第九章 组合计数定理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| Ai | n / pi , i 1,2,..., k | Ai Aj | n/pi p j , 1 i j n ...
(n) | A1 A2 ... Ak |
n ( n n ... n ) ( n n ... n ) ... (1)k n
p1 p2
pk
p1 p2 p1 p3
Ai 是 S 中具有性质 Pi 的元素构成的子集，i=1,2,…,m. 则 S 中恰好具有 r（0rm）条性质的元素数为
W
(r
)
r
r
1W
(r
1)
r
r
2 W
(r
2)
...
(1)m
r
m r
W
(m
)
mr
t0
(1)t
r
t
t
W
(
r
t
)
2020/6/16
广义包含排斥原理的应用
计数恰好具有 r 个性质的元素数 例 5 24 名科技人员，调查情况如下： 英语 日语 德语 法语， 13 5 10 9 英日 英德 英法 法德 日法 日德 244400 会日语的不会法语和德语 求只会一种语言的人数.
第九章 组合计数定理
• 包含排斥原理 • 对称筛公式及其应用 • Burnside引理 • Polay定理
2020/6/16
证明
m
右 边 |S| |Ai| |AiAj|
i1
1ijm
|AiAjAk|...(1)m|A1A2.. . Am| 1ijkm
证明 数学归纳法
组合分析
若 x 不具有任何性质，则对等式右边贡献为： 1 0 + 0 0 + … +(1)m0 = 1
注意：性质的确定与要求条件相反 2020/6/16 性质彼此独立，具有不同性质的元素计数互不影响
应用（计数限制条件元素数）
例 2 求不超过 120 的素数个数 解：112 = 121，不超过 120 的合数的素因子可能是 2,3,5,7，
S = { x|xZ,1x120 }, |S| = 120 被 2,3,5,7 整除的集合分别为 A1,A2,A3,A4： |A1| = 60，|A2| = 40，|A3| = 24，|A4| = 17 |A1A2|= 20, |A1A3|=12, |A1A4|=8, |A2A3|=8, |A2A4|=5, |A3A4|=3 |A1A2A3|=4, |A1A2A4|=2, |A1A3A4|=1, |A2A3A4|=1 |A1A2A3A4|=0
若 x 具有 n 条性质，1nm, 则对等式右边的贡献为：
2020/6/16
1
n 1
n 2
...
(
1)m
n m
n
k 0
n k
0
应用
计数多重集的 r-组合数
例 1 B = {3a,4b,5c}的 10-组合数
S = {x | x 是 a,b,c 任意重复的 10-组合} A1 = {x | xS，x 中至少含 4 个 a}
|A1A2A3A4|=24=37-14+W(3)-0 W(3)=1
2
3
4
N W (1) 1W (2) 2W (3) 3W (4) 37 28 3 0 12
2020/6/16
2020/6/16
例题求解
解：设英语、日语、德语、法语集合为 A1,A2,A3,A4. 则
|A1|=13, |A2|=5, |A3|=10, |A4|=9, |A1A2|=2, |A1A3|=4, |A1A4|=4, |A2A3|=0, |A2A4|=0, |A3A4|=4, |A1A2A3|=|A1A2A4|=|A2A3A4|=0, |A1A2A3A4|=0 W(1)=13+5+10+9=37， W(2)=2+4+4+4=14 W(3)=0+|A1A3A4|， W(4)=0
pk1 pk
p1 p2 ... pk
n(1 1 )(1 1 )...(1 1 )
p1
p2
pk
2020/6/16
应用（证明交错和的恒等式）
例 4 证明
n r
m m
m
(1)i
i0
m i
n
r
i
,
mrn
证：令 S={1,2,…,n}, A={1,2,…,m}，计数 S 中包含 A 的 r 子集. Pj: 在 S 的 r 子集中不包含 j, j=1,2,…,m
i 1
1i jm
W (m) | A1 A2 ... Am |
| A1 A2 ... Am | W (0) W (1) W (2) ... (1)mW (m)
m
(1)tW (t)
t0
以上为包含排斥原理，系下述定理 r=0 的特例.
2020/6/16
包含排斥原理的推广形式
定理：设 S 为有穷集，P1,P2, …, Pm 是 m 种性质，
| A1 A2 A3 A4 | 120 (60 40 24 17) (20 12 8 8 5 3) (4 2 1 1) 0 120 141 56 8 27
2020/6/16
应用（欧拉函数的值）
(n)：小于 n 的且与 n 互素的数的个数
设 n p11 p22 ... pk k 为 n 的素因子分解式 Ai={x | 1x <n，且 pi 整除 n}，
|
Aj
|
n
r
1,
1 jm
|
Ai
Aj
|
n
r
2 ,
1i jm
...
|
A1
A2
...
Am
|
n
r
m
|
A1
A2
...
Am
|
n r
m 1
n
r
1
m 2
n
r
2
...
(1)m
m m
n
r
m
2020/6/16
包含排斥原理的推广
包含排斥原理的新形式
令
m
W (0) | S |, W (1) | Ai |, W (2) | Ai Aj |, ...,
= {x | x 是 a,b,c 的任意 6 组合} A2 = {x | xS，x 中至少含 5 个 b}
= {x | x 是 a,b,c 的任意 5 组合} A3 = {x | xS，x 中至少含 6 个 c}
= {x | x 是 a,b,c 的任意 4 组合}
2020/ຫໍສະໝຸດ Baidu/16
计数多重集的r-组合数（续）
|
S
|
3
10 10
1
12 2
66,
|
A1
|
3
6 6
1
8 2
28
|
A2
|
3
5 5
1
7 2
21,
|
A3
|
3
4 4
1
62
15
|
A1
A2
|
3
1 1
1
3
3 0 1 | A1 A3 | 0 1, | A2 A3 || A1 A2 A3 | 0
| A1 A2 A3 | 66 (28 21 15) (3 1 0) 0 6
(n) | A1 A2 ... Ak |
n ( n n ... n ) ( n n ... n ) ... (1)k n
p1 p2
pk
p1 p2 p1 p3
Ai 是 S 中具有性质 Pi 的元素构成的子集，i=1,2,…,m. 则 S 中恰好具有 r（0rm）条性质的元素数为
W
(r
)
r
r
1W
(r
1)
r
r
2 W
(r
2)
...
(1)m
r
m r
W
(m
)
mr
t0
(1)t
r
t
t
W
(
r
t
)
2020/6/16
广义包含排斥原理的应用
计数恰好具有 r 个性质的元素数 例 5 24 名科技人员，调查情况如下： 英语 日语 德语 法语， 13 5 10 9 英日 英德 英法 法德 日法 日德 244400 会日语的不会法语和德语 求只会一种语言的人数.
第九章 组合计数定理
• 包含排斥原理 • 对称筛公式及其应用 • Burnside引理 • Polay定理
2020/6/16
证明
m
右 边 |S| |Ai| |AiAj|
i1
1ijm
|AiAjAk|...(1)m|A1A2.. . Am| 1ijkm
证明 数学归纳法
组合分析
若 x 不具有任何性质，则对等式右边贡献为： 1 0 + 0 0 + … +(1)m0 = 1
注意：性质的确定与要求条件相反 2020/6/16 性质彼此独立，具有不同性质的元素计数互不影响
应用（计数限制条件元素数）
例 2 求不超过 120 的素数个数 解：112 = 121，不超过 120 的合数的素因子可能是 2,3,5,7，
S = { x|xZ,1x120 }, |S| = 120 被 2,3,5,7 整除的集合分别为 A1,A2,A3,A4： |A1| = 60，|A2| = 40，|A3| = 24，|A4| = 17 |A1A2|= 20, |A1A3|=12, |A1A4|=8, |A2A3|=8, |A2A4|=5, |A3A4|=3 |A1A2A3|=4, |A1A2A4|=2, |A1A3A4|=1, |A2A3A4|=1 |A1A2A3A4|=0
若 x 具有 n 条性质，1nm, 则对等式右边的贡献为：
2020/6/16
1
n 1
n 2
...
(
1)m
n m
n
k 0
n k
0
应用
计数多重集的 r-组合数
例 1 B = {3a,4b,5c}的 10-组合数
S = {x | x 是 a,b,c 任意重复的 10-组合} A1 = {x | xS，x 中至少含 4 个 a}
|A1A2A3A4|=24=37-14+W(3)-0 W(3)=1
2
3
4
N W (1) 1W (2) 2W (3) 3W (4) 37 28 3 0 12
2020/6/16
2020/6/16
例题求解
解：设英语、日语、德语、法语集合为 A1,A2,A3,A4. 则
|A1|=13, |A2|=5, |A3|=10, |A4|=9, |A1A2|=2, |A1A3|=4, |A1A4|=4, |A2A3|=0, |A2A4|=0, |A3A4|=4, |A1A2A3|=|A1A2A4|=|A2A3A4|=0, |A1A2A3A4|=0 W(1)=13+5+10+9=37， W(2)=2+4+4+4=14 W(3)=0+|A1A3A4|， W(4)=0
pk1 pk
p1 p2 ... pk
n(1 1 )(1 1 )...(1 1 )
p1
p2
pk
2020/6/16
应用（证明交错和的恒等式）
例 4 证明
n r
m m
m
(1)i
i0
m i
n
r
i
,
mrn
证：令 S={1,2,…,n}, A={1,2,…,m}，计数 S 中包含 A 的 r 子集. Pj: 在 S 的 r 子集中不包含 j, j=1,2,…,m
i 1
1i jm
W (m) | A1 A2 ... Am |
| A1 A2 ... Am | W (0) W (1) W (2) ... (1)mW (m)
m
(1)tW (t)
t0
以上为包含排斥原理，系下述定理 r=0 的特例.
2020/6/16
包含排斥原理的推广形式
定理：设 S 为有穷集，P1,P2, …, Pm 是 m 种性质，
| A1 A2 A3 A4 | 120 (60 40 24 17) (20 12 8 8 5 3) (4 2 1 1) 0 120 141 56 8 27
2020/6/16
应用（欧拉函数的值）
(n)：小于 n 的且与 n 互素的数的个数
设 n p11 p22 ... pk k 为 n 的素因子分解式 Ai={x | 1x <n，且 pi 整除 n}，
|
Aj
|
n
r
1,
1 jm
|
Ai
Aj
|
n
r
2 ,
1i jm
...
|
A1
A2
...
Am
|
n
r
m
|
A1
A2
...
Am
|
n r
m 1
n
r
1
m 2
n
r
2
...
(1)m
m m
n
r
m
2020/6/16
包含排斥原理的推广
包含排斥原理的新形式
令
m
W (0) | S |, W (1) | Ai |, W (2) | Ai Aj |, ...,
= {x | x 是 a,b,c 的任意 6 组合} A2 = {x | xS，x 中至少含 5 个 b}
= {x | x 是 a,b,c 的任意 5 组合} A3 = {x | xS，x 中至少含 6 个 c}
= {x | x 是 a,b,c 的任意 4 组合}
2020/ຫໍສະໝຸດ Baidu/16
计数多重集的r-组合数（续）
|
S
|
3
10 10
1
12 2
66,
|
A1
|
3
6 6
1
8 2
28
|
A2
|
3
5 5
1
7 2
21,
|
A3
|
3
4 4
1
62
15
|
A1
A2
|
3
1 1
1
3
3 0 1 | A1 A3 | 0 1, | A2 A3 || A1 A2 A3 | 0
| A1 A2 A3 | 66 (28 21 15) (3 1 0) 0 6