第二章平面向量教案新人教A版必修4

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高中数学第二章平面向量教学设计教案人教版必修4

第二章平面向量教学设计人教A版数学必修4一、教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用．在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力．1．本单元的教学内容的范围（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。

（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。

③了解向量的线性运算性质及其几何意义。

（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

本章知识结构如下：平面向量、实际背景向量及其基本概念线性运算向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.课标要求的具体化和深广度分析①平面向量的实际背景及基本概念《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．如：用向量a，则-a表示____．一辆汽车从A地出发向西行驶了100km，到达B地，可以用向量a表示，那么从B地出发到A达地应如何表示？向量a，b都是非零向量，下面说法不正确的是（）（A）向量a与b反向，则向量a+b与向量a的方向可能相同（B）向量a与b反向，则向量a+b与向量b的方向可能相同（C）向量a与b反向，且a b>，则向量a+b与向量a的方向可能相同（D）向量a与b反向，且a b<，则向量a+b与向量a的方向可能相同理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量②向量的线性运算《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的①如：若向量a表示向东走了2km，b表示向南走了1km，则a-b表示___________．已知下列各式①AB BC CA++；②AB MB BO OM+++；③OA OB BO CO+++；④AB AC BD CD-+-；①掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义．②掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件．③会进行向量的线性运算．线性运算性质及其几何意义．其中结果为零向量的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4②已知向量a，b满足AB =a+2b，BC =-5a+6b，CD =7a-2b，则一定共线的三点是（）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D③如：在ABC∆中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于O，设AB =a，AC =b，用a，b表示向量AO．③平面向量的基本定理及坐标表示《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．①如：某人在静水中游泳，速度为每小时3km，水流的速度为每小时4km，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．③如：已知(0,1)A，(3,4)B-且点C在AOB∠的平分线上，若2OC=，则向量OC=_________．④已知向量(,12)OA k=，(4,5)OB=，(,10)OC k=-且A，B，C三点共线，则k=_________．①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件④平面向量的数量积《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．①如：用两根夹角为120角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是_________．②如：已知点(0,1)A-，(2,2)B，(4,6)C-，则AB在AC上的投影的值为_________．③如：a=（-3，2），b=（-4，k），若（5a-b）⋅（3a-b）=55，求实数k的值．④如：两单位向量a，b的夹角为60，则两向量p=2a+b与q=3a+2b的夹角为_________．换垂直的题①明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义②明确向量b在向量a的方向上的投影③掌握数量积的公式，能进行数量积的运算④明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件．⑤向量的应用《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算如图，在平行四边形ABCD中，13DE DC=，AE与BD交于F，用向量的方法证明：14DF DB=．掌握平面两点间的距离公式、掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题能力和解决实际问题的能力．ABCD E F实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为0.4km ，一艘船从一岸边的A 处出发驶向对岸，已知船速为15kmv h =，水速为23kmv h =，欲使航行最短，则所用时间为_________．（2）本单元变化之处①删繁就简，降低了知识的难度 ②调整章节，凸显了知识的框架 ③贴近生活，重视了知识的应用（3）人教B 版向量一章的教材特点强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律(=+a b b +a )又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形AB ∥CD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，ABD ∆≌CBD ∆).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为 [形到数]——[数的运算]——[数到形]，则向量方法可简单地表述为[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形].教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.说明：由于我们按照必修1，必修4的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。

2020年最新人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.2平面向量的线性运算教案

要性 .
的一组正交基底； xe 1+ye 2 叫做 a 关于基底｛ e1， e2｝的分解式；（ x,y ）叫做 a 关于基底｛ e1，e2｝下的坐标，即 a＝（ x,y ）；x(y)
本 97 页的两个概念，学生知道这些名词就可
是向量 a 在横 ( 纵 ) 轴上的正投影向量的在
以了
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例 32．课本 97 页例 2 已知直线 AB上任意点 P 及直线 AB外一点 O。以｛OA，OB}为基底，写出向量 OP的分解式
熟悉巩固向量平行或共线的坐标条件，通过证明共线，感受向量法的优势
这是基本定理的例子，渗透了消元法（消点法）思想，练习量依据学生具体
情况而定
课练习 1：课本 103 页练习 A2,4,5;B1,2,3,4 堂练习 2：课本 105 页练习 A1,2,3 ； B1,2 练练习 3：课本 98 页练习 A1,3,5;B1,3,4 习
为 A(-2 ， 1) ， B（ 3 ， 4）， C（ -1 ， 3 ），则顶点 D 标运算
的坐标为 ___________ ．（向量的坐标表示）
④理解两个向量共线
的充要条件
③如：已知 A(0,1) ，B (3, 4) 且点 C 在 AOB 的
平分线上，若 OC 2 ，则向量
OC _________ ．（定比分点）
组讨论 .
对应学生的差异性，同学们在合作交流中获得不
同的发展
师生共同完成
这是学生总结本课堂研究内容的练习机会，使学生反思学习进程的反馈
时间
学生自主完成
温习巩固，逐步理解
课后反馈
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高中数学第二章(平面向量的实际背景及基本概念)教案新人教A版必修4 教案

第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：A B C D数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.A(起点) B （终点）a6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的．起点无关．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,）课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题（吴春霞）。

新课标数学必修4第2章平面向量教案

第二章平面向量第1课时平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念，掌握向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念，把握其本质区别，提高辨识能力. 【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量，它是一种新的量，既有大小又有方向，关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此，本章在介绍向量概念时，说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．⑵向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区别联系，建立一种新的量的思维体系．⑶相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础．三、教学难点⑴向量概念的理解．由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪．五、教学过程㈠设置情境问：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？答：不能，因为没有给定发射的方向．问：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．㈡向量的概念：力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§ 2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：aB①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；（终点）A( 起点)③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作| AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的.注意0 与0 的含义与书写区别.②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向．线．段．的．起．点．无．关．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与．有．向．线．段．的．起．点．无．关．）．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.§ 2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 .２、三角形法则（ “首尾相接，首尾连” ）如图，已知向量 a 、ｂ.在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a ， BC ＝ｂ，则向量 AC 叫做 a 与ｂ的和，记作 a ＋ｂ，即 a ＋ｂAB BC AC ，规定：a + 0-= 0 + aaaC a bbａｂｂAaa + ba+ bB探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量 a 与b 不共线时， a + b 的方向不同向，且 |a + b |<|a |+|b |；（3）当 a 与b 同向时，则a + b 、a 、b 同向，O Aabb 且| a + b |=| a |+|b |，当 a 与 b 反向时，若 | a |>|b |，baa则 a +b 的方向与 a 相同，且 | a + b |=| a |-|b |；若B|a |<|b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且 | a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n 个向量连加３．例一、已知向量 a 、b ，求作向量 a + b作法：在平面内取一点，作OA a AB b ，则 OB a b .４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同？验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）a２）向量加法的交换律： a + b = b + a５．向量加法的结合律：( a +b ) + c = a + ( b + c )证：如图：使AB a ，BC b ，CD c则( a + b ) + c = AC CD AD ，a + ( b + c ) = AB BD AD∴( a + b ) + c = a + ( b + c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3 课时§ 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. ( a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0如果a、b 互为相反向量，则 a = b， b = a， a + b = 0（3）向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与b 的差.即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x 叫做 a 与b 的差，记作 a b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a O a∵(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = ab作法：在平面内取一点O，ba b作OA = a，AB = bB则BA = a b 即a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量a的终点的向量.4．探究：１）如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.a a ba bO A O BBB’Aba ba a bb O bA BB O A２）若a∥b，如何作出 a b§ 2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作：λ a（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0 时λa与a方向相同；λ<0 时λa与a方向相反；λ=0 时λa= 02．运算定律结合律：λ( μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa ，λ( a+b )= λa+λb3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .平面向量基本定理：如果e，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面1内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2 使a=λ 1 e +λ 21 e . 2探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. 1λ，λ2 是被a，e1 ，e2 唯一确定的数量§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ1e +λ 2 e21(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2 是被a，e1 ，e2 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj ⋯⋯⋯⋯○1我们把(x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作a (x, y) ⋯⋯⋯⋯○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2 式叫做向量的坐标表示.与．a 相．等．的．向．量．的．坐．标．也．为．(x, y).特别地，i (1,0 )，j (0,1)，0 ( 0,0) .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a ，则点A的位置由a 唯一确定.O A xi yj ，则向量OA 的坐标(x, y) 就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x, y) 也设就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（ 1 ）若 a ( , ) ， b (x2, y2 ) ，则 a b (x1 x2 , y1 y2 ) ，x1 y1a b (x1 x2 , y1 y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则a b ( ) ( )x1i y j x i y j (x1 x2 )i ( y1 y2 ) j1 2 2即a b (x1 x2 , y1 y2 ) ，同理可得a b (x1 x2 , y1 y2 )（2）若A( , ) ，B( x2 , y2 )，则AB x2 x1 ,y2 y1x1 y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB OA =( x 2，y2) (x1，y1)= (x 2 x1，y2 y1)（3）若a (x, y) 和实数，则 a ( x, y) .实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则 a (xi yj) xi yj ，即 a ( x, y)第6 课时§ 2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y，使得a xi yj把(x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标，特别地，i (1,0) ，j (0,1)，0 ( 0,0) .2．平面向量的坐标运算若a (x1, y1 ) ，b (x2 , y2 ) ，则a b (x1 x2 , y1 y2 ) ，a b (x1 x2 , y1 y2) ， a ( x, y) .若( , )A x1 y ，B(x2, y2) ，则1 AB x2 x , y y1 2 1二、讲解新课：a∥b (b 0 )的充要条件是x1y2-x 2y1=0 设a=(x1，y1) ，b =(x2，y2) 其中b a .由a=λb 得，(x1，y1) =λ(x2，y2)x1y1x2y2消去λ，x1y2-x2y1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1，y2 有可能为0，∵b 0 ∴x2，y2 中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成y1x1y2x2∵x1，x2 有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b 0 )a bx1 y x y2 2 1§ 2.4平面向量的数量积一、平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2 使a=λ1e1 +λ2 e23．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y，使得a xi yj把(x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)4．平面向量的坐标运算若( , )a x1 y ，b (x2 , y2 ) ，则a b (x1 x2 , y1 y2 ) ，a b (x1 x2 , y1 y2 ) ，1a ( x, y) .若A( , ) ，B(x2, y2) ，则AB x2 x1, y2 y1x1 y15．a∥b ( b 0 )的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1，P2 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P1，P2 的任一点，存在实数λ，使P1P = λPP2 ，λ叫做点P 分P1 P2 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2 ，y2)，λ为实数，且P1P ＝λPP2 ，则点P 的坐标为（x1 x y y2 1 2,1 1），我们称λ为点P 分P1P 所成的比.28. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P1 与P P 同向共线，这时称点P 为P1P2 的内分点.2②当λ＜０( 1)时，P P1 与P P 反向共线，这时称点P 为2P 的外分点.1 P29.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设O P ＝ａ，1 OP ＝ｂ，2a b 1可得OP = a b1 1 1.10．力做的功：W = |F||s|cos ，是F 与s的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180C2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作 a b，即有 a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由c os 的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且 a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0.因为其中cos 有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b 0)，则ab=bc a=c .但是 a b = b c a = c如右图： a b = |a||b|cos = |b ||OA|，b c = |b||c|cos = |b||OA|a b = b c 但a c(5)在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c)显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般a与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b|cos 叫做向量 b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0 时投影为|b |；当= 180 时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在a 方向上投影|b|cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量.1 e a = a e =|a|cos2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = | a||b|；当a 与b 反向时，a b = |a||b|. 特别的 a a = |a|2或|a| a a4 cos =a b |a || b|5 |a b|≤|a||b|二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作 a b，即有 a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos 叫做向量 b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0 时投影为|b |；当= 180 时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在a 方向上投影|b|cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量.1 e a = a e =|a|cos ；2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = | a||b|；当a 与b 反向时，a b = |a||b|. 特别的 a a = |a|2或|a| a a4 cos =a b| a || b |；5 |a b| ≤|a ||b|二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律： a b = b a 证：设a，b 夹角为，则a b = |a||b |cos ，b a = |b||a|cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a) b = (a b) = a ( b)证：若> 0，( a) b = |a ||b |cos ，(a b) = |a ||b |cos ，a ( b) = |a||b |cos ，若< 0，( a) b =| a ||b |cos( ) = |a ||b |( cos ) = |a||b|cos ，(a b) = |a ||b |cos ，a ( b) =|a|| b|cos( ) = |a ||b |( cos ) = |a ||b |cos .3．分配律：(a + b) c = a c + b c在平面内取一点O，作OA = a，AB = b，OC = c，∵a + b （即OB ）在 c 方向上的投影等于a、b 在c 方向上的投影和，即|a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1+ |c| |b| cos 2，∴c (a + b) = c a + c b 即：(a + b) c = a c +b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ) ２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作 a b，即有 a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在a 方向上投影|b|cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a、b 为两个非零向量， e 是与 b 同向的单位向量.1 e a = a e =|a|cos ；2 a b a b = 03 当a 与b 同向时， a b = |a ||b|；当 a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的 a a = |a |2 或| a | a a4 cos =a b| a || b |；5 |a b| ≤|a||b|5．平面向量数量积的运算律交换律： a b = b a 数乘结合律：( a) b = (a b) = a ( b)分配律：(a + b) c = a c + b c二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量( , )a 1 y ，b (x2 , y2 ) ，试用a和b 的坐标表示 a b .x1设i是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 a x i y j1 ，b x2 i y2 j1所以( )( )a b x1i y j x i y j1 2 22x1x i x y i j x y i j y y j2 1 2 2 1 1 22又i i 1，j j 1，i j j i 0，所以a b x1x2 y1 y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a b x1x y y2 1 2 2. 平面内两点间的距离公式2 2 2一、设a(x, y) ，则| a | x y 或2 2 | a | x y .（2）如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( , )x1 y 、(x2 , y2 ) ，那么12 2| a | (x1 x ) (y y ) (平面内两点间的距离公式)2 1 2二、向量垂直的判定设( , )a 1 y ，b (x2 , y2 ) ，则a b x1x2 y1 y2 0x1三、两向量夹角的余弦（0 ）cos =a b| a | |b| 2x1x1x22y1y1x2y222y2。

人教A版数学必修4第二章平面向量教学建议

⑤向量的应用
《标准》表述经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．《大纲》相应的要求掌握平面两点间的距离公式、掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题
向量的概念是数学中重要和基本的概念之一，正确理解向量的概念，要抓住大小和方向两个要素．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量具有大小和方向两个要素；数量可以比较大小，而向量既有大小，又有方向，所以向量不能比较大小．但是，向量的模是非负实数，是可以比较大小的．教学中要结合生活中的实例，将向量与数量相比较，加深学生对向量概念的理解。关于实数与向量的乘积，教材中是从解决探究问题引入的，主要体现在向量的运算中需要引入这一运算，这样做是为了体现规定数乘向量的必要性．教学中可列举生活中的实例，如甲车的速度是乙车速度的 2倍，让学生更多的了解数乘向量的实际背景。
运用向量方法研究物理、几何以及实际生活中的问题，重点要放在引导学生分析题意，将实际问题转化为数学问题，将几何图形的性质转化为向量关系，将物理量之间的关系抽象为向量关系，然后用向量的方法进行推理和计算．在解决实际问题的过程中，会遇到一些复杂的推理和演算，为了帮助学生克服这一困难，教师要注意利用几何直观，还要注意认真板书，作好示范，做到推理正确、演算规范，鼓励学生使用计算器计算。
根据以上的变化，新教材在本章内容上有如下变化：（1）删除了线段的定比分点和平移公式等内容 “课标”中，对平面上两点间的距离公式、线段的定比分点公式及中点坐标公式、平移公式没有作要求，因此教材中没有安排这些内容．考虑到定比分点公式比较实用，因此教材中仅以探究的形式（100页）给出了公式的证明，目的是在不加重学生负担的情况下让学生了解这一公式，也可以让学有余力的学生熟悉这一公式。

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第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. A(起点)B（终点）aOABaaa bb b7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到A BCa +ba +baa b b aｂｂａan 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1．用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = aOabBa ba -b作法：在平面内取一点O ，作= a ， = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4．探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ，如何作出a - b ？2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λO ABa B’b-b bBa + (-b )a b a -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-ba ρ=2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ§2.4平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1．向量共线定理向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两C个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |第8课时二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | C5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。

高中数学第二章平面向量教案新人教A版必修4

aaa平面向量复习教案一、教学目标1．知识与技能：通过复习本章知识点，提高综合运用知识的能力”. 2．过程与方法：通过知识回顾，例题分析，强化训练，体现向量的工具作用. 3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 四、教学设想一、基础知识：（一）平面向量的计算及其性质：（1）+=+；（2）（-+=-；平行四边形法则三角形法则（3）)(,≠=λ⇔和共线；（4的模（即长度）0≥（5+≤+≤-+≤-≤-。

（6）θcos =⋅，其中θ为向量a 和b 的夹角。

==（7）()()⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+；那么()()___=+⋅- （8）⊥⇔=⋅0 （二）向量的坐标表示和运算：在平面中，若,不共线（可作为平面的一组基底），则任意向量，有且只有一组数（y x ,）使得y x +=当我们选定的一组基为直角坐标系上两互相垂直的单位向量和j ，则平面任意向量c 可以表示成j y i x c +=，那么任意向量和坐标平面上的一个点坐标相对应，如图所示，即),(y x =，（1）设),(),,(2211y x y x ==则=+=-=λ=⋅=；若//，则；⊥，则；（填坐标关系）（2）已知点),(11y x A 、),(22y x B 则向量==；二、例题选讲（一）加减运算例1、（1）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．2133b c + B ．5233c b -C ．2133b c - D ．1233b c +（2）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=（）A ．2B ．3C ．4D ．5（3）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，练习：1、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = A.12BC BA -+B. 12BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + 2、在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

217.高一数学人教A版必修四教案：第二章平面向量 Word版含答案

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．
例2、若等边的边长为，平面内一点M满足 ,则 ________.
练习：1、在中， =90°AC=4，则等于（）
A、-16 B、-8 C、8 D、16
（三）坐标运算
例3、 , ,则（）
A. B. C. D.
练习：1、设向量 , ,则下列结论中正确的是
(A) (B) (C) (D) 与垂直
（四）平行垂直
注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
① 是整式时，定义域是全体实数．
② 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③ 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
三、重点难点
教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题.
教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.
四、教学设想

人教A版数学必修4第二章平面向量教学设计-推荐下载

生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：
向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量
的数量积一向量应用举例.
课标要求的具体化和深广度分析
①平面向量的实际背景及基本概念《标准》表《标准》要求的具体化和深广度分析
述
通过力和
力的分析等实如：用向量 a 表示向东走了 3km ，则-a 表示
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高中数学第2章平面向量教案新人教版必修4

江苏省常州市西夏墅中学高中数学第2章平面向量教案新人教版必修4目标定位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本章中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面．1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量以及向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义．3．了解平面向量基本定理及其意义，理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量的数量积与投影间的关系，掌握数量积的坐标表达式，会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题．5．经历向量(及其运算)的建构的过程，以及用向量方法解决某些简单的实际问题(几何问题、力学问题等)的过程，了解向量的实际背景，理解向量及其运算的意义，并从中了解到数学和现实世界的深刻联系，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力．教材解读：向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型．是刻画和描绘现实世界的重要数学模型．数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于研究和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题．学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程，即“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”．本章立足于现实生活，根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型)，然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的．力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．本章突出向量的实际背景与应用，这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识．向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数的运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等都是数学中的基本运算．从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．“平面向量”的主背景源于前一章“三角函数”，仍然从圆周上一点的表示(r，θ)出发，导出“既要考虑大小(r)，又要考虑方向(θ)”；而自然界广泛地存在着“既要考虑大小，又要考虑方向”的现象，如力、速度．接着提出问题：用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量；这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对向量的数学(分析)研究．另外，本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念．本章的章头图中，矫健的银燕连同它身后的航迹，像利箭直插天穹．它使人联想到下面的问题：怎样表示运动物体的位移和速度呢？于是建构向量的思维活动就此展开了．引言(章首语)首先说明了本章的研究课题是前一章“三角函数”研究内容的拓展．三角函数可以看成是圆周上一点P绕圆周运动的数学模型，而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型．这时，只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置．接着引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是．这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景．在此基础上，引言提出了问题：用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？这就是本章的中心问题，也是本章的知识增长点．与“函数”、“三角函数”类似，本章也是对一种数学模型的研究．教材是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的．这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在“函数”、“三角函数”学习中获得的经验，有助于发挥学生在学习中的主动权．本章也起到了承前启后的作用，在延伸“三角函数”的同时，为“三角恒等变换”作好铺垫．例如，教材P 81就安排了这样的习题：“设向量a ，，b ，，试分别计算a b a||b|cosθ及a b x 1x2y1y2．比较两次计算的结果，你能发现什么？”在第1章“三角函数”中，我们迈出了对周期现象研究的第一步：建立了一种描述和刻划周期现象的重要的数学模型，并初步探讨了它的性质．而在第3章“三角恒等变换”中，我们又将以向量为工具来进一步探讨三角函数的性质．因此，从整体上看，“平面向量”的学习应该放在对周期性现象的研究这一大背景下进行．这样可以更好地体现向量这工具价值．本章内容的处理，从具体的生活、实践问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，激发学生开展活动，结合实验、观察、思考、归纳、抽象、概括、运用，力求使学生对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际应用问题)．在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形、与几何、与代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性．这样，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程．教学方法与教学建议：向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．教学中应加强几何直观，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用．要强调向量概念的几何背景，理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义．在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算．教学中应强调数学建模．所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表示出来的一种数学结构．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察，分析和比较，得出抽象的数学模型，从而使数学的学术形态转化为学生易于接收的教育形态．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导现实地解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．在向量概念教学中，应根据学生的生活经验，创设丰富的情境．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程．同时，注重向量模型的运用，引导现实解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还有集合的运算)．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．例如：在定义了运算以后，和数进行类比(对比)，研究向量的运算(加、减、数乘等等)和它们满足的运算律，探讨运算的应用，就都是很自然的了．向量的平行条件可以与直线平行条件的类比，这样可以加深学生对知识的理解．。

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.A(起点) B（终点） a4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点．．．．．．．．无关）．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + aC a a bbaO A B a a a b b b探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；（3）当与同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量、，求作向量+作法：在平面内取一点，作a OA =b AB =，则b a OB +=.４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a+b=b+a ５．向量加法的结合律：(a+b)+c=a+ (b+c)证：如图：使aCD=BC=，cAB=，b则(a+b) +c=ADAC=+，a+ (b+c)CD=AD+AB=BD∴(a+b) +c=a+ (b+c)从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0（3）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4．探究：O a b B ab a -b１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ，如何作出a - b§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使bρ=λa ρ.a - A AB B B O a -a a b b O A O B a -a -B A O -b平面向量基本定理：如果e，2e是同一平面1内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量aρ，有且只有一对实数λ1，λ2使aρ=λ1e+1λ2e.2探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被aρ，e，1e唯一确定的数量2§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e，2e是同一平面内1的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量aρ，有且只有一对实数λ1，λ2使aρ=λ1e+λ122e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被aρ，e，1e唯一确定的数量2二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a+=…………○1xiyj我们把),(y x叫做向量a的（直角）坐标，记作a=…………○2)x(y,其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=jy y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x--= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=二、讲解新课：aρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2)⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠ ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1，x 2有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠)01221=-=⇔y x y x λ§2.4平面向量的数量积一、平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1．向量共线定理向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使bρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x xAB --= 5．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1)( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b aλλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（3）当θ＝2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒C2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc⇒ a=c.但是a⋅b = b⋅c a = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c= |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中，有(a⋅b)c= a(b⋅c)，但是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ= 0︒时投影为|b|；当θ= 180︒时投影为-|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|. 特别的a⋅a = |a|2或a a|a⋅=|4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a||b |二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b= |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.C投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa)⋅b=λ|a||b|cosθ，λ(a⋅b) =λ|a||b|cosθ，a⋅(λb) =λ|a||b|cosθ，若λ< 0，(λa)⋅b=|λa||b|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ，λ(a⋅b) =λ|a||b|cosθ，a⋅(λb) =|a||λb|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ.3．分配律：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2，∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ；2︒a⊥b⇔a⋅b = 0 3︒当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|. 特别的a⋅a =|a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y xx += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。

人教A版高中数学必修4《二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14

向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。

平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。

一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。

所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。

由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。

2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。

但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4(2021年整理)

（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2．3。

1 平面向量基本定理预习课本P93～94,思考并完成以下问题（1）平面向量基本定理的内容是什么？（2)如何定义平面向量基底?(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？错误!1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[12向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向［点睛］当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时,夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°。

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