椭圆几何性质学案

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高中数学专题椭圆的简单的几何性质学案

2.1。

2椭圆的简单几何性质（学案)一、知识梳理1。

椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x : y :对称性:椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：( ）,（），（），（）; 长轴，其长为;短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a 称为离心率，记ce a =，且01e <<．2.直线与椭圆的三种位置关系：；3.联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 消去y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax.由其判别式∆可判断直线与椭圆公共点的个数:（1）当0>∆时,直线与椭圆公共点。

(2）当0=∆时，直线与椭圆公共点。

(3)当0<∆时,直线与椭圆公共点.4.若直线b kx y +=与椭圆相交于两点),(),,(2211y x Q y x P ，联立直线与椭圆方程组⎩⎨⎧=+=,0),(,y x f b kx y 得到关于x 的一元二次方程:02=++C Bx Ax ，则有:(1)ABx x A B x x=-=+2121,。

（2）弦长2122122122212214)(1||1)()(||x x x x k x x k y y x x PQ -+•+=-+=-+-=。

二、典例解析例1: 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

源:］例2: 已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1,求P 点的坐标。

例3：设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为F 1、F 2 ,若在椭圆上存在一点P ，使21PF PF⊥，求椭圆的离心率e 的取值范围.例4：已知椭圆1422=+y x及直线2+=kx y 。

当k 为何值时，直线与椭圆有2个公共点？1个公共点？没有公共点?三、当堂检测1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆离心率23=e ，则椭圆的方程是（ )A 。

3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质导学案正文

3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质【学习目标】1.能直观猜想椭圆形状与大小的特征,并用其标准方程分析推导出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.能说明椭圆特征量的几何意义.3.能根据焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程给出相应几何性质的代数表达.◆ 知识点椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0) y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0) 图形性质焦点焦距 |F 1F 2|=2c (c=√a 2-b 2)范围对称性关于对称长轴 |A 1A 2|=2a ,其中a 为长半轴长短轴 |B 1B 2|=2b ,其中b 为短半轴长顶点离心率(0<e<1)2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 (1)离心率椭圆的焦距与长轴长的比ca 叫作椭圆的离心率,用e 表示,即 ,e ∈(0,1). (2)离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示,在Rt △BF 2O 中,cos ∠BF 2O=c a,记e=c a,则0<e<1,e 越大,∠BF 2O 越小,椭圆越 ;e 越小,∠BF 2O 越大,椭圆越 .【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)设F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,M 为椭圆上任一点,则|MF|的最大值为a+c (c 为椭圆的半焦距).( )(2)椭圆的离心率e 越大,椭圆就越圆. ( )(3)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为x 225+y 216=1.( )◆ 探究点一椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆C 1:x 2100+y 264=1,椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C 2的方程,并写出x ,y 的取值范围及椭圆C 2的对称性、顶点、焦点和离心率.变式 (1)若点(3,2)在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上,则下列说法正确的是( )A .点(-3,-2)不在椭圆C 上B .点(3,-2)不在椭圆C 上 C .点(-3,2)在椭圆C 上D .无法判断上述点与椭圆C 的位置关系 (2)点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的外部,则a 的取值范围是 ( )A .(-√2,√2)B .(-∞,-√2)∪(√2,+∞)C .(-2,2)D .(-∞,-2)∪(2,+∞)[素养小结]由椭圆的标准方程研究椭圆的性质时要注意两点:(1)已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时,若不是标准形式的方程,则先化成标准形式的方程,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.(2)焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.◆探究点二由几何性质求椭圆的标准方程例2 (1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0)的椭圆的标准方程为.(2)在平面直角坐标系中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为√22.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为.变式 (1)与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为.(2)已知F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=6,则C 的方程为.[素养小结]利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置;(2)设出相应椭圆的标准方程;(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数;(4)写出椭圆的标准方程.◆探究点三求椭圆的离心率例3 (1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且△AF1F2为等边三角形,则椭圆C的离心率为( )A.12B.√22C.√32D.23(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别是C的左、右焦点,P为C上一点,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=π6,则C的离心率为( )A.√33B.23C.√63D.2-√3变式 (1)[2024·黄山高二期中] 已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点,且2|AB|=|BC|,则该椭圆的离心率为( ) A.-1+√2B.2-√2C.-1+√3D.2-√3(2)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,若在x轴上方的C上存在两个不同的点M,N满足∠F1MF2=∠F1NF2=2π3,则椭圆C离心率的取值范围是. [素养小结]求椭圆离心率的值(或范围)的步骤:(1)利用条件建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式);(2)借助a2=b2+c2消去b,转化为关于a,c的齐次方程或不等式;(3)将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式;(4)解方程或不等式即可求得e的值或取值范围.拓展已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),M,N分别为椭圆C的左、右顶点,若在椭圆C上存在一点H,使得k MH·k NH∈(-12,0),则椭圆C的离心率e的取值范围为( )A.(√22,1)B.(0,√22)C.(√32,1)D.(0,√32)。

《3.1.2椭圆的几何性质》学历案-中职数学高教版21拓展模块一上册

《椭圆的几何性质》学历案（第一课时）一、学习主题本课时学习主题为“椭圆的几何性质”。

该主题属于中职数学课程中解析几何的重要部分，是理解圆锥曲线及其相关性质的基础。

通过对椭圆的标准方程、焦点性质和几何图形等方面的学习，使学生掌握椭圆的基本概念和几何性质。

二、学习目标1. 知识与理解：掌握椭圆的标准方程，理解椭圆焦点性质及其在几何图形中的应用。

2. 技能与操作：学会利用椭圆的标准方程和焦点性质，分析并解决与椭圆相关的问题。

3. 情感与态度：培养学生对几何图形的兴趣和好奇心，提高学生的数学逻辑思维能力和问题解决能力。

三、评价任务1. 课堂小测验：随机抽查学生回答关于椭圆标准方程和焦点性质的问题，评价学生对基本知识的掌握情况。

2. 课堂互动：通过小组讨论和课堂发言，评价学生的合作能力和表达能力。

3. 作业批改：通过布置相关的练习题和作业，评价学生对知识的运用能力和问题解决能力。

四、学习过程1. 导入新课：通过回顾之前学习的圆的相关知识，引出椭圆的概念和标准方程，为后续学习打下基础。

2. 知识讲解：详细讲解椭圆的标准方程和焦点性质，通过图示和实例加深学生对概念的理解。

3. 互动讨论：组织学生进行小组讨论，讨论椭圆的几何性质在实际生活中的应用，提高学生的应用意识和合作能力。

4. 练习巩固：布置相关的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高运用能力。

5. 课堂总结：总结本课时学习的重点和难点，强调椭圆的几何性质在解题中的应用。

五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验和练习题，检测学生对椭圆标准方程和焦点性质的理解和运用能力。

2. 作业布置：布置相关的练习题和作业，包括选择题、填空题和解答题等，帮助学生巩固所学知识。

3. 作业评价：通过批改作业，了解学生对知识的掌握情况，及时发现学生的问题并进行指导。

六、学后反思1. 学生反思：学生应反思自己在学习过程中的不足和收获，总结学习方法和经验。

2. 教师反思：教师应对本课时的教学过程进行反思，总结教学经验和教训，提高教学质量。

2.2.2 第1课时椭圆的几何性质学案(解析版)(1)

高二数学学案【题目】2.2.2椭圆的几何性质学案2.2.2 椭圆的几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a ，b ，c 的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一椭圆的几何性质知识点二椭圆的离心率1．椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ca称为椭圆的离心率．2．因为a ＞c ，故椭圆离心率e 的取值范围为(0,1)，当e 越近于1时，椭圆越扁，当e 越近于0时，椭圆越圆．【编辑】李静升【审核】孟德厚【使用时间】 2019/8/221．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √)题型一椭圆的几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m ＞0)，∵0＜m 2＜4m 2， ∴1m 2＞14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ，离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.题型二椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.反思感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b .跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求椭圆的标准方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．解设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ，则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3，令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. (1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7，解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7，解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C. 题型三求椭圆的离心率例4 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．解设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵F 1(－c,0)，∴P (－c ，y p )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2p b 2＝1，∴y 2p ＝b 4a2， ∴|PF 1|＝b 2a ＝|F 1F 2|，即b 2a＝2c ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2a＝2c ，∴e 2＋2e －1＝0，又0＜e ＜1，∴e ＝2－1.反思感悟求解椭圆的离心率，其实质就是构建a ，b ，c 之间的关系式，再结合b 2＝a 2－c 2，从而得到a ，c 之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练4 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33答案 D解析由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.椭圆几何性质的应用典例神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2考点椭圆的简单几何性质题点椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性答案 D解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养评析] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 答案 B解析由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 答案 B解析由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，∴e ＝33.3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 B解析由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________．答案 [4－23，4＋23]解析因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．5．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案(0，±69)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．2．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．3．利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。

2.3 椭圆的简单几何性质-王后雄学案

2.3 椭圆的简单几何性质教材知识检索考点知识清单1．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的点中，横坐标x 的取值范围是 ①，纵坐标y 的取值范围是②2．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 关于 ③ 、 ④ 、 ⑤ 都对称，椭圆的对称中心叫做⑥3．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点坐标为⑦ ，⑧ ， ⑨ ， ⑩4．椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的5．在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，、、)0,()0,(21a A a A -),,0(),0(21b B b B -线段2121B B A A 、分别叫做椭圆的在22F OB Rt ∆中，,||||||2222222OB F B OF -=这就是的几何意义，22F OB ∆，叫做椭圆的特殊三角形，并且22cos B OF ∠是椭圆的6．椭圆的焦点到其上任意点距离的最大值为最小值为；过焦点垂直于长轴的弦称之为椭圆的通径，其长为7．e 的范围是==ac e ,．且e 的值越接近于1，椭圆越要点核心解读一、椭圆的几何性质我们根据椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 来研究椭圆的几何性质．1．椭圆的范围．由标准方程可知，椭圆上点的坐标（x ，y)都适合不等式,1,12222≤≤by a x 即,||,,2222a x b y a x ≤∴≤≤b y ≤.这说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形区域内（如图2 -3 -1所示）．[点拨] 确定了曲线的范围以后，用描点法画曲线的图形时就可以不取曲线范围以外的点了．2．椭圆的对称性．(1)判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据．①若把方程中的x 换成-x ，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ②若把方程中的y 换成-y ，方程不变，则曲线关于x 轴对称；③若把方程中的x 、y 同时换成-x 、-y ，方程不变，则曲线关于原点对称． (2)椭圆关于x 轴、y 轴对称也关于原点对称，对于椭圆标准方程，把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y 方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的xt 称中心叫做椭圆的中心．[点拨] 如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．3．椭圆的顶点．(1)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与坐标轴的交点．令,0=x 得,b y ±=令,0=y 得.a x ±=这说明)0,()0,(21a A a A -是椭圆与x 轴的两个交点，),0(),0(21b B b B 、-是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以，椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．(2)椭圆的长轴、短轴．线段21A A 叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长，线段21B B 叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．[点拨] 明确a 、b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，由,222b ac -=可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点)(21B B 或为圆心，以a 为半径，作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．4．椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比，称为椭圆的离心率，记作=e .10,022<<∴>>⋅=e c a aca c e 越接近于1，则c 就越接近于a ，从而22c ab -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c越接近于0，从而6越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，此时方程即为.222a y x =+可结合图2-3-2加强对上述说法的理解．[点拨] 上述e的数量的变化，反映了椭圆的扁平程度，离心率的大小影响了椭圆的形状．如果两焦点与原点重合，即a=b，则c=0，图形发生质的变化就不再是椭圆，成为圆，此时，圆方程为.222ayx=+ [注意] 关于椭圆的性质，还要注意如下几点：(1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两夺端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点；（2)椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点：(3)设椭圆的中心为O，其中一个焦点为2,BF是短轴的一个端点，则2222cos,||BOFeaFB∠==（如图2 -3 -3所示，==eaFB,||22⋅∠)cos22BOF二、椭圆的第二定义[问题] 直角坐标平面上，到点F（-c，0）与到直线cax2-=的距离之比为)0(>>caac的动点P 轨迹是怎样的曲线？[探究] 设P（x， y），则有,||)222accaxcx=+++γ（化简得⋅-=+-)()(22222222caayaxca令,0222>-=cab则有.12222=+byax∴点P的轨迹是一个椭圆，由于上述化简过程具有等价性，因此反过来，对于椭圆12222=+byax上任意一点P，则有P到)0,(cF-与到直线cax2-=的距离之比为定值ac由此可得到椭圆的第二定义．[结论] 平面内与一个定点F的距离和一条定直线L的距离之比为常数e(O<e<1)的点的轨迹为椭圆，定点F为椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．[注意] (1)由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：①椭圆)0(12222>>=+babyax的准线方程为cax2±=椭圆)0(12222>>=+b a ay b x 的准线方程为c a y 2±=②两准线间的距离为,22c a 焦点到相应的准线的距离为c b 2(2)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，否则，其轨迹不存在．(3)由椭圆的第二定义可得到椭圆的离心率的几何意义为“椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比”．三、椭圆的焦半径公式对于椭圆2122)[01F F b a by a x 、（>>=+分别为椭圆的左、右焦点，),(11y x P 为椭圆上任一点]，则有焦半径公式：⋅-=+=1211||,||ex a PF ex a PF对于椭圆212222)[0(1F F b a ay b x 、>>=+分别为椭圆的上、下焦点，),(11y x P 为椭圆上任一点]，则有焦半径公式：⋅+=-=1211||,||ey a PF ey a PF[注意] (1)由椭圆的第二定义便可推导出椭圆的焦半径公式，如：对于,||11ex a PF +=由定义可知==+||,||1211PF e ca x PF ⋅+1ex a 对于此公式重在掌握它的证明思路，不必死记硬背． (2)焦半径公式的好处在于“化形为数”，即要求焦半径长，只需转化为求P 点的坐标．四、椭圆两个标准方程几何性质的比较典例分类剖析考点1 椭圆的简单几何性质[例1] 已知椭圆)0()3(22>=++m m y m x 的离心率=e ,23求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[答案] 椭圆方程可化为),0(1322>=++m m m y m x 因为,03)2(3>++=+-m m m m m m 所以3+>m mm 则焦点在x 轴上，即⋅++=-=+==3)2(,3,2222m m m b a c m m b m a 由23=e 得，,2332=++m m 所以.1=m 所以椭圆的标准方程为.14122=+y x 所以===c b a ,21,1,23所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为);0,23(),0,23(21F F -四个顶点坐标分别为),0,1(1⋅-A ⋅-)21,0(),21,0(),0,1(212B B A [点拨] (1)解决本题的关键是确定m 的值，应先将椭圆方程化为标准形式，用m 表示a 、b 、c ，再由2(2)解决有关椭圆的问题一般需先弄清椭圆的焦点位置．母题迁移 1．求椭圆13610022=+y x 的长轴和短轴的长、离心率和顶点坐标． [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．[解析] 根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” ．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程为12222=+b y a x 或.12222=+bx a y[答案] (1)设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或+22a y .122=bx由已知a =2b ． ① 且椭圆过点（2，-6），从而有1)6(22222=-+b a 或.12)6(2222=+-ba ② 由①、②得37,14822==b a 或.13,5222==b a故所求的方程为13714822=+y x 或.1135222=+x y (2)如图2-3 -4所示，21FA A ∆为一等腰直角三角形，OF 为斜边21A A 的中线（高），且.2,21b A A c OF ==,18,3222=+=∴==∴c b a b c故所求椭圆的方程为.191822=+y x[ 规律] 依据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程仍然可用待定系数法求解，不同之处在于：应由所给的几何性质充分挖掘a 、b 、c 所满足的关系式，进而求出a 、b ．还要注意的是：在求解时，应先确定标准方程的类型．母题迁移 2．（2011年江西高考题）若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)21,1(作圆122=+y x的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是[例3] 如图2-3 -5所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP//AB ，求椭圆的离心率．[答案] 解法一：设椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 则abk AB -=∴,//AB OP 直线OP 的方程为.x aby -= 又PF ⊥x 轴∴P 点的坐标为⋅-),(abc c 而点P 在椭圆上，⋅=∴=∴=+∴22,12,12222222e e ba cb a c解法二：设椭圆方程为⋅->>=-+),(),0(122222a b c P b a by a x 则又.~,//ABO Rt OPF Rt AB OP ∆∆∴,||||||||AO OF BO PF =∴即,2acb a b =即,ac a b =⋅==∴=∴=∴22,2,ac e c a c b [点拨] 求椭圆的离心率关键是找到a 、b 、c 之间所满足的关系式，这就需要利用图形的直观性，充分挖掘它的隐含条件，寻求a 、b 、c 之间所满足的等式．母题迁移 3．（1)（2011年全国高考题）椭圆=+81622y x 1的离心率为( )31.A 21.B 33.C 22.D(2)（2010年全国高考题）已知，是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且=BF ,2FD 则C 的离心率为考点2椭圆的第二定义命题规律1．利用第二定义求椭圆方程（含非标准形式）．2.将到定点（焦点）的距离转化为到定直线(准线）的距离．3.判断曲线的形状（类型）．4．椭圆的两个定义的综合运用． 5．给出椭圆准线求椭圆标准方程． 6．利用椭圆的焦半径公式解题。

椭圆的简单几何性质(教案)

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。

2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。

3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。

2. 椭圆几何参数的计算方法。

教学难点：1. 椭圆性质的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。

二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。

b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。

c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。

3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。

三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。

2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。

四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。

2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。

五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。

通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。

六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。

椭圆的简单几何性质(教案)

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。

2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。

2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。

3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。

三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。

2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。

四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。

2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。

3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。

五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。

2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。

3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。

教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。

六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。

2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。

七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。

椭圆的简单几何性质(第二课时)学案24-25学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

学案高中课程标准·数学选择性必修第一册3.1.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）一、课前回顾1.掌握椭圆的简单几何性质.2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响.3.设1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，M 为椭圆C 上一点，112MF =，216MF =，213sin 5MF F ∠=，则椭圆C 的离心率e =_________.二、学习目标1.会判断直线与椭圆的位置关系.2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 三、自学指导阅读课本113-114页，解决以下问题与例题问题1：点与椭圆的位置关系点P (x 0,y 0)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的位置关系: （1）点P 在椭圆上⇔（2）点P 在椭圆内部⇔（3）点P 在椭圆外部⇔做一做：若点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是 .问题2：直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的位置关系判断方法:联立{y =kx +m ,x 2a 2+y 2b 2=1,消去y 得一个关于x 的一元二次方程. 位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ) 相交相切相离做一做:直线y=x+1与椭圆x2+y 22=1的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定例1：动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线25:4l x =的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹．变式1：点(),M x y 与定点()2,0F 的距离和它到定直线 8x =的距离的比是1:2，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．例2：如图3.1-13，已知直线:450l x y m -+=和椭圆22:1259x y C +=．m 为何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？图3.1-13变式2：已知直线m x y +=与椭圆191622=+y x 当直线和椭圆相离、相切、相交时,分别求m 的取值范围.例3：已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1）当直线和椭圆有公共点时,求实数m 的取值范围; （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.变式3： (1)已知椭圆205422=+y x 的左焦点为F ,过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于B A ,两点,求弦长AB .(2)椭圆有两个顶点)0,1(),0,1(B A -，过其焦点)1,0(F 的直线l 与椭圆交于D C ,两点,若223=CD ，求直线l 的方程.例4：过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(P 作一条直线交椭圆于B A ,两点，使线段AB 被点P 平分，求此直线的方程.变式4：（1）已知点)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点,则直线l 的方程为（2）已知点)2,4(P 是直线082:=-+y x l 被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为 .四、当堂检测1.求下列直线与椭圆的交点坐标：（1）310250x y +-=，221254x y +=；（2）320x y -+=，221164x y +=．2.经过椭圆2212x y +=的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长.五、课后作业1.若直线x+2y=m 与椭圆x 24+y 2=1只有一个交点,则m 的值为( ) A.2√2B.±√2C.±2√2D.±22.直线y=x+1被椭圆x 24+y 22=1所截得的弦的中点坐标是( )A.(23,53)B.(43,73) C.(-23,13)D.(-132,172)3.若直线y=x+2与椭圆x2m +y23=1有两个公共点,则m的取值范围是.4.椭圆x23+y2=1被直线x-y+1=0所截得的弦长|AB|=.5.已知焦点坐标分别为(0,5√2)和(0,-5√2)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为12,求此椭圆的方程.6.已知椭圆221259x y+=，直线:45400l x y-+=．椭圆上是否存在一点，使得：（1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？（2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？7.已知椭圆22149x y+=，一组平行直线的斜率是32．（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．。

椭圆的简单几何性质教学教案

椭圆的简单几何性质教学教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，理解椭圆的基本几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等概念；2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现并证明椭圆的几何性质；3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。

2. 椭圆的基本几何性质：a. 焦点：椭圆的焦点距离为2c，其中c为半焦距，c^2=a^2-b^2；b. 半长轴：椭圆的半长轴为a，表示椭圆的长轴的一半；c. 半短轴：椭圆的半短轴为b，表示椭圆的短轴的一半；d. 椭圆的面积：S=πab。

三、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其基本几何性质；2. 教学难点：椭圆的焦点、半长轴、半短轴等概念的理解与应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法发现椭圆的几何性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解椭圆的定义及其几何性质；3. 运用实例讲解法，让学生掌握椭圆在实际问题中的应用。

五、教学过程1. 导入新课：通过介绍椭圆的起源和发展，激发学生的学习兴趣；2. 讲解椭圆的定义：结合图形，解释椭圆的定义，让学生理解椭圆的概念；3. 探索椭圆的基本几何性质：引导学生观察椭圆的图形，发现焦点、半长轴、半短轴等性质；4. 证明椭圆的几何性质：引导学生运用数学方法证明椭圆的基本几何性质；5. 应用实例：让学生运用椭圆的性质解决实际问题，巩固所学知识。

本教案为椭圆的简单几何性质教学教案的第一部分，后续章节将陆续呈现。

希望能对您的教学有所帮助！六、教学练习1. 基本概念练习：a. 定义椭圆的焦点；b. 解释椭圆的半长轴和半短轴；c. 计算椭圆的面积。

2. 应用题练习：a. 已知椭圆的半长轴为5cm，半短轴为3cm，求椭圆的焦点距离；b. 已知椭圆的面积为36πcm²，半长轴为6cm，求椭圆的半短轴；c. 一个椭圆的焦点在x轴上，半长轴为4cm，半短轴为3cm，求椭圆的标准方程。

学案6：2.2.2 椭圆的简单几何性质

2.2.2 椭圆的简单几何性质【课标点击】1.掌握椭圆的中心、顶点、长短轴、离心率的概念2.理解椭圆的范围和对称性【预习导学】►基础梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0，所以0<e<1．(2)e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁．(3)当e＝0时，即c＝0，a＝b时，两焦点重合，椭圆方程变成x2＋y2＝a2，成为一个圆．(4)当e＝1时，即a＝c，b＝0时，椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度，与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为( )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(0，－6)，(0，6)D ．(－6，0)(6，0)2．离心率为32，焦点在x 轴上，且过点(2，0)的椭圆标准方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝13．椭圆x 216＋y 28＝12►随堂巩固1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是( )A ．5，3，45B ．10，6，45C ．5，3，35D ．10，6，352．已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为12，且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 3．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．5．如图所示F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．►课时训练1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.123．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则该椭圆的离心率等于( )A.13B.12C.23D.537．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4，其中一个焦点的坐标为(3，0)，则椭圆的离心率为________．8．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．10．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e ＝23，短轴长为85，求椭圆的方程．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1，2)为中点的弦所在直线的方程．12．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．►体验高考1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x212＋y28＝1 D.x 212＋y 24＝1 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .答案►自测自评 1．【答案】D 2．【答案】A3．【答案】解：∵x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.►随堂巩固 1．【答案】B 2．【答案】A【解析】圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2，又因为e ＝c a ＝12，c ＝1，所以a2＝4，b 2＝3，故选A.3．【解析】由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.【答案】224．【答案】解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.5．【答案】解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.►课时训练1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A【解析】将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.则c 2＝(a 2－b 2)k ，∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a2.6．【答案】D7.【答案】328．【答案】x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．【解析】若点P 在第二象限，则由题意可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以2cb 2a＝tan 60°＝3，化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，e ∈(0，1)，解得e ＝33，故填33. 【答案】3310．【答案】解：∵2b ＝85，∴b ＝4 5. 又c a ＝23，由a 2－c 2＝b 2，得a 2＝144，b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．【答案】解：(1)由椭圆经过点N (2，－3)，得22a 2＋（－3）2b2＝1 又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点，则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）16＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）12＝0.整理得k AB ＝－12·（x 1＋x 2）16·（y 1＋y 2）＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝012．【答案】解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F 的坐标为(a 2－1，0)，由题意得|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y p )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，其中P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0，即m 2＜3k 2＋1 ①，x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1，∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1 ②，把②式代入①式得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2，由②式得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，综上所述，求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验高考 1．【答案】A A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【解析】∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵e ＝c a ＝33，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．【解析】由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 由于AB //y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22a ，由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0，则⎝⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0，即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)，又e ＝c a，且e ∈(0，1)， ∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．【答案】333．【答案】解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形，∴c ＝22a ，e ＝22.4．【解析】解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a由k MN ＝34，得b 22ac ＝34，则2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2//y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，即b ＝27.∴a ＝7，b ＝27.。

椭圆的简单几何性质教案

椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及基本性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念；3. 学会运用椭圆的性质解决实际问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及基本性质；2. 椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。

教学难点：1. 椭圆性质的应用。

教学准备：1. 教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具；2. 学生准备笔记本、文具等学习用品。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，复习相关概念；2. 提问：圆的性质在椭圆上是否适用？引出椭圆的定义及性质。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹；2. 介绍椭圆的基本性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 举例说明椭圆性质的应用，如：椭圆的离心率、焦距与半长轴、半短轴的关系等。

三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生运用椭圆性质解决问题；2. 引导学生互相讨论，共同解答；3. 教师巡回指导，解答学生疑问。

四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结椭圆的定义及基本性质；2. 强调椭圆性质在实际问题中的应用。

五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，巩固所学知识；2. 提醒学生做好作业，为下一节课做好准备。

教学反思：本节课通过讲解椭圆的定义及基本性质，让学生掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等概念，并学会运用椭圆性质解决实际问题。

在教学过程中，注意引导学生回顾旧知识，为新知识的学习打下基础；通过课堂练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、案例分析：椭圆在现实世界中的应用（15分钟）1. 教师通过展示实际案例，如行星运动、卫星轨道等，让学生了解椭圆在现实世界中的应用；2. 引导学生分析案例中椭圆的性质，如离心率、长轴、短轴等；3. 让学生探讨椭圆在这些案例中的作用和意义。

七、拓展知识：椭圆的衍生形状（15分钟）1. 介绍椭圆的衍生形状，如双曲线、抛物线等；2. 分析这些形状与椭圆的关系，让学生了解它们之间的联系和区别；3. 举例说明这些形状在实际问题中的应用。

2019-2020学年苏教版选修2-1 椭圆的简单几何性质学案

椭圆的简单几何性质图中椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x 轴，y 轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y ＝0得x ＝±a ，故A 1(－a,0)，A 2(a,0)，同理可得B 1(0，－b )，B 2(0，b )．问题3：椭圆方程中x ，y 的取值范围是什么？提示：x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]．问题4：当a 的值不变，b 逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b 越小，椭圆越扁．(1)椭圆的简单几何性质：(2)当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．1．椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围．利用椭圆的范围可解决有关求范围或最值问题．设P (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，由图形易知当x ＝0时，|OP |取得最小值b ，此时P 位于椭圆短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |取得最大值a ，这时P 位于长轴端点处．2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a 2＝b 2＋c 2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a －c (又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a ＋c (常称为远地距离)．第一课时椭圆的简单几何性质[例1] [思路点拨] 化为标准方程，确定焦点的位置及a ，b ，c 的值，再研究相应几何性质． [精解详析] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.[一点通] 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．1．若椭圆x2a 2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A.32B.12C.22D.52解析：由椭圆方程知长轴长为2a ，短轴长为2， ∴2a ＝2×2＝4，∴a ＝2，∴c ＝ 22－12＝3，∴e ＝c a ＝32.答案：A2．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1.∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12).[例(1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路点拨] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a ，b ，c .[精解详析] (1)设椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝10，a ＝5.e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.[一点通] 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1 B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1解析：由题意2a ＝12，∴a ＝6.又e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝62－22＝32，∴椭圆方程是x 236＋y 232＝1.答案：D4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．解：(1)将方程4x 2＋9y 2＝36化为x 29＋y 24＝1，可得椭圆焦距为2c ＝2 5.又因为离心率e＝55，即55＝5a ，所以a ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20. 若椭圆焦点在x 轴上，则其标准方程为x 225＋y 220＝1；若椭圆焦点在y 轴上，则其标准方程为y 225＋x 220＝1.(2)依题意2a ＝2·2b ，即a ＝2b .若椭圆焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋16b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝68，b 2＝17，所以标准方程为x 268＋y 217＝1.若椭圆焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，16a 2＋4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝32，b 2＝8.所以标准方程为x 28＋y 232＝1.[例3] 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．[思路点拨] 通过已知条件MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°，得到Rt △MF 1F 2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a ，b ，c 之间的关系，进而求出椭圆的离心率．[精解详析] 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3，|MF 2|＝2a3，∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33，即椭圆的离心率是33. [一点通] 求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法： (1)直接求出a 和c 的值，套用公式e ＝ca求得离心率；(2)根据题目条件提供的几何关系，建立参数a ，b ，c 之间的关系式，结合椭圆定义以及a 2＝b 2＋c 2等，消去b ，得到a 和c 之间的关系，从而求得离心率的值或范围．5．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若A P ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：∵A P ＝2PB ，∴|A P |＝2|PB |. 又∵PO ∥BF ，∴|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即aa ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.答案：D6．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P .若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析：由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.答案：2－11．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案：D2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 解析：由已知得a ＝9,2c ＝13·2a ，∴c ＝13a ＝3.又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.答案：A3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 答案：C4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C. 5D.15或5153解析：由椭圆的标准方程，易知m >0且m ≠5. ①若0<m <5，则a 2＝5，b 2＝m . 由m 5＝1－(105)2＝35，得m ＝3. ②若m >5，则a 2＝m ，b 2＝5. 由5m ＝1－(105)2＝35，得m ＝253. 所以m 的值为3或253.答案：B5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________．解析：如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|，即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3， ∴b 2＝(23)2－(3)2＝9.∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝16．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中，令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2557.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c ，则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53. 法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.8.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若2AF ＝2 2F B ，1AF ·AB ＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题意知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由2AF ＝22F B ⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b 2，即B (3c 2，－b2)．将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由1AF ·AB ＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.。

椭圆的简单几何性质教学教案

椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际物体（如地球、月球绕太阳的运动）来让学生理解椭圆的形状。

解释椭圆是由一个固定点（焦点）和到该点距离之和等于常数的点的集合所形成的图形。

1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

解释方程中a和b的含义，以及它们与椭圆的性质之间的关系。

第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴定义椭圆的长轴，即通过椭圆中心并且平行于x轴的轴。

解释长轴的长度是2a，与椭圆的半长轴a的关系。

2.2 椭圆的短轴定义椭圆的短轴，即通过椭圆中心并且垂直于x轴的轴。

解释短轴的长度是2b，与椭圆的半短轴b的关系。

2.3 椭圆的焦距定义椭圆的焦距，即焦点之间的距离。

解释焦距与椭圆的长轴和短轴的关系，即焦距等于2c，其中c是焦点到椭圆中心的距离。

第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式推导椭圆的面积公式，即A = πab，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

解释面积公式中π的作用和意义。

3.2 椭圆的面积性质解释椭圆的面积与长轴和短轴的关系，即面积与长轴和短轴的乘积成正比。

举例说明椭圆面积的计算方法，并进行实际计算练习。

第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义定义椭圆的离心率e，即焦距与长轴之间的比值，e = c/a。

解释离心率的作用和意义，以及它与椭圆的形状之间的关系。

4.2 椭圆的离心率性质解释离心率与椭圆的长轴和短轴的关系，即离心率越小，椭圆越接近于圆形。

举例说明椭圆离心率的计算方法，并进行实际计算练习。

第五章：椭圆的焦点和直线的交点5.1 椭圆的焦点定义椭圆的焦点，即椭圆上到焦点距离之和等于常数的点。

解释焦点的性质，以及它们与椭圆的中心和长轴之间的关系。

5.2 椭圆与直线的交点解释椭圆与直线的位置关系，以及交点的性质。

举例说明椭圆与直线交点的计算方法，并进行实际计算练习。

椭圆的简单几何性质教案

一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。

2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。

3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。

教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。

2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。

（2）椭圆的短轴长度为2b。

（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。

（4）椭圆的面积S=πab。

3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。

引导学生运用椭圆的性质解决问题。

4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。

三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。

2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。

3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。

四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。

五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。

六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。

椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)

第2课时椭圆的简单几何性质考点一椭圆的性质【例U ⑴已知椭圆C ： W+^=l(α>b>O)的左、右顶点分别为金，坨，IL 以线段AA 为直径的圆与直线bχ-αy+2αb = 0相切，则C 的离心率为()(2)己知椭圆E ：和恃=l(α>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线/： 3χ-4y=40交椭圆E 于儿B 两点•若IMl + ∣BF ∣ =4,点M 到直线/的距离不小丁§则椭圆E 的离心率的取值范围是()规律方法求椭圆离心率的方法(1) 直接求出。

，C 的值，利用离心率公式直接求解.(2) 列出含有。

，b, C 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2=a 2-c 2消去b∙转化为含有e的(2)设左焦点为F 。

，连接FA F°B,则四边形AFBF o 为平行四边形・vμη + ∣βF ∣=4,∙∙∙∣M ∣ +IAFoI=4, Λα = 2.4b 4设 M(09 b)9 则亏电，Λ l≤b<2.解析 ⑴以线段AA 为直径的圆是x 2÷y 2=α2, 乂与直线bχ-ay+2ab=0相切, 答案(I)A (2)A方程(或不等式)求解.【变式练习1】 ⑴已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ： ^+^=l(α>b>O)的左焦点，A, B 分别为C 的左.右顶点・P 为C 上一点，JlPF 丄X 轴•过点A 的直线/与线段PF 交于点M, 与y 轴交丁•点E 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()(2)设椭圆 C ： ^+p=l(α>b>O)的左、交T A 9 B 两点，F/与y 轴相交于点D,若AD 丄F& 则椭圆C 的离心率等丁• ____________( am \解析⑴设M(-c, m)9则耳0, — J, OE 的中点为D所以2 (α-c) 一α + c' 所以o=3c,所以e=∣.(2)由题意知Fj(-c, O), F 2(C , 0),其中c=√α2-b 2,因为过氏且与X 轴垂直的直线为X =c,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为彳c,勺,B (c, —号).因为EB 平行于y 轴， JlIFIoI = IoF2∣,所以IFJDI = IDBI,即D 为线段FlB 的中点,所以点D 的坐标为| 0, —筹b 2 ( b 2∖ b 2.. 万一 ^7^0,厂 .. 又 AD±F 1B,所以 k AO -k F1B = —1,即一—×c - I -C) = 一 1，整理得yβb 2=2ac,所以y∣3(a 2-c z) = 2ac, 乂 e=^Jl O<e<l,所以yf3e z +2e~∖∣3 = 0,解得 e=^(e=-y[3舍去)• 答案(I)A ⑵申考点二椭圆性质的应用【例2] (1)已知椭圆的中心在原点，离心率e=* Jl 它的一个焦点与抛物线/=-4X的焦点重合，则此椭圆方程为( y 2÷⅛=1右焦点分别为人，F 2,过卩2作X 轴的垂线与C 相则血 2 (G -C))' m mam ,乂 B, D, M 三点共线,÷y2=l +y2=l(2)己知点C, F2是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|鬲 +朿|的最小值是()解析⑴依题意，可设椭圆的标准方程为召+活=l(α>b>O),由己知可得抛物线的焦点C 1为(一1, 0),所以C=I9乂离心率e=-=2*解得0=2. b2=a2~c2=3.所以椭圆方程为£+£=1,故选A.(2)椭圆的标准方程⅛y+∕ = l,因为原点O是线段/2的中点，所以朿+朮2 = 2矗即 |朿+晶| = |2跪)∣=2IPOl ,椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即IPol的最小值为b=l,所以∣P^1+⅛∣的最小值为2.答案(I)A (2)C规律方法利用椭圆儿何性质的注意点及技巧(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中X, y的范围, 离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆儿何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系./【变式练习2】(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()(2)(2017-全国I卷)设A, B是椭圆C：亍+冷=1长轴的两个端点•若C上存在点M满足Z AMB=I20\则m的取值范圉是()A.(0, IJU [9, +<-)C.(0, 1]U[4, +*)解析(1)设6 b, C分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以*<2cb = 1, bc=l,而 2a = 2yjb 2 + c 2≥2y∣2bc=2∖∣2 (当IL 仅当b=c=l 时取等号)，故选D. ⑵①当焦点在X 轴上，依题意得化简得x 2-2x+2y 2-2y=0(包含在椭圆y+y 2=l 内部的部分)・X1(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k= -E= -P 因此所求直线方程是y 一扌=一菲一扌)，化简得2x+4y-3 = 0.规律方法弦及弦中点问题的解决方法⑴根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点：(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.√3 0<∕n<3,」I. /= ∖∣mXtan ^^2^^=√5∙ .∖O<m<3 H m ≤l.则 O<m≤l.②当焦点在y 轴上，依题意m>3, ∖∖r^≥tan^-~-^=yβ, Λm≥9,综上，m 的収值范围是(O, IJU [9, +-).答案(I)D (2)A考点三直线与椭圆(多维探究)命题角度1弦及中点弦问题【例3—1】已知椭圆y+y 2=l.(1) 过A(2, 1)的直线/与椭圆相交，求/被截得的弦的中点轨迹方程;(2) 求过点PQ, {J 且彼P 点平分的眩所在直线的方程•解 ⑴设弦的端点为P(X- yd ，Q(X2, yz)>其中点是M(×9 y).弓+41，①y+yi=ι.②①一②得Xz-Xi X2÷X1 X 2 (y2+y1) — 2y 9 所以 _ __ 2y~χ-29命题角度2直线与椭圆的位置关系(易错警示)【例3-2］已知P点坐标为(0, 一2),点B分别为椭圆£：召+W=l(α>b>O)的左、右顶点，直线BP交E于点Q,氐ABP是等腰直角三角形，ILPh=I^B.⑴求椭圆F的方程；(2)设过点P的动直线/与E相交T- M, N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线/斜率的取值范围.解⑴由AABP是等腰直角三角形，得a=2, B(2, 0).Γ 6Xo = L设Q(Xo, yo),则由是得S 4〔为=-引代入椭圆方程得b2=l, 所以椭圆E的方程为手+/=1.(2)依题意得，直线/的斜率存在，方程设为y=kχ-2.y=kχ-29联立1×21 .4÷y2=ι∙消去y并整理得(l+4k2)x2-16kx+12 = 0.(*)因直线/与E有两个交点，即方程（J有不等的两实根,3故 4 = （一16k）2-48（l+4∕）>0,解得k2>孑设M（X1，yι）, N（X2，y2）,16k{XltX2 = l+4k r12XιX2=ι+4k2'因坐标原点O位『•以MN为直径的圆外,所以OΛ4∙^∕>0,即xpf2+yp2>O,乂由XiXz÷yιyz=×1×2÷(/CXi —2)(∕cx2— 2)= (1÷k2)xιχ2—2k(×ι+冷)+ 412 16k=(14 kZ)'l+4^~2k*l+4k2 f 4>0,3解得代4,综上可得評&4, 则半<k<2或一2<k<—亨.则满足条件的斜率k的取值范围为(一2, 爭审2)规律方法1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题•2. 设直线与椭圆的交点坐标为A(Xu y】)，B(X2, y2),则I A31 =y∣(l+∕c2) [ (x1÷x2) 2-4x1x2]= 寸(1+吉)[(旳+力)—4灿2](k为直线斜率).J易错警示(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 【变式练习3】己知椭圆E： 7÷y=l的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>O) 的直线交E于儿M两点,点N在E上,MA丄NA⑴当t=4, ∖AM∖ = ∖AN∖时,求Δ AM N的面积;(2)当2∖AM∖ = ∖AN∖时，求k的取值范围.解⑴设M(X1,力)，则由题意知χ>0.当A4时，E的方程为手+£=1, A(-2, 0).由∖AM∖ = ∖AN∖及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为扌.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入才+才=1得7/-12y=0,解得y=0或y=∙y,所以y 1=y ・r-η Ir “ 厂・5 1 12 12 144因此△ AMN 的面积 S^AMN=2×^cγ×y =药. X 2 V 2(2)由题意 t>3, k>0, A(-yft 9 0),将直线 AM 的方程 y=k(x • /)代Λy÷y=l 得(3 + tk 2)×2+ 2√t∙tk 2x+t 2∕c 2-3f=0.由题设，直线的方程为X =-I （X+√t ）,Ir π ZrI 6∕c√f (l + k 2) 故同理可得∣AΛ∕∣ = —. 2 k 由2∖AM∖ = ∖AN∖得齐乔=乔工？即(k 3-2)t=3k(2k-l),q 3k （2k —1）当k=y∣2时上式不成立，因此r=因此k 的取值范围是（扳，2）. 课后练习A 组（时间：40分钟）一、选择题1.直线y=x+2与椭圆£+£=1有两个公共点，则m 的取值范围是（）由 Xr(-√t) =心(3-庆2) 3 + tk 2故 IAMl = ∣Xι+√t ∣√l+P = 6∖ t (l+k 2) 3 + tk 2t>3等价厂営-2(—2+% k 3-2 >-2>0,k 3-2<0 >-2<0, k 3-2>0. 解得 ∖[2<k<2.k 3-2A.(lt +<-)B.(l, 3)U(3, +-o)C.(3, ÷-)D.(0, 3)U(3, +-)y=x+2, 解析由V 兰 /_得(m÷3)x 2÷4∏7x÷m=0.万+L 由 Δ>0 XL m≠3 及 m>0 得 m>l 11 m≠3.答案BZPFlF2=30%则C 的离心率为()解析在 Rt∆ PF 2F 1 中,令∣PF 2∣=1,因为ZPFlF2 = 30。

高中数学_椭圆的简单几何性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

（六）教学设计椭圆的简单几何性质（2）教学设计一、基本情况1.面向对象：高二学生2.学科：数学3.课题：椭圆的几何性质4.课时：2课时5.课前准备：（1）学生回顾本节内容，熟悉椭圆的范围、对称性和顶点，离心率等性质（2）教师准备课件。

二、教材分析《椭圆的几何性质》是人教版2-1的内容。

本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。

这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。

本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。

三、教学目标知识目标1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。

2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。

3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

能力目标1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。

2.渗透数形结合、类比等数学思想。

3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。

情感目标1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。

2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。

3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。

四、教学重点与难点重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。

难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。

五、学法、教法与教学用具1.学法：(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。

2.教法：本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。

椭圆的简单几何性质教学设计

椭圆的简单几何性质教学设计导语：椭圆是几何学中一个重要的概念，理解椭圆的性质对于数学学科的学习具有重要意义。

因此，本文将设计一个针对椭圆的简单几何性质的教学内容，旨在帮助学生更好地理解和掌握椭圆的基本特点。

一、引入在教学开始之前，可以通过引入椭圆的概念来激发学生对该主题的兴趣。

可以让学生观察并描述一些椭圆的实例，例如椭圆形的轮胎、篮球等，进而引出椭圆的定义和性质。

二、椭圆的定义在引入概念之后，需要给出椭圆的严格定义。

椭圆可以定义为平面上到两个定点之和等于一定值的点的集合。

这个定义可以通过几何图形的展示和实例的校验来让学生更好地理解。

三、椭圆的性质1. 椭圆的焦点性质：椭圆的焦点是与椭圆的定义密切相关的内容。

可以通过推导和演示来给出焦点的定义和特点，包括焦点在椭圆的几何中心线上、到椭圆边界上任意一点的距离之和等于定值等。

2. 椭圆的长轴和短轴：椭圆还有两条重要的中垂线，分别为长轴和短轴。

可以通过给出椭圆的参数方程，并引导学生通过参数方程来推导出椭圆的长轴和短轴的关系。

3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是衡量椭圆形状的重要参数，可以通过定义和计算公式来介绍离心率的概念，并让学生通过计算椭圆形状不同的例子的离心率来理解其意义和特点。

4. 椭圆的切线性质：椭圆切线是垂直于椭圆边界的直线。

可以通过直角三角形的性质以及切线与半径的关系来推导出椭圆的切线性质，并通过具体的几何图形和实例来应用这一性质。

5. 椭圆的对称性：椭圆具有许多对称轴，其中包括两条主轴和许多副轴。

可以通过示意图和实例来介绍和验证椭圆的对称性，以及对称轴的特点。

四、椭圆的应用在学习了椭圆的基本性质之后，可以引导学生思考椭圆在实际问题中的应用。

例如，椭圆的形状适用于人造卫星轨道、搭桥拱形等各种实际问题。

可以通过展示实际案例、进行讨论和解决具体问题的方式，让学生将椭圆的性质与实际应用相联系。

五、教学扩展对于那些对椭圆性质有较好掌握的学生，可以引导他们进行更深入的探究和研究。

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