流体最小熵产生原理与最小能耗率原理_

2003年6月

水 利 学 报

SHUILI XUEBAO

第6期

收稿日期:2002 09 22

基金项目:国家自然科学基金资助项目(59979020)

作者简介:徐国宾(1956-),男,河北石家庄人,高级工程师,博士,主要从事水力学及河流动力学研究工作。

文章编号:0559 9350(2003)06 0043 05

流体最小熵产生原理与最小能耗率原理( )

徐国宾

1,2

,练继建

1

(1 天津大学建筑工程学院,天津 300072;2 水利部天津水利水电勘测设计研究院,天津 300222)

摘要:本文是 流体最小熵产生原理与最小能耗率原理 的第 篇。在这篇中,一是阐明了最小熵产生原理等价于最小能耗率原理;二是基于最小熵产生原理,利用流体力学的3个基本方程,即连续方程、运动方程和能量方程以及热力学的吉布斯公式,推导出了流体最小能耗率原理数学表达式。该式适用于:(1)具有稳定边界的任何开放的流体系统,如河流;(2)恒定非均匀流或均匀流;(3)层流或紊流。关键词:流体;河流;开放系统;最小能耗率原理;最小熵产生原理;非平衡态热力学中图分类号:TV131

文献标识码:A

作者在 流体最小熵产生原理与最小能耗率原理( ) 一文中介绍了非平衡态热力学中的最小熵产生原理。本文基于该原理推导出了流体最小能耗率原理数学表达式。

1 最小熵产生原理与最小能耗率原理等价

以普利高津为首的布鲁塞尔学派在推导最小熵产生原理时,使用了系统的局域熵产生 [1]

,但是

利用能量耗散函数 也能得出同样结论。局域熵产生 和能量耗散函数 有下列关系[2,3]

:

=T

(1)

式中:T 为绝对温度; 称为能量耗散函数,具有单位时间单位体积能量的量纲,表示系统在单位时

间内单位体积耗散掉的能量,它是由不可逆过程引起的。

类似于局域熵产生可以写成广义力和广义流乘积的总和,能量耗散函数也可写成[3]

:

=

m

j =1

J

j

X j (2)

式(2)中广义力和广义流的选取原则与文献[4]式(26)中的广义力和广义流选取原则相同,只不过是广义力和广义流的乘积必须具有能量耗散函数 的量纲。

根据式(1),可得到能耗率 与熵产生P 之间的关系:

=

V

d V =T V

d V =

TP (3)

那么,现在就可以用能耗率 替代熵产生P 来表示最小熵产生原理,可得:

d

d t

0(4)所以,线性区的最小熵产生原理亦可称为最小能耗率原理,二者是等价关系。即在非平衡线性区,一个开放系统内的不可逆过程总是向熵产生或能耗率减小的方向进行,当熵产生或能耗率减小至最小值时,系统的状态不再随时间变化。此时,系统处于与外界约束条件相适应的非平衡定态。

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2 流体最小能耗率原理

描述流体运动的动力方程组为运动方程和连续方程。对于粘性流体,纳维埃 斯托克斯方程的矢量表达式为:

F+1

P=

d v

d t(5)

或

F+1 P= v

t+(v )v(6)

式(6)用张量记为:

F i+1

p ij

x j=

v i

t+v j

v i

x j(7)

式中:F为作用在单位质量流体上质量力(F i表示质量力张量分量);P为二阶应力张量(p ij为应力

张量分量);v为速度矢量(v i为速度矢量分量);d v

d t

为惯性加速度;

d v

d t

为时变加速度(

v i

t表示时变

加速度张量分量);(v )v为位变加速度(v j v i

x j表示位变加速度张量分量)。定义应力张量如下:

P=- p+ (8)或

p ij=- ij p+ ij(9)式中: 为二阶单位张量( ij为单位张量分量); 为切向应力张量( ij为切向应力张量分量);p为沿内法线方向的平均动水压应力。流体连续方程的矢量表达式为:

d

d t

+ v=0(10)对于不可压缩流体, =常数,故连续方程可写为:

v=0(11)

或用张量记为: v i

x i=0(12)

自然界中的任何流体运动,无论其处于何种状态,动力平衡状态还是非平衡状态,其流速分布都必然同时满足运动方程和连续方程。但是在满足运动方程和连续方程的所有流速分布中,只有使熵产生P或能耗率 取得最小值的那个流速分布才是运动方程和连续方程在定态(即动力平衡状态)的解。根据最小熵产生原理知,熵产生P或能耗率 是与流体运动方程和连续方程定态解有关的一个李雅普诺夫函数,下面就寻求这个与流体运动方程和连续方程定态解有关的熵产生P或能耗率 。

普利高津在推导最小熵产生原理时曾应用局域平衡假设,推导出了无外力作用下的系统局域熵平衡方程式[4]。现在考虑有外力作用的粘性流体局域熵平衡方程。将单位体积吉布斯公式(见文献[4]式(16))两侧对时间求导,得:

d S V d t =

T

d e

d t

+

p

T

d V m

d t

-

T

d

d t

(13)

又

d V m d t =

d

d t

1

=-

1

2

d

d t

=

1

v(14)

上式推导过程中,利用了连续方程式(10)。流体能量方程的矢量表达式为:

d

d t(e+v2

2+gh)= (P v)+ q + q R(15)

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