4-2 交通规划平衡分配方法

Beckmann模型的约束条件：
❖ ① 平衡分配过程中应满足交通流守恒条件，即 OD间各条径路上的交通量之和应等于OD交通总 量。用公式可以表示为：
f
rs k

qrs
kWrs
❖ ② 径路交通量fkrs和路段交通量xa之间的关系为： 各路段上的流量xa由各条途径该路段的径路的流 量fkrs累加而成，公式表示：
第四节 平衡分配方法
❖ 交通分配模型通常分为：
平衡模型：Equilibrium models
❖ 用户平衡分配模型(User Equilibrium) ❖ 系统最优分配模型(System Optimization)
非平衡模型：non-equilibrium models
❖ 最短路（全有全无）交通分配法 － shortest path method (also called all-or-nothing method)
❖ 1952年Wardrop提出平衡准则之后，在很 长一段时间内没有一种严格的模型求出满足 这种平衡准则的交通分配方法，这是交通分 配研究者重要课题。
❖ 1956年Beckmann等学者提出了一种能够 满足Wardrop准则的数学规划模型,奠定了 研究交通分配问题的理论基础。后来的许多 分配模型都是在这个基础上扩充得到的。

xa
0
[ta
(ω)dω

ωdta
(ω)]

xa
0
d[ta
(ω)ω]
xa t a
(ω)
❖ 如果用ta(xa)作为阻抗函数，用户最优分配模型可以转换为 系统最优分配模型，在阻抗函数ta(xa)下的用户最优分配得 到的解就是系统最优分配的解。也就是说，可以按照用户最
优模型的算法来求解系统最优模型。

xan

( yan
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xan
)
❖ 步骤6：收敛性检验。如果满足 ：

(
x n1 a

xan
)2
a
ε
xan
a
❖ 其中ε是预先给定的误差限值。如果条件满足，则
{xan+1}就是要求的平衡解，计算结束；否则，令 n=n+1，返回步骤2 。
Wardrop第二原理
❖ 在交通网络平衡条件下，拥挤的路网上交通 流应按照平均或总的出行成本最小为依据来 分配。
【例】：求解下图网络中用户平衡分配结果
解：q=x1+x2=5 x2=5-x1 由：t1(x1)=t2(x2) 即：2+x1=1+2x2 路径流量：x1=3, x2=5-x1=2 路段阻抗：t1=5, t2=5
(二)Beckmann模型的解法：
❖ Beckmann在1956年提出的交通分配数学规划模 型沉睡了20年之后才由LeBlanc等学者将FrankWolfe算法用于求解Beckmann模型，最终形成 了目前广泛应用的一种解法，通常称为F-W解法。
再进行一次0-1交通流分配，得到一组附加流量 {yan}。 ❖ 步骤4：确定迭代步长：用二分法求满足下式的λ。
( yan xan )ta[xan ( yan xan )] 0
a
Beckmann模型的解法（Frank-Wolfe算法）：
❖ 步骤5：确定新的迭代起点：
x n 1 a
一、用户平衡分配模型及其求解算法
（一）用户平衡分配模型（Users Equilibrium UE）
❖ 道路交通网络平衡准则： ➢ 如果所有驾驶员（道路使用者）都准确的 知道各条道路所需的行驶时间并选择行驶 时间最短的道路，最终两点之间被利用的 各条道路的行驶时间会相等。没有被利用 的道路的行驶时间更长。这种状态就成为 道路的平衡状态。 ➢ 网络拥挤的存在是平衡形成的条件。
练习1：
❖ 设图示交通网络只有两条路径，其OD交通量 t=250辆，各径路的交通费用函数分别为c1 =5+0.20q1, c2 =10+0.05q2 , 试计算其用户最优 解和系统最优解分别是多少？并求网络总费用。
练习2
❖ 设图示交通网络的OD交通量t=250辆，各径路的交 通费用函数分别为： c1=5+0.10q1,c2=12+0.02q2,c3=15+0.02q3。
a
❖ S.t.
f
rs k

qrs
k
f
rs k

0
❖ 其中: xa
f rs rs k a,k
r sk
（二）系统最优分配与用户最优分配的关系
❖ 对阻抗函数进行变换 ，令：
~ta
ta (xa )
xa
dta (xa ) dxa
xa
0
~ta
(ω)dω

[ta
(ω)

ω
dta (ω) ]dω dω
--δ-ar-,sk路段～径路相关变量，当路段a属于OD间的
第k条径路，则： ，δ否ar,sk则：1
δ rs a,k
0
当交通网络达到平衡时:
❖ ② 如果：fkrs =0时，则必有：
ta
(
xa
)
rs a,k

rs
a
如果第k条径路上没有流量（没有被使用）时，则k径路 的阻抗一定最大。
❖ 其中：xa—路段a上的交通流量； ta—路段a的交通阻抗或行驶时间； ta(xa)—路段a以流量为自变量的阻抗函数(行驶时间函数)； fkrs—出发地为r目的地为s的OD间的第k条径路上的流量； cars—OD间的第k条径路阻抗； urs—OD间的最短径路阻抗； δrsa,k—路段～径路相关变量，当路段a属于OD间的第k条径路， 则δrsa,k=1，否则δrsa,k=0
❖ 第一平衡原理是建立使每个道路使用者的出 行成本最小化的行为模型。交通分配的结果 是用户实际选择经路的结果。
❖ 第二平衡原理是以交通网络系统总出行成本 最小为目标考虑来建立交通分配模型，反映 的是一种目标，即按什么样的方式分配是最 好的。
二、系统最优分配模型及求解计算：
（一）系统最优分配模型
❖ min: Z ( X ) xata (xa )
❖ min: Z (X )
xa 0
ta
(
)d
a
❖ S.t.
f
rs k

qrs
k
f
rs k

0
❖ 其中: xa
f rs rs k a,k
r sk
当交通网络达到平衡时:
如果第k条径路上有了流量，则k径路的阻抗等于各路段的 阻抗相加，而且是最小阻抗。
❖
①如果：fkrs ＞0时，则必有： a
❖ 基本思路：就是根据一组线性规划的最优解来确定 下一步的迭代方向，然后根据目标函数的极值问题 求最优迭代步长。
Beckmann模型的解法（Frank-Wolfe算法）：
❖ 步骤1：初始化：按照ta0=ta(0) ，进行0-1交通分 配交通流分配，得到各路段的流量{xa1}；令n=1。
❖ 步骤2：更新各路段的阻抗：tan=ta(xan)。 ❖ 步骤3：寻找下一步迭代方向：按照更新后的{tan}，
❖ 容量限制法－minimum path with capacity restraints method
❖ 多路径概率交通分配法 (probability of multi-path method) ❖ 容量限制－多路径分配
❖ 本节主要介绍描述Wardrop平衡分配原 理的数学模型及求解算法。
❖ 满足Wardrop平衡分配原理的模型有用 户平衡分配模型和系统最优平衡分配模 型。
xa
f rs rs k a,k
r sk
Beckmann模型的约束条件：
❖ ③ 径路的阻抗等于途径该径路的各个路段的阻抗 的累加，公式表示为：
ckrs
t
a
(
xa
)
rs a,k
a
❖ ④ 径路流量应该满足非负约束，即： fkrs≥0
简单UE问题的求解：
q=x1+x2 t1(x1)=t2(x2)
❖ Beckmann模型是一组非线性规划模型，对非线 性规划模型现在还没有普遍通用的解法，只是对 某些特殊的模型才有可靠的解法，Beckmann模 型就是一种特殊的非线性规划模型。
Beckmann模型的解法：
❖ F-W方法是用线性规划逐步逼近非线性规划的一种 迭代法。在每步迭代中先找到一个最快速下降方向， 然后再找到一个最优步长，在最快速下降方向上截 取最优步长得到下一步迭代的起点，重复迭代直到 最优解为止。
❖ 试用全有全无分配法、增量分配法（2等分）求出分 配结果，并进行比较，判断是否达到均衡状态，并 求网络总费用。
❖ 试计算用户平衡解和系统最优解，并求网络总费用。
ta
(
xa
)
rs a,k
ckrs
rs
❖ 其中：xa----路段a上的交通流量；
ta----路段a的交通阻抗或行驶时间；
ta(xa)----路段a的阻抗函数(以流量为自变量)；
fkrs----起点r到终点s之间第k条径路上的流量；
cars----OD间的第k条径路阻抗；
urs----OD间的最短径路阻抗；
Wardrop第一原理（用户平衡原理）:
❖ 在道路使用者都确切知道网络的交通状态并 试图选择最短路径是，网络将会达到平衡状 态，此时，拥挤网络中交通流将自动调节， 每个OD对之间各条被使用的径路具有相等 而且最小的行驶时间，没有被使用的径路的 行驶时间大于或等于最小行驶时间。
Beckmann交通平衡分配模型：