2012-2末 上海交通大学 高数试卷(A类)
上海交大高等数学高数(上)期末试卷分析与解答
(C) f ( x) 在点 x0 取极大值；
(D) f ( x) 在点 x0 某邻域单调增加。
【分析】典型题型 表面上条件稍复杂，但容易先推出二阶导数的
情况，从而得到结论
【解】由 f ′′′( x0 ) = 0 , f (4)( x0 ) > 0 导出 f ′′( x) 在 x0 取得最小值，在
x0 的邻域 f ′′( x) ≥ 0 ⇒ f ′( x) 单调增加，在 x0 左负右正，从而 f ( x) 在 x0 取极小值，故选 A。
【解】对变上限积分求导前，需要把积分号内的 x 移到积分号外
或者变换到积分限
f (x) = xli→m0 α xβ
xl= i→m0 x∫ 0sinαx sxinβ(t 2 )dt
lim
x→0
∫
sin x sin(t 2
0
α xβ −1
)dt
sin(sin2 x)cos x
x2
= xli→m= 0 α (β − 1)xβ −2 xl= i→m0 α (β − 1)xβ −2 1
(B) I1 < I3 < I2 ；
(C) I2 < I1 < I3 ；
(D) I3 < I1 < I2 。
【分析】基本题型 虽然几个积分形式似乎不是很简单，当利用
对称性后就十分容易比较了
π
π
【解】= I1 = 0 ， I2 ∫−2π cos4 x dx > 0 ， I3 = −∫−2π cos4 xdx < 0 ，
【分析】基本题型 利用乘法求导法则，注意其中的多项式是含有 因子 x，解此题的方法很多 【解】改= 写 f ( x) x[e2012x ( x + 1)( x + 2) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012)] ，于是 = f ′(0) [e2012x ( x + 1) ⋅ ⋅ ⋅ ( x + 2012) + x[= **]′ |x=0 2012!
2012上海市高考数学试卷及参考答案
1. 计算：设i 为虚数单位，则31ii-=+ . 2.（理）若集合{}|210A x x =+>，{}|1|2B x x =-<，则A B = . 3.（理）函数2()1cosx f x sinx=-的值域是 .4.（理）若(2n =-，1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 .5.（理）在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .6.（理）有一列正方体，其棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为1V ，2V ，⋅⋅⋅，n V ，⋅⋅⋅，则12()n n lim V V V →∞++⋅⋅⋅+= .7.（理）已知函数||()x a f x e -=，a 为常数. 若()f x 在区间[1，)+∞上是增函数，则a 的取值范 围是 . 8.（理）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9.（理）已知2()y f x x =+是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1f =，则(1)g -=.10.（理）如图所示，在极坐标系中，过点(2M ，0)的直线l 与极轴的 夹角6πα=， 若将直线l 的极坐标方程写成()f ρθ=的形式，则()f θ= .11. 三位同学参加跳远、跳高、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 . 12.（理）在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的取值范围是 . 13.（理）已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0A ，0)、1(2B ，5)、(1C ，0)，那么函数()(01)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14.（理）如图所示，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =. 若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=， 其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值为 .15. 若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-α lxOMDCBAC ．2b =-，1c =-D ．2b =-，3c =16. 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mxny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17. （理）设412341010x x x x ≤<<<≤，5510x =. 随机变量1ξ取值1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的 概率均为0.2，随机变量2ξ取值122x x +，232x x +，342x x +，452x x +，512x x +的 概率均为0.2. 若记1D ξ、2D ξ分别是随机变量1ξ、2ξ的方差，则（ ）A ．12D D ξξ>B ．12D D ξξ= C ．12D D ξξ<D ．1D ξ与2D ξ的大小关系和1x ，2x ，3x ，4x 取值有关 18.（理）设125n n a sin n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+. 则在1S ，2S ，⋅⋅⋅，100S 中，正数的个数（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10019.（理）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC的中点. 已知2AB =，22AD =，2PA =.①求PCD 的面积；②求异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20. 已知函数()(1)f x lg x =+.①若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；②如果()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =(12)x ≤≤的反函数.21. 海事救援船对一艘失事船只进行定位：以失事船只的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，且以1海里为单位长度. 则救援船只恰好在失事船只正南方向12海里A 处，如图所示. 现假设：失事船只的移动路径可视为抛物线21249y x =，定位后救援船只立即沿直线匀速前往救援，且救援船只出发t 小时后，失事船只所在位置的横坐标为7t .①当0.5t =时，写出失事船只所在位置P 的纵坐标. 若此时两船PyxOABCPDE恰好会合，求救援船只速度的大小和方向；②问救援船只的时速至少是多少海里才能追上失事船只？ 22.（理）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C xy -=.①过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；②设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；③设椭圆222:41C xy +=，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离为定值.23.（理）对于数集{1X=-，1x ，2x ，⋅⋅⋅，}n x ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向 量集{|(Y a a s == ，)t ，s X ∈，}t X ∈，若对任意的1a Y ∈ ，存在2a Y ∈，使得 120a a ⋅=，则称X 具有性质P . 例如，{1-，1，}2具有性质P .①若2x >，且{1-，1，2，}x 具有性质P ，求x 的值；②若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =；③若X 具有性质P ，且11x =，2x q =，q 为常数，求有穷数列1x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的通 项公式.——————————————————参考答案（理） 1.12i -2. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭3.53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 4. 2arctan 5. 160-6. 877.(],1-∞8.33π 9.1-10.16sin πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭11. 2312. []2,513. 54 14. 22213c a c -- 15.B16. C 17. A 18.D19. ①23 ②4π 20. ①21,33⎛⎫-⎪⎝⎭②310(02)x y x lg =-≤≤21. ①速度为949海里/小时，方向为北偏东 730arctan 弧度 ②2522. ①28②略③定值为3323. ①4②略 ③1(1,2,,)k k x q k n -==⋅⋅⋅。
上海交通大学《高等数学》2020-2021学年第二学期期末试卷A卷
2020-2021级高等数学第二学期期末试卷(A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 空间立体Ω++≤≥x y z z :1(0)222上的三重积分⎰⎰⎰++=Ωx y z V ()d 222( )(A) π;(B)π21; (C) π54; (D) π52。
2. 若函数f x y (,)在点P x y (,)000沿任何方向的方向导数都存在，则 ( )(A) f x y f x y x y (,),(,)0000存在； (B) f x y (,)在P 0点处连续； (C) f x y (,)在P 0点处可微； (D) 以上选项都不成立。
3.=f x y z xyz (,,)在约束条件++=x y z 223222下的最大值为： ( )(A)2;(B) 4; (C)21; (D) 1。
4. 平面曲线-+-=C x y :(1)(2)122上的曲线积分⎰+=x y s C ()d ( )(A) π8;(B) π6;(C) π4;(D) π2。
5. 下列命题中，正确命题的个数为 ( )① 若极限→∞+a ann n lim 1不存在，则非负项级数∑=∞a n n 1发散；② 级数∑=∞a n n ||1收敛的充分必要条件是：级数∑+=∞a a n n n 1||||1收敛；③ 若级数∑=∞a n n 1发散，则级数∑=∞na n n 1也发散.(A)0； (B)1； (C)2； (D)3。
二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 二次积分⎰⎰=yx y yx d d sin 011_________________。
7. 设平面曲线C 是椭圆+=a bx y 12222的逆时针方向，则曲线积分⎰+++=y ey x x e y y C xx (sin )d (3cos )d _________________。
8. 向量场=+-F x y z x yi xy j k xyz (,,)e 23在点(1,1,0)处的散度=divF (1,1,0)_____。
2012(上海卷)试题及答案
2012年上海高考试卷本试卷共7页，满分150分，考试时间120分钟。
全卷包括六大题，第一、二大题为单项选择题，第三大题为多项选择题，第四大题为填空题，第五大题为实验题，第六大题为计算题。
考生注意：1．答卷前，考生务必在试卷和答题卡上用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔填写姓名、准考证号.并将条形码贴在指定的位置上。
2．第一、第二和第三大题的作答必须用2B 铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。
第四、第五和第六大题的作答必须用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）.3．第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。
只写出最后答案，而未写出主要演算过程中，不能得分。
有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。
一．单项选择题.（共16分，每小題2分，每小题只有一个正确选项）1．在光电效应实验中，用单色光照射某种金属表面，有光电子逸出，则光电子的最大初动能取决于入射光的（）A ， （A ）频率 （B ）强度（C ）照射时间 （D ）光子数目 2．下图为红光或紫光通过双缝或单缝所呈现的图样，则（ ）B ，（A ）甲为紫光的干涉图样（B ）乙为紫光的干涉图样 （C ）丙为红光的干涉图样（D ）丁为红光的干涉图样 3．与原子核内部变化有关的现象是（ ）C ， （A ）电离现象 （B ）光电效应现象（C ）天然放射现象 （D ）α粒子散射现象4．根据爱因斯坦的“光子说”可知（ ）B ，（A ）“光子说”本质就是牛顿的“微粒说”（B ）光的波长越大，光子的能量越小（C ）一束单色光的能量可以连续变化（D ）只有光子数很多时，光才具有粒子性5．在轧制钢板时需要动态地监测钢板厚度，其检测装置由放射源、探测器等构成，如图所示。
该装置中探测器接收到的是（ ）D ，（A ）X 射线 （B ）α射线（C ）β射线 （D ）γ射线 6．已知两个共点力的合力为50N ，分力F 1的方向与合力F 的方向成30︒角，分力F 2的大小为30N 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,含答案)
2
2
2
2
2
为 1、 2 的方差，则（
）
A． D 1 D 2
B
．D 1 D 2
C． D 1 D 2
D
． D 1 与 D 2的大小关系与 x1、 x2、 x 3、 x4 的取值有关
【答案】 A
18．设 an
1n sin ， Sn
n 25
a1 a 2
a n ，在 S1 , S2 , , S100 中，正数的个数是（
.
【答案】 1
10．如图，在极坐标系中，过点 M ( 2,0) 的直线 l 与极轴的夹角
若将 l 的极坐标方程写成
f ( ) 的形式，则 f ( )
.
，
6
1
【答案】
sin( ) 6
11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项
目完全相同的概率是
（结果用最简分数表示） .
2012 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（上海卷，含答案）
一．填空题
1．计算：
3-i =
1+i
【答案】 1-2i
（ i 为虚数单位） .
2．若集合 A { x | 2x 1 0} ， B { x || x 1| 2} ，则 A B
.
【答案】
1 ,3
2
2 cos x
3．函数 f (x)
的值域是
c2
1
3
二、选择题（ 20 分）
15．若 1 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 bx c 0 的一个复数根，则（
）
A． b 2,c 3 B ． b 2,c 3 C ． b 2,c 1 D ． b 2, c 1
2012年高考文科数学上海卷-答案
4
4
【考点】直线与直线，直线与平面的位置关系，空间中两条异面直线所成的角的求解，空间几何体的体积公
式的运用。
20【. 答案】（1）解：由
轴上截距的最小值，当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 。
6
4
2
B y=x+z
10
5
C
A
5
10
D
2
4
6
【提示】准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点 A(2,0) 时， z 有最小值，此时 zmin 2 ， 结合图形可求。 【考点】简单线性规划。 11.【答案】 2
方程组
1
b
c
0
，解方程得出 a，b 的值即可选出正确选项。
2 2 2b 0
【考点】复数代数形式的混合运算，复数相等的充要条件。
16.【答案】B
m 0 【解析】方程 mx2 ny2 1 的曲线表示椭圆，常数 m, n 的取值为 n 0 ，所以，由 mn 0 得不到程
【考点】复数代数形式的乘除运算。
2.【答案】
1 2
,1
【解析】由题意得，
A
{x
|
2x
1＞0}=
x
|
x
1 2
，
A
{x
|
2x
1
0}=
x
|
x
1 2
，
∴A
B
1 2
,1
，故答案为：
1 2
,1
【提示】由题意，可先化简两个集合 A，B，再求两个集合的交集得到答案。
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析
上海交通大学第一学期高数a类期末考试题及答案解析一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知 x=0 是 f\left( x \right) =\frac{x+b\ln\left( 1+x \right)}{ax-\sin x} 的可去间断点，则 a,b 的取值范围是（）解：2. 下列反常积分中，收敛的是（）解：3. 设函数 f(x) 在区间 [-a,a] 上二阶可导，且 f\left( x \right) >0,f'\left( x \right) >0,f''\left( x \right) <0 ，下列函数中，在区间 [-a,a] 上恒正、单调递减且为下凸函数的是（）解：4. 积分 \int_0^{\pi}{|\sin \left( 4x+1 \right)|\mathrm{d}x}= （）解：5. 设函数 f(x) 在 R 上连续， g\left( x \right)=\int_0^{x^2}{\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t} .对于两个命题：①若 f(x) 为偶函数，则 F\left( x \right)=\int_0^x{f\left( t \right) g\left( t \right)\mathrm{d}t} 为奇函数；②若 f(x) 为单调递增函数，则 G\left( x \right)=\int_0^x{\left( f\left( x \right) -f\left( t \right) \right) g\left( t \right) \mathrm{d}t} 存在极小值.下列选项正确的是（）解：二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设 f\left( x \right) =x\mathrm{e}^x, 则曲线 y=f(x) 的拐点是_____________.解：7. 直线 L_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-4}=\frac{z+3}{1} 和 L_2:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{-1} 的夹角为_____________.解：8. 设函数 f\left( x \right) =\mathrm{arctan} x ，常数a>0 ，若 f\left( a \right) -f\left( 0 \right)=f'\left( \xi \right) a\,\,, 则 \underset{a\rightarrow 0^+}{\lim}\frac{\xi ^2}{a^2}= _____________.解：9. 极坐标曲线 r=2cos3\theta 上对应于\theta=\frac{5}{6}\pi 的点处的切线方程为_____________.解：10. 一阶常微分方程 y'\left( x \right) =\frac{y}{x+y^2} 的通解为_____________.解：视为关于 x 的一阶线性微分方程，然后利用公式直接求解即可：\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}+y\Rightarr ow x=y^2+Cy三、（本大题共8分）11. 设 y=y(x) 是由方程 y^3-2x\int_0^y{\sin^2t\mathrm{d}t=x+\pi ^3} 所确定的可导函数，求\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mid_{x=0}^{} .解：。
2012上海高考数学试题(文科)答案与解析
2012上海高考数学试题（文科）答案与解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】i i +-13=(3)(1)(1)(1)i i i i --+-=1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。
2．若集合}012|{>-=x x A ，}1|{<=x x B ，则B A = .【答案】 1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<经<1，所以，B A =1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。
3．函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是 .【答案】π【解析】根据韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x =+=+ 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小. 4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为α，则21arctan ,21tan ==αα. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 . 【答案】π6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1=r ，所以该圆柱的表面积为：πππππ624222=+=+=r rl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程14230xx +--=的解是 .【答案】3log 2 【解析】根据方程03241=--+x x，化简得0322)2(2=-⋅-x x ，令()20x t t =>，则原方程可化为0322=--t t ，解得 3=t 或()舍1-=t ，即3log ,322==x x .所以原方程的解为3log 2 .【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= .【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于 .【答案】20-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x=-=- .【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 9.已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= . 【答案】3【解析】因为函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-，即,1)1(,1)1(,2)1()1(-==+=f g f g 所以，又 3212)1()1(,1)1()1(=+=+-=-=-=-f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，所以有)()(x f x f -=-这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 . 【答案】2-【解析】根据题意得到0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或0,0,22;x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或0,0,22;x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或0,0,2 2.x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥-⎩其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z x y +=，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z .【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2min -=z ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32 . 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅ 的取值范围是 【答案】[]4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以 (0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(≤≤x x N b M ，根据题意，22x b -=，所以2(,1),(2,).2x AN x AM →→-== 所以123+=∙→→x AN AM ()20≤≤x ，所以41231≤+≤x ， 即→→≤∙≤41AN AM .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】41 【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩ ，从而得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤≤==121,22210,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为41)22(21212210=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为41 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14.已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 . 【答案】265133+ 【解析】据题x x f +=11)(，并且)(2n n a f a =+，得到nn a a +=+112，11=a ，213=a ，20122010a a =，得到2010201011a a =+，解得2152010-=a （负值舍去）.依次往前推得到 2651331120+=+a a . 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n n a f a =+是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2,3b c == B.2,1b c ==- C.2,1b c =-=- D.2,3b c =-= 【答案】 D【解析】根据实系数方程的根的特点知1也是该方程的另一个根，所以b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A ．钝角三角形 B 、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代222a b c +<，由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 18.若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是 PC 的中点.已知∠BAC =2π，AB=2，AC=23，PA BCDP A=2.求：（1）三棱锥P -ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）.（6分） [解]（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 2分 三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC . 6分 （2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角. 8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos . 12分 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x . ……3分 因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-1211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分 由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、PA BCDE幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程4912y =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=tt v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22=-y x C .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF |=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为)2|(|<k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分） [解]（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(6-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， ……2分由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M . ……5分（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……8分所求平行四边形的面积为42||||==y OA S . ……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*). 由⎩⎨⎧=-+=1222y x bkx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k kb k --+-----+=+.由(*)知0=⋅，所以OP ⊥OQ . ……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分） （2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（6分）（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n )1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分（2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ， 所以k k b b ≥+1. ……6分 因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. ……8分 因此，k k a b =. ……10分（3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ； )14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……12分因为11<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……18分 【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
2012上海交通大学--数学(样题)(理科含答案)
上海交通大学外国留学生本科入学考试（样题）科目：数学（理科） 建议用时：90分钟一、 选择题 (每小题4分, 共48分)1. 设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q = ( ) (A) {|12}x x -<< (B){|31}x x -<<- (C) {|14}x x <<-(D){|21}x x -<<2．复数=+4)11(i( )(A) i 4 (B) i 4- (C) 4 (D) 4-3. 不等式21≥-x x 的解集为( )(A) ),1[∞+- (B) )0,1[- (C)]1,(--∞ (D)),0(]1,(∞+--∞4. 计算：(1)(2)lim(21)(21)n n n n n →∞++=-+( )(A) 1(B)21(C)41(D) 45. 下列函数中，偶函数的是 （ ）)(A ()02>=x x y)(B ()0<=x x y )(C ()R x xy ∈=32)(D ()R x xy ∈=316．过点()0,1且与直线022=--y x 平行的直线方程是 ( ) (A) 012=+-y x (B) 012=--y x (C)022=-+y x (D) 012=-+y x7. 若直线043=++k y x 与圆05622=+-+x y x 相切,则=k ( )(A) 1或19- (B) 10或1- (C) 1-或19- (D) 1-或198．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan（ ）(A)43(B)- 1 (C)1(D)34-9．圆02222=+-+my x y x 的圆心在直线0=+y x 上，则实数m 的值为 ( )(A) 1 (B)－1 (C)2 (D)－210. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 ( )(A)201 (B) 103 (C) 203(D) 5111．函数234x x y x --+=的定义域为 （ ）(A)[4,1]- (B)[4,0)- (C)(0,1] (D) [4,0)(0,1]-12. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 ( )(A) (B)6 (C)3 (D) 12二. 填空题: （每题5分，共40分）13. 方程1)3lg(lg =++x x 的解=x 14. 已知等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，则=++++7621a a a a15．已知()a b x →=→=()121，，，，且a b →+→2与2a b →-→平行，则x =16. 函数)21(log 221++=x x y 的值域是17. 已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则抛物线的方程是18. 与双曲线12422=-y x 有相同的焦点，且经过点)1,2(P 的椭圆方程是19. 设a 为常数且0≠a ，已知9)(a x +和8)1(+ax 这两个展开式中4x 的系数相等，则a =20. 过点(2,-2),且与双曲线2222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程为_____________三. 解答题 (每小题6分, 共12分)21. 已知函数,cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ，R m ∈ 若)(x f 的最小值为2，求)(x f 的最大值22．已知F 是抛物线x y 42=的焦点，B A ,是抛物线上的两个点，线段AB 的中点为)2,2(M ，求ABF ∆的面积参考答案（理科）一. 选择题: （每题4分，共48分）二. 填空题: （每题5分，共40分）13. 2 17. x y 42=14. 28 18. 12822=+y x 15. 12 19. 9516. -∞(，]2 20. 14222=-x y三. 解答题: （每题6分，共12分）21. 解：.21)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f +++=+++=π．.27)(,6,262,25)62sin()(.2.)6()(,36max min ===+∴++=∴==-=≤≤-x f x x x x f m m f x f x 时即当由已知时当πππππππ22. 2。
2012上海高考数学
2012上海高考数学前言高考是每个学生都会面临的一次重要考试，其中数学科目一直是考生们普遍认为难度较大的科目之一。
本文将会对2012年上海高考数学试卷进行解析和总结，帮助考生更好地了解考试内容和解题技巧。
第一部分选择题在2012年上海高考数学试卷中，选择题占据了一大部分，这部分包括单选题和多选题，题目涵盖了数学的各个领域知识。
以下是部分选择题的解析和考点分析。
单选题1.题目：已知等差数列a1, a2, a3，a1+a3=10, a4-a1=12，则a2的值是多少？解析：根据已知条件，我们可以列出方程组：a1+a2=10，a2+a3=a1+2d，其中d为等差数列的公差。
通过解方程我们可以得到a2的值。
考点：等差数列的性质和解方程的能力。
2.题目：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B的元素个数是多少？解析：集合的并集即为两个集合合并在一起的元素，去除重复的元素。
通过统计集合A和集合B的元素个数，并去除重复的元素，即可得到A∪B的元素个数。
考点：集合的基本概念和操作。
多选题1.题目：已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=0，f(-1)=-2，f(2)=4，则下列说法正确的是（） A. a = 1, b = -1, c = 0 B. a = 1, b = 0, c = -1 C. a = -1, b = 1, c = 0 D. a = -1, b = 0, c = 1 解析：根据已知条件，我们可以列出方程组来求解a、b、c的值。
通过代入f(1)=0，f(-1)=-2，f(2)=4，我们可以筛选出正确的选项。
考点：函数的性质和求解方程的能力。
2.题目：已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则下列说法正确的是（）A. A∩B={1} B. A∩B={2, 3} C. A∩B={2} D. A∩B={2, 3, 4} 解析：集合的交集即为两个集合共有的元素。
上海交通大学高数期末考试试卷及答案
2013-2014学年《高等数学》第一学期期末考试解答(A 类)一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 已知直线1l ：21123x y z -+==--、2l ：3112x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩及平面 π：27430x y z ++-=，则 ( )(A)1//l π；(B)1l π⊥；(C)2//l π；(D)12l l ⊥。
【解】1(1,2,3)s =-- ，2(3,1,2)s = ，(2,7,4)n = ， 1(1,2,3)(2,7,4)214120s n ⋅=--⋅=-+-= ， 答案：A 。
2. 当x →+∞大时，11e xx ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是无穷小1x 的 ( ) (A)高阶无穷小； (B)低阶无穷小；(C)等价无穷小； (D)同阶但非等价无穷小。
【解】11ln(1)ln(1)111(1)x x x x x e e e e e x ++-⎛⎫+-=-=- ⎪⎝⎭ 1[ln(1)1]e x x +- 221111[(()(())1]2e x o x x x=-+- 1111[()]22e e o x x x=-⋅+-⋅ ， 答案：D 。
()1ln 10111e e lim lim 1xt t x t t e x x t x++→+∞→⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭= ()()2001ln 11ln 1lim lim t t t t t t e e t t++→→+-+-== 0111lim 22t e t e t +→-+==-， 答案：D 。
3. 曲线e x y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成的平面图形的面积为 ( ) (A)10(ln ln )d y y y y -⎰； (B)10(e e )d x x x -⎰；(C)e 1(ln ln )d y y y y -⎰； (D)e0(e e )d x x x -⎰。
【分析】面积：0()a x A e dx =-⎰切线，答案在B ，D 中，(B)(D)：k e =，切点：1x =，(B) OK, 答案：B 。
上海交大附中2012-2013学年高二第二学期期末数学试卷及答案
上海交通大学附属中学2021-2021学年度第二学期高二数学期终试卷本试卷共有23道试题，总分值150分，考试时间120分钟。
一．填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分． 1. 假设复数3a ii+-〔R a ∈〕是纯虚数，那么a = . 【答案】31 2. 7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有 种不同的排法。
【答案】2403. 在5(32)x y -的展开式中，假设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，那么a b += ．【答案】33 4.假设在nxx )1(2-展开式中，x 的一次项是第六项，那么n = 。
【答案】85. 从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 。
【答案】216解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有14C 种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进展十位，百位，千位三个位置的全排。
那么共有11234333216C C C P =6. 从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，那么按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为 ．〔结果用最简分数表示〕 【答案】5117. 假设复数z 满足61()31i z i i-++≤〔i 为虚数单位〕，那么z 在复平面内所对应的图形的面积为 . 【答案】3π8. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球面积的比为______.【答案】3:29. 1321===z z z，那么122331123z z z z z z z z z ++=++ 。
【答案】110 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 ．〔结果用最简分数表示〕 【答案】1311. 不等式31416151----+<+n n n n C C C C 的解集为 。
2012年高考文科数学上海卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共22页） 数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)考生注意：1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.计算：3i1i－＋= （i 为虚数单位）. 2.若集合{|21A x x =-＞0},{|||B x x =＜1},则A B = .3.函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是 .4.若=(2,1)d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .6.方程14230xx +--=的解是 .7.有一列正方体,棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列,体积分别记为12,,,,n V V V 则12lim()n x V V V →∞+++= .8.在61()x x-的二项展开式中,常数项等于 .9.已知()y f x =是奇函数.若()()2g x f x =+且(1)1g =,则(1)g -= . 10.满足约束条件||2||2x y ＋≤的目标函数z y x =-的最小值是 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12.在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN 的取值范围是 . 13.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C .函数()(01)y xf x x =≤≤的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 14.已知1()1f x x=+.各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,2()n n a f a +=.若20102012a a =,则2021a a +的值是 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,则 （ ）A .2,3b c ==B .2,1b c ==-C .2,1b c =-=-D .2,3b c =-=16.对于常数m 、n ,“0mn ＞”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件17.在ABC △中,若222sin +sin sin A B C ＜,则ABC △的形状是（ ）A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .不能确定18.若*π2ππ=sin sin sin()777n n S n +++∈N ,则在12100,,,S S S 中,正数的个数是（ ）A .16B .72C .86D .100--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点.已知π2BAC ∠=,2AB =,AC =2PA =.求： （Ⅰ）三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知()lg(1)f x x =+.（Ⅰ）若(12)()1f x f x --0＜＜,求x 的取值范围； （Ⅱ）若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数()([1,2])y g x x =∈的反函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为7t .（Ⅰ）当0.5t =时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向；（Ⅱ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22:2=1C x y －.（Ⅰ）设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点.若||MF =求过M 点的坐标； （Ⅱ）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（Ⅲ）设斜率为(||k k 的直线l 交C 于P 、Q 两点.若l 与圆221x y +=相切,求证：OP OQ ⊥.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列数集{}n a ,记12max{,,,}(1,2,,)k k b a a a k m ==,即k b 为12,,,k a a a 中的最大值,并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的{}n a ； （Ⅱ）设{}n b 是{}n a 的控制数列,满足1k m k a b C -++=（C 为常数,(1,2,,)k m =）.求证：k k a b =(1,2,,)k m =；（Ⅲ）设m =100,常数1(,1)2a ∈.若(122(1)n n n a an n +=--）,{}n b 是{}n a 的控制数列,求1122100100()()()b a b a b a -+-++-.- 3 - / 11A B =1,12⎛ ⎝【提示】由题意，可先化简两个集合【考点】交集及其运算。
上海交通大学·2002_年第一学期高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
试题照登上海交通大学·高等数学期末试题(A 卷)(附参考答案)2002年第一学期一、选择题(每题3分,共15分,每题选项仅有一项符合要求,把所选项前的字母填入括号内)1.f (x )在a 连续,且lim x ※a f (x )-f (a )(x -a )m =c >0,其中m 是偶数,则(B ……………………………)A .a 是f (x )的极大值点; B .a 是f (x )的极小值点;C .a 不是f (x )的极大值点;D .不能判别a 是否f (x )的极值点.2.f (x ),g (x )均为恒不为零的可微函数,且f ′(x )g (x )-g ′(x )f (x )>0,则当x >a 时,成立不等式(A ……………………………………………………………………………………………………)A .f (x )g (a )>f (a )g (x );B .f (x )g (x )>f (a )g (a );C .f (a )g (x )>f (x )g (a );D .f (a )g (a )>f (x )g (x ).3.函数f (x )=lim n ※∞n 1+x 2n 在(-∞,+∞))连续且(C ………………………………………………)A .处处可导; B .仅有一个不可导点;C .仅有二个不可导点;D .至少有三个不可导点.4.∫1-11+x sin 2x 1+x 2dx =(B ………………………………………………………………………………)A .π4 B .π2 C .π D .0.5.微分方程y ″-2y ′=xe 2x 的特解形式可设为(C ……………………………………………………)A .(ax +b )e 2x ;B .x (ax +b );C .x (ax +b )e 2x ;D .axe 2x .二、填空题(每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上)1.f (x )=ln (1+ax b ), x ≥0,e x 2-1sin2x, x <0在x =0可导,则a =12,b =1.2.设函数y =y (x )由方程y =∫2x +y 0sin t 2dt -∫x 20e -t dt (其中x >0)所确定,则其导数dy dx =2sin (x +y )2-2xe -x 1-sin (2x +y )23.∫20x 44-x 2dx =2π.4.x ※0时,∫x 30sin 3tdt 是βχα的等价无穷小,则α= 4 β= 34 .5.f (x )为连续函数,F (x )=∫2x0f (x +t )dt ,则F ′(x )=3f (3x )-f (x ).三、计算下列积分(18分)1.∫x (e x2x x 122-12+12(6分)63Vol .6,No ,4Dec .,2003 高等数学研究STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS2.∫π0dx 2+cos x =23arctan x 3|+∞0=π33.∫+∞2dx x 4x 2-1=12arcsin 15四、解下列方程(14分)1.(x y -x 2)y ′=y 2 e y x =cy2.y ″+2y ′+2y =4e x sin x 通解为y =12e x (sin x -cos x )+c 1e -x cos x +c 2e -x sin x 五、(14分)1.设f (x )=ln x -2x 2∫e 1f (x )xdx ,求f (x ). f (x )=ln x -e -2x 22.设f 2(x )=2∫x 0f (t )1+f ′2(t )dt -2x ,求f (x ). f (x )=1-e x六、应用题(18分)1.求心脏线r =a (1+cos θ)(a >0)上对应0≤θ≤π2的孤线段的长度,且求该弧段与射线θ=0及θ=π2所围图形绕极轴旋转所得旋转体的体积.V =52πa 32.(8分)D 是由抛物线y =2x (2-x )与x 轴所围成的区域,直线y =kx 交区域D 分为面积相等的两部分,求k 的值。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文科数学及答案-推荐下载
(1)三棱锥 P ABC 的体积;
(2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)
P
A B
D C
20.(本小题 14 分)已知 f x lg x 1 (1)若 0 f 1 2x f x 1,求 x 的取值范围;
(2)若 g x是以 2 为周期的偶函数,且当 0 x 1时,有 g x f x,求函数 y g xx 1, 2的
往救援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t .
和方向;
(1)当 t 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的难纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
22.(本小题 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2x2 y2 1
(1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点.若 | MF | 2 2 ,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为 k | k | 2 的直线 l 交 C 于 P,Q 两点,若 l 与圆 x2 y2 1相切,求证: OP OQ
O
A
y
P
x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
上海交通大学_高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
高等数学研究
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试题照登
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三、计算下列积分（$4分）
上海交通大学2015-2末 高数试卷(A类)
2015级高等数学第二学期期末试卷(A 类)一、单项选择题 (每小题3分，共15分)1. 设232ln(3)z x x y =-，则(1,0)x z = ( )(A) 4; (B) 3; (C) 2; (D) 1.2. 设L 为曲线22290x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩，则222(3)d L x y z s --=⎰ ( )(A) 27π； (B) 18π； (C) 12π； (D) 6π。
3. 设∑是正圆锥面1)z z =≤≤,则曲面积分d z S ∑=⎰⎰ ( )(A)3；(B)3；； (D)π。
4. 下列命题中，正确命题的个数为 ( )① 若0n n x ∞=∑收敛，且lim 1n n y →∞=，则0n n n x y ∞=∑收敛；② 如果()f x 在[1,1]-上有各阶导数，则()0(0)(), [1,1].!k k k f f x x x k ∞==∈-∑③ 若级数1n n a ∞=∑,1n n b ∞=∑都收敛，且(1,2,)n n n a c b n ≤≤=⋅⋅⋅，则1n n c ∞=∑也收敛。
(A)0； (B)3； (C)2； (D)1。
5. 已知级数和16212n n =∞∑=π，则级数和12121()n n -=∞∑是： ( ) (A)π216； (B)π212； (C)π28； (D)24π.二、填空题 (每小题3分，共15分)6. 函数22(,)f x y x xy y =+-在点(1,1)-处的最大变化率为：___________.7. 设区域D 由曲线2241x y +=围成，则(4)d d Dxy x y +=⎰⎰__________.8. 设三角形ABC 的三个顶点为(2,0),(1,1),(0,0)A B C ，L 为三角形ABC 区域的正向边界，则曲线积分22()d (22)d Lx y x x xy y -+-=⎰____________.9. 微分方程(2)d (2)d 0x y x x y ++-=的通解为: _________________________.。
上海交通大学 2011-2中 高数试卷(A类)
r x2 y 2 z 2 。
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l (1, 1,0) 的方向导数。
（1） 求 g x, y, z ； （2） 若 Px, y, z 在椭球面 2 x 2 y 2 z 2 1 上， 问 g x, y, z 是否有最大值？若 有，求此最大值。 七、证明题（本题共 8 分） 18. 设 u f ( x, y, z) 是可微函数。若
x y
x z u ln 确定的隐函数， 求 ， z y x 0,1
u 。 y 0,1
12. 设函数 z f ( xy, yg ( x)) ，其中 f 具有二阶连续的偏导数， g ( x) 可导且在 x 1 处取得极值 g (1) 1 ，求
2 z xy
。
(1,1)
2
2
（D） 0 。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分) 1 z z 6. 设 z f (ln x ) ，其中函数 f (u) 可微，则 x y 2 y x y
z 7. grad ( xy ) = y (2,1,1)
。
。
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x 2 y 2 z 2 6, 8. 曲线 2 在点 2,1,1 处的切线方程为 2 2 x y z 4 10 f 9. 已知 f x, y xy xy 2 e x y ，则 5 5 x y
n （A） 4 ；
x 2 y 2 t
1 cos( x 2 y 2 ) d 是 t 的 n 阶无穷小量，则 2
（ （B） 5 ；
π 2 0 cos 0
） ）
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A1
z z x 8. 设 z ln tan ，则 x y _________________。 y y z 3 0 平行。
六、 （第 16 题 8 分，第 17 题 10 分，共 18 分） 5n 1 16.求级数 ( 1)n 1 n 的和。 3 n 1 17.将函数 f ( x) (1 e x )2 展开为马克劳林级数，并求 f ( n ) (0) ， n 1,2,... 。 七、 （本题 8 分）
( 1)n ( x 2)2 n 1 的收敛区域为：__________________。 n n 1
10.（利用 ln(1 x) 的幂级数展开式计算： ） 定积分 0
1 ln(1
x)
x
。 dx ____________________________（答案用级数表示）
三、 （本题 8 分） 11.曲线 C 是圆柱面 x 2 y 2 2 与平面 x y z 2 的交线， 求曲线 C 的参数方程，并求原点到此曲线 C 的最短距离和最大距离. 或 直接求原点到此曲线 C 的最短距离和最大距离. 四、 （每题 8 分，共 16 分） ydx xdy 12.计算曲线积分 C ，其中 C 为封闭曲线 | x | | y | 1上从点 A(1, 0) 到 3(| x | | y |)
1 18.设级数 ak x k 在 [0,1] 上收敛， f x an x n ，证明：级数 f ( ) 收敛。 n k 2 n 2 n 1
A2
z y x 3 ； y x z z y x 1 ； y x z
（B） （D）
z y x 3； y x z
z y x 1。 y x z
2. 向量场 F ( x y, yz,3z 2 x) 在点 (1, 1,2) 处的散度 divF |(1,1,2) （A） (1,2, 1) ； （B） (1,2,3) ； （C）2；
(4) 若级数 un 收敛，且 lim
n 1
vn 0 ，则级数 vn 收敛。 n u n 1 n
（A）4；
（B）3；
（C）2；
（D）1。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分)
x 2 y 2 e2 z 6. 曲线 C : 在点 (1, 0, 0) 处的切线为：_____________________。 3 x y z 3 0
B(0,1) ，再到 C (1,0) 的有向折线段。
13.求双曲抛物面 S : 2 z x 2 y 2 被柱面 x 2 y 2 1 截下部分曲面的质量，已知曲 面 S 上任一点 ( x, y, z ) 处的质量面密度为 6 x 2 y 。 五、 （每题 10 分，共 20 分）
2012 级高等数学第二学期期末试卷（A 类）
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设 F ( x, y, z ) 连续可微，Fx Fy Fz 0 ， 方程 F ( x, y, z ) 0 可确定连续可微的隐 函数 z z( x, y ) ， y y( z, x) ， x y( y, z ) ，则 （A） （C） （ ）
1 4 1 14.设 为任意闭曲面， I ( x x 3 )dydz y 3dzdx (3 y z 3 )dxdy ， 3 3 3 外侧
(1) 证明： 为椭球面 x 2 4 y 2 z 2 1 时， I 达到最大值； (2) 求 I 的最大值。 15. 求 抛 物 面 z x 2 3 y 2 在 某 点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面 ，使其与平面
n0 n0
（
）
（D）6。 （ ）
3. 设级数 an 绝对收敛，则幂级数 an x n 的收敛半径 R 为： （A） R 1 ； （B） R 1 ； （C） R 1 ； （D） R 1 。 4. 下面 3 个命题中，正确的命题个数为： (2) 若 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在，则 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续；
（
）
(1) 若 f ( x, y ) 在闭区域 D （ R 2 ）上连续，则 f ( x, y ) 在 D 上有界；
f |( x , y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处可微。 l 0 0 （A）0； （B）1； （C）2； （D）3。 5. 下面 4 个命题中，正确的命题个数为： （ ）
(3) 若对任意 l ，方向导数
(1) 若级数 un 收敛， vn 发散，则级数 (un vn ) 发散；
n 1 n 1
n 1
1 (2) 若级数 un 2 收敛，则级数 ( un ) 绝对收敛； n 1 n n 1 u (3) 若 lim n 1 0 ，则级数 un 收敛； n u n 1 n