下各题中，p 是 q 的什么条件．(1)p： |x|＝ |y|， q： x＝ y；(2)p：△ ABC 是直角三角形， q：△ ABC 是等腰三角形；(3) p ：四边形的对角线相互均分， q ：四边形是矩形；2 2 2 2 2 2 2(4) p ：圆 x ＋y ＝r (r ＞ 0)与直线 ax ＋ by ＋c ＝ 0 相切， q ： c ＝ (a ＋ b )r . 考点 充足条件、必需条件的判断 题点 充足、必需条件的判断解 (1) ∵|x|＝ |y|? x ＝ y ，但 x ＝ y? |x|＝ |y|，∴p 是 q 的必需不充足条件．(2) ∵△ ABC 是直角三角形 ? △ ABC 是等腰三角形， △ABC 是等腰三角形 ? △ ABC 是直角三角形，∴p 是 q 的既不充足又不用要条件．(3) ∵四边形的对角线相互均分 ? 四边形是矩形，四边形是矩形 ? 四边形的对角线相互均分，∴p 是 q 的必需不充足条件．(4) 若圆 x 2＋y 2＝ r 2(r ＞ 0)与直线 ax ＋ by ＋ c ＝ 0 相切，则圆心 (0,0)到直线 ax ＋ by ＋c ＝ 0 的距离等于 r ，|c|即 r ＝，22a ＋ b∴ c 2＝( a 2＋b 2)r 2；反过来，若 c 2＝( a 2＋b 2 )r 2，|c|则 a 2＋ b 2＝ r建立，说明圆 x 2＋ y 2＝ r 2(r ＞ 0) 的圆心 (0,0) 到直线 ax ＋ by ＋c ＝ 0 的距离等于 r ，即圆 x 2＋ y 2＝ r 2(r ＞ 0)与直线 ax ＋ by ＋c ＝ 0 相切，故 p 是 q 的充要条件．13．求方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0(a ＜0) 有两个正根的充要条件．解方程 ax 2 ＋bx ＋ c ＝ 0(a ＜ 0)有两个正根等价于b 2－ 4ac ≥ 0，－ b＞ 0，b 2≥ 4ac ， a ? b ＞0，c＞ 0，c ＜ 0.a a ＜ 0，所以方程 ax 2 ＋bx ＋ c ＝ 0(a ＜ 0)有两个正根的充要条件是 b 2≥ 4ac ，且 b ＞ 0， c ＜ 0. 三、研究与拓展14．“ a ≠ 1 或 b ≠ 2”是“ a ＋ b ≠ 3 建立”的 ________________ 条件． (填“充足不用要” “必要不充足”“充要”“既不充足又不用要” )．考点充足条件、必需条件的判断题点必需不充足条件的判断答案必需不充足分析命题“若 a≠ 1 或 b≠2，则 a＋ b≠ 3”与命题“若 a＋b＝ 3，则 a＝ 1 且 b＝ 2”互为逆否命题，当 a＝ 3， b＝0 时，有 a＋b＝ 3，所以命题“若a＋ b＝ 3，则 a＝ 1 且 b＝ 2”是假命题，所以命题“若a≠ 1 或 b≠ 2，则 a＋b≠ 3”是假命题，所以a≠1 或 b≠2 推不出 a＋ b≠3.“若 a＝ 1 且 b＝2，则 a＋ b＝ 3”是真命题，所以命题“若a＋ b≠3，则 a≠ 1 或 b≠ 2”是真命题，所以 a＋ b≠ 3? a≠ 1 或 b≠ 2，所以“ a≠ 1 或 b≠ 2”是“ a＋ b≠ 3 建立”的必需不充足条件．15．设 a， b， c 是△ ABC 的三个内角A， B，C 所对的边．求证：a2＝ b(b＋ c)的充要条件是A＝ 2B.证明充足性：∵A＝ 2B，∴ A－ B＝ B，则sin(A－ B)＝ sinB，则sinAcosB－cosAsinB＝ sinB，联合正弦、余弦定理得a2＋ c2－ b2 b2＋ c2－ a2a2＝ b(b＋ c)；a·－ b·＝ b，化简整理得2ac 2bc必需性：由余弦定理a2＝b2＋ c2－ 2bccosA，且 a2＝ b(b＋ c)，得 b2＋bc＝ b2＋ c2－ 2bccosA，∴1＋ 2cosA＝cb＝sinCsinB，即 sinB＋ 2sinBcosA＝ sinC＝ sin(A＋ B)＝s inAcosB＋ cosAsinB，∴s inB＝ sinAcosB－ cosAsinB＝ sin(A－ B)，因为 A，B 均为三角形的内角，故必有 B＝ A－ B，即 A＝ 2B.综上，知a2＝b(b＋ c)的充要条件是A＝ 2B.。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 章末检测试卷 Word版含答案
章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________．答案若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是________．答案∃x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0解析原命题是全称命题，其否定是存在性命题．3．命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________．答案4解析原命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”是真命题；逆命题“对于正数a ，若lg a >0，则a >1”是真命题．∴否命题与逆否命题也都是真命题．故真命题的个数为4.4．A ＝{x ||x －1|>1，x ∈R }，B ＝{x |log 2x >1，x ∈R }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由题意，得A ＝{x |x <0或x >2}，B ＝{x |x >2}，所以B ⊆A ，所以x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈AD ⇒/x ∈B ，所以“x∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件．5．“实数a 和b 都不是有理数”的否定为________________________________．答案实数a 和b 至少有一个是有理数解析将“都不是”改成“至少有一个是”．6．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则a 的取值范围是________．答案(1,2]解析若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1. 若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.由题意，得若p 假则q 真，若p 真则q 假，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a≤1，a>2或⎩⎪⎨⎪⎧a>1，0<a≤2，∴1<a ≤2.7．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件．答案充分不必要解析由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．8．设有两个命题：①关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x∈R 恒成立；②函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析①若x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；②若f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则5－2a >1，a <2.若①真②假，则a ∈∅；若①假②真，则a ≤－2.9．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案3解析由已知可得m ≥tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3恒成立． 设f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝tan π3＝3，由不等式恒成立可得m ≥3，即实数m 的最小值为 3.10．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题p 是真命题；②命题q 是假命题；③命题“(綈p )∧q ”是真命题；④命题“p ∨(綈q )”是假命题．其中正确命题的序号是________．答案③④解析对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题；对于q ，因为函数y ＝x 2＋x ＋1的图象开口向上，最小值在x ＝－12处取得，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝34>0，所以命题q 是真命题．由命题p 为假命题和命题q 是真命题，可得命题“(綈p )∧q ”是真命题；命题“p ∨(綈q )”是假命题．故③④正确．11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的____________条件．答案充分不必要解析∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．12．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ，则“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的____________条件．答案充分不必要解析函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，若1<a <2，则0<a －1<1,1<3－a <2，即横坐标为3的点到对称轴的距离大于横坐标为1的点到对称轴的距离，则f (1)<f (3)．若a ＝0，则函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，满足f (1)<f (3)，但1<a <2不成立．所以“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的充分不必要条件．13．已知命题p ：(x －3)(x ＋1)>0，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案(0,2)解析p ：(x －3)(x ＋1)>0⇔x <－1或x >3，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0⇒x <－m ＋1或x >m ＋1，它们的取值范围分别用集合A ，B 表示，由题意知A ?B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－1，m ＋1≤3，其中等号不能同时成立，∴m <2，又m >0，∴0<m <2.14．已知命题p ：m∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p∧q 为假命题，则m 的取值范围是________________．答案(－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析若命题p 是真命题，则m ≤－1；若命题q 是真命题，则m 2－4<0，解得－2<m <2，所以p ∧q 是真命题时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m≤－1，－2<m<2，即－2<m ≤－1，∴p ∧q 为假命题时，m 的取值范围为(－∞，2]∪(－1，＋∞)．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.证明(1)充分性：∵0<m <13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0，且3m>0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m>0，x1x2＝3m >0，解得0<m <13.综合(1)(2)知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.16．(14分)命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2.由已知条件知p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧a<1，－2≤a≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，a>2或a<－2，所以a >2，综上所述，实数a 的取值范围为[－2,1)∪(2，＋∞)．17．(14分)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos2x －1，且给定条件p ：π4≤x ≤π2.(1)求f (x )的最大值及最小值；(2)若给定条件q ：|f (x )－m |<2，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解(1)f (x )＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos2x －1＝2sin2x －23cos2x ＋1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1.∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3.∴3≤4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1≤5. ∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝3.(2)∵|f (x )－m |<2，∴m －2<f (x )<m ＋2.又∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2<3，m ＋2>5，解得3<m <5. ∴实数m 的取值范围为(3,5)．18．(16分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增，q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．解∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2在[－2，＋∞)上单调递增，∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2.即p ：a ≤－1或a ≥2.由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧ a≥0，Δ<0，即错误!解得0≤a <4，∴q ：0≤a <4.∵p ∧q 假，p ∨q 真，∴p 与q 一真一假，∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧a≤－1或a≥2，a<0或a≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a<2，0≤a<4，∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．19．(16分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立时，求a 的取值范围．解(1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2， 又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2.(2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋1)x .因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以[f (x )＋2]∈⎝⎛⎭⎫0，34. 要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，loga 12≥34，解得344≤a <1.所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫344，1.20．(16分)已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b >0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2 b.证明(1)由题意知，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1.∵f (x )＝－b ⎝⎛⎭⎫x －a 2b 2＋a24b ， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a24b ≤1. ∵a >0，b >0，∴a ≤2 b.(2)必要性：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≥－1，∴f (1)≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1.对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≤1.∵b >1，∴0＜1b＜1，由f (x )≤1知f ⎝⎛⎭⎫1b ≤1，即a ·1b－1≤1，∴a ≤2b ，∴b －1≤a ≤2 b.充分性：∵b >1，a ≥b －1，对任意x ∈[0,1]， 可以推出ax －bx 2≥b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1.∵b >1，a ≤2b ，对任意x ∈[0,1]，可以推出ax －bx 2≤2b x －bx 2＝－b ⎝⎛⎭⎫x －1b 2≤1，即ax －bx 2≤1，∵－1≤f (x )≤1，∴|f (x )|≤1.综上可知，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2 b.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.2 Word版含答案
3.1.2共面向量定理学习目标1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．知识点一 共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 知识点二 共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，即向量p 可以由两个不共线的向量a ，b 线性表示． 知识点三 空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O ，存在实数x ，y ，z 使得OA →＝xOB →＋yOC →＋zOD →，且x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则A ，B ，C ，D 四点共面．1．实数与向量之间可进行加法、减法运算．(×) 2．空间中任意三个向量一定是共面向量．(×) 3．若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.(×)类型一 向量共面的判定 例1 给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB ，BC ，CD ，DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数组(x ，y )使得OP →＝xOA →＋yOB →，则O ，P ，A ，B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面． 其中正确命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错，空间中任意两个向量都是共面的； ②错，因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确，因为OP →，OA →，OB →共面， ∴O ，P ，A ，B 四点共面； ④错，没有强调零向量；⑤错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．反思与感悟 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．跟踪训练1 下列说法正确的是________．(填序号) ①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是AB →，AA 1—→，AD →，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB →＋AA 1—→＋AD →；③若OP →＝12(P A →＋PB →)成立，则P 点一定是线段AB 的中点；④在空间中，若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共面；⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面． 答案 ④类型二 向量共面的证明例2 如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AGAH＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 解 连结BG .因为AB →＝PB →－P A →，AB →＝DC →， 所以DC →＝PB →－P A →， 因为PC →＝PD →＋DC →，所以PC →＝PD →＋PB →－P A →＝－P A →＋PB →＋PD →. 因为PH HC ＝12，所以PH →＝13PC →，所以PH →＝13(－P A →＋PB →＋PD →)＝－13P A →＋13PB →＋13PD →.又因为AH →＝PH →－P A →， 所以AH →＝－43P A →＋13PB →＋13PD →，因为AGAH＝m ，所以AG →＝mAH →＝－4m 3P A →＋m 3PB →＋m 3PD →，因为BG →＝－AB →＋AG →＝P A →－PB →＋AG →， 所以BG →＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3P A →＋⎝⎛⎭⎫m 3－1PB →＋m 3PD →. 又因为G ，B ，P ，D 四点共面，所以1－4m 3＝0，m ＝34.即m 的值是34.反思与感悟 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．跟踪训练2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B —→，B 1C —→，EF →是共面向量．证明 EF →＝EB →＋BA 1—→＋A 1F —→＝12B 1B —→－A 1B —→＋12A 1D 1—→ ＝12(B 1B —→＋BC →)－A 1B —→ ＝12B 1C —→－A 1B —→. 又B 1C —→，A 1B —→不共线，由向量共面的充要条件知，A 1B —→，B 1C —→，EF →是共面向量． 类型三 共面向量定理的应用例3 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点， 求证：AB 1∥平面C 1BD .证明 记AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1—→＝c ，则AB 1—→＝a ＋c ，DB →＝AB →－AD →＝a －12b ，DC 1—→＝DC →＋CC 1—→＝12b ＋c ，所以DB →＋DC 1—→＝a ＋c ＝AB 1—→，又DB →与DC 1—→不共线， 所以AB 1—→，DB →，DC 1—→共面．又由于AB 1⊄平面C 1BD ，所以AB 1∥平面C 1BD .反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪训练3 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1—→＝c ，在面对角线AC 1上和棱BC 上分别取点M ，N ，使AM →＝kAC 1—→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB 1A 1.证明 AM →＝k ·AC 1—→＝k (AA 1—→＋AC →)＝k b ＋k c ，又∵AN →＝AB →＋BN →＝a ＋kBC →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ， ∴MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a ＋k b －k b －k c ＝(1－k )a －k c .又a 与c 不共线． ∴MN →与向量a ，c 是共面向量． 又MN ⊄平面ABB 1A 1， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.1．给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面；②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . 其中真命题的个数为________． 答案 1解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b ＝0时，则有无数多个λ使之成立．2．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．答案 13解析 由题意知，x ＋13＋13＝1，所以x ＝13.3．下列命题中，正确命题的个数为________． ①若a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反； ②若AB →＝CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；③若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )． 答案 0解析 当a ，b 中有零向量时，①不正确；AB →＝CD →时，A ，B ，C ，D 四点共面不一定共线，故②不正确；由p ，a ，b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，故③不正确．4．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________. 答案215解析 ∵P 与A ，B ，C 共面．∴AP →＝αAB →＋βAC →，∴AP →＝α(OB →－OA →)＋β(OC →－OA →)，即OP →＝OA →＋αOB →－αOA →＋βOC →－βOA →＝(1－α－β)OA →＋αOB →＋βOC →， ∴1－α－β＋α＋β＝1.因此15＋23＋λ＝1，解得λ＝215.共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面．(2)空间中四点共面的条件空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x，y使得MP→＝xMA→＋yMB→，①此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA→，MB→实质就是平面MAB内平面向量的一组基底．另外有OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→，②或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→(x＋y＋z＝1)，③①②③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．一、填空题1．设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则λ＝________，μ＝________.答案00解析∵a，b是两个不共线的向量，∴a≠0，b≠0，∴λ＝μ＝0.2．下列结论中，正确的是________．(填序号)①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝x b＋y c；②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝x b＋y c；③若a ，b ，c 共面，b ，c 不共线，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c . 答案 ②③解析 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第②个命题正确；但定理的应用又有一个前提：b ，c 是不共线向量，否则即使三个向量a ，b ，c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确；③正确．3．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是________． 答案 共面向量解析 如果a ，b 是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a ，b,3a －2b 共面；若a ，b 共线，则a ，b,3a －2b 共线，当然也共面．4.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1，若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________.答案 13解析 EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1—→－AB →－13BB 1—→＝AD →－AB →＋13AA 1—→.∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.5．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB →＝i －2j ＋2k ，BC →＝2i ＋j －3k ，CD →＝λi ＋3j －5k ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为________． 答案 1解析 若A ，B ，C ，D 四点共面，则向量AB →，BC →，CD →共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得aAB →＋bBC →＋cCD →＝0.即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0， ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.6.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC →＝13a ＋(b －a )＋12(OC →－OB →)＝13a ＋(b －a )＋12(c －b ) ＝－23a ＋12b ＋12c .7．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y ＝________.答案 76解析 由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，联立方程组解得x＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76. 8．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(3，－4,2)，c ＝(7，λ，5)，若a ，b ，c 共面，则实数λ的值为________． 答案 －12313解析 易得c ＝t a ＋μb ＝(－2t ＋3μ，t －4μ，3t ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝－2t ＋3μ，5＝3t ＋2μ，λ＝t －4μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝113，μ＝3113，λ＝－12313，故λ的值为－12313.9．已知P ，A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O 都有OP →＝2OA →＋43OB →＋λOC →，则λ＝________.答案 －73解析 因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1，所以2＋43＋λ＝1，得λ＝－73.10．已知i ，j ，k 是不共面向量，a ＝2i －j ＋3k ，b ＝－i ＋4j －2k ，c ＝7i ＋5j ＋λk ，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________. 答案657解析 ∵a ，b ，c 三向量共面， ∴存在实数m ，n ，使得c ＝m a ＋n b ，即7i ＋5j ＋λk ＝m (2i －j ＋3k )＋n (－i ＋4j －2k )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，∴λ＝657.11．在以下命题中，不正确的命题的个数为________．①已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若a 与b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面． 答案 3解析 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0，①正确； 若a ，b 同向共线，则|a |－|b |<|a ＋b |，故②不正确； 由向量平行知③不正确； 由空间向量共面知④不正确． 故共有3个命题不正确． 二、解答题12.如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．13．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 共面．证明 方法一 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0， 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3v ＝0，λ＋8μ－3v ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5，μ＝1，v ＝1是其中一组解，则－5AB →＋AC →＋AD →＝0，所以A ，B ，C ，D 共面．方法二 观察可得AC →＋AD →＝(2e 1＋8e 2)＋(3e 1－3e 2)＝5e 1＋5e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，所以AB →＝15AC →＋15AD →.由共面向量知，AB →，AC →，AD →共面．又它们有公共点A ，所以A ，B ，C ，D 四点共面． 三、探究与拓展14．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝12GB ，过E ，F ，G 三点的平面与对角线AC 1交于点P ，则AP ∶PC 1＝________.答案316解析 设AP →＝m AC 1—→， 因为AC 1—→＝AB →＋BB 1—→＋B 1C 1—→ ＝AB →＋AA 1—→＋AD → ＝3AG →＋43AE →＋2AF →，所以AP →＝3mAG →＋43mAE →＋2mAF →，又因为E 、F 、G 、P 四点共面，所以3m ＋43m ＋2m ＝1，所以m ＝319，所以AP ∶PC 1＝3∶16.15.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C —→，OD →，OC 1—→是共面向量．证明 设C 1B 1—→＝a ， C 1D 1—→＝b ，C 1C —→＝c ，∵四边形B 1BCC 1为平行四边形，∴B 1C —→＝c －a ， 又O 是B 1D 1的中点， ∴C 1O —→＝12(a ＋b )，∴OC 1—→＝－12(a ＋b )，OD 1—→＝C 1D 1—→－C 1O —→＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )．∵D 1D 綊C 1C ，∴D 1D —→＝c ， ∴OD →＝OD 1—→＋D 1D —→＝12(b －a )＋c .若存在实数x ，y ，使B 1C —→＝xOD →＋yOC 1—→(x ，y ∈R )成立，则 c －a ＝x ⎣⎡⎦⎤12(b －a )＋c ＋y ⎣⎡⎦⎤－12(a ＋b ) ＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c .∵a ，b ，c 不共线，∴⎩⎨⎧12(x ＋y )＝1，12(x －y )＝0，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴B 1C →＝OD →＋OC 1—→，又OD →与OC 1—→不共线， ∴B 1C →，OD →，OC 1—→是共面向量．。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 滚动训练(三)
滚动训练(三)一、填空题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方x 24y 22程为________．答案 y 2＝±8x解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物x 24y 22线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．考点 “p ∨q ”形式命题真假性的判断题点 由“p ∨q ”形式命题的真假求参数的范围答案 [2，＋∞)解析 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，可得m ＜0；由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，可得Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.因为p ∨q 为假命题，所以p 与q 都是假命题，若p 是假命题，则有m ≥0；若q 是假命题，则有m ≤－2或m ≥2，故实数m 的取值范围为[2，＋∞)．3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－，0)，F 2(，0)，M 是椭圆上一点，若·＝0，|55MF 1→ MF 2→ |·||＝8，则该椭圆的标准方程是________．MF 1→ MF 2→ 考点 椭圆的标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 ＋＝1x 29y 24解析 由·＝0，MF 1→ MF 2→ 得⊥，即MF 1⊥MF 2，MF 1→ MF 2→ 由勾股定理，得MF 21＋MF ＝(2c )2＝20，2且||·||＝8，MF 1→ MF 2→ 解得||＝4，||＝2(假设||＞||)，MF 1→ MF 2→ MF 1→ MF 2→ 所以根据椭圆的定义，可得||＋||＝2a ＝6，即a ＝3，MF 1→ MF 2→ 所以b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.x 29y 244．设e 是椭圆＋＝1的离心率，且e ∈，则实数k 的取值范围是________．x 2k y 24(12，1)考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆的几何特征求参数答案 (0,3)∪(163，＋∞)解析 当焦点在x 轴上时，e ＝∈，k －4k (12，1)∴∈，∴k ∈；k －4k (14，1)(163，＋∞)当焦点在y 轴上时，e ＝∈，4－k2(12，1)∴k ∈(0,3)．故实数k 的取值范围是(0,3)∪.(163，＋∞)5．已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，x 2a 2y 2b 262263则该双曲线的标准方程为________．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 渐近线为条件求双曲线的标准方程答案 －＝1x 28y 24解析 e ＝，即c ＝a ，a ＝b ，62622渐近线方程为－＝0，即y ＝±x ，x 22b 2y 2b 22因为左顶点到一条渐近线的距离为＝，|a |3263解得a ＝2，b ＝2，2即该双曲线的标准方程为－＝1.x 28y 246．已知抛物线C ：x 2＝16y 的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，P 是直线MF 与C 的一个交点，若＝3，则PF ＝________.FM → FP → 考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 163解析 由抛物线C ：x 2＝16y 可得焦点为F (0,4)，准线方程为y ＝－4，设M (a ，－4)，P ，(m ，m 216)则＝(a ，－8)，＝.FM → FP → (m ，m 216－4)因为＝3，FM → FP → 所以a ＝3m ，－8＝－12，解得m 2＝.3m 216643由抛物线的定义，得PF ＝＋4＝.m 2161637．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，则m 的取值范围是________．考点 全称命题的真假性判断题点 恒成立求参数的范围答案 (－4,0)解析 由g (x )＝2x －2＜0，可得x ＜1，∴要使∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＜0恒成立．当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，∴二次函数f (x )必须开口向下，且方程f (x )＝0的两根2m ，－m －3都小于1，即Error!解得－4＜m ＜0.8．与双曲线－＝1有相同渐近线，且经过点(3，－3)的双曲线的标准方程是x 216y 293__________________．考点 由双曲线的简单几何性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 －＝1x 211y 29916解析 设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，x 216y 29∵所求双曲线经过点(3，－3)，∴－＝λ，3(33)216(－3)29∴λ＝，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.1116x 211y 299169．椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，下顶点为C ，若直x 2a 2y 2b 2线AB 与直线CF 的交点为(3a,16)，则椭圆的标准方程为____________．考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程答案 ＋＝1x 225y 216解析 由椭圆的左顶点的坐标为A (－a,0)，上、下顶点的坐标为B (0，b )，C (0，－b )，右焦点为F (c,0)，得直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，b a 直线CF 的方程为y ＝x －b ，bc 又因为直线AB 与直线CF 的交点为(3a,16)，把点(3a,16)分别代入直线方程可得Error!解得b ＝4且3a ＝5c .又因为a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，所以椭圆的标准方程为＋＝1.x 225y 21610．已知点A 到点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等，点A 的轨迹与过点P (－1,0)且斜率为k 的直线没有交点，则k 的取值范围是________________．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 设点A (x ，y )，依题意，得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由Error!消去x ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k ·4k ＜0，化简得k 2－1＞0，解得k ＞1或k ＜－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．11．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是________．答案 6x －4y －3＝0解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x的焦点F ，所以(12，0)3×－2×0＋c ＝0，12所以c ＝－，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.32二、解答题12．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若AF ＝2BF ，求k 的值．解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由Error!消去y 得，k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴x 1＋x 2＝，x 1x 2＝4.4(2－k 2)k 2由抛物线定义得AF ＝x 1＋2，BF ＝x 2＋2，又∵AF ＝2BF ，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x ＋x 2－2＝0，2∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4，∴＝5，4(2－k 2)k 2∴k 2＝.∵k >0，∴k ＝.8922313．已知命题p ：方程－＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线－＝1x 22m y 2m －1y 25x 2m 的离心率e ∈(1,2)，若p ，q 有且只有一个为真，求m 的取值范围．考点 “p ∨q ”形式命题真假性的判断题点 由“p ∨q ”形式命题的真假求参数的范围解 将方程－＝1改写成＋＝1，x 22m y 2m －1x 22m y 21－m 只有当1－m ＞2m ＞0，即0＜m ＜时，13方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以命题p 等价于0＜m ＜；13因为双曲线－＝1的离心率e ∈(1,2)，y 25x 2m 所以m ＞0，且1＜＜4，解得0＜m ＜15，5＋m5所以命题q 等价于0＜m ＜15.若p 真q 假，则m 不存在；若p 假q 真，则≤m ＜15.13综上可知m 的取值范围为≤m ＜15.13三、探究与拓展14．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则A ，B 两点间的距离为________．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题答案 32解析 由题意可设l AB ：y ＝x ＋b .把直线l AB 的方程代入y ＝－x 2＋3中，得x 2＋x ＋b －3＝0，Δ＝1－4(b －3)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2b －1，∴线段AB 的中点坐标为，(－12，b －12)∵该点在直线x ＋y ＝0上，∴－＋＝0，得b ＝1，12(b －12)∴x 1x 2＝b －3＝－2.∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝×＝3.2(－1)2－4×(－2)2故A ，B 两点间的距离为3.215．已知椭圆C 1：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，P (－2,1)是C 1上一点．x 2a 2y 2b 232(1)求椭圆C 1的方程；(2)设A ，B ，Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 与C 1相交于不同于P ，Q 的两点C ，D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形为等腰三角形．考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题(1)解 由题意，得Error!解得Error!所以椭圆的方程为＋＝1.x 28y 22(2)证明 由题意，得A (－2，－1)，B (2,1)，所以直线l 的斜率为，12设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，12由Error!消去y ，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0，由Δ＝－4t 2＋16＞0，解得－2＜t ＜2.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4，∴k PD ＋k PE ＝＋y 2－1x 2＋2－y 1－1－x 1＋2＝，(y 2－1)(－x 1＋2)＋(－y 1－1)(x 2＋2)(x 2＋2)(－x 1＋2)而(y 2－1)(－x 1＋2)＋(－y 1－1)(x 2＋2)＝－x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4＝0，∴k PD ＋k PE ＝0，∴直线PD ，PE 与y 轴围成的三角形为等腰三角形．。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.5 Word版含答案
3.1.5 空间向量的数量积学习目标 1.理解空间向量的夹角及有关概念．掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途.3.会用坐标法判断空间向量的平行、垂直,会求空间两向量的夹角．知识点一 空间向量的夹角1．定义：a ,b 是空间两个非零向量,过空间任意一点O ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角,记作〈a ,b 〉． 2．图形表示：3.范围：0≤〈a ,b 〉≤π.4．空间向量的垂直：如果〈a ,b 〉＝π2,那么称a 与b 互相垂直,记作a ⊥b .知识点二 空间向量的数量积思考 两个向量的数量积是数量,还是向量？答案 数量,由数量积的定义a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉,知其为数量而非向量． 梳理 (1)定义：①设a ,b 是空间两个非零向量,把数量|a ||b |cos 〈a ,b 〉叫做a ,b 的数量积． ②记作：a ·b ,即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉．(2)运算律：(3)坐标表示：已知非零向量a ,b ,a ＝(x 1,y 1,z 1),b ＝(x 2,y 2,z 2),则 ①a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.②a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0. ③|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21＋z 21.④cos 〈a ,b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21·x 22＋y 22＋z 22.知识点三 空间中两点间的距离公式思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？答案 空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根,因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关．梳理 在空间直角坐标系中,设A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2),则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.1．若a ·b ＝0,则a ＝0或b ＝0.(×)2．〈a ,b 〉与(a ,b )都表示直角坐标系下的点．(×) 3．在△ABC 中,〈AB →,BC →〉＝∠B .(×) 4．对于向量a ,总有|a |2＝a 2.(√)类型一 空间向量的数量积运算命题角度1 空间向量的数量积基本运算例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明,不正确的给予说明． ①p 2·q 2＝(p ·q )2； ②|p ＋q |·|p －q |＝|p 2－q 2|；③若a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 均不为0,则它们垂直． 解 ①此命题不正确． ∵p 2·q 2＝|p |2·|q |2,而(p ·q )2＝(|p |·|q |·cos 〈p ,q 〉)2 ＝|p |2·|q |2·cos 2〈p ,q 〉,∴当且仅当p ∥q 时,p 2·q 2＝(p ·q )2. ②此命题不正确． ∵|p 2－q 2|＝|(p ＋q )·(p －q )| ＝|p ＋q |·|p －q |·|cos 〈p ＋q ,p －q 〉|, ∴当且仅当(p ＋q )∥(p －q )时, |p ＋q |·|p －q |＝|p 2－q 2|. ③此命题正确．∵a ·[(a ·b )·c －(a ·c )·b ]＝a ·(a ·b )·c －a ·(a ·c )·b ＝(a ·b )(a ·c )－(a ·b )(a ·c )＝0, 且a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 均为非零向量, ∴a 与(a ·b )·c －(a ·c )·b 垂直．(2)设θ＝〈a ,b 〉＝120°,|a |＝3,|b |＝4,求： ①a ·b ；②(3a －2b )·(a ＋2b )． 解 ①∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉, ∴a ·b ＝3×4×cos120°＝－6.②∵(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2 ＝3|a |2＋4|a ||b |cos120°－4|b |2,∴(3a －2b )·(a ＋2b )＝3×9＋4×3×4×⎝⎛⎭⎫－12－4×16＝27－24－64＝－61. 反思与感悟 1.已知a ,b 的模及a 与b 的夹角,直接代入数量积的公式计算．2．如果欲求的是关于a 与b 的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a ·a ＝|a |2及数量积公式进行计算．跟踪训练1 已知a ,b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a ＋3b |＝________. 答案13解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2 ＝1＋6×cos60°＋9＝13, ∴|a ＋3b |＝13.例2 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB ＝AA 1＝2,AD ＝4,E 为侧面ABB 1A 1的中心,F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1—→；(2)BF →·AB 1—→；(3)EF →·FC 1—→.解 如图,设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c ,则|a |＝|c |＝2,|b |＝4, a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1—→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1—→)＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16. (2)BF →·AB 1—→＝(BA 1—→＋A 1F —→)·(AB →＋BB 1—→)＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2 ＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1—→＝(EA 1—→＋A 1F —→)·(FD 1—→＋D 1C 1—→)＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.反思与感悟 两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．跟踪训练2 已知正四面体OABC 的棱长为1,求： (1)(OA →＋OB → )·(CA →＋CB →)；(2)|OA →＋OB →＋OC →|.解 (1)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1. (2)|OA →＋OB →＋OC →| ＝(OA →＋OB →＋OC →)2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →·OB →＋OB →·OC →＋OA →·OC →) ＝12＋12＋12＋2(1×1×cos60°×3)＝ 6.类型二 利用数量积求夹角或模例3 如图所示,在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中,AB ＝4,AD ＝3,AA ′＝5,∠BAD ＝90°,∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求AC ′—→与AC →的夹角的余弦值． 解 (1)∵AC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→, ∴|AC ′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′—→＋AD →·AA ′—→) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. ∴|AC ′—→|＝85.(2)设AC ′—→与AC →的夹角为θ, 方法一 ∵ABCD 是矩形,∴|AC →|＝32＋42＝5.∴由余弦定理可得cos θ＝AC ′2＋AC 2－CC ′22AC ′·AC ＝85＋25－252×85×5＝8510.方法二 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA ′→＝c , 依题意得AC ′—→·AC →＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝a 2＋2a ·b ＋b 2＋a ·c ＋b ·c＝16＋0＋9＋4×5×cos60°＋3×5×cos60° ＝16＋9＋10＋152＝852,∴cos θ＝AC ′—→·AC →|AC ′—→||AC →|＝85285×5＝8510.反思与感悟 1.求两点间的距离或某线段的长度,就是把此线段用向量表示,然后用|a |2＝a ·a ,即|a |＝a ·a 通过向量运算求|a |.2．对于空间向量a ,b ,有cos 〈a ,b 〉＝a·b |a ||b |.利用这一结论,可以较方便地求解异面直线所成的角的问题,由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，π2,故〈a ,b 〉∈⎝⎛⎦⎤0，π2时,它们相等；而当〈a ,b 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时,它们互补. 跟踪训练3 如图,已知线段AB ⊥平面α,BC ⊂α,CD ⊥BC ,DF ⊥平面α,且∠DCF ＝30°,D 与A 在α的同侧,若AB ＝BC ＝CD ＝2,求A ,D 两点间的距离．解 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →,∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD →＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8, ∴|AD →|＝22,即A ,D 两点间的距离为2 2. 类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题例4 如图,在空间四边形OABC 中,OB ＝OC ,AB ＝AC ,求证：OA ⊥BC .证明 因为OB ＝OC ,AB ＝AC ,OA ＝OA , 所以△OAC ≌△OAB , 所以∠AOC ＝∠AOB .又OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝0, 所以OA →⊥BC →,即OA ⊥BC .反思与感悟 1.证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．2．证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法先用向量a,b,c表示向量m,n,再判断向量m,n的数量积是否为0.跟踪训练4已知向量a,b满足：|a|＝2,|b|＝2,且a与2b－a互相垂直,则a与b的夹角为________．答案45°解析∵a与2b－a垂直,∴a·(2b－a)＝0,即2a·b－|a|2＝0.∴2|a||b|·cos〈a,b〉－|a|2＝0,∴42cos〈a,b〉－4＝0,∴cos〈a,b〉＝22,又〈a,b〉∈[0°,180°],∴a与b的夹角为45°.1．若a＝(2,－3,1),b＝(2,0,3),c＝(0,2,2),则a·(b＋c)的值为________．答案 3解析∵b＋c＝(2,2,5),∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.2．已知向量a＝(1,1,0),b＝(－1,0,2),且k a＋b与2a－b互相垂直,则k的值是________．答案7 5解析依题意得(k a＋b)·(2a－b)＝0,所以2k|a|2－k a·b＋2a·b－|b|2＝0, 而|a|2＝2,|b|2＝5,a·b＝－1,所以4k＋k－2－5＝0,解得k＝75.3．已知a,b为两个非零空间向量,若|a|＝22,|b|＝22,a·b＝－2,则〈a,b〉＝________.答案3π4解析 cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a ||b |＝－22,又∵0≤〈a ,b 〉≤π,∴〈a ,b 〉＝3π4.4．已知正四面体ABCD 的棱长为2,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,则EF 的长为________． 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2, ∴|EF →|＝2,∴EF 的长为 2.5．已知A (2,－5,1),B (2,－2,4),C (1,－4,1),则向量AB →与AC →的夹角为________． 答案 π3解析 ∵AB →＝(0,3,3),AC →＝(－1,1,0), ∴|AB →|＝32,|AC →|＝2,AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3, ∴cos 〈AB →,AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12,又∵〈AB →,AC →〉∈[0,π],∴〈AB →,AC →〉＝π3.1．在几何体中求空间向量数量积的步骤：(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉求解．2．空间向量的数量积和夹角有关,经常以空间向量数量积为工具,解决立体几何中与夹角相关的问题,把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题,但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．一、填空题1．设a ,b ,c 为两两垂直的单位向量,则|a －2b ＋3c |＝________. 答案14解析 |a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14,故|a －2b ＋3c |＝14. 2．已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线AC 1的长为________． 答案6解析 ∵AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→,∴|AC 1—→|2＝(AB →＋AD →＋AA 1—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1—→|2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1—→＋2AD →·AA 1—→＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6,∴|AC 1—→|＝ 6.3．已知空间三点A (1,1,1),B (－1,0,4),C (2,－2,3),则AB →与CA →的夹角θ的大小是________． 答案2π3解析 AB →＝(－2,－1,3),CA →＝(－1,3,－2),AB →·CA →＝－7,|AB →|＝14,|CA →|＝14, ∴cos θ＝－714×14＝－12,又∵θ∈[0,π],∴θ＝2π3.4．若向量a ＝(1,1,x ),b ＝(1,2,1),c ＝(1,1,1),且满足条件(c －a )·2b ＝－2,则x ＝________. 答案 2解析 据题意,有c －a ＝(0,0,1－x ),2b ＝(2,4,2), 故(c －a )·2b ＝2(1－x )＝－2,解得x ＝2.5．已知向量a ,b 满足|a |＝1,|b |＝2,且a 与b 的夹角为π3,则|a ＋b |＝________.答案7解析 |a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×2×cos π3＋22＝7,∴|a ＋b |＝7.6．已知a ,b 是空间两个向量,若|a |＝2,|b |＝2,|a －b |＝7,则cos 〈a ,b 〉＝________.答案 18解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7,求得a ·b ＝12, 再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉,求得cos 〈a ,b 〉＝18. 7．已知空间向量a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＝0,|a |＝3,|b |＝1,|c |＝4,则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________． 答案 －13解析 ∵a ＋b ＋c ＝0,∴(a ＋b ＋c )2＝0,∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0,∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32＋12＋422＝－13. 8．已知a ＝(cos α,1,sin α),b ＝(sin α,1,cos α),则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 答案 90°解析 ∵a ＝(cos α,1,sin α),b ＝(sin α,1,cos α),∴a ＋b ＝(sin α＋cos α,2,sin α＋cos α),a －b ＝(cos α－sin α,0,sin α－cos α),∴(a ＋b )(a －b )＝cos 2α－sin 2α＋sin 2α－cos 2α＝0,∴(a ＋b )⊥(a －b )．∴向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°.9．已知|a |＝32,|b |＝4,m ＝a ＋b ,n ＝a ＋λb ,〈a ,b 〉＝135°,且m ⊥n ,则实数λ＝________.答案 －32解析 ∵m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos135°＋32×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ,∴m ·n ＝0＝6＋4λ,∴λ＝－32. 10．将AB ＝23,BC ＝2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角,则B ,D 间的距离为________．答案 7解析 作DE ⊥AC 于点E ,BF ⊥AC 于点F .由已知可得AC ＝4,DE ＝BF ＝3,∴AE ＝1,CF ＝1,∴EF ＝2.∵二面角的大小为60°,∴DE →与FB →的夹角为120°,∴|DB →|2＝(DE →＋EF →＋FB →)2＝7,∴|DB →|＝7,∴B ,D 间的距离为7.11．已知向量a ＝(5,3,1),b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25,若a 与b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为________________．答案 ⎝⎛⎫－∞，－65∪⎝⎛⎫－65，5215 解析 由已知得a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25＝3t －525, 因为a 与b 的夹角为钝角,所以a ·b <0,即3t －525<0,所以t <5215. 若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a ＝λb (λ<0),即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25, 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝－2λ，3＝tλ，1＝－25λ，所以t ＝－65, 故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215. 二、解答题12．已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5),求以AB →,AC →为邻边的平行四边形的面积S .解 ∵AB →＝(－2,－1,3),AC →＝(1,－3,2),∴|AB →|＝4＋1＋9＝14,|AC →|＝4＋1＋9＝14,cos 〈AB →,AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝12,且〈AB →,AC →〉∈[0,π],∴sin 〈AB →,AC →〉＝32, ∴S ＝|AB →||AC →|·sin 〈AB →,AC →〉＝73,∴以AB →,AC →为邻边的平行四边形的面积为7 3.13.如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中,CA ＝CB ＝1,∠BCA ＝90°,棱AA 1＝2,N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B —→与B 1C —→夹角的余弦值．解 以{CA →,CB →,CC 1—→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0),N (1,0,1),故|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3,所以线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2),C (0,0,0),B 1(0,1,2),所以BA 1—→＝(1,－1,2),CB 1—→＝(0,1,2),BA 1—→·CB 1—→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又因为|BA 1—→|＝6,|CB 1—→|＝5,所以cos 〈BA 1,CB 1→〉＝BA 1—→·CB 1—→|BA 1—→||CB 1—→|＝3010.即A 1B —→与B 1C —→夹角的余弦值为3010. 三、探究与拓展14．已知向量a ,b ,|a |＝1,|b |＝2.若对任意单位向量e ,均有|a ·e |＋|b ·e |≤6,则a ·b 的最大值是________．答案 12解析 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立．∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ,∴a ·b ≤12. 15.如图,在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,底面边长为 2.(1)设侧棱长为1,求证：AB 1⊥BC 1；(2)设AB 1与BC 1的夹角为π3,求侧棱的长． (1)证明 AB 1—→＝AB →＋BB 1—→,BC 1—→＝BB 1—→＋BC →.∵BB 1⊥平面ABC ,∴BB 1—→·AB →＝0,BB 1—→·BC →＝0.又△ABC 为正三角形,∴〈AB →,BC →〉＝π－〈BA →,BC →〉＝π－π3＝2π3. ∵AB 1—→·BC 1—→＝(AB →＋BB 1—→)·(BB 1—→＋BC →)＝AB →·BB 1—→＋AB →·BC →＋BB 1—→2＋BB 1—→·BC →＝|AB →||BC →|·cos 〈AB →,BC →〉＋BB 1—→2＝－1＋1＝0, ∴AB 1⊥BC 1.(2)解 结合(1)知AB 1—→·BC 1—→＝|AB →||BC →|·cos 〈AB →,BC →〉＋BB 1—→2＝BB 1—→2－1.又|AB 1→|＝(AB →＋BB 1—→)2＝2＋BB 1—→2＝|BC 1—→|,∴cos 〈AB 1—→,BC 1—→〉＝BB 1—→2－12＋BB 1—→2＝12, ∴|BB 1—→|＝2,即侧棱长为2.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 疑难规律方法 Word版含答案
1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征,揭示了曲线存在的几何性质．有些问题,如果恰当运用定义来解决,可以起到事半功倍的效果,下面通过几个例子进行说明． 1．求最值例1 线段AB ＝4,P A ＋PB ＝6,M 是AB 的中点,当P 点在同一平面内运动时,PM 的长度的最小值是________．解析 由于P A ＋PB ＝6>4＝AB ,故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点,A ,B 为焦点的椭圆,且a ＝3,c ＝2,∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5.答案52．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1,F 2的距离之积最大的点的坐标是________．解析 设椭圆上的动点为P ,由椭圆的定义可知 PF 1＋PF 2＝2a ＝10, 所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝⎛⎭⎫1022＝25, 当且仅当PF 1＝PF 2时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝PF 2，解得PF 1＝PF 2＝5＝a ,此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点, 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“PF 1＋PF 2＝10”,即两个正数PF 1,PF 2的和为定值,结合基本不等式可求PF 1,PF 2乘积的最大值,结合图形可得所求点P 的坐标．3．求焦点三角形面积例3 如图所示,已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1,若点P 在第二象限,且∠PF 1F 2＝120°,求△PF 1F 2的面积．解 由已知,得a ＝2,b ＝3, 所以c ＝a 2－b 2＝1,F 1F 2＝2c ＝2.在△PF 1F 2中,由余弦定理,得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos120°, 即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1,①由椭圆定义,得PF 1＋PF 2＝4, 即PF 2＝4－PF 1.② 将②代入①,得PF 1＝65.所以S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin120°＝12×65×2×32＝335, 即△PF 1F 2的面积是335.点评 在△PF 1F 2中,由椭圆的定义及余弦定理可得关于PF 1,PF 2的方程组,消去PF 2可求PF 1. 从以上问题,我们不难发现,凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题,我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2 如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于4个不同的点,顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为________．解析 如图所示,设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),焦距为2c ,由题意知∠F 1AF 2＝90°,∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ,AF 1＝2c ·sin60°＝3c . ∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案3－1点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质,并结合椭圆的定义,化难为易,使问题简单解决． 2．解方程(组)求离心率例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0),A (－a ,0),B (0,b )是两个顶点,如果F 1到直线AB 的距离为b7,则椭圆的离心率e ＝________. 解析 如图所示,直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1,即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c,0)到直线AB 的距离为b 7,∴b 7＝|－bc ＋ab |a 2＋b2,∴7|a －c |＝a 2＋b 2,即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2.又∵b 2＝a 2－c 2,整理,得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝ca 知,8e 2－14e ＋5＝0,解得e ＝12或e ＝54(舍去)．答案 123．利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中,已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),圆O 的半径为a ,过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆O 的两条切线,且这两条切线互相垂直,则离心率e ＝________. 解析 如图所示,切线P A ,PB 互相垂直,P A ＝PB .又OA ⊥P A ,OB ⊥PB ,OA ＝OB , 则四边形OAPB 是正方形, 故OP ＝2OA , 即a 2c ＝2a ,∴e ＝c a ＝22. 答案224．综合类例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点,F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,如果∠MF 1F 2＝75°,∠MF 2F 1＝15°,求椭圆的离心率．解 由正弦定理得2c sin90°＝MF 1sin15°＝MF 2sin75°＝MF 1＋MF 2sin15°＋sin75°＝2asin15°＋sin75°,∴e ＝c a ＝1sin15°＋cos15°＝12sin60°＝63.点评 此题可推广为若∠MF 1F 2＝α,∠MF 2F 1＝β,则椭圆的离心率e ＝cosα＋β2cosα－β2.3 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时,若能灵活应用双曲线的定义,能把大题化为小题,起到事半功倍的作用．下面举例说明． 1．求动点轨迹例1 动圆C 与两定圆C 1：x 2＋(y －5)2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋5)2＝16都外切,求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设动圆圆心为C (x ,y ),半径为r , 因为动圆C 与两定圆相外切,所以⎩⎪⎨⎪⎧CC 1＝r ＋1，CC 2＝r ＋4，即CC 2－CC 1＝3<C 1C 2＝10,所以点C 的轨迹是以C 1(0,5),C 2(0,－5)为焦点的双曲线的上支,且a ＝32,c ＝5,所以b 2＝914.故动圆圆心C 的轨迹方程为4y 29－4x 291＝1⎝⎛⎭⎫y ≥32.点评 依据动圆与两定圆外切建立关系式,可得到CC 2－CC 1＝3<C 1C 2,从而判断出C 的轨迹是双曲线的一支,最后求出a ,b 即可写出轨迹方程,这里一定要注意所求的轨迹是双曲线的一支还是两支．2．求焦点三角形的周长例2 过双曲线x 216－y 29＝1左焦点F 1的直线与左支交于A ,B 两点,且弦AB 长为6,则△ABF 2(F 2为右焦点)的周长是________．解析 由双曲线的定义知AF 2－AF 1＝8,BF 2－BF 1＝8, 两式相加得AF 2＋BF 2－(AF 1＋BF 1)＝AF 2＋BF 2－AB ＝16, 从而有AF 2＋BF 2＝16＋6＝22,所以△ABF 2的周长为AF 2＋BF 2＋AB ＝22＋6＝28. 答案 28点评 与焦点有关的三角形周长问题,常借助双曲线的定义解决,注意解决问题时的拼凑技巧．3．最值问题例3 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点,P 是双曲线右支上一动点,定点M (4,2),求PM ＋PF的最小值．解 设双曲线的左焦点为F ′, 则F ′(－2,0), 由双曲线的定义知： PF ′－PF ＝2a ＝23, 所以PF ＝PF ′－23,所以PM ＋PF ＝PM ＋PF ′－23,要使PM ＋PF 取得最小值,只需PM ＋PF ′取得最小值,由图可知,当P 、F ′、M 三点共线时,PM ＋PF ′有最小值MF ′＝210, 故PM ＋PF 的最小值为210－2 3.点评 本题利用双曲线的定义对F 的位置进行转换,然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：(1)若将M 坐标改为M (1,1),其他条件不变,如何求解呢？(2)若P 是双曲线左支上一动点,如何求解呢？ 4．求离心率范围例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,且PF 1＝4PF 2,试求该双曲线离心率的取值范围． 解 因为PF 1＝4PF 2,点P 在双曲线的右支上, 所以设PF 2＝m ,则PF 1＝4m ,由双曲线的定义,得PF 1－PF 2＝4m －m ＝2a , 所以m ＝23a .又PF 1＋PF 2≥F 1F 2, 即4m ＋m ≥2c ,所以m ≥25c ,即23a ≥25c ,所以e ＝c a ≤53.又e >1,所以双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53. 点评 本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a ,c 的不等关系,使问题得以巧妙地转化、获解．4 抛物线的焦点弦例1 如图所示,AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),AB 的中点M (x 0,y 0),过A ,M ,B 分别向抛物线的准线l 作垂线,垂足分别为A 1,M 1,B 1,则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)AB ＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p2(焦点弦长与中点坐标的关系)； (3)AB ＝x A ＋x B ＋p ；(4)A ,B 两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值,即x A x B ＝p 24,y A y B ＝－p 2；(5)A 1F ⊥B 1F ； (6)A ,O ,B 1三点共线； (7)1F A ＋1FB ＝2p. 以下以第(7)条结论为例证明： 证明 当直线AB 的斜率不存在, 即与x 轴垂直时,F A ＝FB ＝p ,∴1F A ＋1FB ＝1p ＋1p ＝2p. 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2,并代入y 2＝2px , ∴⎝⎛⎭⎫kx －kp22＝2px , 即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0.由A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2,x A x B ＝p 24.∵F A ＝x A ＋p 2,FB ＝x B ＋p2,∴F A ＋FB ＝x A ＋x B ＋p , F A ·FB ＝⎝⎛⎭⎫x A ＋p 2⎝⎛⎭⎫x B ＋p 2 ＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p2(x A ＋x B ＋p )．∴F A ＋FB ＝F A ·FB ·2p ,即1F A ＋1FB ＝2p.点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质,解题时,不可忽视AB ⊥x 轴的情况． 例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A ,B ,C 为该抛物线上三点,若F A →＋FB →＋FC →＝0,则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0, 即x 1＋x 2＋x 3＝3,|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时,应根据曲线的不同背景,不同的结构特征,选用不同的思路和方法,才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究． 1．定义法求曲线方程时,如果动点轨迹满足已知曲线的定义,则可根据题设条件和图形的特点,恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系,再由曲线定义直接写出方程,这种方法叫做定义法． 例1 如图,点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点,动点M 在圆周上,将纸片折起,使点M 与点A 重合,设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中,设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1),A (1,0),记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆,并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ,点A 关于直线l 的对称点为点Q ,若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32,求点Q 的纵坐标的取值范围． 解 (1)依题意,直线m 为线段AM 的垂直平分线, ∴NA ＝NM .∴NC ＋NA ＝NC ＋NM ＝CM ＝2a >2＝AC ,∴N 的轨迹是以C ,A 为焦点,长轴长为2a ,焦距为2的椭圆． 当a ＝2时,长轴长为2a ＝4,焦距为2c ＝2, ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由(1)知a 2－b 2＝1.又C (－1,0),B (0,b ),∴直线l 的方程为x －1＋y b＝1,即bx －y ＋b ＝0. 设Q (x ,y ),∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称,∴⎩⎪⎨⎪⎧ y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y 2＋b ＝0， 消去x 得y ＝4b b 2＋1. ∵离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32,∴14≤e 2≤34, 即14≤1a 2≤34,∴43≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4,即33≤b ≤3, ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b≤2,当且仅当b ＝1时取等号． 又当b ＝3时,y ＝3；当b ＝33时,y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3,2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系,或者可运用平面几何的知识推导出等量关系,则可通过“建系、设点、列式、化简、证明”五个步骤直接求出动点的轨迹方程,这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0,l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1,l 2都相交,并且l 1,l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程． 解 如图,设M (x ,y ),圆半径为r ,M 到l 1,l 2的距离分别是d 1,d 2,则d 21＋132＝r 2,d 22＋122＝r 2,∴d 22－d 21＝25,即⎝ ⎛⎭⎪⎫|3x －2y ＋3|132－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2x －3y ＋2|132＝25, 化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65.点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系,则常用直接法求解,即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ,y 的方程即可．3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状,求曲线(轨迹)的方程时,可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos ∠OF A ＝23,求椭圆的方程． 解 椭圆的长轴长为6,cos ∠OF A ＝23, 所以点A 不是长轴的顶点,是短轴的顶点, 所以OF ＝c ,AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ＝3,c 3＝23,所以c ＝2,b 2＝32－22＝5, 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. 4．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知,又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系,借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示,从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线,垂足为N ,求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析 设P (x ,y ),因为P 是QN 的中点,为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标,然后代入双曲线方程即可．解 设P 点坐标为(x ,y ),双曲线上点Q 的坐标为(x 0,y 0),∵点P 是线段QN 的中点,∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上,∴2x －x 0＋2y －y 0＝2,即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ,∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1, 即x 0－y 0＝x －y .②由①②,得x 0＝12(3x ＋y －2),y 0＝12(x ＋3y －2)． 又∵点Q 在双曲线上,∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简,得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. ∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 点评 本题中动点P 与点Q 相关,而Q 点的轨迹确定,所以解决这类问题的关键是找出P ,Q 两点坐标间的关系,用相关点法求解．5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一个变量的变化而变化,我们可以设这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫做参数法．例5 已知点P 在直线x ＝2上移动,直线l 通过原点且与OP 垂直,通过点A (1,0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ,求点Q 的轨迹方程．解 如图,设OP 的斜率为k ,则P (2,2k )．当k ≠0时,直线l 的方程：y ＝－1kx ,①直线m 的方程：y ＝2k (x －1)．②联立①②消去k 得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1)．当k ＝0时,点Q 的坐标(0,0)也满足上式,故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1)．6 解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ,B 两点,OA →＋OB →与a ＝(3,－1)共线．设M 为椭圆上任意一点,且OM →＝λOA →＋μOB → (λ,μ∈R ),求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点,若M 与A 重合,则OM →＝OA →,此时λ＝1,μ＝0,∴λ2＋μ2＝1,现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 的中点为N (x 0,y 0), ∴⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0, 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0, 又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1,∴y 0＝－b 2a 2x 0. ∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝⎛⎭⎫1，－b 2a 2,∵ON →∥a ,∴13＝b 2a 2.∵a 2＝3b 2,∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2,又直线方程为y ＝x －c .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0. ∴x 1＋x 2＝32c ,x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2. 又设M (x ,y ),则由OM →＝λOA →＋μOB →, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得 λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.又∵x 21＋3y 21＝3b 2,x 22＋3y 22＝3b 2, x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0, ∴λ2＋μ2＝1,故λ2＋μ2为定值．例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0,b >0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ,P ,与椭圆分别交于点M ,N ,各点均不重合且满足PM→＝λ1MQ →,PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3,试证明：直线l 过定点并求此定点．解 (1)设椭圆的焦距为2c ,由题意知b ＝1,且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2,又a 2＝b 2＋c 2,∴a 2＝3.∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)由题意设P (0,m ),Q (x 0,0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),设l 方程为x ＝t (y －m ),由PM →＝λ1MQ →知(x 1,y 1－m )＝λ1(x 0－x 1,－y 1),∴y 1－m ＝－y 1λ1,由题意y 1≠0,∴λ1＝m y 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1. ∵λ1＋λ2＝－3,∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0,①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0, ∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0,②且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3,y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3,③ ③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0,∴(mt )2＝1,由题意知mt <0,∴mt ＝－1,满足②,得l 的方程为x ＝ty ＋1,过定点(1,0),即Q 为定点．2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题,一般有两种方法：一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等,求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则PF ＋P A 的最小值为________．解析 设右焦点为F ′,由题意可知F ′坐标为(4,0),根据双曲线的定义,PF －PF ′＝4,∴PF ＋P A ＝4＋PF ′＋P A ,∴要使PF ＋P A 最小,只需PF ′＋P A 最小即可,PF ′＋P A 最小需P ,F ′,A 三点共线,最小值即4＋F ′A ＝4＋9＋16＝4＋5＝9.答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法,特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1与轨迹C 相交于点A ,B ,l 2与轨迹C 相交于点D ,E ,求AD →·EB →的最小值．解 设动点P 的坐标为(x ,y ), 由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时,y 2＝4x ；当x <0时,y ＝0.所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．如图,由题意知,直线l 1的斜率存在且不为0,设为k ,则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0,Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＞0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,于是x 1＋x 2＝2＋4k 2,x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2,所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2,x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k 2＝16.当且仅当k 2＝1k 2,即k ＝±1时,AD →·EB →取得最小值16.7 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一,具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求,方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力,因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开,帮助复习．1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ,B 两点,是否存在实数a ,使A ,B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在,然后根据推理或计算求出满足题意的结果,或得到与假设相矛盾的结果,从而否定假设,得出某数学对象不存在的结论．解 设存在实数a ,使A ,B 关于直线l ：y ＝2x 对称,并设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22,即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2),① 又A ,B 在直线y ＝ax ＋1上,∴y 1＝ax 1＋1,y 2＝ax 2＋1,∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2,②由①②,得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2,即(2－a )(x 1＋x 2)＝2,③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0, ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2,④ 把④代入③,得(2－a )·2a 3－a 2＝2, 解得a ＝32,经检验知满足Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＞0, ∴k AB ＝32,而k l ＝2,∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a .2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中,已知圆心在第二象限,半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ,椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在,根据其满足的几何性质,求出Q 的坐标,则点Q 存在,若求不出Q 的坐标,则点Q 就不存在．解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上,设圆心的坐标是(－p ,p )(p >0),则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8,由于O (0,0)在圆上,∴p 2＋p 2＝8,解得p ＝2,∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10,由椭圆的定义知2a ＝10,a ＝5,∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ,n )使QF ＝OF ,则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0, 解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ,N ,且使M ,N 到点A (0,1)的距离相等,若存在,试求出k 的取值范围；若不存在,请说明理由． 分析 假设满足条件的直线l 存在,由平面解析几何的相关知识求解．解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线,再设P 为MN 的中点,欲满足条件,只要AP ⊥MN 即可．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x P ,y P ),则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2,y P ＝kx P ＋m ＝m 1＋3k 2, ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk.∵AP ⊥MN , ∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0),故m ＝－3k 2＋12. 由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)(1－k 2)>0,得－1<k <1,且k ≠0.故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时,存在满足条件的直线l .8 圆锥曲线中的易错点剖析1．求轨迹方程时,动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ,两端点分别在两坐标轴上移动,求线段AB 中点P 的轨迹方程．错解 如图所示,设A (0,y ),B (x,0)．由中点坐标公式可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2,连结OP ,由直角三角形斜边上的中线性质有OP ＝12AB ＝12a .故⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝⎛⎭⎫a 22,即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.正解 设中点P (x ,y ),A (0,m ),B (n,0),则m 2＋n 2＝a 2,x ＝n 2,y ＝m 2, 于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝14a 2. 2．忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0,－4),F 2(0,4)的距离之和为8,则点M 的轨迹为________． 错解 根据椭圆的定义,点M 的轨迹为椭圆,故填椭圆．正解 因为点M 到两定点F 1,F 2的距离之和为F 1F 2,所以点M 的轨迹是线段F 1F 2.答案线段3．忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3,求抛物线的标准方程．错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m 4. 又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4.故－m 4＝－2或－m 4＝4.∴m ＝8或m ＝－16. ∴抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my , 其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4,解得m ＝18或m ＝－116. 则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .4．求解抛物线标准方程时,忽略对焦点位置讨论致误例4 抛物线的焦点F 在x 轴上,点A (m ,－3)在抛物线上,且AF ＝5,求抛物线的标准方程． 错解一 因为抛物线的焦点F 在x 轴上,且点A (m ,－3)在抛物线上,所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ,则d ＝AF ＝p 2＋m , 所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二 因为抛物线的焦点F 在x 轴上,且点A (m ,－3)在抛物线上,所以当m >0时,点A 在第四象限,抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ,则d ＝AF ＝p 2＋m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝9，m ＝12.所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时,点A 在第三象限,抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0),设点A 到准线的距离为d ,则d ＝AF ＝p 2＋m , 所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p 2＋m ＝5， 解得⎩⎨⎧ p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎨⎧ p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去)． 所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x .综上所述,抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析 当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论.正解 因为抛物线的焦点F 在x 轴上,且点A (m ,－3)在抛物线上,所以当m >0时,点A 在第四象限,抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0),设点A 到准线的距离为d , 则d ＝AF ＝p 2＋m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12，所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时,点A 在第三象限,抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0),设A 到准线的距离为d ,则d ＝AF ＝p 2－m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述,抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .9 圆锥曲线中的数学思想方法1．方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或解方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决．本章中,方程思想的应用最为广泛．例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ,B 两点,且a ＝2b ,若AB ＝25,求椭圆的方程．解 由⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0,Δ＝16－4(8－2b 2)＞0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4,x 1x 2＝8－2b 2.∵AB ＝25,∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25, ∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25, 即52·16－4(8－2b 2)＝25, 解得b 2＝4,故a 2＝4b 2＝16.∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1. 2．函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时,都是相互联系、相互制约的,它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路,会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想,运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题,是经常使用的方法．例2 若点(x ,y )在x 24＋y 2b2＝1(b >0)上运动,求x 2＋2y 的最大值． 解 ∵x 24＋y 2b2＝1(b >0),∴x 2＝4⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2≥0, 即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b 2⎝⎛⎭⎫y －b 242＋4＋b 24.当b 24≤b ,即0<b ≤4时,若y ＝b 24,则x 2＋2y 取得最大值,其最大值为4＋b 24；当b 24>b ,即b >4时,若y ＝b ,则x 2＋2y 取得最大值,其最大值为2b .综上所述,x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 24，0<b ≤4，2b ，b >4.3．转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时,经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求,真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键,没有转化和化归,就很难找到解决问题的途径和方法．例3 如图所示,已知椭圆x 224＋y 216＝1,直线l ：x ＝12,P 是l 上任意一点,射线OP 交椭圆于点R ,又点Q 在线段OP 上,且满足OQ ·OP ＝OR 2,当点P 在l 上运动时,求点Q 的轨迹方程．解 设P (12,y P ),R (x R ,y R ),Q (x ,y ),∠POx ＝α.∵OR 2＝OQ ·OP ,∴⎝⎛⎭⎫OR cos α2＝OQ cos α·OP cos α. 由题意知x R >0,x >0,∴x 2R ＝x ·12.①又∵O ,Q ,R 三点共线,∴k OQ ＝k OR ,即y x ＝y R x R.② 由①②得y 2R ＝12y 2x.③ ∵点R (x R ,y R )在椭圆x 224＋y 216＝1上,∴x 2R 24＋y 2R 16＝1.④ 由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0),∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)．4．分类讨论思想本章中,涉及的字母参数较多,同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上,所以必须要注意分类讨论．例4 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程． 分析 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0),将λ分为λ>0,λ<0两种情况进行讨论．解 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0), 即x 24λ－y 2λ＝1(λ≠0)． 当λ>0时,c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25,即λ＝5,∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1. 当λ<0时,c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25,即λ＝－5,∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1. 综上所述,所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. 5．数形结合思想利用数形结合思想,可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．例5 在△ABC 中,BC 边固定,顶点A 在移动,设BC ＝m ,当三个角满足条件|sin C －sin B |＝12|sin A |时,求顶点A 的轨迹方程．解 以BC 的中点O 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示．则B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0,C ⎝⎛⎭⎫m 2，0. 设点A 坐标为(x ,y ),由题设,得|sin C －sin B |＝12|sin A |. 根据正弦定理,得|AB －AC |＝m 2<m ＝BC . 可知点A 在以B ,C 为焦点的双曲线上．2a ＝m 2,∴a ＝m 4. 又c ＝m 2,∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2. 故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(y ≠0)．。
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末复习 Word版含答案
章末复习学习目标 1.梳理知识要点,构建知识网络.2.进一步理解空间向量的概念及运算.3.能熟练应用向量法解决立体几何问题．1．空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为μ,v,则2．用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论．关键点如下：(1)选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要,恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单,简化运算过程．(2)点的坐标、向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题,必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量,这是最核心的问题．(3)几何问题与向量问题的转化．平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决,如何转化也是这类问题解决的关键．1．a ·b ＝a ·c (a ≠0)的本质是向量b ,c 在向量a 方向上的投影相等,b 与c 不一定相等．(√) 2．设直线l 与平面α相交,且l 的方向向量为a ,α的法向量为n ,若〈a ,n 〉＝2π3,则l 与α所成的角为π6.(√)3．两异面直线夹角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2,直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2,二面角的范围是[0,π]．(√)4．若空间向量a 平行于平面α,则a 所在直线与平面α平行．(×)类型一 空间向量及其运算例1 如图,在四棱锥S －ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的正方形,S 到A ,B ,C ,D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________． 答案 ③④解析 容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0,所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形,SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2,所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ,SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ,而∠ASB ＝∠CSD ,于是SA →·SB →＝SC →·SD →,因此④正确；其余三个都不正确,故正确结论的序号是③④. 反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式,理解向量运算法则、运算律及其几何意义．跟踪训练1 如图,在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中,M 分AC →成的比为12,N 分A 1D —→成的比为2,设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c ,试用a ,b ,c 表示MN →.解 连结AN , 则MN →＝MA →＋AN →,由已知ABCD 是平行四边形, 故AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b , 又M 分AC →成的比为12,故MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )．又N 分A 1D →成的比为2,故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D —→＝13(c ＋2b )．于是MN →＝MA →＋AN →＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b )＝13(－a ＋b ＋c )． 类型二 利用空间向量解决位置关系问题例2 在四棱锥P －ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,ABCD 是正方形,E 是P A 的中点,求证： (1)PC ∥平面EBD .(2)平面PBC ⊥平面PCD .证明 如图,以D 为坐标原点,分别以DC ,DA ,DP 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．设DC ＝a ,PD ＝b ,则D (0,0,0),C (a ,0,0),B (a ,a,0),P (0,0,b ), A (0,a,0)E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，b 2. (1)DE →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，b 2,DB →＝(a ,a,0),PC →＝(a,0,－b )． 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧ DE →·n ＝0，DB →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2y ＋b 2z ＝0，ax ＋ay ＝0.令x ＝1,得n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ab , 因为PC →·n ＝(a,0,－b )·⎝⎛⎭⎫1，－1，a b ＝0, 所以PC →⊥n ,又PC ⊄平面EBD ,故PC ∥平面EBD . (2)由题意得平面PDC 的一个法向量为DA →＝(0,a,0), 又PB →＝(a ,a ,－b ),PC →＝(a,0,－b ),设平面PBC 的一个法向量为m ＝(x 1,y 1,z 1), 则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，PC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1－bz 1＝0，ax 1－bz 1＝0，得y 1＝0,令x 1＝1,则z 1＝ab ,所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，0，a b , 因为DA →·m ＝(0,a,0)·⎝⎛⎭⎫1，0，a b ＝0, 所以DA →⊥m ,即平面PBC ⊥平面PCD .反思与感悟 1.证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．2．证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．(3)利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． 3．证明面面平行的方法(1)转化为线线平行、线面平行处理． (2)证明这两个平面的法向量是共线向量．4．证明两条直线垂直,只需证明这两条直线的方向向量垂直． 5．证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 6．证明面面垂直的方法 (1)转化为证明线面垂直．(2)证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,CD 的中点,求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1.证明 如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D －xyz .设正方体棱长为1,则E ⎝⎛⎭⎫1，1，12,D 1(0,0,1), A (1,0,0),F ⎝⎛⎭⎫0，12，0.∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1—→,DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12,D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1.设m ＝(x 1,y 1,z 1),n ＝(x 2,y 2,z 2)分别是平面AED 和平面A 1FD 1的一个法向量, 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DA →＝0，m ·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0. 令y 1＝1,得m ＝(0,1,－2)．又由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1A 1—→＝0，n ·D 1F —→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1,得n ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝(0,1,－2)·(0,2,1)＝0, ∴m ⊥n ,故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 类型三 利用空间向量求角例3 已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是棱B 1C 1和C 1D 1的中点．试求： (1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值； (3)二面角C 1－DB －B 1的正切值．解 以点B 1为坐标原点,B 1A 1,B 1C 1,B 1B 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B 1(0,0,0),A (1,0,1),B (0,0,1),D 1(1,1,0),E ⎝⎛⎭⎫0，12，0,F ⎝⎛⎭⎫12，1，0, D (1,1,1)．(1)因为AD 1—→＝(0,1,－1), EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0,所以cos 〈AD 1—→,EF —→〉＝(0，1，－1)·⎝⎛⎭⎫12，12，02×22＝12,因为〈AD 1—→,EF →〉∈[0°,180°], 所以AD 1与EF 所成的角为60°.(2)由图可得BA →＝(1,0,0)为平面BEB 1的一个法向量,设AF 与平面BEB 1所成的角为θ,则sin θ＝||cos 〈BA →，F A →〉＝⎪⎪⎪⎪(1，0，0)·⎝⎛⎭⎫12，－1，11× ⎝⎛⎭⎫122＋(－1)2＋12＝13,所以cos θ＝223. (3)设平面D 1DBB 1的一个法向量n 1＝(x ,y ,z ), 因为DB →＝(－1,－1,0),B 1B —→＝(0,0,1), 由n 1⊥DB →,n 1⊥B 1B —→,得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝－x －y ＝0，n 1·B 1B —→＝z ＝0，令y ＝1,则n 1＝(－1,1,0)．同理可得平面C 1DB 的一个法向量n 2＝(－1,1,1), 则cos 〈n 1,n 2〉＝(－1，1，0)·(－1，1，1)2×3＝63,tan 〈n 1,n 2〉＝22.即二面角C 1－DB －B 1的正切值为22. 反思与感悟 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°,需找到两异面直线的方向向量,借助方向向量所成的角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ,先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 的夹角的余弦cos 〈n ,a 〉,再利用公式sin θ＝|cos 〈n ,a 〉|,求θ. (3)二面角：如图,有两个平面α与β,分别作这两个平面的法向量n 1与n 2,则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角．跟踪训练3 如图,在几何体ABCDE 中,四边形ABCD 是矩形,AB ⊥平面BEC ,BE ⊥EC ,AB ＝BE ＝EC ＝2,G ,F 分别是线段BE ,DC 的中点．(1)求证：GF ∥平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值． (1)证明 如图,取AE 的中点H ,连结HG ,HD ,又G 是BE 的中点, 所以GH ∥AB ,且GH ＝12AB .又F 是CD 的中点, 所以DF ＝12CD .由四边形ABCD 是矩形, 得AB ∥CD ,AB ＝CD , 所以GH ∥DF ,且GH ＝DF ,从而四边形HGFD 是平行四边形,所以GF ∥DH . 又DH ⊂平面ADE ,GF ⊄平面ADE , 所以GF ∥平面ADE .(2)解 如图,在平面BEC 内,过B 点作BQ ∥EC .因为BE ⊥CE ,所以BQ ⊥BE .又因为AB ⊥平面BEC ,所以AB ⊥BE ,AB ⊥BQ .以B 为坐标原点,分别以BE →,BQ →,BA →的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则A (0,0,2),B (0,0,0),E (2,0,0),F (2,2,1)．因为AB ⊥平面BEC ,所以BA →＝(0,0,2)为平面BEC 的法向量．设n ＝(x ,y ,z )为平面AEF 的法向量．又AE →＝(2,0,－2),AF →＝(2,2,－1), 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0，2x ＋2y －z ＝0.取z ＝2,得n ＝(2,－1,2)．从而|cos 〈n ,BA →〉|＝|n ·BA →||n ||BA →|＝42×3＝23,所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.1．已知空间四边形ABCD ,G 是CD 的中点,则AB →＋12(BD →＋BC →)＝________.答案 AG →解析 在△BCD 中,因为点G 是CD 的中点, 所以BG →＝12(BD →＋BC →),从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.2．若a ＝(0,1,－1),b ＝(1,1,0),且(a ＋λb )⊥a ,则实数λ的值是________．答案 －2解析 a ＋λb ＝(λ,1＋λ,－1)． 由(a ＋λb )⊥a ,知(a ＋λb )·a ＝0,∴λ×0＋(1＋λ)×1＋(－1)×(－1)＝0,解得λ＝－2.3．已知向量a ＝(4－2m ,m －1,m －1)与b ＝(4,2－2m ,2－2m )平行,则m ＝________. 答案 1或3解析 当2－2m ＝0,即m ＝1时, a ＝(2,0,0),b ＝(4,0,0),满足a ∥b ； 当2－2m ≠0,即m ≠1时,∵a ∥b ,∴4－2m 4＝m －12－2m ,解得m ＝3.综上可知,m ＝3或m ＝1.4．已知平面α经过点O (0,0,0),且e ＝(1,1,1)是α的一个法向量,M (x ,y ,z )是平面α内任意一点,则x ,y ,z 满足的关系式是________． 答案 x ＋y ＋z ＝0解析 OM →·e ＝(x ,y ,z )·(1,1,1)＝x ＋y ＋z ＝0.5．已知空间三点A (－2,0,2),B (－1,1,2),C (－3,0,4),设a ＝AB →,b ＝AC →. (1)若|c |＝3,且c ∥BC →,求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵c ∥BC →,∴存在实数m ,使得c ＝mBC →＝m (－2,－1,2)＝(－2m ,－m,2m )． ∵|c |＝3,∴(－2m )2＋(－m )2＋(2m )2＝3|m |＝3, ∴m ＝±1,∴c ＝(－2,－1,2)或c ＝(2,1,－2)． (2)∵a ＝(1,1,0),b ＝(－1,0,2), ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又∵|a |＝12＋12＋02＝2, |b |＝(－1)2＋02＋22＝5, ∴cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010,即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.解决立体几何中的问题,可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．坐标方法经常与向量运算结合起来使用．一、填空题1．下列说法中不正确的是________．(填序号) ①若|a |＝|b |,则a ,b 的长度相同,方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量,则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中,一定有AB →＋AD →＝AC →. 答案 ①③④解析 依据相反向量的定义知,只有②正确．2．已知O 是空间任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →,则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 由A ,B ,C ,D 四点共面知OA →＝－2x ·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →,所以－2x －3y －4z ＝1,即2x ＋3y ＋4z ＝－1.3．空间中,若向量a ＝(5,9,m ),b ＝(1,－1,2),c ＝(2,5,1)共面,则m ＝________. 答案 4解析 ∵向量a ,b ,c 共面, ∴存在实数α,β,使得a ＝αb ＋βc , 即(5,9,m )＝(α,－α,2α)＋(2β,5β,β) ＝(α＋2β,5β－α,2α＋β)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ α＋2β＝5，5β－α＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝1，β＝2.∴m ＝2α＋β＝4. 4．已知不重合的平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1,－5),n ＝(－6,－2,10),则平面α,β的位置关系为________．(填“平行”“垂直”) 答案 平行解析 ∵n ＝(－6,－2,10),m ＝(3,1,－5), ∴n ＝－2m .∴m ∥n .∴α与β平行．5．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,若AC 1—→＝aAB →＋2bAD →＋3c A 1A —→,则abc ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 －16解析 由平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1,得AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→,又已知AC 1—→＝aAB →＋2bAD →＋3c A 1A —→,可得a ＝1,2b ＝1,3c ＝－1,解得a ＝1,b ＝12,c ＝－13,所以abc ＝－16.6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,向量D 1A —→用D 1C —→,A 1C 1—→表示为________． 答案 D 1A —→＝D 1C —→－A 1C 1—→解析 因为D 1C —→－D 1A —→＝AC →,且AC →＝A 1C 1—→, 所以D 1C —→－D 1A —→＝A 1C 1—→, 即D 1A —→＝D 1C —→－A 1C 1—→.7．已知向量a ＝(1,2,3),b ＝(x ,x 2＋y －2,y ),并且a ,b 同向,则x ,y 的值分别为________． 答案 1,3解析 由题意知a ∥b ,所以x 1＝x 2＋y －22＝y3,即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②把①代入②得x 2＋x －2＝0,(x ＋2)(x －1)＝0, 解得x ＝－2或x ＝1,当x ＝－2时,y ＝－6；当x ＝1时,y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6时,b ＝(－2,－4,－6)＝－2a , 向量a ,b 反向,不符合题意,所以舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3时,b ＝(1,2,3)＝a ,a 与b 同向,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 8．已知空间四点A (0,3,5),B (2,3,1),C (4,1,5),D (x,5,9)共面,则x ＝________. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共面向量定理及应用 答案 －6解析 ∵A (0,3,5),B (2,3,1),C (4,1,5),D (x,5,9), ∴AB →＝(2,0,－4),AC →＝(4,－2,0),AD →＝(x,2,4)． ∵四点A ,B ,C ,D 共面,∴存在实数λ,μ使得AD →＝λAB →＋μAC →, ∴(x,2,4)＝λ(2,0,－4)＋μ(4,－2,0), ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ＋4μ，2＝－2μ，4＝－4λ，解得x ＝－6.9．已知矩形ABCD 中,AB ＝1,BC ＝3,将矩形ABCD 沿对角线AC 折起,使平面ABC 与平面ACD 垂直,则B 与D 之间的距离为________． 考点 空间向量数量积的应用 题点 数量积的综合应用 答案102解析 如图,过B ,D 分别向AC 作垂线,垂足分别为M ,N .可求得AM ＝12,BM ＝32,CN ＝12,DN ＝32,MN ＝1.∵BD →＝BM →＋MN →＋ND →,∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝⎝⎛⎭⎫322＋12＋⎝⎛⎭⎫322＋0＝52,∴|BD →|＝102.10.如图所示,在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,点E 是棱CC 1的中点,则异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值是________．答案 105解析 如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (4,0,0),C (0,4,0),D 1(0,0,4),E (0,4,2),AC →＝(－4,4,0),D 1E —→＝(0,4,－2), cos 〈AC →,D 1E —→〉＝1632×20＝105, 所以异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值为105. 二、解答题11.如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥BC ,∠BAD ＝90°,P A ⊥底面ABCD ,且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ,M ,N 分别为PC ,PB 的中点．求BD 与平面ADMN 所成的角θ.解 如图所示,以A 点为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设BC ＝1,则A (0,0,0),B (2,0,0),D (0,2,0),则N (1,0,1), 所以BD →＝(－2,2,0),AD →＝(0,2,0),AN →＝(1,0,1), 设平面ADMN 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1,则z ＝－1, 所以n ＝(1,0,－1)．因为cos 〈BD →,n 〉＝BD →·n |BD →||n |＝－28×2＝－12,所以sin θ＝|cos 〈BD →,n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°,所以θ＝30°.12.如图,已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°,当CD CC 1的值等于多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD?解 不妨设CDCC 1＝x ,CC 1＝1,使A 1C ⊥平面C 1BD . 则A 1C ⊥C 1B ,A 1C ⊥C 1D ,而C 1D —→＝C 1C —→＋CD →,A 1C —→＝A 1D 1—→＋D 1C 1—→＋C 1C —→ ＝AD →＋DC →＋C 1C —→, 由A 1C —→·C 1D —→＝0,得(AD →＋DC →＋C 1C —→)·(C 1C —→＋CD →)＝C 1C —→2－CD →2＋ C 1C —→·AD →＋CD →·AD →＝0,注意到C 1C —→·AD →＋CD →·AD →＝x 2－x 22,可得方程1－x 2＋x －x 22＝0,解得x ＝1或x ＝－23(舍),所以当CDCC 1＝1时,能使A 1C ⊥平面C 1BD .13．在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BC ＝2AD ＝2AB ＝22,∠ABC ＝90°,如图(1),把△ABD 沿BD 翻折,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图(2)．(1)求证：CD ⊥AB ；(2)求BC 与平面ACD 所成角的正弦值．(1)证明 由已知条件可得BD ＝2,CD ＝2,CD ⊥BD . ∵平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD ＝BD , ∴CD ⊥平面ABD .又∵AB ⊂平面ABD ,∴CD ⊥AB .(2)解 以D 为坐标原点,DB 所在的直线为x 轴,DC 所在的直线为y 轴,建立空间直角坐标系,如图．由已知条件可得D (0,0,0), A (1,0,1),B (2,0,0),C (0,2,0), CD →＝(0,－2,0),AD →＝(－1,0,－1)． 设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则CD →⊥n ,AD →⊥n ,∴⎩⎪⎨⎪⎧CD →·n ＝0，AD →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0.令x ＝1,得平面ACD 的一个法向量为n ＝(1,0,－1)． 设BC 与平面ACD 所成的角为θ, ∵BC →＝(－2,2,0), ∴sin θ＝|cos 〈BC →,n 〉|＝|－2|2×22＝12,∴BC 与平面ACD 所成角的正弦值为12.三、探究与拓展14．正三角形ABC 与正三角形BCD 所在的平面互相垂直,则直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为________．考点 向量法求解直线与平面所成的角 题点 向量法解决直线与平面所成的角 答案155解析 取BC 的中点O ,连结AO ,DO ,以点O 为坐标原点,OD ,OC ,OA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设BC ＝1,则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32, B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0,C ⎝⎛⎭⎫0，12，0, D ⎝⎛⎭⎫32，0，0, 所以BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32,BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0,CD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎨⎧12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1,则y ＝－3,z ＝1, 所以n ＝(1,－3,1),所以cos 〈n ,CD →〉＝32＋325×1＝155,又直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2, 因此直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为155. 15．如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1＝AB ＝AC ＝1,E ,F 分别是CC 1,BC 的中点,AE ⊥A 1B 1,D 为棱A 1B 1上的点． (1)证明：DF ⊥AE ；(2)是否存在一点D ,使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在,说明点D 的位置,若不存在,说明理由．考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 (1)证明 ∵AE ⊥A 1B 1, A 1B 1∥AB ,∴AB ⊥AE , 又∵AB ⊥AA 1,AE ∩AA 1＝A , AE ,AA 1⊂平面A 1ACC 1, ∴AB ⊥平面A 1ACC 1, 又∵AC ⊂平面A 1ACC 1, ∴AB ⊥AC .以点A 为坐标原点,AB ,AC ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ,则A (0,0,0),E ⎝⎛⎭⎫0，1，12,F ⎝⎛⎭⎫12，12，0, A 1(0,0,1),B 1(1,0,1)．设D (x 1,0,1),则A 1D —→＝λA 1B 1—→,且λ∈[0,1], 即(x 1,0,0)＝λ(1,0,0), ∴D (λ,0,1),∴DF →＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1, 又AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12, ∴DF →·AE →＝12－12＝0,∴DF ⊥AE .(2)解 存在一点D ,使得平面DEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为1414.理由如下：设平面DEF 的法向量为n ＝(x 2,y 2,z 2), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·DF →＝0，∵FE →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，12,DF →＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1, ∴⎩⎨⎧－12x 2＋12y 2＋12z 2＝0，⎝⎛⎭⎫12－λx 2＋12y 2－z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝32(1－λ)z 2，y 2＝1＋2λ2(1－λ)z 2，令z 2＝2(1－λ),∴n ＝(3,1＋2λ,2(1－λ))．由题意可知平面ABC 的法向量m ＝(0,0,1)． ∵平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414, ∴|cos 〈m ,n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝1414, 即|2(1－λ)|9＋(1＋2λ)2＋4(1－λ)2＝1414,∴λ＝12或λ＝74.∵λ∈[0,1],∴λ＝74舍去．∴点D 为A 1B 1的中点．。
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滚动训练(一)一、填空题1．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为________________________．考点四种命题的概念题点按要求写命题答案△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．2．已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有________个．答案 1解析原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题．当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．3．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．真命题的个数是________．答案 2解析①当m＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)的判别式Δ＝4＋4a，其值不一定大于或等于0，有可能小于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定；③④正确．4．给出下列三个命题：①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R,2x＞0，则綈p：∃x∈R,2x≤0.其中正确的个数是________．考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案 1解析①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确．②不正确．③根据含量词的命题否定方式，可知命题③正确．5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)?{x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.6．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是________．考点“p∧q”形式命题真假性的判断题点由“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围答案(－2,0)解析由题意可知，若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题．命题p为真命题，则m＜0.命题q为真命题，则m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．7．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是________．考点全称量词的否定题点全称量词的命题的否定答案∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0解析全称命题的否定是存在性命题．全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在性命题：∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.8．已知p：x2＋2x－3＞0；q：13－x＞1.若“(綈q)∧p”为真命题，则x的取值范围是________________________________________________________________________．考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，所以q 假p 真．而当q 为真命题时，有x －2x －3＜0，即2＜x ＜3， 所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2， 解得x ＜－3或1＜x ≤2或x ≥3.9．设命题p ：若e x ＞1，则x ＞0，命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b，则命题p ∧q 为________命题．(填“真”“假”)考点 “p ∧q ”形式命题真假性的判断题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假答案 假解析 ∵命题p ：若e x ＞1，则x ＞0，∴可知命题p 是真命题．∵命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a ＞b ，但1a ＞1b ，∴命题q 为假命题，∴命题p ∧q 为假命题．10．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________．考点 存在性命题的真假性判断题点 存在性问题求参数的取值范围答案 (－∞，－2)解析 因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0,1)，所以若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y 轴的右侧，且与x 轴有两个交点，所以Δ＝m 2－4＞0，且－m 2＞0，所以m ＜－2，即m 的取值范围是(－∞，－2)．11．已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：|x －3|≤m ，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的概念及判断题点 由充分、必要条件求取值范围答案 [4，＋∞)解析 由x 2－3x －4≤0，得－1≤x ≤4，设A ＝{x |－1≤x ≤4}，若|x －3|≤m 有解，则m ＞0(m ＝0时不符合已知条件)，则－m ≤x －3≤m ，得3－m ≤x ≤3＋m ，设B ＝{x |3－m ≤x ≤3＋m }．∵綈q 是綈p 的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q 成立，但q ⇒p 不成立，即A ?B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ＜－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ＞4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＞4，m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ≥4，m ＞1，得m ≥4，故m 的取值范围是[4，＋∞)．二、解答题12．判断下列各题中p 是q 的什么条件．(1)p ：ax 2＋ax ＋1＞0的解集为R ，q ：0＜a ＜4；(2)p ：A ?B ，q ：A ∪B ＝B .考点 充分、必要条件的概念及判断题点 充分、必要条件的判断解 (1)∵当0＜a ＜4时，Δ＝a 2－4a ＜0，∴当0＜a ＜4时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，故q ⇒p .而当a ＝0时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，∴pD ⇒/q ，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵A ?B ⇒A ∪B ＝B ，∴p ⇒q .而当A ∪B ＝B 时，A ⊆B ，即qD ⇒/p ，∴p 是q 的充分不必要条件．13．设集合A ＝{x |－1≤x ≤7}，B ＝{x |n ＋1≤x ≤2n －3}，若“B 是A 的子集”是真命题，求实数n 的取值范围．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围解 ①当B ＝∅，即n ＋1＞2n －3时，B ⊆A .此时解得n ＜4.②当B ≠∅时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋1≤2n －3，n ＋1≥－1，2n －3≤7，解得4≤n ≤5.综上所述，实数n 的取值范围是(－∞，5]．三、探究与拓展14．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的________________条件． 答案 必要不充分解析 因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1，得x sin x <1sin x ，而1sin x>1，因此充分性不成立． 15．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a. 若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴|a |≥1.若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 的图象与x 轴只有一个交点．∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．章末复习 学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题，关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q 是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．3．简单的逻辑联结词与量词(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(4)含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做存在性命题．1．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么綈p：∃x＞0，x3≤0.(√)2．命题“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”的否命题是假命题．(√)3．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件．(×)4．“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题．(×)类型一 命题及其关系例1 (1)有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”．其中是真命题的是________．(填序号)考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 ①③(2)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是________．(填序号)①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )．考点 “p ∨q ”形式的命题题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假答案 ①解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故①为真命题．反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p 与綈p ”一真一假，“p ∨q ”一真即真，“p ∧q ”一假就假．跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1，则x <－1或x >1”的逆否命题是________． 考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 若－1≤x ≤1，则x 2≤1(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号)①p 为真；②q 为真；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．考点 “p ∧q ”形式的命题题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假答案 ③解析 由题意知p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．类型二 充分条件与必要条件例2 已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由p 得1≤x <3，∵q ：x 2－ax ≤x －a ，∴x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0，即(x －1)(x －a )≤0，①当a <1时，a ≤x ≤1；②当a ＝1时，x ＝1；③当a >1时，1≤x ≤a .∵綈p 是綈q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件．设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ，当a <1时，A ⊈B ，不合题意；当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a >1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1<a <3.综上所述，a 的取值范围为[1,3)．反思与感悟 若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即q 的充分条件是p ，p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p 的必然结果是q ，q 是p 的必然结果．则p ⇏q 易表述为以下几种说法：p 是q 的不充分条件，q 的不充分条件是p ；q 是p 的不必要条件，p 的不必要条件是q .跟踪训练2 已知命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由(4x －3)2≤1，得－1≤4x －3≤1，即12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得(x －a )(x －a －1)≤0，即a ≤x ≤a ＋1.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12. 即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12 类型三 等价转化思想的应用例3 已知c >0且c ≠1，设p ：函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求c 的取值范围．解 函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的⇔0<c <1.不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ，∴2c >1且c ≠1，得c >12且c ≠1. 如果p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12； 如果q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＞1，c >12且c ≠1，解得c ＞1. ∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．跟踪训练3 已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围． 解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，解得－1≤x ≤5. 命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)．∵p 是q 的充分条件，∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5≤1＋m ，解得m ≥4， 则实数m 的取值范围为[4，＋∞)． (2)∵m ＝5，∴命题q ：－4≤x ≤6. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p ，q 为一真一假．当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ＞6，无解；当q 真p 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.因此x 的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]． 类型四 分类讨论思想的应用例4 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围 为(－∞，－2]∪[1,2)．反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系．解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想．跟踪训练4 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真．p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1.(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B ， 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．设命题p ：∃n ∈N *，n 2>2n ，则綈p 为_______________． 答案 ∀n ∈N *，n 2≤2n解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．2．已知命题p ：|x ＋1|>2，命题q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，而p ⇏q ，命题p 化简为x >1或x <－3，所以当a ≥1时，q ⇒p .3．给出以下四个判断：①若“p 或q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；②命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4且y ＜2”； ③若x ≠300°，则cos x ≠12；④命题“∃x ∈R ，e x ≤0”是假命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 命题真假性的判断 题点 命题的真假性判断答案④解析若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题，故①错误；命题“若x≥4且y≥2，则x＋y≥6”的逆否命题为“若x＋y＜6，则x＜4或y＜2”，故②错误；若x≠300°，则cos x≠12，错误，如x＝60°≠300°，但cos 60°＝12；由指数函数的值域可知，命题“∃x∈R，e x≤0”是假命题．4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案(－∞，0]解析由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.5．分别指出下列各组命题的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题的真假．(1)p：2>2，q：2＝2；(2)p：∅是{0}的真子集，q：0∈∅；(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．考点“或”“且”“非”的综合问题题点判断复合命题的真假解(1)∵p：2>2，是假命题，q：2＝2，是真命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．(2)∵p：∅是{0}的真子集，是真命题，q：0∈∅，是假命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是假命题．(3)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，是假命题，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定复合命题的构成形式 ⇒判断其中简单命题的真假 ⇒根据真值表判断复合命题的真假3．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断，如下表：4.含有一个量词的命题的否定：特别提醒：(1)全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题． (2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．一、填空题1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，x 2＝x解析 全称命题的否定是存在性命题，所以“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定为“∃x ∈R ，x 2＝x ”．2．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*，(x－1)2>0；③∃x∈R，lg x<1；④∃x∈R，tan x＝2.答案②解析①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；③中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；④中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．3．已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的________条件．答案充分不必要解析因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件．4．下列命题中，为真命题的全称命题是________．(填序号)①对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；②菱形的两条对角线相等；③∃x，x2＝x；④对数函数在定义域上是单调函数．答案④解析①中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；②④在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；③是存在性命题，④正确．5．命题p：若ac＝b，则a，b，c成等比数列，则命题p的否命题是________命题．(填“真”“假”)答案假解析其原命题的否命题是：若ac≠b，则a，b，c不成等比数列．若b＝－ac，则b2＝ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题．6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．(填序号)答案①②③解析由a＝b可以推得①，②，③均成立，而由①，②或③都推不出a＝b.7．下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为________．答案 2解析若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误；x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确；根据存在性命题的否定是全称命题知③正确；“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2.8．有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行；④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．答案 3解析①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确；②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行或相交或异面，错误；④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误．9．命题p：若a>0，b>0，则ab＝1是a＋b≥2的必要不充分条件，命题q：函数y＝log2x－3x＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则以下四个命题中正确的是________．(填序号)①“p ∨q ”为假；②“p ∧q ”为真；③p 真q 假；④p 假q 真． 答案 ④解析 由命题p ：a >0，b >0，ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2，所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3，所以q 为真命题．10．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：任意k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是________．(填序号)①(綈p )∨q 是真命题；②p ∧(綈q )是真命题；③p ∧q 是假命题；④p ∨q 是假命题． 答案 ①解析 命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝0k 2＋1<1，命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．11．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．(填序号)①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y )，则x －y <1；③任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )； ④f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )；⑤函数f (x )为奇函数． 答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立，如x 取1.5；f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立，如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系，如f (1.6)＝2，f (－1.6)＝－1.故答案为②③.二、解答题12．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．13．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，∴0<a ≤1. 若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题， ∴命题p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.三、探究与拓展14．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件．考点 充分、必要条件的概念及判断 题点 充分不必要条件的判断 答案 充分不必要解析 由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，易知k ≠0，且圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2＜1，所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k2＝2k 21＋k 2. 若k ＝1，则|AB |＝2，d ＝22， 所以△OAB 的面积为12×2×22＝12. 反过来，若△OAB 的面积为12，则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12， 解得k ＝±1.故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．15．设命题p ：a ＞1；命题q ：不等式－3x ≤a 对一切正实数x 均成立．(1)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵x ＞0，∴3x ＞1，∴－3x ＜－1，∵－3x ≤a ，∴a ≥－1，∴实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由命题“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，得命题p ，q 一真一假．①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＜－1，无解； ②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥－1，解得－1≤a ≤1，∴实数a 的取值范围是[－1,1]．章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________．答案 若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是________．答案 ∃x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0解析 原命题是全称命题，其否定是存在性命题．3．命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________．答案 4解析 原命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”是真命题；逆命题“对于正数a ，若lg a >0，则a >1”是真命题．∴否命题与逆否命题也都是真命题．故真命题的个数为4.4．A ＝{x ||x －1|>1，x ∈R }，B ＝{x |log 2x >1，x ∈R }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由题意，得A ＝{x |x <0或x >2}，B ＝{x |x >2}，所以B ⊆A ，所以x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈AD ⇒/x ∈B ，所以“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件．5．“实数a 和b 都不是有理数”的否定为________________________________． 答案 实数a 和b 至少有一个是有理数解析 将“都不是”改成“至少有一个是”．6．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1.若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.由题意，得若p 假则q 真，若p 真则q 假，即⎩⎨⎧ 0<a ≤1，a >2或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2，∴1<a ≤2.7．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件．答案 充分不必要解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．8．设有两个命题：①关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；②函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析 ①若x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；②若f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则5－2a >1，a <2.若①真②假，则a ∈∅；若①假②真，则a ≤－2.9．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 3解析 由已知可得m ≥tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3恒成立． 设f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，显然该函数为增函数， 故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝tan π3＝3， 由不等式恒成立可得m ≥3，即实数m 的最小值为 3.10．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题p 是真命题；②命题q 是假命题；③命题“(綈p )∧q ”是真命题；④命题“p ∨(綈q )”是假命题．其中正确命题的序号是________．答案 ③④解析 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题；对于q ，因为函数y ＝x 2＋x ＋1的图象开口向上，最小值在x ＝－12处取得，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝34>0，所以命题q 是真命题．由命题p 为假命题和命题q 是真命题，可得命题“(綈p )∧q ”是真命题；命题“p ∨(綈q )”是假命题．故③④正确．11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的____________条件．答案 充分不必要解析 ∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．12．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ，则“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的____________条件．答案 充分不必要解析 函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，若1<a <2，则0<a －1<1,1<3－a <2，即横坐标为3的点到对称轴的距离大于横坐标为1的点到对称轴的距离，则f (1)<f (3)．若a ＝0，则函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，满足f (1)<f (3)，但1<a <2不成立．所以“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的充分不必要条件．13．已知命题p ：(x －3)(x ＋1)>0，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案 (0,2)解析 p ：(x －3)(x ＋1)>0⇔x <－1或x >3，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0⇒x <－m ＋1或x >m ＋1，它们的取值范围分别用集合A ，B 表示，由题意知A ?B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－1，m ＋1≤3，其中等号不能同时成立， ∴m <2，又m >0，∴0<m <2.14．已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则m ≤－1；若命题q 是真命题，则m 2－4<0，解得－2<m <2，所以p ∧q 是真命题时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，－2<m <2，即－2<m ≤－1，∴p ∧q 为假命题时，m 的取值范围为(－∞，2]∪(－1，＋∞)．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.证明 (1)充分性：∵0<m <13， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0，且3m>0， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m >0，解得0<m <13.综合(1)(2)知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.16．(14分)命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2.由已知条件知p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1， 当q 为真，p 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，实数a 的取值范围为[－2,1)∪(2，＋∞)．17．(14分)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos2x －1，且给定条件p ：π4≤x ≤π2. (1)求f (x )的最大值及最小值；(2)若给定条件q ：|f (x )－m |<2，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos2x －1 ＝2sin2x －23cos2x ＋1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3.∴3≤4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1≤5. ∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝3.(2)∵|f (x )－m |<2，∴m －2<f (x )<m ＋2.又∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2<3，m ＋2>5，解得3<m <5. ∴实数m 的取值范围为(3,5)．18．(16分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增，q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2.即p ：a ≤－1或a ≥2. 由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，(－a )2－4a <0，解得0≤a <4，∴q ：0≤a <4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真，∴p 与q 一真一假，∴p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <2，0≤a <4，∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．19．(16分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立时，求a 的取值范围． 解 (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2，又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2.(2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋1)x .因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以[f (x )＋2]∈⎝⎛⎭⎫0，34. 要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫344，1.20．(16分)已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b >0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明 (1)由题意知，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1.∵f (x )＝－b ⎝⎛⎭⎫x －a 2b 2＋a 24b， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a 24b ≤1. ∵a >0，b >0，∴a ≤2b .(2)必要性：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≥－1，∴f (1)≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1.对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≤1.∵b >1，∴0＜1b ＜1， 由f (x )≤1知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ≤1，即a ·1b－1≤1， ∴a ≤2b ，∴b －1≤a ≤2b .充分性：∵b >1，a ≥b －1，对任意x ∈[0,1]，可以推出ax －bx 2≥b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1.∵b >1，a ≤2b ，对任意x ∈[0,1]，可以推出ax －bx 2≤2bx －bx 2＝－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1b 2≤1，即ax －bx 2≤1， ∵－1≤f (x )≤1，∴|f (x )|≤1.综上可知，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 滚动训练(二)一、填空题。