江苏省南通市启东中学2018-2019学年高一上学期期初数学试题
精品解析：江苏省南通市启东中学2018-2019学年高一上学期期初数学试题(解析版)
启东中学2018级高一年级期初考试数学试题一､填空题1.因式分解:33a b -=_____________. 【答案】()()22a b a ab b-++【解析】 【分析】先利用配方法，再提公因式，即可得出.【详解】解：33322322a b a a b ab b a b ab -=-+-+-Q()()()22a a b b a b ab a b =-+-+-()()22a b a b ab =-++故答案为：()()22a b a ab b-++.【点睛】本题考查因式分解的过程.2.若1x y +-与3x y -+互为相反数，则()2018x y +=______________.【答案】1 【解析】 【分析】根据绝对值的性质转化为方程组进行求解即可． 【详解】解：若|1|x y +-与|3|x y -+互为相反数， 则|1||3|x y x y +-=--+， 即10x y +-=且30x y -+=， 得1x =-，2y =，则201820182018()(12)11x y +=-+==. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查指数幂的求解，利用绝对值的性质转化为方程组是解决本题的关键．3.=_____________.【答案】3【解析】【分析】根据根式的化简和分母有理化即可得出答案.【详解】解：化简得：)22-+整理得：233=+.【点睛】本题考查二次根式的乘除法和利用分母有理化化简根式.4.因式分解:2253x x--=________________.【答案】()()213x x+-【解析】【分析】直接运用十字相乘法进行因式分解即可.【详解】解：利用十字相乘法得：2253x x--=()()213x x+-.故答案为：()()213x x+-.【点睛】本题考查运用十字相乘法进行因式分解.5.若1x和2x分别是一元二次方程22530x x+-=的两根，则1211+x x的是_____________. 【答案】53【解析】【分析】由韦达定理得1252x x +=-，1x 232x =-，12121211x x x x x x ++=进而求解．【详解】解：由韦达定理：1252x x +=-，1x 232x =-，12121251152332x x x x x x -++===-.故答案为：53.【点睛】本题考查韦达定理，两根只差与两根之和、两根之积的关系． 6.若01a <<，则不等式()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解是_____________. 【答案】1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出． 【详解】解：01a <<Q ，∴1a a<， ∴不等式1(0)()x a x a --<的解集是1}|{x a x a <<．故答案为：1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的关键．7.解方程组3,38xy x xy y +=⎧⎨+=⎩的解为_____________. 【答案】12x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据题意，①⨯3-②求得31y x =-，代入3xy x +=，求出1x =或1x =-， 即可求出y .【详解】解：由题可知方程组338xy x xy y +=⎧⎨+=⎩①②，则①⨯3-②得：31x y -=， 即：31y x =-③，由③代入①得：()313x x x -+=，整理得：233x =， 解得：1x =或1x =-， 则当1x =时，2y =，所以方程组的解为：12x y =⎧⎨=⎩则当1x =-时，4y =-， 所以方程组的解为：12x y =⎧⎨=⎩.故答案为：12x y =⎧⎨=⎩或14x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查利用代入法解方程组.8.已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的真子集共有 个． 【答案】7 【解析】试题分析：集合含有3个元素，则子集个数为328=，真子集有7个 考点：集合的子集9.已知集合{}{}|21,,|05A x x k k Z B x x ==+∈=<<，则A B =I ________.【答案】{}1,3 【解析】 【分析】根据集合A 中元素的特征求出A B ⋂即可．【详解】因为集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}为奇数集，B ＝{x |0<x <5}， 所以A ∩B ＝{1,3}． 故答案为{1,3}．【点睛】本题考查集合中元素的特征和集合交集运算，考查分析问题的能力，属于基础题． 10.根据函数的图象，若1211x x -<<<，则()1f x 与()2f x 的大小关系是_____________.【答案】()()12f x f x < 【解析】 【分析】由图象可知函数在(),1-∞上的单调性，利用函数的单调性的定义，即可比较()1f x 与()2f x 大小. 【详解】解：由图象可知，()f x 在(),1-∞上单调递增，且1211x x -<<<， 结合单调性的定义得：()()12f x f x <. 故答案为：()()12f x f x <【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小.11.函数()y f x =与直线x a =的交点个数可能是_____________个. 【答案】0或1 【解析】 【分析】求图象的交点，即求联立函数方程的解的个数．根据函数的定义来判断解的个数．【详解】解：联立()x ay f x =⎧⎨=⎩，当x a =有定义时，把x a =代入函数()y f x =，根据函数的定义：定义域内每一个x 对应惟一的y ， 当x a =在定义域范围内时，有唯一解，当x a =无定义时，没有解．所以至多有一个交点． 故答案为：0或1.【点睛】本题考查对函数的定义的理解，得出结论：函数()y f x =的图象与直线x a =至多有一个交点．12.函数y =的定义域______. 【答案】112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】 【分析】利用偶次根式的被开方非负且分母不为0列式可解得答案.【详解】由y =有意义, 可得2102320x x x -≥⎧⎨--≠⎩ ,解得12x ≠-且1x ≤.所以函数2232y x x =--的定义域是112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭且. 故答案为: 112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭且.【点睛】本题考查了求具体函数的定义域,分母不为0容易漏掉,属于基础题. 13.已知()()32f x f x x+-=，则()f x =_____________. 【答案】3x【解析】 【分析】由题意，32()()f x f x x+-=为①式，以x -代替x ，得②式；由①②组成方程组，求出()f x 即可． 【详解】解：()()32f x f x x+-=Q ，①； 令x x =-，得32()()f x f x x-+=-，②；再由①2⨯-②，得： 93()f x x =， 3()f x x∴=．故答案为：3x. 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法--方程组法，熟练掌握方程组法求解析式的适用范围和步骤是解答的关键．14.函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是_______________【答案】][(),22,-∞-⋃+∞ 【解析】由()f x 是偶函数，得22f f =-（）（），若2f a f ≤（）（） ，有2f a f ≤-（）（）.()f x 在(],0-∞ 上是增函数，则()f x 在(]0,+∞上是减函数， 综上可得当(],0a ∈-∞时，由22f a f a （）（）≤-⇒<-；当(]0,a ∈+∞时，由22f a f a ≤⇒>（）（），所以a 的取值范围是][(),22,-∞-⋃+∞ 二､解答题15.若11a a --=，求下列各式的值:（1）22a a -+；（2）33a a --；（3）1a a -+；（4）3a -【答案】（1）3（2）4（3）4【解析】 【分析】利用有理数性质及运算法则直接求解． 【详解】解：（1）11a a --=Q ，1222()21a a a a --∴-=+-=， 223a a -∴+=．（2）33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=⨯+=． （3）1222()2325a a a a --+=++=+=，1a a -∴+=．（4）33122()(1)(32)a a a a a a ---+=++-=-=，即33a a -+=2）得：334a a --=，342a -∴=【点睛】本题考查指数式化简求值，考查根式与指数式互化公式、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想． 16.解下列不等式:（1）2210x x -++<；（2）2353x x +≤；（3）1032x x +>+【答案】（1）{1x x 或12x ⎫<-⎬⎭（2）∅（3）23x x ⎧-⎨⎩或}1x <- 【解析】 【分析】根据题意，（1）利用一元二次不等式解法即可求出解集；（2）根据一元二次方程根的判别式和二次函数图象即可判断求解不等式；（3）将分式不等式转化为解一元二次不等式，且分母不为0，即可求解集. 【详解】解：（1）由2210x x -++<得：()()2110x x +->， 解得：21x <-或1x >， 所以不等式的解集为：{1x x >或12x ⎫<-⎬⎭. （2）由2353x x +≤，得23503x x -+≤，令23503x x -+=，可知9435510∆=-⨯⨯=-<， 则2533y x x =+-对应抛物线开口向上， 所以23503x x -+≤的解集为：∅.（3）1032x x +>+等价于()()1320320x x x ⎧++>⎨+≠⎩，解得：1x <-或23x >-， 所以不等式解集为：{23x x >-或}1x <- 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和分式不等式的解法，考查计算能力和转化思想. 17.已知集合{}|03A x x =<<，{}|8B x a x a =<<+（1）若A B B ⋃=,求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[-5，0]; (2)(][),83,-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】（1）由A B B ⋃=，结合集合的运算与集合的关系可得A B ⊆， 列不等式组083a a ≤⎧⎨+≥⎩运算可得解.（2）由A B =∅I ,结合集合交集的运算可得：80a +≤或3a ≥，运算即可得解. 【详解】解：（1）由集合{}|03A x x =<<，{}|8B x a x a =<<+， 因为A B B ⋃=,所以A B ⊆, 则083a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得50a -≤≤，即实数a 的取值范围为[]5,0-； （2）因为 A B =∅I , 又B ≠∅,可得80a +≤或3a ≥，即 8a ≤-或3a ≥， 故实数a 的取值范围(][),83,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了集合的运算与集合的关系、重点考查了集合交集的运算，主要考查了运算能力，属基础题. 18.解下列各题:（1）已知函数()f x 的定义域是[]1,2，求函数()1f x +的定义域.（2）已知函数()1f x +的定义域是[]1,2，求函数()f x 的定义域.【答案】（1）[]0,1（2）[]2,3 【解析】 分析】（1）结合抽象函数的性质，利用原函数的定义域求解函数(1)f x +的定义域即可；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行转化求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得，对于函数(1)f x +， 应有：1[1x +∈，2]， 据此可得：[0x ∈，1]，即函数(1)y f x =+的定义域是[0，1]，（2）)1(f x +Q 的定义域是[1，2]，12x ∴剟，得213x +剟，即()f x 的定义域为[2，3]，【点睛】本题考查了函数定义域的求解，抽象函数的定义域等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键． 19.已知函数()32f x x=-试判断()f x 在()0,∞+内的单调性，并用定义证明. 【答案】单调增函数；证明见解析 【解析】 【分析】容易看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，从而得出1212123()()()x x f x f x x x --=，根据120x x >>说明12123()0x x x x ->即可得出()f x 在(0,)+∞上单调递增． 【详解】解：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 证明：设120x x >>， 则：121221123()33()()x x f x f x x x x x --=-=， 120x x >>Q ，120x x ∴>，120x x ->， ∴12123()0x x x x ->， 12()()f x f x ∴>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增．【点睛】本题考查反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法和过程．20.已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意的,x y R ∈，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，且()00f ≠.（1）求证:()01f =（2）判断函数()f x 的奇偶性【答案】（1）证明见解析（2）()f x 为偶函数【解析】【分析】（1）令0x y ==，代入已知式，即可得证；（2）函数()f x 为偶函数，令0x =，结合(0)1f =即可得证．【详解】（1）令()()()200020x y f f f==⇒+=， ∴()()22020f f =，又()00f ≠，∴()01f =.（2）令0x =，则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，∴()()-=f y f y ，即()()f x f x -=，又()f x 的定义域为R ，∴()f x 为偶函数.【点睛】本题考查抽象函数的求值及奇偶性判断，考查赋值法的运用．。
江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期初数学试题(含答案)
启东中学2018级高一年级期初考试数学试题考试时间：120分钟 分值：160分一、填空题（每题5分，共70分） 1. 因式分解：33b a -=_____________.2. 若|1|-+y x 与|3|+-y x 互为相反数，则=+2018)y x（______________.3.＝ ．4.因式分解：3522--x x =________________.5.若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，则2111x x +的是 ． 6.若0＜a ＜1，则不等式0)1)(<--ax a x （的解是 ． 7.解方程组338 xy x xy y +=⎧⎨+=⎩，的解为 ．8.已知{}2,1,0=A ，则集合A 的真子集有 个．9.已知集合{}Z k k x x A ∈+==,12|， {}50|<<=x x B ，则=B A ________. 10.根据函数的图象，若1121<<<-x x ，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系是 ．11.函数)(x f y =与直线a x =的交点个数可能是 个．12.已知函数23212---=x x x y 的定义域为13. 已知xx f x f 3)()(2=-+，则)(x f ＝ ． (第10题） 14.若函数)(x f 是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，且)2()(f a f ≤， 则实数a 的取值范围为____________． 二、解答题（共90分） 15.若11=--aa ，求下列各式的值:3313322)4(;)3(;)2(;1----++-+a a a a a a a a ）（16. 解下列不等式：01212<++-x x ）（; x x 35322≤+）（;02313>++x x ）（17.已知集合{}30|<<=x x A ，{}8|+<<=a x a x B 的取值范围；求实数）若（a B B A ,1= .2的取值范围，求实数）若（a B A φ=18. 解下列各题：（1）已知函数)(x f 的定义域是[]2,1，求函数)1(+x f 的定义域． （2）已知函数)1(+x f 的定义域是[]2,1，求函数)(x f 的定义域．19. 已知函数xx f 32)(-=试判断)(x f 在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．20. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，对任意的R y x ∈,，都有)()(2)()(y f x f y x f y x f ⋅=-++，且0)0(≠f .（1）求证：1)0(=f （2）判断函数)(x f 的奇偶性高一年级期初考试数学答案 一、填空题1. ()()22bab a b a ++-; 2. 1 ; 3.334; 4.()()312-+x x ;5.35 ; 6.⎪⎭⎫⎝⎛a a 1, ; 7.⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==4121y x y x 或 ; 8. 7 ; 9.{}3,1 ; 10.()()21x f x f <; 11.0或1 ； 12.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≤211|x x x 且；13.x3； 14.{}22|-≤≥a a a 或. 二、解答题15.(1) 3; (2) 4; (3) 5± ; (4)52±.16.(1)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>211|x x x 或; (2) φ; (3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->132|x x x 或.17.(1)[-5，0]; (2){}83|-≤≥a a a 或.18.(1)[]1,0; (2)[]3,2.19.(1)单调增函数; (2)略 20.(1)令)0(20()0(0f f f y x=+⇒==）)0(2)0(22f f =∴，又0)0(≠f 1)0(=∴f ；(2) 令0=x ，则)(2)()0(2)()(y f y f f y f y f ==-+),()(y f y f =-∴即)()(x f x f =-又)(x f 的定义域为R ，)(x f ∴为偶函数。
江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）1 / 15江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知x 2∈{1，0，x }，则实数x 的值为（ ）A. 0B. 1C.D.2. 设A ={x |2＜x ＜3}，B ={x |x ＜m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是（ ）A. B. C. D.3. 函数f （x ）=+（x -1）0的定义域为（ ）A. 且B.C. 且D.4. 函数y =的值域是（ ）A. B.C. D. 0，5. 已知函数f （x ）=，若f （x ）=5，则x 的值是（ ） A.B. 2或C. 2或D. 2或 或6. 函数y =ln x 2的部分图象可能是（ ）A.B.C.D.7. 在函数（1）f （x ）=x 2-2x ；（2）f （x ）=（x +1）；（3）f （x ）=（x -1）2；（4）f （x ）=lg 中，偶函数的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1D. 08. 已知函数，则函数f （x ）的减区间是（ ） A. B. C. D.9. 已知f （x +1）的定义域为[-2，3），f （x -2）的定义域是（ ）A. B. C. D. 10. 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为（ ）A. B.C. D.11.已知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2-2x）＜f（3x-4）的解集为（）A. B. C. D.12.已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1，函数g（x）=x2-2x+m，如果对于任意x1∈[-2，2]，存在x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为______．14.集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b=______．15.求值：=______．16.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，，＞，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知全集为U=R，，B={y|y=|x|+4}，求：（1）A∩B，A B；（2）A∩∁U B，∁U A ∁U B．18.已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-1，（1）求函数f（x）的表达式（2）求不等式f（x）＞-的解集19.已知奇函数f（x）=a+．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）解不等式f（2x-1）+f（2-3x）＞0．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）3 / 1520. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R （x ）（万元）满足＞，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y =f （x ）的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？21. 已知函数f （x ）=x |x -2a |，a ∈R ．（1）若a =0，且f （x ）=-1，求x 的值；（2）当a ＞0时，若f （x ）在[2，+∞）上是增函数，求a 的取值范围； （3）若a =1，求函数f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值g （m ）．22. 已知函数f （x ）=log 4（a •2x）（a ≠0，a ∈R ），g （x ）=log 4（4x+1）．（1）设h （x ）=g （x ）-kx （k ∈R ），若h （x ）是偶函数，求实数k 的值；（2）设F （x ）=（log 2x ）-g （log 4x ），求函数F （x ）在区间[2，3]上的值域； （3）若不等式f （x ）＜g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=-1时，集合为{1，0，-1}，满足条件．故x=-1．故选：C．根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．2.【答案】A【解析】解：∵A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，∴m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故选：A．由A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，能求出实数m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：要使f（x）有意义，则：；∴x＞1，且x≠2；∴f（x）的定义域为{x|x＞1且x≠2}．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）5 / 15故选：A ．可看出，要使得函数f （x ）有意义，则需满足，解出x 的范围即可．考查函数定义域的概念及求法． 4.【答案】D【解析】解：由题意：函数y=，∵x 2+1≥1，∴，即函数y=的值域为（0，1]．故选：D ．直接利用二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的值域问题．属于基础题． 5.【答案】A【解析】解：由题意，当x≤0时，f （x ）=x 2+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=-2； 当x ＞0时，f （x ）=-2x=5，得x=-，舍去． 故选：A ．分x≤0和x ＞0两段解方程即可．x≤0时，x 2+1=5；x ＞0时，-2x=5．本题考查分段函数求值问题，属基本题，难度不大． 6.【答案】B【解析】解：∵x 2≠0，∴x≠0，∴函数y=lnx 2的定义域为（-∞，0） （0，+∞）， 又f （-x ）=f （x ），∴函数y=lnx 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除C ，D ； 又当x ＞1时，y=lnx 2＞0，可排除A ．故选：B ．由x2≠0，可知x≠0，满足定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性排除C，D，最后利用函数在（1，+∞）上的单调性即可得到答案．本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性，考查排除法在解选择题中的作用，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析所给的4个函数：对于f（x）=x2-2x，其定义域为R，且f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x+1），有≥0，解可得-1＜x≤1，其定义域不关于原点对称，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x-1）2，为二次函数，其对称轴为x=1，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=lg，有x2-2＞0，其定义域为{x|x＜-或x＞}，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，4个函数中，偶函数的数目为1；故选：C．根据题意，依次分析所给的4个函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设t=x2-4x-5，由t＞0可得x＞5或x＜-1，则y=t在（0，+∞）递减，由t=x2-4x-5在（5，+∞）递增，可得函数f（x）的减区间为（5，+∞）．故选：C．设t=x2-4x-5，求得t＞0的x的范围，y=t在（0，+∞）递减，求得t的增区间，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）7 / 15运用复合函数的单调性，即可得到所求减区间．本题考查复合函数的单调性：同增异减，考查二次函数和对数函数的单调性，属于基础题． 9.【答案】D【解析】解：∵f （x+1）的定义域为[-2，3）； ∴-2≤x ＜3； ∴-1≤x+1＜4；∴f （x ）的定义域为[-1，4）； ∴-1≤x -2＜4； ∴1≤x ＜6；∴f （x-2）的定义域为[1，6）． 故选：D ．可根据f （x+1）的定义域求出f （x ）的定义域，进而得出f （x-2）的定义域． 考查函数定义域的概念及求法，已知f[g （x ）]定义域求f （x ）定义域，以及已知f （x ）求f[g （x ）]的定义域的方法． 10.【答案】D【解析】解：∵f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f （1）=0， ∴f （1）=-f （-1）=0，在（-∞，0）内也是增函数 ∴=＜0，即或根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x ∈（-1，0） （0，1） 故选：D ．根据函数为奇函数求出f （1）=0，再将不等式x f （x ）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．11.【答案】A【解析】解：∵f（x）==，在f（x）在（-∞，0）上单调递增，∵f（x2-2x）＜f （3x-4），∴或，解可得，或，即{x|1＜x＜2}，故选：A．由f（x）==，从而有f（x）在（-∞，0）上单调递增，结合单调性可求．本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1∈（0，3]，则当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-3，3]，若对于∀x1∈[-2，2]，∃x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤-3，∵g（x）=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，x∈[-2，2]，∴g（x）max=g（-2）=8+m，g（x）min=g（1）=m-1，则满足8+m≥3且m-1≤-3，解得m≥-5且m≤-2，故-5≤m≤-2，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）故选：C．求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．13.【答案】2【解析】解：由函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1是幂函数，则m2-2m+1=1，解得m=0或m=2；当m=0时，f（x）=x-1，在（0，+∞）上为减函数，不合题意；当m=2时，f（x）=x3，在（0，+∞）上为增函数，满足题意．故答案为：2．由函数f（x）是幂函数，列方程求出m的值，再验证是否满足题意．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】3【解析】解：∵集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则2a=2，b=2，求得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．由题意可得则2a=2，b=2，求得a、b=2的值，可得a+b的值．本题主要考查两个集合的交集的定义和运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：==+2+2=．故答案为：．9 / 15先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化成3α的形式后进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以10为底的对数的形式即可求得其值为2，再结合对数恒等式：进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M-log a N；log a M n=nlog a M等．16.【答案】（，）【解析】解：当0≤x≤2时，y=-x2递减，当x＞2时，y=-（）x-递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递减，在（-2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值-1．当0≤x≤2时，y=-x2∈[-1，0]．当x＞2时，y=-（）x-∈[-1，-）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（-1，-）．则有，即为，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）11 / 15 解得＜a ＜．即有实数a 的取值范围是（，）． 故答案为：（，）．求出f （x ）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+=0，a ∈R ，有且仅有8个不同实数根，转化为t 2+at+=0的两根均在（-1，-），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．17.【答案】解：（1） ＜ …（2分） B =[4，+∞）…（4分）∴A ∩B =[4，5]…（6分）A B =（2，+∞）…（8分）（2）∵∁U B =（-∞，4），∴A ∩∁U B =（2，4）…（11分）又∁U A =（-∞，2] （5，+∞）∴∁U A ∁U B =（-∞，4） （5，+∞）…（14分）【解析】（1）根据集合A ，B 的意义，求出集合A ，B ，再跟据交、并集的运算求得结果即可．（2）先跟据补集的运算求得A 、B 的补集，再跟据交并集的运算求得结果． 本题考查了对数函数的定义域、绝对值函数的值域、交并补集的运算，是基础题．18.【答案】解：（1）根据题意，函数f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则f （0）=0， 当x ＜0时，-x ＞0，则f （-x ）=2×（-x ）-1=-2x -1，又由函数f （x ）为奇函数，则f （x ）=-f （-x ）=2x +1，则f （x ）= ， ＞， ， ＜，（2）根据题意，f （x ）= ， ＞， ， ＜，当x ＞0时，f （x ）=2x -1，此时f （x ）＞- 即2x -1＞- ，解可得x ＞ ，此时不等式的解集为{x|x＞}，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；此时不等式的解集为{0}，当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，解可得x＞-，此时不等式的解集为{x|-＜x＜0}，综合可得：不等式f（x）＞-的解集{x|-＜x≤0或x＞}．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质分析可得f（0）=0，结合函数的奇偶性以及解析式可得当x＜0时f（x）的解析式，综合即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，当x＞0时，f（x）=2x-1，此时f（x）＞-即2x-1＞-，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，分别求出3种情况下不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式．19.【答案】解：（1）∵奇函数f（x）=a+的定义域为R，∴f（0）=0，即f（0）=a+=a+=0，则a=-，则f（x）=-．（2）f（x）=-在（-∞，+∞）是为减函数…（6分）证明：任取x1，x2，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=，…（8分），∵x1＜x2，∴ ＞，∴ -，＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）是减函数…（10分）（3）∵f（2x-1）+f（2-3x）＞0，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）∵f（x）是奇函数，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）=f（3x-2），即2x-1＜3x-2，得x＞1，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）13 / 15即不等式的解集为（1，+∞）…（15分）【解析】（1）根据函数是奇函数，利用f （0）=0，进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．（3）利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的性质以及函数单调性的定义是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．…（2分）∵＞， ∴f （x ）=R （x ）-G （x ）= ＞．…（7分） （2）当x ＞5时，∵函数f （x ）递减，∴f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x ≤5时，函数f （x ）=-0.4（x -4）2+3.6，当x =4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【解析】（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．由，f （x ）=R （x ）-G（x ），能写出利润函数y=f （x ）的解析式．（2）当x ＞5时，由函数f （x ）递减，知f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f （x ）=-0.4（x-4）2+3.6，当x=4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.【答案】解：（1）由a =0知f（x ）=x |x |， 又f （x ）=-1即x|x|=-1，∴x=-1．（2）f（x）==，∵f（x）在[2，+∞）上是增函数∴2a≤2，即a≤1，∴0＜a≤1．（3）f（x）=，f（x）图象如图当0＜m≤1时，g（m）=f（m）=m（2-m）；当m＞+1时，g（m）=f（m）=m（m-2）；综上g（m）=，＜，＜，＞．【解析】（1）a=0⇒f（x）=x|x|，再由f（x）=-1即可求得x的值；（2）由f（x）=在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；（3）作出f（x）=的图象，对m分0＜m≤1与1＜m≤+1及m＞+1三种情况讨论即可求得答案．本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数最值的应用，考查分类讨论思想与数形结合思想、方程思想的综合运用，属于难题．22.【答案】解：（1）因为h（x）=log4（4x+1）-kx是偶函数，所以log4（4-x+1）+kx=log4（4x+1）-kx，则2kx=log4=log44x=x恒成立，所以k=；（2）F（x）=f（log2x）-g（log4x）=log4（ax-a）-log4（x+1）=log4=log4[a（1-]，因为x∈[2，3]，所以x-＞0，所以a＞0，则1-∈[，]，a＞0，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）15 / 15 则a （1- ）∈[ a ， a ]，所以F （x ）∈[log 4 a ，log 4 a ]；即函数F （x ）的值域为[log 4 a ，log 4 a ]；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a •2x ）＜log 4（4x +1），设t =2x ，则t 2-at +1+ a ＞0，设m （t ）=t 2-at +1+ a ，若a ＞0则t ＞ ，由不等式t 2-at +1+ a ＞0对t ＞ 恒成立， ①当 ≤ ，即0＜a ≤ 时，此时m （ ）=＞0恒成立； ②当 ＞ ，即a ＞ 时，由△=a 2-4- a ＜0解得＜a ＜6； 所以0＜a ＜6；若a ＜0则0＜t ＜ ，则由不等式t 2-at +1+ a ＞0对0＜t ＜ 恒成立， 因为a ＜0，所以 ＜0，只需m （0）=1+ a ≥0，解得- ≤a ＜0；故实数a 的取值范围是[- ，0） （0，6）．【解析】（1）运用偶函数的定义，化简整理可得k 的值；（2）求得F （x ）的解析式，运用对数函数的单调性即可得到所求值域；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a•2x ）＜log 4（4x +1），设t=2x ，则t 2-at+1+a ＞0，设m （t ）=t 2-at+1+a ，讨论a ＞0，a ＜0，结合对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围． 本题考查函数的奇偶性的定义，考查函数的值域求法，注意运用对数函数的单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用换元法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
2018-2019学年江苏省南通市启东中学高一(创新班)上学期期中数学试题(解析版)
江苏省南通市 启东中学高一(创新班)上学期期中数学试题一、单选题1．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19【答案】A【解析】本题考查数列的通项公式的求法. 由12n n n a a a ++=+，则21n n n a a a ++=-， 又122,5a a ==，则3213;a a a =-=4322;a a a =-=-5435;a a a =-=-6543;a a a =-=-故正确答案为A2．直线10x -=的倾斜角α=( ) A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得α. 【详解】可得直线10x -=的斜率为3A kB =-=，由斜率和倾斜角的关系可得tan α=， 又∵0180a 鞍?∴30α=o 故选：A. 【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题.3．已知直线l 过定点()1,2P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．[]1,5- B ．()1,5-C ．(][),15,-∞-⋃+∞D ．()(),15,-∞-+∞U【答案】A【解析】【详解】试题分析：将点(1,2)P -(2,3)A --(4,5)B -标在直角坐标系中,令直线绕(1,2)P -旋转,由图可知,,解得[]1,5k ∈-，故选A.【考点】图象法,直线与线段的位置关系. 4．如果数列{}n a 满足122,1a a ==，且1111(2)n n n n n n a a a a n a a -+-+--=≥，则这个数列的第10项等于( ) A ．1012 B ．912 C ．15D ．110【答案】C【解析】由题设条件知11112n n n n n a a a a a -++-=+，所以1111112n n n a a a +-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此能够得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而得到第10项的值. 【详解】 ∵1111n n n n n n a a a a a a -+-+--=，∴11112n n n n n a a a a a -++-=+，∴111111111111111222n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +--+-+-++-⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭+，∴11112n n na a a -++= 即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，（2n ≥）. 然后可得12d =，101119522a =+⨯=，∴1015a =. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列某一项的值，属于基础题. 5．已知{}n a 的通项公式是()2N 156n na n n +=∈+，则数列的最大项是第( )项 A ．12 B ．13C ．12或13D ．不确定【答案】C【解析】构造函数2()(1)156xf x x x =≥+，利用导数研究()f x 的单调区间、极值和最值，由此求得n 为何值时，数列{}n a 取得最大值. 【详解】{}n a 的通项公式是()2156n na n N n +=∈+， 令2()(1)156xf x x x =≥+，则()222221562()156156x x f x x x +-'==++.∴()f x 在(上递增，在)+∞上递减，∴x =()f x 取得极小值即最小值.∵1213<<. 又2131(12)(13)13121325f f ===+⨯. 则数列的最大项是第12或13项. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查利用函数的观点研究数列的最大项，属于中档题.6．已知点(, )P x y 到(0,4)A 和(2,0)B -的距离相等，则24x y +的最小值为( )A ．2B ．4C ．D ．【答案】D【解析】首先求得线段AB 的垂直平分线的方程，由此求得,x y 的关系式，利用基本不等式求得24x y +的最小值. 【详解】因为点(,)P x y 到(0,4)A 和(2,0)B -的距离相等，所以点(,)P x y 在线段AB 的垂直平分线上，且过AB 的中点(1,2)-，()40202AB k -==--，垂直平分线的斜率为12-，由点斜式得()1212y x -=-+，所以垂直平分线的方程为：230x y +-=即23x y +=， 因为22422x y x y +=+，且220,20x y >>，所以22422x y x y +=+≥==.所以24x y +的最小值为， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查基本不等式求最值，属于中档题.7．设直线l 的斜率为k ，且1k -<≤l 的倾斜角α的取值范围( )A ．30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．30,,64πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ C ．3,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】D【解析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 【详解】直线l 的斜率为k ，且1k -<≤，∴1tan α-<≤[0,)απ∈.∴3,0,43ππαπ⎛⎫⎡⎤∈⋃⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.8．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值31【答案】A【解析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.9．设入射光线沿直线21y x =+射向直线y x =，则被y x =反射后，反射光线所在的直线方程是( ) A ．230x y -+= B ．210x y -+= C ．3210x y -+= D ．210x y --=【答案】D【解析】先求得直线21y x =+与直线y x =的交点坐标，然后求得直线21y x =+上一点()0,1关于直线y x =的对称点，利用两点式求得反射光线所在的直线方程. 【详解】 联立21y x y x =+⎧⎨=⎩解得：1x y ==-，所以入射线21y x =+与直线y x =的交点为()1,1--，在入射线21y x =+上取一点()0,1，则它关于直线y x =的对称点()1,0必在反射光线上，由两点式得反射线所在的直线方程为：110111y x ++=++，即210x y --=， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查反射光线所在直线方程的求法，属于中档题. 10．给出下列五个命题：①过点(1,2)-的直线方程一定可以表示为2(1)()y k x k R -=+∈的形式；②过点(1,2)-且在x ，y 轴截距相等的直线方程是10x y +-=；③过点2()1,M -且与直线():00l Ax By C AB ++=≠垂直的直线方程是(1)(2)0B x A y ++-=；④设点2()1,M -不在直线():00l Ax By C AB ++=≠上，则过点M 且与直线l 平行的直线方程是(1)(2)0A x B y ++-=；⑤点(1,2)P -到直线20ax y a a +++=的距离不小于2.以上命题中，正确的序号是( ) A ．②③⑤ B ．④⑤C ．①④⑤D ．①③【答案】B【解析】①根据斜率是否存在进行判断；②根据直线可能过原点进行判断；③求得过M 且与l 垂直的直线方程，由此来进行判断；④求得过M 且平行于l 的直线方程，由此来进行判断；⑤利用点到直线的距离公式，结合基本不等式来进行判断. 【详解】对于①，过点()1,2-的直线方程不一定可以表示为2(1)()y k x k R -=+∈的形式， 如斜率不存在时为10x +=，∴①错误；对于②，过点()1,2-且在x ，y 轴截距相等的直线方程是10x y +-=或2y x =-（过原点），∴②错误；对于③，过点()1,2M -且与直线:0(0)l Ax By C AB ++=≠垂直的直线方程可设为0Bx Ay m -+=，代入点M 的坐标求得2m A B =--，故所求的直线方程为(2)(1)0B x A y --+=，∴③错误；对于④，设点()1,2M -不在直线:0(0)l Ax By C AB ++=≠上，可设过点M 且与直线l 平行的直线方程为0Ax By n ++=，代入点M 可得2n A B =-， 故所求的直线方程是 (1)(2)0A x B y ++-=，④正确；对于⑤，点()1,2P -到直线20ax y a a +++=的距离为2d ===≥>，当且仅当1a =±时取“=”，∴⑤正确； 综上所述，正确的命题序号是④⑤. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查直线方程，考查直线平行、垂直，考查点到直线的距离公式，属于中档题.11．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ ） A ．2323140B ．5241280C ．2603140D ．5171280【答案】B【解析】由已知数列递推式可得数列{S n 2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得n S [][][]1280111...S S S +++ 【详解】由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1n =， 得111112a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵0n a ＞ ，得11a =． 当2n ≥ 时，1111()2n n n n n S S S S S ---+-＝， 即2211n n S S --＝． 因此，数列{}2Sn 是首项为1，公差为1的等差数列， ∴2n S n ＝，即n S ．则[][][]1280111......1280S S S +++=+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦111111113579111315172345678=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5241280=. 故选B. 【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题． 12．已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由，得，即，又，所以，即，即， 要使对于任意的恒成立，则对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立，令，则，解得或；故选C.二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n a =______.【答案】21,113,222n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.【详解】∵12n n S a +=，∴2n ≥时，12n n S a -=， 两式相减可得122n n n a a a +=-，即：132n n a a += ∴数列{}n a 从第2项起，是等比数列， ∵11a =，122S a =，∴212a =∴2n ≥时，21322n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∵11a =，∴21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩故答案为：21,113,222n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，属于基础题.14．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______.【答案】()4,2-【解析】先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得()4,2-的对称点，由此得出结论. 【详解】已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M .则816102AB k ==---.∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-， 化为20x y -=.设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，则2214422022baa b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-. 【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.15．已知a ，b ，c 均为正数，且(2)(2)1a b b c ++=，则1a b c++的最大值是______.【答案】1【解析】利用(2)(2)1a b b c ++=化简1a b c ++，结合基本不等式求得1a b c++的最大值. 【详解】根据题意，(2)(2)1a b b c ++=，则1(2)2a b b c+=+，122122(2)2a b c a b b c a b a b==++++++++，又由1(2)22a b a b ++≥=+，则1212a b c ≤=++，即1a b c++的最大值1；故答案为：1. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16．对于任一实数序列{}123,,,A a a a =L ，定义A ∆为序列{}213243,,,aa a a a a ---L ，它的第n 项是1n n a a +-，假定序列()A ∆∆的所有项都是1，且1820170a a ==，则2018a =_________．【答案】1000 【解析】【详解】依题意知A ∆是公差为1的等差数列,设其首项为a ,通项为n b ,则()111n b a n n a =+-⨯=+-,于是()()()()()()11111111121211122n n n k k k k k a a n n n a a a a a b a n a n a --+==⎡⎤++-⨯--⎣⎦=+-=+=+-=+-+∑∑.由于1820170a a ==,即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩,解得11016,17136a a =-=.故()201820162017171362017101610002a ⨯=+⨯-+=.【点睛】本小题主要考查新定义数列的性质,考查等差数列的前n 项和公式以及通项公式.题目定义的数列为二阶等差数列.高阶等差数列的定义是这样的:对于对于一个给定的数列，把它的连续两项1n a +与n a 的差1n n a a +-记为n b ，得到一个新数列，把数列n b 称为原数列的一阶差数列，如果1n n n c b b +=-=常数，则n a 的二阶等差数列.用累加法求得数列的通项公式.三、解答题17．已知直线1:10l ax by ++=（,a b 不同时为0）, 2:(2)0l a x y a -++=. ⑴若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；(2)当3b =且12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离. 【答案】（1）2；（2【解析】（1）当b=0时，l 1垂直于x 轴，所以由l 1⊥l 2知l 2垂直于y 轴，由此能求出实数a 的值；（2）由b=3且l 1∥l 2，先求出a 的值，再由两条平行间的距离公式，能求出直线l 1与l 2之间的距离．【详解】（1）当b=0，时，l 1：ax+1=0， 由l 1⊥l 2知a ﹣2=0， 解得a=2．（2）当b=3时，l 1：ax+3y+1=0， 当l 1∥l 2时，有()320310a a a ⎧--=⎨-≠⎩解得a=3，此时，l 1的方程为：3x+3y+1=0， l 2的方程为：x+y+3=0， 即3x+3y+9=0， 则它们之间的距离为d=229133-+=423． 【点睛】本题考查两条直线平行和两条直线垂直的条件的应用，解题时要认真审题，注意两条平行线间的距离公式的灵活运用．18．已知直线l1：2x －y ＋2＝0与l2：x ＋2y －4＝0，点P(1, m)． （Ⅰ）若点P 到直线l1, l2的距离相等，求实数m 的值；（Ⅱ）当m ＝1时，已知直线l 经过点P 且分别与l1, l2相交于A, B 两点，若P 恰好 平分线段AB ，求A, B 两点的坐标及直线l 的方程． 【答案】（Ⅰ）m ＝－1或m ＝；（Ⅱ）；x ＋7y －8＝0【解析】【详解】(I)根据点到直线的距离公式建立关于m 的方程，求出m 的值.（II ）设A(a, 2a ＋2), B(4－2b, b)，因为P （1，1）为AB 的中点，根据中点坐标公式可得关于a,b 的方程，解出a,b 的值.所以可得A 、B 的坐标，进而得到直线l 的方程. （Ⅰ）由题意得， 解得m ＝－1或m ＝；（Ⅱ）设A(a, 2a ＋2), B(4－2b, b)，则解得，∴，∴，∴l ：，即x ＋7y －8＝019．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足()21n n S n a =+，()*n N ∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围． 【答案】(1) ()*n a n n N =∈;（2）(),2-∞．【解析】试题分析： (1)由和项求通项,一般利用()12n n n S S a n --=≥进行转化，得到项之间递推关系式，再利用叠乘法求通项，（2）研究数列单调性，只需研究相邻两项之间关系即可，本题数列{}n b 为递增数列，等价于1n n b b +>恒成立，再利用变量分离转化为对应数列最值问题：2321n n λ⋅<+的最小值，最后根据数列{2321nn ⋅+}单调性求最小值，即得λ的取值范围．试题解析:(1)∵()21n n S n a =+，∴()1122n n S n a ++=+，∴()()11221n n n a n a n a ++=+++， 即()11n n na n a +=+，∴11n na a n n+=+， ∴11111n n a a a n n -==⋅⋅⋅==- ∴()*n a n n N =∈. （2）23n n b n λ=-.()21131n n n b b n λ++-=-+ ()()232321n nn n λλ--=⋅-+.∵数列{}n b 为递增数列，∴()23210nn λ⋅-+>，即2321nn λ⋅<+.令2321nn c n ⋅=+，则112321631232321n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+. ∴{}n c 为递增数列，∴12c λ<=，即λ的取值范围为(),2-∞． 点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据+1n n a a -的符号判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据+1n na a 与1的大小关系及n a 符号进行判断. ③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件20．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点.已知AB=3米，AD=2米.（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，请问AN 的长应在什么范围； （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小，并求出最小面积. 【答案】（1）()82,8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）AN 的长为4米时，矩形AMPN 的最小面积为24平方米.【解析】（1）设AN x =(0)x >，则32xAM x =-，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN 的面积大于32平方米，即可求得AN 的取值范围；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可得到结论． 【详解】（1）AN x =（2x >），则由DN DC ANAM=，得32xAM x =-， ∴232AMPNx S AN AM x =⋅=-， 由32AMPNS >，得23322x x >-，又2x >，所以2332640x x -+>，解得823x <<，或8x >， 所以AN 的长度的取值范围为()82,8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）因为2233(2)12(2)1222AMPNx x x S x x -+-+==--123(2)122x x =-++≥-1223(2)12242x x -⋅+=-， 当且仅当123(2)2x x -=-，即4x =时，等号成立． 所以当AN 的长度是4m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为224m ． 【点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解、函数关系式的求解，基本不等式求最值的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中根据题设条件列出关系式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．21．已知ABC V 的两条高所在直线方程为0,2310x y x y +=-+=，若()1,2A ，求直线BC 的方程. 【答案】2370x y ++=【解析】试题分析：设:0,:2310CD x y BE x y +=-+=，则可求出垂心11,55H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而求出32AH k =由AH BC ⊥可得23BC k =-，设:320AC x y m ++=，代入()1,2A 可得:3270AC x y +-=与CD 联立可得()7,7C -，则由点斜式可得直线BC 的方程.试题解析：设:0,:2310CD x y BE x y +=-+=∴105:231015x x y H x y y ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩，所以11,55H ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴12351215AHk -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭由“三条高线交于一点”可得：AH BC ⊥∴23BC k =-∵AC BE ⊥ 设:320AC x y m ++=，代入()1,2A 解得：7m =- ∴:3270AC x y +-=∴32707:07x y x C x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩ ∴()7,7C - ∴()2:773BC y x +=--整理后可得：2370x y ++= 答案：2370x y ++=22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记()4N 1nn na b n a ++=∈-. (1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)求证：①2128k k b b -+<对N k +∈恒成立.②4n R n <对N n +∈恒成立，其中n R 为数列{}n b 的前n 项和. (3)记()221Nn n n c b b n +-=-∈，nT 为{}nc 的前n 项和，求证：对任意正整数n ，都有32n T <. 【答案】(1)14n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，144114nn n b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)①证明见解析；②证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）利用递推关系式51n n a S =+证得数列{}n a 是等比数列，由此求得数列{}n a 的通项公式，进而求得数列{}n b 的通项公式.（2）①利用（1）中求得的数列{}n b 的通项公式，化简212k k b b -+，由此证得2128k k b b -+<.②将n 分成偶数和奇数两种情况，利用分组求和法，证得4n R n <对N n +∈恒成立. （3）化简221n n n c b b -=-，得到2211516n n n n c b b -=-<，利用放缩法证得32nT <. 【详解】(1)解：当1n =时，1151a a =+，∴114a =-.又∵51n n a S =+，1151n n a S ++=+， ∴115n n n a a a ++-=，即114n n a a +=-， ∴数列{}n a 成等比数列，其首项为114a =-，公比14q =-，∴14n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴14441114nn n n na b a ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(2)证明：①由(1)知14544(4)1114nn n nb ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==+--⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 注意到1k ³，所以1516400k ⋅->∵212212558(4)1(4)1k k k k b b --+=++----()()15164088161164k k k⋅-=-<-+； ②当n 为偶数时，设()*2Nn m m =∈， 则()()()123421284n m m R b b b b b b m n -=++++++<=L ； 当n 为奇数时，设()*21N n m m =-∈，则()()()12342322218(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=+++++++<-+=-=L ，∴对一切的正整数n ，都有4n R n <；(3)证明：由(1)知14544(4)1114nn n n b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==+--⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 得221221554141n n n n n c b b --=-=+-+ ()21516151516163164164316nn n n n n⋅==<+-+⋅-.又13b =，2133b =，∴143c =， ∴当1n =时，1132T c =<； 当2n ≥时，234111153161616n n T ⎛⎫<++++ ⎪⎝⎭L 21111416161513116n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯-1411131616n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭41673316482<+=<. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查分组求和法，考查放缩法证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(创新班)含解析
江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题（创新班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列{a n}中，a n+1=a n+2+a n，a1=2，a2=5，则a6的值是（）A. B. C. D. 192.直线的倾斜角α=（）A. B. C. D.3.已知直线l过定点P（-1，2），且与以A（-2，-3），B（-4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. B.C. D.4.如果数列{a n}满足a1=2，a2=1，且（n≥2），则这个数列的第10项等于（）A. B. C. D.5.已知{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），则数列的最大项是第（）项A. 12B. 13C. 12或13D. 不确定6.已知点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等，则2x+4y的最小值为（）A. 2B. 4C.D.7.设直线l的斜率为k，且-1＜，求直线l的倾斜角α的取值范围（）A. B. C. D.8.已知数列{a n}的通项公式为a n=log2（n∈N*），设其前n项和为S n，则使S n＜-5成立的自然数n（）A. 有最小值63B. 有最大值63C. 有最小值31D. 有最大值319.设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（）A. B. C. D.10.给出下列五个命题：①过点（-1，2）的直线方程一定可以表示为y-2=k（x+1）（k∈R）的形式；②过点（-1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程是x+y-1=0；③过点M（-1，2）且与直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）垂直的直线方程是B（x+1）+A（y-2）=0；④设点M（-1，2）不在直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）上，则过点M且与直线l平行的直线方程是A（x+1）+B（y-2）=0；⑤点P（-1，2）到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2．以上命题中，正确的序号是（）A. B. C. D.11.对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正数数列{a n}满足S n=（a n+），n∈N+，其中S n为数列{a n}的前n项和，则++…+=（）A. B. C. D.12.已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1-a n）=a n+1，n∈N*．若对于任意的t∈[0，1]，n∈N*，不等式＜-2t2-（a+1）t+a2-a+3恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则a n=______．14.将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与点（-6，8）重合，则与点（-4，2）重合的点是______．15.已知a，b，c均为正数，且（2a+b）（b+2c）=1，则的最大值是______．16.对于任一实数序列A={a1，a2，a3…}，定义△A为序列{a2-a1，a3-a2，a4-a3，…}，它的第n项是a n+1-a n，假定序列△（△A）的所有项都是1，且a18=a2017=0，则a2018=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l1：ax+by+1=0（a，b不同时为0），l2：（a-2）x+y+a=0，（1）若b=0，且l1⊥l2，求实数a的值；（2）当b=3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18.已知直线l1：2x-y+2=0与l2：x+2y-4=0，点P（1，m）．（Ⅰ）若点P到直线l1，l2的距离相等，求实数m的值；（Ⅱ）当m=1时，已知直线l经过点P且分别与l1，l2相交于A，B两点，若P恰好平分线段AB，求A，B两点的坐标及直线l的方程．19.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足2S n=（n+1）a n，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=3n-λa n2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．21.已知△ABC的两条高所在直线方程为x+y=0，2x-3y+1=0，若A（1，2），求直线BC的方程．22.设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立，记b n=（n∈N+）．（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）求证：①b2k-1+b2k＜8对k∈N+恒成立．②R n＜4n对n∈N+恒成立，其中R n为数列{b n}的前n项和．（3）记c n=b2n-b2n-1（n∈N+），T n为{c n}的前n项和，求证：对任意正整数n，都有T n＜．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵a1=2，a2=5，a n+1=a n+2+a n，∴令n=1代入上式得a2=a3+a1=5，∴a3=3依此类推得a4=1，a5=-2，a6=-3．故选：A．依次令n为1、2、3、4代入递推公式，利用前两项的值分别求出．本题主要考查了数列递推公式的应用，当所求的项数较小时，可以利用递推公式依次求出即可．2.【答案】A【解析】解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选：A．由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．3.【答案】A【解析】解：直线PA的斜率为 k1==5，直线PB的斜率为 k2==-1，结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围是k2≤k≤k1，即则直线l的斜率k的取值范围是[-1，5]，故选：A．先利用斜率公式求得直线PA，PB的斜率结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围．本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵，∴，∴===（），∴∴=，即{}为等差数列，（n≥2）．然后可得d=，，∴．故选：C．由题设条件知，所以，由此能够得到{}为等差数列，从而得到第10项的值．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．5.【答案】C【解析】解：{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），则f′（x）==．∴x=时，函数f（x）取得极小值即最小值．∵＜13．又f（12）=f（13）==．则数列的最大项是第12或13项．故选：C．{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等所以点P（x，y）在A，B的垂直平分线上，且过A B的中点（-1，2）所以垂线方程为：X+2Y-3=0 即X+2Y=3因为2X+4Y=2X+22Y，且2x＞0，22y＞0，所以2x+4y=2x+22y≥==所以最小值为，故选：D．首先根据因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等得到P在AB的垂直平分线上，然后求出垂线的方程，最后根据基本不等式求解．本题考查两点间的距离公式，以及基本不等式的应用，通过对题目的分析抽象出数学模型，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：直线l的斜率为k，且-1，∴-1＜tanα≤，α∈[0，π）．∴α∈．故选：D．直线l的斜率为k，且-1，可得-1＜tanα≤，α∈[0，π）．即可得出．本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵a n=log2，∴S=a1+a2+a3+…+a n=log2+log2+…+log2=log2=log2，n又因为S n＜-5=log2⇒⇒n＞62，故使S n＜-5成立的正整数n有最小值：63故选：A．先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜-5转化为关于n的不等式即可．本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．9.【答案】D【解析】解：联立解得：x=y=-1，所以入射线y=2x+1与直线y=x的交点为（-1，-1），在入射线y=2x+1上取一点（0，1），则它关于直线y=x的对称点（1，0）必在反射光线上，由两点式得反射线所在的直线方程为：=，即x-2y-1=0，故选：D．依据光学知识，入射线所在直线上点（0，1）关于y=x的对称点在反射线所在直线上．本题考查了与直线关于直线对称问题．属中档题．10.【答案】B【解析】解：对于，过点（-1，2）的直线方程不一定可以表示为y-2=k（x+1）（k∈R）的形式，如斜率不存在时为x+1=0，∴ 错误；对于，过点（-1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程是x+y-1=0或y=-2x，∴ 错误；对于，过点M（-1，2）且与直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0，代入点M的坐标求得m=-A-2B，故所求的直线方程为B（x-2）-A（y+1）=0，∴ 错误；对于，设点M（-1，2）不在直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）上，可设过点M且与直线l平行的直线方程为Ax+By+n=0，代入点M可得n=A-2B，故所求的直线方程是A（x+1）+B（y-2）=0，正确；对于，点P（-1，2）到直线ax+y+a2+a=0的距离为d===+≥2＞2，当且仅当a=±1时取“=”，∴ 正确；综上所述，正确的命题序号是．故选：B．斜率不存在时不满足方程；截距相等且为0时的直线方程是y=-2x；求出过点M且与直线l垂直的直线方程即可；求出过点M且与直线l平行的直线方程即可；求出点P到直线ax+y+a2+a=0的距离，并利用基本不等式求出最小值．本题考查了直线方程的应用问题，是综合题．11.【答案】B【解析】解：由S n=（a n+），令n=1，得a1=S1=（a1+），∵a n＞0，得a1=1．当n≥2时，S n=（a n+）=（S n-S n-1+），即S n2-S n-12=1，因此，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2=n，即S n=，[S1]=1，[S2]=1，[S3]=1，[S4]=…=[S8]=2，[S9]=…=[S15]=3，…，[S64]=…=[S80]=8，则++…+=1×3+×5+×7+×9+×11+×13+×15+×17=．故选：B．求得数列的首项，由数列矛盾递推式可得S n2-S n-12=1，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得S n，结合新定义分别求得各项的值，相加可得所求和．本题考查数列的通项和求和的关系，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查新定义的理解和运用，以及化简运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，∴na n+1-（n+1）a n=1，∴-==-，∴=（-）+（-）+…+（a2-a1）+a1，=（-）+（-）+…+（1-）+2=3-＜3，∵＜-2t2-（a+1）t+a2-a+3恒成立，∴3≤-2t2-（a+1）t+a2-a+3∴2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，设f（t）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，∴，即，解得a≤-1或a≥3，故选：C．根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，可得-=-，利用迭代法和裂项求和，以及放缩法可得＜3，则原不等式可转化为2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，构造函数f（a）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，可得，解得即可本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n（a n+1-a n）=a n+1的变形，属于难题13.【答案】【解析】解：∵S n=2a n+1，∴n≥2时，S n-1=2a n，两式相减可得a n=2a n+1-2a n，即：=∴数列{a n}从第2项起，是等比数列，∵a1=1，S1=2a2，∴a2=∴n≥2时，a n=∵a1=1，∴a n=故答案为：直接利用已知条件求出a2，通过S n=2a n+1，推出数列{a n}从第2项起，是等比数列，即可求得结论．本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．14.【答案】（4，-2）【解析】解：已知点A（10，0），点B（-6，8），可得中点M（2，4）．则k AB==-．∴线段AB的垂直平分线为：y-4=2（x-2），化为2x-y=0．设点（-4，2）关于直线2x-y=0的对称点为P（a，b），则，解得．∴与点（-4，2）重合的点是（4，-2）．故答案为：（4，-2）．利用线段的垂直平分线的性质可得线段AB的垂直平分线即可得出．本题考查了线段的垂直平分线的性质，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：根据题意，（2a+b）（b+2c）=1，则（2a+b）=，==，又由（2a+b）+≥2=2，则≤=1，即的最大值1；故答案为：1．根据题意，由（2a+b）（b+2c）=1可得（2a+b）=，进而可得==，利用基本不等式的性质可得（2a+b）+的值，据此分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对的变形，属于基础题．16.【答案】1000【解析】解：设序列DA的首项为d，则序列DA为{d，d+1，d+2，…}，则它的第n项为d+（n-1），因此数列A的第n项，a n=a1+（a k+1-a k）=a1+d+（d+1）+…+（d+n-2）=a1+（n-1）d+（n-1）（n-2），则a n是关于n的二次多项式，其中n2的系数为，∵a18=a2017=0，∴必有a n=（n-18）（n-2017），则a2018=（2018-18）（2018-2017）=×2000×1=1000．故答案为：1000．根据高阶等差数列的定义，进行推理即可得到结论．本题主要考查数列的概念和表示，根据定义进行递推关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.【答案】解：（1）b=0，直线l1：ax+1=0（a，b不同时为0），l2：（a-2）x+y+a=0，∵l1⊥l2，∴a-2=0，解得a=2．（2）b=3，直线l1：ax+3y+1=0，由3（a-2）-a=0，解得a=3．∴两条方程分别化为：x+y+=0，x+y+3=0，满足l1∥l2，∴直线l1与l2之间的距离==．【解析】（1）b=0，直线l1：ax+1=0（a，b不同时为0），l2：（a-2）x+y+a=0，根据l1⊥l2，可得a-2=0，解得a．（2）b=3，直线l1：ax+3y+1=0，由3（a-2）-a=0，解得a．再利用平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了平行线垂直直线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（I）由题意得，解得m=-1或m=（II）设A（a，2a+2），B（4-2b，b）则解得a=-，b=∴A（-，），B（，）∴k==-∴直线l的方程为：y-1=-（x-1）即x+7y-8=0【解析】（I）根据点到直线的距离公式得出，求出m即可．（II）设出A和B的坐标公式，由中点坐标公式得出则，进而求出点A和点B的坐标以及直线l的斜率，从而求出直线的斜率．此题考查了两直线的交点坐标、点到直线的距离公式以及直线方程的求出，解题过程中要仔细确保计算准确性，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵2S n=（n+1）a n，∴2S n+1=（n+2）a n+1，两式相减可得2a n+1=（n+2）a n+1-（n+1）a n，即na n+1=（n+1）a n，∴，∴，∴a n=n（n∈N*）．（2），.-（3n-λn2）=2•3n-λ（2n+1）．∵数列{b n}为递增数列，∴2•3n-λ（2n+1）＞0，即＜．令，则＞．∴{c n}为递增数列，∴λ＜c1=2，即λ的取值范围为（-∞，2）．【解析】（1）运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，将n换为n+1，两式相减可得na n+1=（n+1）a n，整理变形，即可得到所求通项公式；（2）数列{b n}为递增数列，作差可得2•3n-λ（2n+1）＞0，运用参数分离，构造，判断单调性，即可所求范围．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，考查数列的单调性的运用，注意运用分离参数，考查化简整理的运算和变形能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）解：设AN的长为x米（x＞2）由题意可知：∵∴∴∴由S AMPN＞32得＞，∵x＞2∴3x2-32（x-2），即（3x-8）（x-8）＞0（x＞2）解得：＜＜或＞即AN长的取值范围是，，（2）解法一：∵x＞2，∴分当且仅当，即x=4时，取“=”号即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米．解法二：∵＞∴令S'=0得x=4当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0当x=4时，S取极小值，且为最小值．即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米．【解析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；（2）解法1：利用当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最大值即可；解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用当且仅当a=b时取等号的方法求最值的能力．21.【答案】解：设高线CD：x+y=0，BE：2x-3y+1=0，由求得，可得垂心H（-，）．∴高线AH的斜率，由“三条高线交于一点”可得：AH⊥BC，∴．∵AC⊥BE，设AC：3x+2y+m=0，代入A（1，2）解得：m=-7，∴AC：3x+2y-7=0．把直线AC、CD的直线方程联立方程组，求得，∴C（7，-7）．∴：，整理后可得：2x+3y+7=0．即直线BC的方程为：2x+3y+7=0．【解析】先求出垂心H的坐标，可得AH的斜率，进而得到BC的斜率．用点斜式求得AC的方程，把AC 的方程和高线CD的方程联立方程组，求得点C的坐标，再用点斜式求出BC的方程．本题主要考查求两条直线的交点，用点斜式求直线的方程，属于基础题．22.【答案】（1）解：当n=1时，a1=5a1+1，∴a1=-．又∵a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1，∴a n+1-a n=5a n+1，即a n+1=-a n，∴数列{a n}成等比数列，其首项为a1=-，公比q=-，∴a n=（-）n，∴b n==；（2）证明：①由（1）知b n==．∵b2k-1+b2k=8++=8-＜8；②当n为偶数时，设n=2m（m∈N*），则R n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-1+b2m）＜8m=4n；当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N*），则R n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-3+b2m-2）+b2m-1＜8（m-1）+4=8m-4=4n，∴对一切的正整数n，都有R n＜4n；（3）证明：由（1）知b n==，得c n=b2n-b2n-1=+=＜．又b1=3，b2=，∴c1=，∴当n=1时，T1＜；当n≥2时，T n＜+15（）＜=＜．【解析】（1）把n=1代入a n=5S n+1中，即可求出首项a1，然后把n换为n+1，利用a n=5S n+1表示出a n+1，两个式子相减并利用S n+1-S n=a n化简后即可得到的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出b n的通项公式；（2）化简b n的通项公式，可知b2k-1+b2k＜8；结合对n分类证明R n＜4n对n∈N+恒成立；（3）由b n的通项公式，计算出{c n}的通项公式，再由放缩法证明对任意正整数n，都有T n＜．本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．。
江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期初考试数学试题
启东中学2018－2019学年度第二学期期中考试高二化学试卷注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共120分。
考试时间100分钟。
2．将选择题的答案填涂在答题卡的对应位置上，非选择题的答案写在答题卡的指定栏目内。
可能用到的相对原子质量：H—1 C—12 O—16 Mg—24 Al—27选择题 (50分)单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．下列说法中正确的是( )A．在气体单质分子中，一定含有σ键，可能含有π键B．烯烃比烷烃的化学性质活泼是由于烷烃中只含σ键，而烯烃含有π键C．等电子体结构相似，化学性质相同D．共价键的方向性决定了苯分子空间构型和分子组成C6H62．下列有机物命名正确的是( )3．下列现象与氢键有关的是( )①NH3的熔、沸点比第ⅤA族其他元素氢化物的熔、沸点高②碳原子数较少的醇、羧酸可以和水以任意比互溶③常温下H2O为液态，而H2S为气态④水分子高温下也很稳定A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①4．下列关于A Z X和A＋1Z X＋两种粒子的叙述正确的是( )A．质子数一定相同，质量数、中子数一定不同B．因为是同一种元素的粒子，化学性质一定相同C．一定都由质子、中子和电子构成D．核电荷数和核外电子数一定相同5．为了提纯下表所列物质(括号内为杂质)，有关除杂试剂和分离方法的选择均正确的是( )6①晶体中原子呈周期性有序排列，有自范性；而非晶体中原子排列相对无序，无自范性②含有金属阳离子的晶体一定是离子晶体③共价键可决定分子晶体的熔、沸点④MgO的晶格能远比NaCl大，这是因为前者离子所带的电荷数多，离子半径小⑤晶胞是晶体结构的基本单元，晶体内部的微粒按一定规律作周期性重复排列⑥晶体尽可能采取紧密堆积方式，以使其变得比较稳定⑦干冰晶体中，一个CO2分子周围有8个CO2分子紧邻A．①②③ B．②③④ C．④⑤⑥ D．②③⑦7．下列说法正确的是( )A．分子式为C4H10O的醇，能在铜催化和加热条件下被氧气氧化为醛的同分异构体共有4种B．2氯丁烷与NaOH乙醇溶液共热的反应产物中一定不存在同分异构体C．3甲基3乙基戊烷的一氯代物有5种D．分子式为C7H8O的有机物，能与氯化铁溶液发生显色反应的同分异构体共有3种8．某有机物的结构简式为。
江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合元素和集合的关系确定的值，注意元素的互异性的应用．【详解】解：，，，，由得，由，得，由得或．综上，或．当时，集合为不成立．当时，集合为不成立．当时，集合为，满足条件．故．故选：C．【点睛】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．2.设，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得到关于m的不等式，能求出实数的取值范围．【详解】解：，，，，实数的取值范围是．故选：A．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.函数的定义域为（）A.且 B.C.且 D.【答案】A【解析】由题意，要使有意义，需满足，即．因此的定义域为．故选A．4.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数的性质和不等式的性质求解．【详解】解：由题意：函数，，，即函数的值域为．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的值域问题．考查了不等式的性质，属于基础题．5.已知函数，若，则值是（）A. B. 或 C. 或 D. 或或【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的性质求解．【详解】∵函数y，函数值为5，∴当x≤0时，x2+1＝5，解得x＝﹣2，或x＝2（舍），当x＞0时，﹣2x＝5，解得x，（舍）．故选：C．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．6.函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∴函数的定义域为，又，∴函数为偶函数，且图象关于轴对称，可排除、．又∵当时，，可排除．综上，故选．点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．7.在函数（1）；（2）；（3）；（4）中，偶函数的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析所给的个函数的奇偶性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析所给的个函数：对于，其定义域为，且且，是非奇非偶函数；对于，有，解可得，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数；对于，为二次函数，其对称轴为，则是非奇非偶函数；对于，有，其定义域为或}，且，则函数为偶函数，个函数中，偶函数的数目为；故选：C．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．8.已知函数，则函数的减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对数的真数大于0，先求得定义域；再根据复合函数单调性判断“同增异减”的原则即可判断出单调递减区间。
【全国百强校】江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题
……装…………○……________姓名：___________班级：_……装…………○……绝密★启用前江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下图中，能表示函数 的图象的是( )A ．B ．C ．D ．2．下列五个写法： ，其中错误写法的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知 ，则 （ ）A ． 5B ． -1C ． -7D ． 2………订…※线※※内※※答………订…A ． 31 B ． 63 C ． 64 D ． 62 6．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( )A ．B ．C ．D ．8．函数的零点所在区间是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．直线 与函数 图象的交点个数为( ) A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个10．已知奇函数 在 时的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）A ． ，B ．C ． ，D ． ，11．已知是定义在 上的减函数,则实数 的取值范围是( ).A ．B ．C ．D ．12．已知函数，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．， D ． 以上都不对第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．函数恒过定点________14．已知集合，若，实数的取值范围是______ ．15．已知,若,则______ ．16．若函数在上有意义，则实数的取值范围是______．三、解答题17．已知集合，，，全集为实数集．（）求，；（）若，求实数的范围．18．计算：（1）．（2）．19．已知函数，其中且．（1）若，求满足的集合．（2）若，求的取值范围．20．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年．（1）当时，求函数关于的函数表达式；（2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．(1)判断的奇偶性；(2)判断并证明的单调性，写出的值域．22．已知.（1）若,求方程的解；（2）若关于x的方程在（0,2）上有两个解，求k的取值范围，并证明．参考答案1．D【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．【详解】根据题意，对于A、B两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于C图，当x=0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y=f（x），故选：D．【点睛】本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个x都有唯一的y值对应”．2．C【解析】【分析】根据“∈”用于元素与集合间，“∩”用于集合与集合间，判断出①⑤错；∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对．【详解】对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错，对于②，∅是任意集合的子集，故②对，对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对，对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错，对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错．故选：C．【点睛】此题是基础题，考查对元素与集合关系的判断，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解．3．C【解析】【分析】定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，对选项逐一判断，即可得到结论．【详解】对于A，f（x）==|x|，g（x）=（）2=x（x≥0），定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于B，f（x）=1（x∈R），g（x）=x0=1（x≠0），定义域不同，故不为同一函数；对于C，f（x）=x，g（x）==x，定义域和对应法则均为R，故为同一函数；对于D，f（x）=x+1，（x∈R），g（x）==x+1（x≠1），定义域不同，故不为同一函数．故选：C．【点睛】本题考查同一函数的判断，运用定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，属于基础题．4．D【解析】【分析】根据所给解析式先求f（2），再求f[f（2）]．【详解】∵∴f（2）=﹣2×2+3=﹣1，∴f[f（2）]=f（﹣1）=（﹣1）2+1=2．故选：D．【点睛】本题考查分段函数求值问题，属基础题，关键看清所给自变量的值所在范围．5．B【解析】【分析】由A∪B=A得B A，根据集合关系进行求解．【详解】∵A∪B=A，∴B A，∵，∴满足A∪B=A的非空集合B的个数为26﹣1=63．故选：B．【点睛】本题主要考查集合的基本关系，将A∪B=A转化为B A是解决本题的关键．6．B【解析】【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】∵函数f（x）=+lg（3x+1），∴＞＞；解得﹣＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣，1）．故选：B．【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．7．C【解析】【分析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项．【详解】由题意=故选：C．【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，解题的关键是掌握并能熟练运用根式与分数指数幂互化的规则．8．C【解析】【分析】根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间．【详解】∵连续减函数，∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=﹣log24＜0，∴函数的零点所在的区间是（3，4），故选：C．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．9．A【解析】【分析】函数y=|x2﹣6x|可讨论x去掉绝对值，得到分段函数，画出图象，然后画出y=3，观察交点个数．【详解】由函数的图象可得，显然有4个交点，故选：A．【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10．C【解析】【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．【详解】（1）x＞0时，f（x）＜0，∴1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故选：C．【点睛】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．11．B【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．【详解】当x≥1时，函数f（x）=﹣x+1为减函数，此时函数的最大值为f（1）=0，要使f（x）在R上的减函数，则满足＜，即＜，解集≤a＜，故选：B．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．12．A【解析】【分析】对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2，]，使得g（x1）＞f（x2），可得g（x1）min＞f（x2）min，根据基本不等式求出f（x2）min=1，再分类讨论，求出g（x）min，即可求出k的范围．【详解】对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2，]，使得g（x1）＞f（x2），∴g（x1）min＞f（x2）min，∵f（x）=x2+﹣3≥2﹣3=4﹣3=1，当且仅当x=时取等号，∴f（x2）min=1，当k＞0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为增函数，∴g（x）min=f（﹣1）=2﹣k，∴2﹣k＞1，解得0＜k＜1当k＜0时，g（x）=kx+2，在x∈[﹣1，2]为减函数，∴g（x）min=f（2）=2k+2，∴2k+2＞1，解得﹣＜k＜0，当k=0时，g（x）=2，2＞1成立，综上所述k的取值范围为（﹣，1）故选：A．【点睛】本题考查了函数恒成立问题和存在性问题，以及基本不等式，属中档题．13．（3,4）.【解析】当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，∴f(x)必过定点(3，4)．14．.【解析】【分析】根据集合A，B，以及A∩B=∅，分别判断集合成立的条件，分情况讨论得出a的范围即可．【详解】∵A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，而A∩B=∅，∴①a﹣1≥2a+1时，A=∅，a≤﹣2＞②解得：﹣2＜a＞③解得：a≥2综上，a的范围为：a≤或a≥2故答案为：【点睛】本题考查交集及其运算，子集与交集补集的混合运算，通过对集合关系的把握转化为参数的范围，属于基础题．15．-14.【解析】【分析】根据f（x）=ax3+bx﹣4，可得f（x）+f（﹣x）=﹣8，从而根据f（2）=6，可求f（﹣2）的值．【详解】∵f（x）=ax3+bx﹣4∴f（x）+f（﹣x）=ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4=﹣8∴f（x）+f（﹣x）=﹣8∵f（2）=6∴f（﹣2）=﹣14故答案为：﹣14．【点睛】本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，解题的关键是判断f（x）+f（﹣x）=﹣8，以此题解题方法解答此类题，比构造一个奇函数简捷，此法可以推广．16．.【解析】【分析】使用换元令t=2x，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at2进行求解．【详解】设t=2x，因为x∈（﹣∞，2]，所以0＜t≤4．则原函数有意义等价于1+t+at2≥0，所以a≥﹣．设f（t）=﹣，则f（t）=﹣=﹣（+）2+，因为0＜t≤4，所以∈[，+∞），所以f（t）≤f（）=，所以a≥．故答案为：．【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．17．（1）或；（2）。
2018-2019学年江苏省南通市启东中学高一(上)期初数学试卷及答案
2018-2019学年江苏省南通市启东中学高一（上）期初数学试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．（5分）因式分解：a3﹣b3＝．2．（5分）若|x+y﹣1|与|x﹣y+3|互为相反数，则（x+y）2018＝．3．（5分）＝．4．（5分）因式分解：2x2﹣5x﹣3＝．5．（5分）若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x﹣3＝0的两根，则的是．6．（5分）0＜t＜1，不等式的解集为．7．（5分）解方程组的解为．8．（5分）已知全集A＝{0，1，2}，则集合A的真子集共有个．9．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝．10．（5分）根据函数的图象，若﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）与f（x2）的大小关系是．11．（5分）函数y＝f（x）的图象与直线x＝a的交点个数为．12．（5分）已知函数y＝的定义域为．13．（5分）已知，则f（x）＝．14．（5分）函数y＝f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是．二、解答题（共90分）15．（15分）若a﹣a﹣1＝1，求下列各式的值：（1）a2+a﹣2；（2）a3﹣a﹣3；（3）a+a﹣1；（4）a3+a﹣3．16．（15分）解下列不等式：（1）﹣2x2+x+1＜0；（2）3x2+5≤3x；（3）．17．（15分）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|a＜x＜a+8}．（1）若A∪B＝B，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．18．（15分）解下列各题：（1）已知函数f（x）的定义域是[1，2]，求函数f（x+1）的定义域．（2）已知函数f（x+1）的定义域是[1，2]，求函数f（x）的定义域．19．（15分）已知函数f（x）＝2﹣，试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．20．（15分）已知f（x）是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且f（0）≠0．（1）求证：f（0）＝1；（2）判断函数的奇偶性．2018-2019学年江苏省南通市启东中学高一（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题5分，共70分）1．（5分）因式分解：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．【分析】利用“立方差公式”即可得出．【解答】解：利用“立方差公式”可得：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2），【点评】本题考查了“立方差公式”、因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）若|x+y﹣1|与|x﹣y+3|互为相反数，则（x+y）2018＝1．【分析】由题意可知|x+y﹣1|+|x﹣y+3|＝0，再根据非负数的性质列出方程组，求出x，y 的值，从而求出（x+y）2018的值．【解答】解：∵|x+y﹣1|与|x﹣y+3|互为相反数，∴|x+y﹣1|+|x﹣y+3|＝0，∴，解得，∴（x+y）2018＝（﹣1+2）2018＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了非负数的性质和有理数的混合运算，熟练掌握非负数的性质是解题关键，是基础题．3．（5分）＝．【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：原式＝﹣（）+（）＝，故答案为：．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．4．（5分）因式分解：2x2﹣5x﹣3＝（2x+1）（x﹣3）．【分析】利用“+相乘法“即可得出．【解答】解：∵2＝2×1，﹣3＝1×（﹣3），2×（﹣3）+1×1＝﹣5，∴2x2﹣5x﹣3＝（2x﹣1）（x﹣3）．故答案为：（2x﹣1）（x﹣3）．【点评】本题考查了利用“+相乘法“因式分解，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x﹣3＝0的两根，则的是．【分析】利用一元二次方程的根与系数即可得出．【解答】解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，则＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）0＜t＜1，不等式的解集为（t，）．【分析】根据一元二次不等式的解法求不等式的解集．【解答】解：∵不等式，∴对应方程（x﹣t）（x﹣）＝0的两个根为t或，∵0＜t＜1，∴＞t，∴不等式的解集为t＜x＜，即不等式的解集为（t，）．故答案：（t，）．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，利用t的范围确定两个根的大小是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）解方程组的解为或．【分析】县消xy，然后代入其中一个方程可解得x，y的值．【解答】解：由①×3﹣②可得：3x﹣y＝1，即y＝3x﹣1，将其代入①可得x（3x﹣1）+x＝3，即3x2＝3，解得：x＝1或﹣1，当x＝1时y＝3×1﹣1＝2；当x＝﹣1时y＝3（﹣1）﹣1＝﹣4，所以方程组的解为或．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．8．（5分）已知全集A＝{0，1，2}，则集合A的真子集共有7个．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣2个真子集．【解答】解：∵全集A＝{0，1，2}，∴集合A的真子集共有：23﹣1＝7．故答案为：7．【点评】本题考查集合的真子集的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集的性质的合理运用．9．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜5}，则A∩B＝{1，3}．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|0＜x＜5}，∴A∩B＝{1，3}，故答案为：{1，3}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．（5分）根据函数的图象，若﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）与f（x2）的大小关系是f（x1）＜f（x2）．【分析】直接利用函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：根据函数的图象，当x∈（﹣∞，1）上时，函数的图象单调递增．所以﹣1＜x1＜x2＜1，满足单调递增区间上的单调递增，所以f（x1）＜f（x2），故答案为：f（x1）＜f（x2）【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．11．（5分）函数y＝f（x）的图象与直线x＝a的交点个数为0或1．【分析】求图象的交点，即求联立函数方程的解的个数．根据函数的定义来判断解的个数．【解答】解：联立，当x＝a有定义时，把x＝a代入函数y＝f（x），根据函数的定义：定义域内每一个x对应惟一的y，当x＝a在定义域范围内时，有唯一解，当x＝a无定义时，没有解．所以至多有一个交点，故答案为：0或1【点评】本题考查对函数的定义的理解，得出结论：函数y＝f（x）的图象与直线x＝a 至多有一个交点．12．（5分）已知函数y＝的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]．【分析】令被开方数大于等于0及分母不为0，求出x的范围，即为定义域．【解答】解：要使函数有意义需⇒解得x＜﹣，﹣＜x≤1．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]．【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法．求函数的定义域遇到开偶次方根时，要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间．13．（5分）已知，则f（x）＝．【分析】根据原式可得，进而构造方程组解出即可．【解答】解：依题意，，联立方程组有，解得．故答案为：．【点评】本题考查函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于基础题．14．（5分）函数y＝f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是a≤﹣2或a≥2．【分析】由于函数y＝f（x）是R上的偶函数，所以其图象关于y轴对称，然后利用单调性及f（a）≤f（2）得|a|≥2，即可求得a的取值范围．【解答】解：∵函数y＝f（x）是R上的偶函数∴y＝f（x）的图象关于y轴对称．又∵y＝f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，f（a）≤f（2）∴|a|≥2∴a≤﹣2或a≥2故答案为：a≤﹣2或a≥2【点评】本题考查了奇偶函数的对称性，奇偶性与单调性的综合，解绝对值不等式，是个基础题．二、解答题（共90分）15．（15分）若a﹣a﹣1＝1，求下列各式的值：（1）a2+a﹣2；（2）a3﹣a﹣3；（3）a+a﹣1；（4）a3+a﹣3．【分析】利用有理数性质及运算法则直接求解．【解答】解：（1）∵a﹣a﹣1＝1，∴（a﹣a﹣1）2＝a2+a﹣2﹣2＝1，∴a2+a﹣2＝3．（2）a3﹣a﹣3＝（a﹣a﹣1）（a2+a﹣2+1）＝1×（3+1）＝4．（3）（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝3+2＝5，∴a+a﹣1＝．（4）a3+a﹣3＝（a+a﹣1）（a2+a﹣2﹣1）＝（3﹣2）＝．【点评】本题考查指数式化简求值，考查根式与指数式互化公式、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（15分）解下列不等式：（1）﹣2x2+x+1＜0；（2）3x2+5≤3x；（3）．【分析】（1）不等式即（2x+1）（x﹣1）＞0，由此求得它的解集．（2）不等式即3x2﹣3x+5≤0，根据它的△＜0，可得它的解集为∅．（3）不等式即（x+1）（3x+2）＞0，由此求得它的解集．【解答】解：（1）﹣2x2+x+1＜0，即2x2﹣x﹣1＞0，即（2x+1）（x﹣1）＞0，故它的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．（2）3x2+5≤3x，即3x2﹣3x+5≤0，∵△＜0，故它的解集为∅．（3），即（x+1）（3x+2）＞0，故它的解集为{x|x＜﹣1或x＞﹣}．．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，属于中档题．17．（15分）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|a＜x＜a+8}．（1）若A∪B＝B，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据A∪B＝B，得到关于a的不等式，进而求出结论；（2）根据A∩B＝∅，得到关于a的不等式，进而求出结论．【解答】解：（1）∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|a＜x＜a+8}．∴A∪B＝B，∴⇒﹣5≤a≤0；∴实数a的取值范围是：[﹣5，0]；（2）∵A∩B＝∅，∴a≥3或a+8≤0⇒a≥3或a≤﹣8，∴实数a的取值范围是：{a|a≥3或a≤﹣8}．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．18．（15分）解下列各题：（1）已知函数f（x）的定义域是[1，2]，求函数f（x+1）的定义域．（2）已知函数f（x+1）的定义域是[1，2]，求函数f（x）的定义域．【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）由题意可得，对于函数f（x+1），应有：x+1∈[1，2]，据此可得：x∈[0，1]，即函数y＝f（x+1）的定义域是[0，1]．（2）∵f（x+1）的定义域是[1，2]，∴1≤x≤2，得2≤x+1≤3，即f（x）的定义域为[2，3]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．19．（15分）已知函数f（x）＝2﹣，试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．【分析】容易看出f（x）在（0，+∞）上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x1＞x2＞0，然后作差，通分，从而得出，根据x1＞x2＞0说明即可得出f（x）在（0，+∞）上单调递增．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；证明：设x1＞x2＞0，则：；∵x1＞x2＞0；∴x1x2＞0，x1﹣x2＞0；∴；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．【点评】考查反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法和过程．20．（15分）已知f（x）是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且f（0）≠0．（1）求证：f（0）＝1；（2）判断函数的奇偶性．【分析】（1）令x＝y＝0，代入已知式，即可得证；（2）函数f（x）为偶函数，令x＝0，结合f（0）＝1即可得证．【解答】解：（1）证明：令x＝y＝0，则f（0）+f（0）＝2[f（0）]2，即[f（0）]2＝f（0），则f（0）＝0或f（0）＝1，∵f（0）≠0，∴f（0）＝1；（2）函数f（x）为偶函数，证明如下，令x＝0，则f（y）+f（﹣y）＝2f（0）f（y），∵f（0）＝1，∴f（y）+f（﹣y）＝2f（y），即f（y）＝f（﹣y），故函数f（x）为偶函数．【点评】本题考查抽象函数的求值及奇偶性判断，考查赋值法的运用，属于基础题．。
江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(创新班)
江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题（创新班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列{a n}中，a n+1=a n+2+a n，a1=2，a2=5，则a6的值是（）A. B. C. D. 192.直线的倾斜角α=（）A. B. C. D.3.已知直线l过定点P（-1，2），且与以A（-2，-3），B（-4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. B.C. D.4.如果数列{a n}满足a1=2，a2=1，且（n≥2），则这个数列的第10项等于（）A. B. C. D.5.已知{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），则数列的最大项是第（）项A. 12B. 13C. 12或13D. 不确定6.已知点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等，则2x+4y的最小值为（）A. 2B. 4C.D.7.设直线l的斜率为k，且-1＜，求直线l的倾斜角α的取值范围（）A. B. C. D.8.已知数列{a n}的通项公式为a n=log2（n∈N*），设其前n项和为S n，则使S n＜-5成立的自然数n（）A. 有最小值63B. 有最大值63C. 有最小值31D. 有最大值319.设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（）A. B. C. D.10.给出下列五个命题：①过点（-1，2）的直线方程一定可以表示为y-2=k（x+1）（k∈R）的形式；②过点（-1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程是x+y-1=0；③过点M（-1，2）且与直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）垂直的直线方程是B（x+1）+A（y-2）=0；④设点M（-1，2）不在直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）上，则过点M且与直线l平行的直线方程是A（x+1）+B（y-2）=0；⑤点P（-1，2）到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2．以上命题中，正确的序号是（）A. B. C. D.11.对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正数数列{a n}满足S n=（a n+），n∈N+，其中S n为数列{a n}的前n项和，则++…+=（）A. B. C. D.12.已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1-a n）=a n+1，n∈N*．若对于任意的t∈[0，1]，n∈N*，不等式＜-2t2-（a+1）t+a2-a+3恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则a n=______．14.将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与点（-6，8）重合，则与点（-4，2）重合的点是______．15.已知a，b，c均为正数，且（2a+b）（b+2c）=1，则的最大值是______．16.对于任一实数序列A={a1，a2，a3…}，定义△A为序列{a2-a1，a3-a2，a4-a3，…}，它的第n项是a n+1-a n，假定序列△（△A）的所有项都是1，且a18=a2017=0，则a2018=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l1：ax+by+1=0（a，b不同时为0），l2：（a-2）x+y+a=0，（1）若b=0，且l1⊥l2，求实数a的值；（2）当b=3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18.已知直线l1：2x-y+2=0与l2：x+2y-4=0，点P（1，m）．（Ⅰ）若点P到直线l1，l2的距离相等，求实数m的值；（Ⅱ）当m=1时，已知直线l经过点P且分别与l1，l2相交于A，B两点，若P恰好平分线段AB，求A，B两点的坐标及直线l的方程．19.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足2S n=（n+1）a n，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=3n-λa n2，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．21.已知△ABC的两条高所在直线方程为x+y=0，2x-3y+1=0，若A（1，2），求直线BC的方程．22.设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立，记b n=（n∈N+）．（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；（2）求证：①b2k-1+b2k＜8对k∈N+恒成立．②R n＜4n对n∈N+恒成立，其中R n为数列{b n}的前n项和．（3）记c n=b2n-b2n-1（n∈N+），T n为{c n}的前n项和，求证：对任意正整数n，都有T n＜．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵a1=2，a2=5，a n+1=a n+2+a n，∴令n=1代入上式得a2=a3+a1=5，∴a3=3依此类推得a4=1，a5=-2，a6=-3．故选：A．依次令n为1、2、3、4代入递推公式，利用前两项的值分别求出．本题主要考查了数列递推公式的应用，当所求的项数较小时，可以利用递推公式依次求出即可．2.【答案】A【解析】解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选：A．由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．3.【答案】A【解析】解：直线PA的斜率为 k1==5，直线PB的斜率为 k2==-1，结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围是k2≤k≤k1，即则直线l的斜率k的取值范围是[-1，5]，故选：A．先利用斜率公式求得直线PA，PB的斜率结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围．本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵，∴，∴===（），∴∴=，即{}为等差数列，（n≥2）．然后可得d=，，∴．故选：C．由题设条件知，所以，由此能够得到{}为等差数列，从而得到第10项的值．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．5.【答案】C【解析】解：{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），则f′（x）==．∴x=时，函数f（x）取得极小值即最小值．∵＜13．又f（12）=f（13）==．则数列的最大项是第12或13项．故选：C．{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等所以点P（x，y）在A，B的垂直平分线上，且过A B的中点（-1，2）所以垂线方程为：X+2Y-3=0 即X+2Y=3因为2X+4Y=2X+22Y，且2x＞0，22y＞0，所以2x+4y=2x+22y≥==所以最小值为，故选：D．首先根据因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等得到P在AB的垂直平分线上，然后求出垂线的方程，最后根据基本不等式求解．本题考查两点间的距离公式，以及基本不等式的应用，通过对题目的分析抽象出数学模型，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：直线l的斜率为k，且-1，∴-1＜tanα≤，α∈[0，π）．∴α∈．故选：D．直线l的斜率为k，且-1，可得-1＜tanα≤，α∈[0，π）．即可得出．本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵a n=log2，∴S=a1+a2+a3+…+a n=log2+log2+…+log2=log2=log2 n，又因为S n＜-5=log2⇒⇒n＞62，故使S n＜-5成立的正整数n有最小值：63故选：A．先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜-5转化为关于n 的不等式即可．本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．9.【答案】D【解析】解：联立解得：x=y=-1，所以入射线y=2x+1与直线y=x的交点为（-1，-1），在入射线y=2x+1上取一点（0，1），则它关于直线y=x的对称点（1，0）必在反射光线上，由两点式得反射线所在的直线方程为：=，即x-2y-1=0，故选：D．依据光学知识，入射线所在直线上点（0，1）关于y=x的对称点在反射线所在直线上．本题考查了与直线关于直线对称问题．属中档题．10.【答案】B【解析】解：对于，过点（-1，2）的直线方程不一定可以表示为y-2=k（x+1）（k∈R）的形式，如斜率不存在时为x+1=0，∴ 错误；对于，过点（-1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程是x+y-1=0或y=-2x，∴ 错误；对于，过点M（-1，2）且与直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0，代入点M的坐标求得m=-A-2B，故所求的直线方程为B（x-2）-A（y+1）=0，∴ 错误；对于，设点M（-1，2）不在直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）上，可设过点M且与直线l平行的直线方程为Ax+By+n=0，代入点M可得n=A-2B，故所求的直线方程是A（x+1）+B（y-2）=0，正确；对于，点P（-1，2）到直线ax+y+a2+a=0的距离为d===+≥2＞2，当且仅当a=±1时取“=”，∴ 正确；综上所述，正确的命题序号是．故选：B．斜率不存在时不满足方程；截距相等且为0时的直线方程是y=-2x；求出过点M且与直线l垂直的直线方程即可；求出过点M且与直线l平行的直线方程即可；求出点P到直线ax+y+a2+a=0的距离，并利用基本不等式求出最小值．本题考查了直线方程的应用问题，是综合题．11.【答案】B【解析】解：由S n=（a n+），令n=1，得a1=S1=（a1+），∵a n＞0，得a1=1．当n≥2时，S n=（a n+）=（S n-S n-1+），即S n2-S n-12=1，因此，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2=n，即S n=，[S1]=1，[S2]=1，[S3]=1，[S4]=…=[S8]=2，[S9]=…=[S15]=3，…，[S64]=…=[S80]=8，则++…+=1×3+×5+×7+×9+×11+×13+×15+×17=．故选：B．求得数列的首项，由数列矛盾递推式可得S n2-S n-12=1，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得S n，结合新定义分别求得各项的值，相加可得所求和．本题考查数列的通项和求和的关系，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查新定义的理解和运用，以及化简运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，∴na n+1-（n+1）a n=1，∴-==-，∴=（-）+（-）+…+（a2-a1）+a1，=（-）+（-）+…+（1-）+2=3-＜3，∵＜-2t2-（a+1）t+a2-a+3恒成立，∴3≤-2t2-（a+1）t+a2-a+3∴2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，设f（t）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，∴，即，解得a≤-1或a≥3，故选：C．根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，可得-=-，利用迭代法和裂项求和，以及放缩法可得＜3，则原不等式可转化为2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，构造函数f（a）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，可得，解得即可本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n（a n+1-a n）=a n+1的变形，属于难题13.【答案】【解析】解：∵S n=2a n+1，∴n≥2时，S n-1=2a n，两式相减可得a n=2a n+1-2a n，即：=∴数列{a n}从第2项起，是等比数列，∵a1=1，S1=2a2，∴a2=∴n≥2时，a n=∵a1=1，∴a n=故答案为：直接利用已知条件求出a2，通过S n=2a n+1，推出数列{a n}从第2项起，是等比数列，即可求得结论．本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．14.【答案】（4，-2）【解析】解：已知点A（10，0），点B（-6，8），可得中点M（2，4）．则k AB==-．∴线段AB的垂直平分线为：y-4=2（x-2），化为2x-y=0．设点（-4，2）关于直线2x-y=0的对称点为P（a，b），则，解得．∴与点（-4，2）重合的点是（4，-2）．故答案为：（4，-2）．利用线段的垂直平分线的性质可得线段AB的垂直平分线即可得出．本题考查了线段的垂直平分线的性质，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：根据题意，（2a+b）（b+2c）=1，则（2a+b）=，==，又由（2a+b）+≥2=2，则≤=1，即的最大值1；故答案为：1．根据题意，由（2a+b）（b+2c）=1可得（2a+b）=，进而可得==，利用基本不等式的性质可得（2a+b）+的值，据此分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对的变形，属于基础题．16.【答案】1000【解析】解：设序列DA的首项为d，则序列DA为{d，d+1，d+2，…}，则它的第n项为d+（n-1），因此数列A的第n项，a n=a1+（a k+1-a k）=a1+d+（d+1）+…+（d+n-2）=a1+（n-1）d+（n-1）（n-2），则a n是关于n的二次多项式，其中n2的系数为，∵a18=a2017=0，∴必有a n=（n-18）（n-2017），则a2018=（2018-18）（2018-2017）=×2000×1=1000．故答案为：1000．根据高阶等差数列的定义，进行推理即可得到结论．本题主要考查数列的概念和表示，根据定义进行递推关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.【答案】解：（1）b=0，直线l1：ax+1=0（a，b不同时为0），l2：（a-2）x+y+a=0，∵l1⊥l2，∴a-2=0，解得a=2．（2）b=3，直线l1：ax+3y+1=0，由3（a-2）-a=0，解得a=3．∴两条方程分别化为：x+y+=0，x+y+3=0，满足l1∥l2，∴直线l1与l2之间的距离==．【解析】（1）b=0，直线l1：ax+1=0（a，b不同时为0），l2：（a-2）x+y+a=0，根据l1⊥l2，可得a-2=0，解得a．（2）b=3，直线l1：ax+3y+1=0，由3（a-2）-a=0，解得a．再利用平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了平行线垂直直线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（I）由题意得，解得m=-1或m=（II）设A（a，2a+2），B（4-2b，b）则解得a=-，b=∴A（-，），B（，）∴k==-∴直线l的方程为：y-1=-（x-1）即x+7y-8=0【解析】（I）根据点到直线的距离公式得出，求出m即可．（II）设出A和B的坐标公式，由中点坐标公式得出则，进而求出点A和点B的坐标以及直线l的斜率，从而求出直线的斜率．此题考查了两直线的交点坐标、点到直线的距离公式以及直线方程的求出，解题过程中要仔细确保计算准确性，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵2S n=（n+1）a n，∴2S n+1=（n+2）a n+1，两式相减可得2a n+1=（n+2）a n+1-（n+1）a n，即na n+1=（n+1）a n，∴，∴，∴a n=n（n∈N*）．（2），.-（3n-λn2）=2•3n-λ（2n+1）．∵数列{b n}为递增数列，∴2•3n-λ（2n+1）＞0，即＜．令，则＞．∴{c n}为递增数列，∴λ＜c1=2，即λ的取值范围为（-∞，2）．【解析】（1）运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，将n换为n+1，两式相减可得na n+1=（n+1）a n，整理变形，即可得到所求通项公式；（2）数列{b n}为递增数列，作差可得2•3n-λ（2n+1）＞0，运用参数分离，构造，判断单调性，即可所求范围．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n ＞1时，a n=S n-S n-1，考查数列的单调性的运用，注意运用分离参数，考查化简整理的运算和变形能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）解：设AN的长为x米（x＞2）由题意可知：∵∴∴∴由S AMPN＞32得＞，∵x＞2∴3x2-32（x-2），即（3x-8）（x-8）＞0（x＞2）解得：＜＜或＞即AN长的取值范围是，，（2）解法一：∵x＞2，∴分当且仅当，即x=4时，取“=”号即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米．解法二：∵＞∴令S'=0得x=4当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0当x=4时，S取极小值，且为最小值．即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米．【解析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；（2）解法1：利用当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最大值即可；解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用当且仅当a=b时取等号的方法求最值的能力．21.【答案】解：设高线CD：x+y=0，BE：2x-3y+1=0，由求得，可得垂心H（-，）．∴高线AH的斜率，由“三条高线交于一点”可得：AH⊥BC，∴．∵AC⊥BE，设AC：3x+2y+m=0，代入A（1，2）解得：m=-7，∴AC：3x+2y-7=0．把直线AC、CD的直线方程联立方程组，求得，∴C（7，-7）．∴：，整理后可得：2x+3y+7=0．即直线BC的方程为：2x+3y+7=0．【解析】先求出垂心H的坐标，可得AH的斜率，进而得到BC的斜率．用点斜式求得AC的方程，把AC的方程和高线CD的方程联立方程组，求得点C的坐标，再用点斜式求出BC的方程．本题主要考查求两条直线的交点，用点斜式求直线的方程，属于基础题．22.【答案】（1）解：当n=1时，a1=5a1+1，∴a1=-．又∵a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1，∴a n+1-a n=5a n+1，即a n+1=-a n，∴数列{a n}成等比数列，其首项为a1=-，公比q=-，∴a n=（-）n，∴b n==；（2）证明：①由（1）知b n==．∵b2k-1+b2k=8++=8-＜8；②当n为偶数时，设n=2m（m∈N*），则R n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-1+b2m）＜8m=4n；当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N*），则R n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m-3+b2m-2）+b2m-1＜8（m-1）+4=8m-4=4n，∴对一切的正整数n，都有R n＜4n；（3）证明：由（1）知b n==，得c n=b2n-b2n-1=+=＜．又b1=3，b2=，∴c1=，∴当n=1时，T1＜；当n≥2时，T n＜+15（）＜=＜．【解析】（1）把n=1代入a n=5S n+1中，即可求出首项a1，然后把n换为n+1，利用a n=5S n+1表示出a n+1，两个式子相减并利用S n+1-S n=a n化简后即可得到的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出b n的通项公式；（2）化简b n的通项公式，可知b2k-1+b2k＜8；结合对n分类证明R n＜4n 对n∈N+恒成立；（3）由b n的通项公式，计算出{c n}的通项公式，再由放缩法证明对任意正整数n，都有T n＜．本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．。
江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(精编含解析)
三、解答题（本大题共 6 小题，共 52.0 分）
17.已知全集为 ，
，
（1） ， ；
（2）
，
．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）化简
，
.再求 ，
【详解】解：（1）
,
（2）
，
，求：
；（2）利用补集、交集、并集直接求解.
，
.
又
【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的交并补的混合运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平和分析推理能力.
，所以 ，
则
，则
，
所以
，即函数 的值域为
.
（3）由
，得
，
设 ，则
，设
若 则 ，由不等式
对 恒成立，
①当 ，即
时，此时
恒成立；
②当 ，即
所以
；
时，由
解得
；
若则
，则由不等式
18.已知函数
是奇函数，且当 时，
，
（1）求函数 的表达式
（2）求不等式
的解集
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
【分析】
（1）求出函数 x＜0 的解析式，即得解；（2）分三种情况解不等式最后综合得解.
【详解】解：（1）根据题意，函数
是奇函数，则
，
当 时，
，则
，
又由函数 为奇函数，则
，
则
，
（2）根据题意，
，
当 时，
，此时
即
，解可得 ，此时不等式的解集为
，
当 时，
，
成立；此时不等式的解集为 ，
当 时，
江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题(精品Word版,含答案解析)
江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期第二次月考高一数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则的子集个数为（）A. 2B. 4C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义和集合中子集的个数的计算公式，即可求解答案．【详解】由题意集合，∴，∴的子集个数为．故选D．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算及子集个数的判定，其中熟记集合交集的运算和集合中子集个数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2.若则化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选B.点睛：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝3.已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（）．A. 48B. 24C. 12D. 6【答案】B【解析】因为扇形的弧长l＝3×4＝12，则面积S＝×12×4＝24，选B.4.如果角的终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题可以先通过计算出和的值来求出点的坐标，然后利用勾股定理以及的相关性质得出结果。
【详解】因为所以点，所以。
故选B。
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查对正弦函数性质的理解和应用，考查计算能力以及推理能力，考查化归思想，属于简单题。
5.奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则的值为（）A. 10B. -10C. 9D. 15【答案】C【解析】试题分析：因为函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为，最小值为，所以，又函数为奇函数，所以，，故选C.考点：函数的奇偶性与单调性.6.给出下列三个命题：①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增；③是函数的图像的一条对称轴。
其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】①可以通过判断函数的最小正周期来判断函数的最小正周期；②可以通过的取值范围来推出的取值范围，然后判断是否为增函数；③可以通过的值来判断的值，然后判断它是否是函数的图像的一条对称轴。
江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(创新班)
第1页，共21页江苏省启东中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题（创新班）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列{a n }中，a n +1=a n +2+a n ，a 1=2，a 2=5，则a 6的值是（ ）A. B. C. D. 19‒3‒11‒52.直线的倾斜角α=（ ）x ‒3y ‒1=0A. B. C. D. 30∘60∘120∘150∘3.已知直线l 过定点P （-1，2），且与以A （-2，-3），B （-4，5）为端点的线段有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A. B. [‒1,5](‒1,5)C. D. (‒∞,‒1]∪[5,+∞)(‒∞,‒1)∪(5,+∞)4.如果数列{a n }满足a 1=2，a 2=1，且（n ≥2），则这个数列的第10a n ‒1‒a na n ‒1=a n ‒a n +1a n +1项等于（ ）A. B. C.D.1210129151105.已知{a n }的通项公式是a n =（n ∈N +），则数列的最大项是第（ ）项nn 2+156A. 12B. 13C. 12或13D. 不确定6.已知点P （x ，y ）到A （0，4）和B （-2，0）的距离相等，则2x +4y 的最小值为（ ）A. 2B. 4C. D. 82427.设直线l 的斜率为k ，且-1，求直线l 的倾斜角α的取值范围（ ）＜k ≤3A.B.C.D.[0,π3)∪(3π4,π)[0,π6)∪(3π4,π)(π6,3π4)[0,π3]∪(3π4,π)8.已知数列{a n }的通项公式为a n =log 2（n ∈N *），设其前n 项和为S n ，则使S n ＜-n +1n +25成立的自然数n （ ）A. 有最小值63B. 有最大值63C. 有最小值31D. 有最大值319.设入射光线沿直线y =2x +1射向直线y =x ，则被y =x 反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）A. B. C. D. x ‒2y +3=0x ‒2y +1=03x ‒2y +1=0x ‒2y ‒1=010.给出下列五个命题：①过点（-1，2）的直线方程一定可以表示为y -2=k （x +1）（k ∈R ）的形式；②过点（-1，2）且在x ，y 轴截距相等的直线方程是x +y -1=0；③过点M （-1，2）且与直线l ：Ax +By +C =0（AB ≠0）垂直的直线方程是B （x +1）+A （y -2）=0；④设点M （-1，2）不在直线l ：Ax +By +C =0（AB ≠0）上，则过点M 且与直线l 平行的直线方程是A （x +1）+B （y -2）=0；⑤点P （-1，2）到直线ax +y +a 2+a =0的距离不小于2．以上命题中，正确的序号是（ ）A. B. C. D. ②③⑤④⑤①④⑤①③11.对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数．已知正数数列{a n }满足S n =（a n +），121a n n ∈N +，其中S n 为数列{a n }的前n项和，则++…+=（ ）1[S 1]1[S 2]1[S 80]A. B. C.D.232314052412802603140517128012.已知数列{a n }中，a 1=2，n （a n +1-a n ）=a n +1，n ∈N *．若对于任意的t ∈[0，1]，n ∈N *，不等式＜-2t 2-（a +1）t +a 2-a +3恒成立，则实数a 的取值范围为（ a n +1n +1）A. B. (‒∞,‒1)∪(3,+∞)(‒∞,‒2]∪[1,+∞)C. D. (‒∞,‒1]∪[3,+∞)[‒1,3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2a n +1，则a n =______．14.将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与点（-6，8）重合，则与点（-4，2）重合的点是______．第3页，共21页15.已知a ，b ，c均为正数，且（2a +b ）（b +2c ）=1，则的最大值是______．1a +b +c 16.对于任一实数序列A ={a 1，a 2，a 3…}，定义△A 为序列{a 2-a 1，a 3-a 2，a 4-a 3，…}，它的第n 项是a n +1-a n ，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且a 18=a 2017=0，则a 2018=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l 1：ax +by +1=0（a ，b 不同时为0），l 2：（a -2）x +y +a =0，（1）若b =0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；（2）当b =3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．18.已知直线l 1：2x -y +2=0与l 2：x +2y -4=0，点P （1，m ）．（Ⅰ）若点P 到直线l 1，l 2的距离相等，求实数m 的值；（Ⅱ）当m =1时，已知直线l 经过点P 且分别与l 1，l 2相交于A ，B 两点，若P 恰好平分线段AB ，求A ，B 两点的坐标及直线l 的方程．19.已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足2S n =（n +1）a n ，（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =3n -λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |=3米，|AD |=2米．（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．21.已知△ABC 的两条高所在直线方程为x +y =0，2x -3y +1=0，若A （1，2），求直线BC 的方程．22.设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n =5S n +1成立，记b n =（n ∈N +）．4+a n1‒a n （1）求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；（2）求证：①b 2k -1+b 2k ＜8对k ∈N +恒成立．②R n ＜4n 对n ∈N +恒成立，其中R n 为数列{b n }的前n 项和．（3）记c n =b 2n -b 2n -1（n ∈N +），T n 为{c n }的前n 项和，求证：对任意正整数n ，都第5页，共21页有T n ＜．32答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵a1=2，a2=5，a n+1=a n+2+a n，∴令n=1代入上式得a2=a3+a1=5，∴a3=3依此类推得a4=1，a5=-2，a6=-3．故选：A．依次令n为1、2、3、4代入递推公式，利用前两项的值分别求出．本题主要考查了数列递推公式的应用，当所求的项数较小时，可以利用递推公式依次求出即可．2.【答案】A【解析】解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选：A．由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．3.【答案】A【解析】第7页，共21页解：直线PA 的斜率为 k 1==5，直线PB 的斜率为 k 2==-1，结合图象可得则直线l 的斜率k 的取值范围是k 2≤k≤k 1，即则直线l 的斜率k 的取值范围是[-1，5]，故选：A ．先利用斜率公式求得直线PA ，PB 的斜率结合图象可得则直线l 的斜率k 的取值范围．本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵，∴，∴===（），∴∴=，即{}为等差数列，（n≥2）．然后可得d=，，∴．故选：C ．由题设条件知，所以，由此能够得到{}为等差数列，从而得到第10项的值．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．5.【答案】C【解析】解：{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），则f′（x）==．∴x=时，函数f（x）取得极小值即最小值．∵＜13．又f（12）=f（13）==．则数列的最大项是第12或13项．故选：C．{a n}的通项公式是a n=（n∈N+），令f（x）=（x≥1），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等所以点P（x，y）在A，B的垂直平分线上，且过A B的中点（-1，2）所以垂线方程为：X+2Y-3=0 即X+2Y=3因为2X+4Y=2X+22Y，且2x＞0，22y＞0，所以2x+4y=2x+22y≥==所以最小值为，故选：D．首先根据因为点P（x，y）到A（0，4）和B（-2，0）的距离相等得到P在AB的垂直平分线上，然后求出垂线的方程，最后根据基本不等式求解．本题考查两点间的距离公式，以及基本不等式的应用，通过对题目的分析抽象出数学模型，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：直线l的斜率为k，且-1，∴-1＜tanα≤，α∈[0，π）．∴α∈∪．故选：D．直线l的斜率为k，且-1，可得-1＜tanα≤，α∈[0，π）．即可得出．本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵a n=log 2，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=log2+log 2+…+log 2=log 2=log2，又因为S n＜-5=log 2⇒⇒n＞62，故使S n＜-5成立的正整数n有最小值：63第9页，共21页故选：A．先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜-5转化为关于n 的不等式即可．本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．9.【答案】D【解析】解：联立解得：x=y=-1，所以入射线y=2x+1与直线y=x的交点为（-1，-1），在入射线y=2x+1上取一点（0，1），则它关于直线y=x的对称点（1，0）必在反射光线上，由两点式得反射线所在的直线方程为：=，即x-2y-1=0，故选：D．依据光学知识，入射线所在直线上点（0，1）关于y=x的对称点在反射线所在直线上．本题考查了与直线关于直线对称问题．属中档题．10.【答案】B【解析】解：对于①，过点（-1，2）的直线方程不一定可以表示为y-2=k（x+1）（k∈R）的形式，如斜率不存在时为x+1=0，∴①错误；对于②，过点（-1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程是x+y-1=0或y=-2x，∴②错误；对于③，过点M（-1，2）且与直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0，代入点M的坐标求得m=-A-2B，故所求的直线方程为B（x-2）-A（y+1）=0，∴③错误；对于④，设点M（-1，2）不在直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）上，可设过点M且与直线l平行的直线方程为Ax+By+n=0，代入点M可得n=A-2B，故所求的直线方程是A（x+1）+B（y-2）=0，④正确；对于⑤，点P（-1，2）到直线ax+y+a2+a=0的距离为d===+≥2＞2，当且仅当a=±1时取“=”，∴⑤正确；综上所述，正确的命题序号是④⑤．故选：B．①斜率不存在时不满足方程；②截距相等且为0时的直线方程是y=-2x；③求出过点M且与直线l垂直的直线方程即可；④求出过点M且与直线l平行的直线方程即可；⑤求出点P到直线ax+y+a2+a=0的距离，并利用基本不等式求出最小值．本题考查了直线方程的应用问题，是综合题．11.【答案】B【解析】解：由S n =（a n +），令n=1，得a1=S1=（a1+），∵a n＞0，得a1=1．当n≥2时，S n =（a n +）=（S n-S n-1+），即S n2-S n-12=1，第11页，共21页因此，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2=n，即S n=，[S1]=1，[S2]=1，[S3]=1，[S4]=…=[S8]=2，[S9]=…=[S15]=3，…，[S64]=…=[S80]=8，则++…+=1×3+×5+×7+×9+×11+×13+×15+×17=．故选：B．求得数列的首项，由数列矛盾递推式可得S n2-S n-12=1，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得S n，结合新定义分别求得各项的值，相加可得所求和．本题考查数列的通项和求和的关系，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查新定义的理解和运用，以及化简运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，∴na n+1-（n+1）a n=1，∴-==-，∴=（-）+（-）+…+（a2-a1）+a1，=（-）+（-）+…+（1-）+2=3-＜3，∵＜-2t2-（a+1）t+a2-a+3恒成立，∴3≤-2t2-（a+1）t+a2-a+3∴2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，设f（t）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，∴，即，解得a≤-1或a≥3，故选：C．根据题意，数列{a n}中，n（a n+1-a n）=a n+1，可得-=-，利用迭代法和裂项求和，以及放缩法可得＜3，则原不等式可转化为2t2+（a+1）t-a2+a≤0，在t∈[0，1]上恒成立，构造函数f（a）=2t2+（a+1）t-a2+a，t∈[0，1]，可得，解得即可本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n（a n+1-a n）=a n+1的变形，属于难题13.【答案】{1n=1 12⋅(32)n‒2n≥2【解析】解：∵S n=2a n+1，∴n≥2时，S n-1=2a n，两式相减可得a n=2a n+1-2a n，即：=∴数列{a n}从第2项起，是等比数列，∵a1=1，S1=2a2，∴a2=∴n≥2时，a n=∵a1=1，∴a n=第13页，共21页故答案为：直接利用已知条件求出a2，通过S n=2a n+1，推出数列{a n}从第2项起，是等比数列，即可求得结论．本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．14.【答案】（4，-2）【解析】解：已知点A（10，0），点B（-6，8），可得中点M（2，4）．则k AB==-．∴线段AB的垂直平分线为：y-4=2（x-2），化为2x-y=0．设点（-4，2）关于直线2x-y=0的对称点为P（a，b），则，解得．∴与点（-4，2）重合的点是（4，-2）．故答案为：（4，-2）．利用线段的垂直平分线的性质可得线段AB的垂直平分线即可得出．本题考查了线段的垂直平分线的性质，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：根据题意，（2a+b）（b+2c）=1，则（2a+b）=，==，又由（2a+b）+≥2=2，则≤=1，即的最大值1；故答案为：1．根据题意，由（2a+b）（b+2c）=1可得（2a+b）=，进而可得==，利用基本不等式的性质可得（2a+b）+的值，据此分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对的变形，属于基础题．16.【答案】1000【解析】解：设序列DA的首项为d，则序列DA为{d，d+1，d+2，…}，则它的第n项为d+（n-1），因此数列A的第n项，a n=a1+（a k+1-a k）=a1+d+（d+1）+…+（d+n-2）=a1+（n-1）d+（n-1）（n-2），则a n是关于n的二次多项式，其中n2的系数为，∵a18=a2017=0，∴必有a n=（n-18）（n-2017），则a2018=（2018-18）（2018-2017）=×2000×1=1000．故答案为：1000．根据高阶等差数列的定义，进行推理即可得到结论．第15页，共21页本题主要考查数列的概念和表示，根据定义进行递推关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.【答案】解：（1）b =0，直线l 1：ax +1=0（a ，b 不同时为0），l 2：（a -2）x +y +a =0，∵l 1⊥l 2，∴a -2=0，解得a =2．（2）b =3，直线l 1：ax +3y +1=0，由3（a -2）-a =0，解得a =3．∴两条方程分别化为：x +y +=0，x +y +3=0，满足l 1∥l 2，13∴直线l 1与l 2之间的距离==．|13‒3|2423【解析】（1）b=0，直线l 1：ax+1=0（a ，b 不同时为0），l 2：（a-2）x+y+a=0，根据l 1⊥l 2，可得a-2=0，解得a ．（2）b=3，直线l 1：ax+3y+1=0，由3（a-2）-a=0，解得a ．再利用平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了平行线垂直直线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（I ）由题意得，解得m =-1或m =|4‒m|5=|2m ‒3|573（II ）设A （a ，2a +2），B （4-2b ，b ）则{a +(4‒2b)=2(2a +2)+b =2解得a =-，b =2545∴A （-，），B （，）256512545∴k ==-1‒651‒(‒25)17∴直线l的方程为：y -1=-（x -1）即x +7y -8=017【解析】第17页，共21页（I ）根据点到直线的距离公式得出，求出m 即可．（II ）设出A 和B 的坐标公式，由中点坐标公式得出则，进而求出点A 和点B 的坐标以及直线l 的斜率，从而求出直线的斜率．此题考查了两直线的交点坐标、点到直线的距离公式以及直线方程的求出，解题过程中要仔细确保计算准确性，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵2S n =（n +1）a n ，∴2S n +1=（n +2）a n +1，两式相减可得2a n +1=（n +2）a n +1-（n +1）a n ，即na n +1=（n +1）a n ，∴，a n +1n +1=a n n ∴，a n n=a n ‒1n ‒1=…=a 11=1∴a n =n （n ∈N *）．（2），b n =3n ‒λn 2.-（3n -λn 2）=2•3n -λ（2n +1）．b n +1‒b n =3n +1‒λ(n +1)2∵数列{b n }为递增数列，∴2•3n -λ（2n +1）＞0，即．λ＜2⋅3n2n +1令，则．c n =2⋅3n2n +1c n +1c n=2⋅3n +12n +3⋅2n +12⋅3n=6n +32n +1＞1∴{c n }为递增数列，∴λ＜c 1=2，即λ的取值范围为（-∞，2）．【解析】（1）运用数列的递推式：n=1时，a 1=S 1，n ＞1时，a n =S n -S n-1，将n 换为n+1，两式相减可得na n+1=（n+1）a n ，整理变形，即可得到所求通项公式；（2）数列{b n }为递增数列，作差可得2•3n -λ（2n+1）＞0，运用参数分离，构造，判断单调性，即可所求范围．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式：n=1时，a 1=S 1，n ＞1时，a n =S n -S n-1，考查数列的单调性的运用，注意运用分离参数，考查化简整理的运算和变形能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）解：设AN 的长为x 米（x ＞2）由题意可知：∵∴∴|DN||AN|=|DC||AM|x ‒2x=3|AM||AM|=3xx ‒2∴S AMPN =|AN|⋅|AM|=3x 2x ‒2由S AMPN ＞32得，3x 2x ‒2＞32∵x ＞2∴3x 2-32（x -2），即（3x -8）（x -8）＞0（x ＞2）解得：2＜x ＜83或x ＞8即AN 长的取值范围是(2，83)∪(8，+∞)（2）解法一：∵x ＞2，∴S AMPN=3x 2x ‒2=3(x ‒2)2+12(x ‒2)+12x ‒2=3(x ‒2)+12x ‒2+12≥23(x ‒2)12x ‒2+12=24(10分)当且仅当，即x =4时，取“=”号3(x ‒2)=12x ‒2即AN 的长为4米，矩形AMPN 的面积最小，最小为24米．解法二：∵∴S =3x 2x ‒2(x ＞2)S'=6x(x ‒2)‒3x 2(x ‒2)2=3x 2‒12x (x ‒2)2=3x(x ‒4)(x ‒2)2令S '=0得x =4当2＜x ＜4时，S '＜0当x ＞4时S '＞0当x =4时，S 取极小值，且为最小值．即AN 长为4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小为24平方米．【解析】（1）由题意设出AN 的长为x 米，因为三角形DNC ∽三角形ANM ，则对应线段成比例可知AM ，表示出矩形AMPN 的面积令其大于32得到关于x 的一第19页，共21页元二次不等式，求出解集即可；（2）解法1：利用当且仅当a=b 时取等号的方法求出S 的最大值即可；解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用当且仅当a=b 时取等号的方法求最值的能力．21.【答案】解：设高线CD ：x +y =0，BE ：2x -3y +1=0，由{x +y =02x ‒3y +1=0求得，可得垂心H （-，）．{x =‒15y =151515∴高线AH 的斜率，k AH =2‒151‒(‒15)=32由“三条高线交于一点”可得：AH ⊥BC ，∴．k BC =‒23∵AC ⊥BE ，设AC ：3x +2y +m =0，代入A （1，2）解得：m =-7，∴AC ：3x +2y -7=0．把直线AC 、CD 的直线方程联立方程组，求得，∴C （7，-7）．{x =7y =‒7∴，整理后可得：2x +3y +7=0．BC ：y +7=‒23(x ‒7)即直线BC 的方程为：2x +3y +7=0．【解析】先求出垂心H 的坐标，可得AH 的斜率，进而得到BC 的斜率．用点斜式求得AC 的方程，把AC 的方程和高线CD 的方程联立方程组，求得点C 的坐标，再用点斜式求出BC 的方程．本题主要考查求两条直线的交点，用点斜式求直线的方程，属于基础题．22.【答案】（1）解：当n =1时，a 1=5a 1+1，∴a 1=-．14又∵a n =5S n +1，a n +1=5S n +1+1，∴a n +1-a n =5a n +1，即a n +1=-a n ，14∴数列{a n }成等比数列，其首项为a 1=-，公比q =-，1414∴a n =（-）n ，∴b n ==；144+a n1‒a n 4+(‒14)n1‒(‒14)n （2）证明：①由（1）知b n ==．4+(‒14)n1‒(‒14)n4+5(‒4)n ‒1∵b 2k -1+b 2k =8++=8-＜8；5(‒4)2k ‒1‒15(‒4)2k ‒115⋅16k ‒40(16k ‒1)(16k +4)②当n 为偶数时，设n =2m （m ∈N *），则R n =（b 1+b 2）+（b 3+b 4）+…+（b 2m -1+b 2m ）＜8m =4n ；当n 为奇数时，设n =2m -1（m ∈N *），则R n =（b 1+b 2）+（b 3+b 4）+…+（b 2m -3+b 2m -2）+b 2m -1＜8（m -1）+4=8m -4=4n ，∴对一切的正整数n ，都有R n ＜4n ；（3）证明：由（1）知b n ==，4+(‒14)n1‒(‒14)n 4+5(‒4)n ‒1得c n =b 2n -b 2n -1=+=＜．542n ‒1542n ‒1+115⋅16n(16n )2+3⋅16n ‒41516n 又b 1=3，b 2=，∴c 1=，13343∴当n =1时，T 1＜；32当n ≥2时，T n ＜+15（）＜=＜．431162+1163+…+116n43+116674832【解析】（1）把n=1代入a n =5S n +1中，即可求出首项a 1，然后把n 换为n+1，利用a n =5S n +1表示出a n+1，两个式子相减并利用S n+1-S n =a n 化简后即可得到的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出b n 的通项公式；（2）①化简b n 的通项公式，可知b 2k-1+b 2k ＜8；②结合①对n 分类证明R n ＜4n 对n ∈N +恒成立；（3）由b n的通项公式，计算出{c n}的通项公式，再由放缩法证明对任意正整数n，都有T n ＜．本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，训练了利用放缩法证明数列不等式，属难题．第21页，共21页。
江苏省南通市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题
江苏省南通市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合{}{}0,1,2,3,4,0,1,2U M ==，则U C M ＝ ▲ ． 2．若函数()(3)m f x m x =-为幂函数，则实数m 的值为 ▲ ．3．已知0()3,0x x f x x ≥=<⎪⎩，则(2)f -＝ ▲ ．4．设函数)(x f 满足(1)44f x x -=-，则=)(x f ▲ ．5．设函数()x x f x e ae -=+（x ∈R ）是奇函数，则实数a = ▲ ． 62100＝ ▲ ．7．已知三个数222,,log m a b m c m ===，其中10<<m ，则,,a b c 的大小关系是 ▲ ．（用“<”或者“>”表示）8．已知函数n x n x x f -++=)(（n 为常数），则()f x 的奇偶性为 ▲ ．（填“奇函数”、“偶函数”或“既不是奇函数也不是偶函数”）9．已知函数3()f x x =，若2(4)(21)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是 ▲ ． 10．已知18log 95b a ==，18，则36log 45＝ ▲ ．（结果用字母a b ，表示） 11．己知函数2()lg(56)f x x x =++，则函数()f x 的单调递增区间是 ▲ ．12．已知方程ln 3x x =-的解在区间(,1)n n +内，且n ∈Z ，则n 的值是 ▲ ． 13. 已知函数(),(1,1)1xf x x x=∈--，有下列结论： ①任意的)1,1(-∈x ，等式0)()(=+-x f x f 恒成立； ②任意的[)+∞∈,0m ，方程m x f =)(有两个不等实数根； ③任意的)1,1(,21-∈x x ，若21x x ≠，则一定有)()(21x f x f ≠； ④存在无数个实数k ，使得函数kx x f x g -=)()(在)1,1(-上有三个零点. 则其中正确结论的序号为 ▲ ．14. 定义在R 上的函数满足()()()1(0)0,11,()52x f f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，则125()2018f = ▲ ． 二．解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）已知集合{}24,42A a a =++, {}2,7,2B a =--． （1）若}7{=B A ，求B A ； （2）若集合A B ⊆，求B A ．16.（本题满分14分）已知22()34f x x ax a =+-．（1）若3a =，求不等式()0f x >的解集；（2）若不等式()0f x <对任意(1,2)x ∈-都成立，求实数a 的范围．17．（本题满分14分）已知函数()(1)(21)01x x f x a a a a a =-+->≠，，，且(1)5f =． （1）求实数a 的值；（2）若(1,3]x ∈，求()f x 的值域.18．（本题满分16分）已知手机生产公司生产某款手机的固定成本为40万美元，每生产1只还需要投入16美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为)(x R 万美元，且⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=.40,400007400,400,6400)(2x x xx x x R（1）写出年利润W （万美元）关于年产量x （万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产所获得的利润最大？并求出最大利润.19．（本题满分16分）已知函数()log 3ab xf x x-=+，其中01a <<，0b >，若()f x 是奇函数． （1）求b 的值并确定()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）若存在,(2,2)m n ∈-，使不等式()()f m f n c +≥成立，求实数c 的取值范围．20．（本题满分16分）已知集合A 是满足下列条件的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f ++=成立.（1）判断幂函数()1f x x -=是否属于集合A ？并说明理由；（2）设()2lg x a g x b+=，(),2x ∈-∞，①当1b =时，若()g x A ∈，求a 的取值范围；②若对任意的()0,2a ∈，都有()g x A ∈，求b 的取值范围.高一数学试卷参考答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合，则＝▲ ．【答案】2．若函数为幂函数，则实数的值为▲ ．【答案】3．已知，则＝▲ ．【答案】4．设函数满足，则▲ ．【答案】5．设函数（R）是奇函数，则实数= ▲ ．【答案】6．＝▲ ．【答案】7．已知三个数，其中，则的大小关系是▲ ．（用“<”或者“>”表示）【答案】8．已知函数，则的奇偶性为▲ ．（填“奇函数”、“偶函数”或“既不是奇函数也不是偶数”）【答案】偶函数9．已知函数，若，则实数的取值范围是▲ ．【答案】10．已知，则＝▲ ．（结果用字母表示）【答案】11．己知函数，则函数的单调递增区间是▲ ．【答案】12．已知方程的解在区间内，且Z，则的值是▲ ．【答案】13. 已知函数，有下列结论：①任意的，等式恒成立；②任意的，方程有两个不等实数根；③任意的，若，则一定有；④存在无数个实数，使得函数在上有三个零点.则其中正确结论的序号为▲ ．【答案】①③④14. 定义在R上的函数满足，且当时，，则▲ ．【答案】二．解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知集合, ．（1）若，求；（2）若集合，求．【答案】（1）由可得：，所以，解得：若，则，不符题意；若，则，所以（2）由可得：，解得，则，所以16.（本题满分14分）已知．（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式对任意都成立，求实数的范围．【答案】（1）由已知得不等式为：，解得：，所以解集为：（2）由不等式对任意都成立可得：，即：，解得：所以的取值范围为．17．（本题满分14分）已知函数，且．（1）求实数的值；（2）若，求的值域．【答案】（1）由已知可得：，解得，或因为，所以（2）由（1）得令，因为，所以所以，得：所以值域为．18．（本题满分16分）已知某手机生产厂商生产某款手机的固定成本为40万美元，每生产1只还需要投入16美元.设该厂一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万美元，且（1）写出该厂年利润（万美元）关于年产量（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，该厂在该款手机的生产所获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】19．（本题满分16分）已知函数，其中，，若是奇函数．（1）求的值并确定的定义域；（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；（3）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】；（2）令，用定义法可证在上单减，因为，所以在上单增（3）由（2）可得在上单增，所以即可所以20．（本题满分16分）已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数，使得成立.（1）判断幂函数是否属于集合？并说明理由；（2）设，，①当时，若，求的取值范围；②若对任意的，都有，求的取值范围.【答案】（Ⅰ），理由如下：令，则，即，解得：，均满足定义域.当时，（Ⅱ）当时，，,由题知：在上有解，令，则即，从而，原问题等价于或或又在上恒成立，另解：原问题等价于在上有解令，由根的分布知：或解得：或又，当或时，经检验仅满足条件ii)由i)知：对任意，在上有解，即，令，则则在上有解令，，则，即由可得：，令，则，，.11。
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江苏省南通市启东中学2018-2019学年高一上学期
期初数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 因式分解:_____________.
2. 若与互为相反数，则______________.
3. _____________.
4. 因式分解:________________.
5. 若和分别是一元二次方程的两根，则的是
_____________.
6. 若，则不等式的解是_____________.
7. 解方程组的解为_____________.
8. 已知集合，则集合的真子集共有_____个．
9. 已知集合，则________.
10. 根据函数的图象，若，则与的大小关系是
_____________.
11. 函数与直线的交点个数可能是_____________个.
12. 函数的定义域______.
13. 已知，则_____________.
14. 函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若
，则实数的取值范围是_______________
二、解答题
15. 若，求下列各式的值:
（1）；（2）；（3）；（4）
16. 解下列不等式:
（1）；（2）；（3）
17. 已知集合，
（1）若,求实数的取值范围；
（2）若,求实数的取值范围.
18. 解下列各题:
（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域.
（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域.
19. 已知函数试判断在内的单调性，并用定义证明.
20. 已知是定义在上的函数，对任意的，都有
，且.
（1）求证:（2）判断函数的奇偶性。