(完整)09川大高等代数及答案

四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试题

一、解答下列各题.

1.（5分）设)(x f 是数域F 上次数为2008的多项式，证明：20092不可能是)(x f 的根.

F 为有理数域该命题成立

如题：设)(x f 是有理数域Q 上一个m 次多项式（0≥m ），n 是大于m 的正整数，证明：

n

2不可能是)(x f 的根.

证明：反证法：假设n

2是)(x f 的根，有

)2()2(--n n

x x 对于2-n

x ，存在素数2=p

110,,,-n a a a p Λ、p 不能整除n a 、2p 不能整除0a

由艾森斯坦判别法，有2-n

x 在有理数域不可约，则有)()2(x f x n -

则n x f ≥∂))((与题设矛盾，故假设不成立，即n 2不可能是)(x f 的根.

2.(10分)用代数基本定理证明，实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满

足042

<-ac b 的二次多项式：c bx ax ++2.

证明：由代数基本定理，任意多项式在复数域都可以分解为一次多项式的乘积 则令多项式为)())(()(21n a x a x a x k x f ---=Λ （C a i ∈，R k ∈且0≠k ） 当R a i ∈时，则i a x -是实数域R 上的一次不可约多项式

当R a i ∉时，有i a 也是)(x f 的根，有i i i i i i a a x a a x a x a x ++-=--)())((2

i i i i a a x a a x ++-)(2满足042<-ac b

由)(i i a a +-，R a a i i ∈，则i i i i a a x a a x ++-)(2

是实数域R 上的二次不可约多项式

故实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足042

<-ac b 的二次多项式：

c bx ax ++2.

3.（5分）设A 是数域F 上的n 阶方阵.要求不用Hamilton-Caylay 定理，证明：存在F 上的多项式)(x f 使得O A f =)(. 证明：取A 的特征多项式A E g -=λλ)(

设)(λB 为A E -λ的伴随矩阵，有E g E A E A E B )())((λλλλ=-=- 由)(λB 的元素是A E -λ各个代数余子式，则1))((-≤∂n B λ 有11201

)(---+++=n n n B B B B Λλλ

λ

令n n n a a g +++=-Λ11)(λλλ，得E a E a E E g n n n +++=-Λ1

1)(λλλ ①

A B A B B A B B A B B B A E B n n n n n n 1211220110)()()())((-------++-+-+=-λλλλλλΛ ②

比较①、②，有⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎧

=-=-=-=-=----E a A B E

a A B B E a A B B E a A B B E

B n n n n n 11212121010ΛΛΛ，得⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎧=-=-=-=-=

---------E

a A B A a A B A B A a A B A B A a A B A B A A B n n n n n n n n n n

n n n 112212211221

1011

0ΛΛ

Λ

左边和右边全部相加，有O E g =)(λ，即0)(=λg 任取)()()(x g x q x f =，则有O A f =)(

4.（10分）设1α、2α、3α是多项式123)(3

++=x x x f 的全部根.求下式的值 ))()((2123312

23221ααααααααα+++

解:由根与系数的关系得

0321=++ααα、32

323121=++αααααα、3

1321-=ααα

)31)(31)(31())()((3

232

221

21212331223221ααααααααααααααα-

-

-

=+++

]

1)()([91)1)(1)(1(271

3

332313332333132313332313332313

21-+++++--=---=

αααααααααααααααααα)(9

1)(91243283

33231333233313231ααααααααα++-++-=

① )(9

1)111(2431243283

33231333231αααααα++-++-=

)(912431243283

3323133

32313

33233313231αααααααααααα++-++-= ② 由①、②得，033

32

33

31

32

3

1

=++αααααα，则原式)(9

1243283

33231ααα++-=

由13))((3)(3213231213213

321333231-=+++++-++=++αααααααααααααααααα

得原式243

55=

二、解答下列各题.

1（10分）叙述并证明线性方程组的克莱默（Cramer ）法则.

2（5分）设F ，K 都是数域且K F ⊆，设β=AX 是数域F 上的线性方程组. 证明：β=AX 在F 上有解当且仅当β=AX 在K 上有解. 证明：令A 为n m ⨯矩阵 必要性：

令X 为β=AX 在F 上的解，有n F X ∈，由K F ⊆，得n

K X ∈

X 也为β=AX 在K 上的解

充分性：

β=AX 在K 上有解， 有)()(A r A r =

由A ，)(F M A n m ⨯∈，则在F 上，也有)()(A r A r =，故β=AX 在F 上有解