保温回扣练习6

保温回扣练习（6）

1．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 ．

2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．

3．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．

4．若函数

()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3

P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等

于 ．

5．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F O 且倾斜角

为

3π的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为4，则椭圆方程为 ．

6．ABC ∆的内角,A B 满足2cos

sin 22

A B A B

a i j +-=

+(单位向量,i j 互相垂直)，且6

||2a =

．⑴求tan tan A B 的值； ⑵若sin A =2a =，求边长c ．

7.某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由.

8．已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相

交于点T ，且F 是AT 的中点．⑴求椭圆的离心率；

⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且

2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求

1

2

S S ；②若原点O 到直线TMN

的距离为41

，求椭圆方程．

保温回扣练习（6）答案

1.910 2． 13i - 3． 45 4． 23π

5．

2214

x y += 6．解⑴因为2

2

23

||2cos

sin 222

A B A B a +-=+=， 1cos()3

1cos()22

A B A B --+++

=， ……………3分

所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02

A B A B

A B A B +--=，

化简整理，得

13tan tan 022A B -=，故tan tan A B =13

. …………7分 (2)由(1)可知,A B

为锐角．因为sin A =

2tan 3A =，1tan 2B =，

tan tan 7

tan tan()1tan tan 4

A B C A B A B +=-+=-

=-

-

，

sin C =

…………12分 因为正弦定理sin sin a c

A C

=

，所以

2c =

，所以边长c =． ……14分 7.解法一：（I ）设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则

S=

=

=

故t=1/3时，S min

=

，

v= =30

即，小艇以30

海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 …4分

(2)设小艇与轮船在B 处相遇

由题意可知，（vt ）2 =202 +（30 t ）2

-2·20·30t ·cos （90°-30°）， 化简得：v 2

=+900 =400+675

由于0＜t ≤1/2，即1/t ≥2, 所以当1t

=2时，

v

取得最小值

/小时。…10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知2

2400600900v t t =

-+，设1

u t

=(0)u >， 于是2

2

4006009000u u v -+-=。（*）

小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，

即：22

2

6001600(900)0,9000.

v v ⎧-->⎪⎨->⎪⎩

解得30v <<。 所以v

的取值范围是。 …16分

解法二：（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。

设小艇与轮船在C 处相遇。

在Rt OAC

中，20cos30OC ==

20sin3010AC ==。

又30AC t =,OC vt = 此时，轮船航行时间101303

t =

=

，3

v ==

即，小艇以/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。

8．解⑴因为F 是AT 的中点，所以2

2a a c c

-+=，即(2)()0a c a c -+=， 又a 、0c >，所以2a c =，所以1

2

c e a ==； ……………4分 ⑵

①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，

11

NF MF

e NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴

1

2

MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴

121

2

S S =； ……8分