样条插值和曲线拟合
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第三章 样条插值和曲线拟合
1．x y =
有如下的函数表
8。 解 先作差商表
4
167
1210
13
9
3
42015
11008
16012
4
60
13
1611
1
10
0-⨯-
--
故：8.2)48(5
1
2)8(1=-+=p
819047619.2)
98)(48(210
1
)48(512)8(2=----+=p
844444.2)98)(48)(18(3
4201)
48)(18(601
)18(311)8(3=---⨯+----+=p
6222.2)1(4781008
1478601)
18(86
1
)08(10)8(4=-⨯⨯⨯-⨯⨯+---⨯+=p 已知
828427.28=，因此选定
)8(,16,9,42321p x x x ===最接近8。
利用Neville 方法得:
xi
8-xi
f(xi)
2.8284271
8 0
8
1
7 1
-1.33333333
3.3333333 2.4 4
4 2
2.866666667 2.6222222
2.8 2.8444444 9
-1
3
2.819047619
2.8571429 16 -8
4
f(8)= 2.828427125 xi
8-xi
f(xi)
8 0
8
1
7 1
-1 1/3
3 1/3 2 2/5 4
4 2
2 13/15 2 28/45
2 4/5 2 38/45 9
-1
3
2 86/105
2 6/7 16 -8 4
已知 828427.28=，故选定)8(,16,9,42321
p x x x ====2.819047619最接近8.
1
11
01
20
1
01
1
12
12
1
343
43
42
121------ 所以：)())(1())(1()1(1)(21213421344-++-++++-=x x x x x x x x x p ，故：2
1
214)(=p 。 （2）若采用分段插值，则在],0[21上，x x f x f x L =--+--=0
0)(0)0()(121121，所以： )
()()(21
4212121p f L ===，结果一样。 3．解 （1）若记L (x )为tgx 在[]4
4,π
π-上的分段线性插值函数，则 ],[,8
)()(12
2+∈≤
-=i i x x x h M x L tgx x R 其中[]4max 4
4,2=''=-∈x g t M x ππ，欲使4
22210218)()(-<≤≤-=h h M x L tgx x R ，故 014142.01022=⨯<-h
（2）如果采用分段二次插值，若)(2x L 为tgx 在[]4
4,π
π-上的分段二次插值函数，则 ]
,[,3121
6))()((!3)()()(13312
12+++∈≤---'''≤
-=i i i i i x x x h M x x x x x x f x L tgx x R ξ其中[]
16max ,3='''=-∈x g t M x π
π，欲使432103
12
1
616)()(-<≤-=h x L tgx x R ，应使：
解：若对在4
4ππ中用等距分段Hermite 3次插值，则在每个小区间1+i i 上，由第二章定理8知：
1212)4(3,)()(!
4)
()(++≤≤--=
-i i i i x x x x x x f x H tgx ξξ
由于x
x x x x tg 5
33)4(cos sin 24cos sin 16)(+=，所以在[]44,π
π-上， 802
11
2421116)()4(=+=≤x tg
4
4212324
5161!480)()(max !480)(1h h x x x x x H tgx i i x x x i i =⨯≤--≤-+≤≤+
注意右端与i 无关，故在[]
4
4,π
π-上，有：4
3
5)(h x H tgx ≤-。 解：因为0
10sin cos sin )(x tx
txdt x x x f =
==⎰，所以 ⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛+==10)
(2cos sin )(dt k tx t x x dx d x f k k k k π，因此11)(10)(+=≤⎰k dt t x f k
k 。 （1） 若在区间[]1,0上用等距线性插值，则误差为：
]1,0[,24
18)()(2
22∈≤=-x h h M x L x f 对任
欲使410)()(-≤-x L x f ，只须 048988979.010244=⨯<-h 。
（2） 若在区间[]1,0上用等距Hermite 3次插值，则误差为：
]1,0[,16
5!41)()(!4)()()(42
12)4(3∈⋅⨯≤--≤-+x h x x x x f x H x f i i 对任ξ
欲使4
310)()(-≤-x H x f ，只须 66195.0)10165!4(4
1
4
=⨯⨯⨯<-h （3） 若在区间[]1,0上用等距样条插值，则由定理5，有：
4
)
4(4
5
1161)
(16
1)()(h x f h x s x f ⋅⋅≤
≤
-∞
欲使4
10)()(-≤-x s x f ，只须 299069756.0)10165(14
=⨯⨯<-h 。 6. 对sin x /x , 在[0，1]上取5个节点，求D 13次样条。 解 因2sin cos )(x x x x x f -='，所以：02
sin )0(0
=-=
'=x x
f ，-0.30117
)1(='f , 先作差商表
1 0
-0.16615 0 1
-0.04154 -0.16304 0.25 0.989616 -0.12306
-0.15388 0.5 0.958851 -0.2 -0.13905 0.75 0.908852 -0.26952 -0.12658 1 0.841471 -0.30117 1 0.841471
从而形成三弯距方程组的增广矩阵：
2 1 0 0 0 -0.99688 0.5 2 0.5 0 0 -0.97827 0 0.5 2 0.5 0 -0.92326 0 0 0.5 2 0.5 -0.834
3 0
1
2
-0.7595
解得：M 1=-0.33438，M 2=-0.32813，M 3=-0.30966，M 4=-0.27977，M 5=-0.23987。样条曲线为：