6.3.1平面向量的基本定理-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课前检测(含解析)

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2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。

过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。

典例讲练破题型类型一基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。

高中数学人教A版(2019)必修第二册 6.3.1平面向量基本定理说课稿

高中数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理说课稿一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第六章《平面向量及其应用》第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时。

本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示。

1.平面向量基本定理平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示。

也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量图片就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点。

这样，一个点A，一个向量图片就在原则上确定了直线l，这是对直线的一种定性刻画。

如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量图片的乘法图片.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个图片来表示（图6-17）.希望在“实际”上控制直线l，可以看作是引入图片的一个原因.再来看平面.两条相交直线确定一个平面 a.一个定点，两个不共线的向量便“原则”上确定了平面α，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面α上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X 就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。

数学人教A版必修第二册6.3.1平面向量基本定理课件(5)

庚
平面向量基本定理
探究思考4
平面内任何一个向量 a 都可以表示成 1e1 2 e2 的
情势，那么这种表示是唯一的吗？（即 e1, e2的系数是唯一的吗？）
平面向量基本定理
假设：a 1e1 2 e2， a 1e1 2 e2 1e1 2 e2 1e1 2 e2
即 (1 1)e1 (2 2 )e2 0
B
EF
平面向量基本定理的应用
类比思考：
如图，OA,OB 不共线，且 AP t AB(t R) ，用 OA,OB 来表示OP．
OP （1 t）OA tOB
O
A
B
P
平面向量基本定理的应用
思考探究：
如果A,B,C三点共线，点O是平面内任意一点，
若OC OA OB ，则 , 之间具有怎样的数量关系？
6.3.1
平面向量基本定理
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 ——华罗
庚
学习目标
1 平面向量基本定理
2 平面向量基本定理应用
3课堂小结 4课后作业
PART.01
平面向量基本定理
宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。 ——华罗
动手挑战并大胆分享你的求解思路
如图，OA,OB 不共线，且M为AB的中点，用 OA,OB 来表示 OM ．
OM 1 OA 1 OB 22
O
A
M
B
平面向量基本定理的应用
如图，OA,OB 不共线，且E、F为AB的三等分点，用 OA,OB 来表示． OE,OF
OE 2 OA 1 OB 33
O
A
探究思考2

人教A版高中数学必修二课件《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用(平面向量基本定理)

线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
B.12(a＋b)
C.12(b－a)
D.12b＋a
解析：选 B.如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段
BC 的中点，从而B→D＝D→C，即A→D－A→B＝A→C－A→D，
从而A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)．
平面向量基本定理的理解设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1； ④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
B.23a＋13b
C.35a＋45b
Hale Waihona Puke D.45a＋35b解析：选 B.因为B→D＝12D→A，C→B＝a，C→A＝b，所以C→D＝a＋B→D
＝a＋13B→A＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.
2．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，B→A＝a，B→C＝b.试以{a，b}为基底表示E→F，D→F.
法二：设A→B＝x，B→C＝y，则A→D＝B→C＝y，又AA→ →BD＋－BA→→CB＝＝AB→→CD，，所以yx－＋xy＝＝ba，，解得 x＝12a－12b，y＝12a＋12b，即A→B＝12a－12b，B→C＝12a＋12b.

高中数学必修第二册人教A版-第六章-6.3.1平面向量基本定理课件

＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
延伸
本例中，若设BC的中点为G，则A→G ＝_12_a_＋___34_b_.
解析
所B→C以＝A→B→GA＝＋A→A→BD＋＋B→D→GC＝＝A→B－＋b12＋B→Ca＋12b＝a－12b，
＝b＋12a－14b＝21a＋34b.
3λ＋μ＝3，
λ＝45，解得μ＝53.
∴A→P＝45A→M，B→P＝35B→N， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.
反思感悟
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
典例剖析
一、平面向量基本定理的理解
例1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
ACD解析选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
反思感悟
平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.
跟踪训练
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线

平行向量基本定理题型练习-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第六章 6.3.1 平行向量基本定理【基础篇】题型1 平面向量基本定理的理解1．已知{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能．．作为基底的一组是( )A ．2e 1－e 2和2e 2－4e 1B ．e 1＋e 2和e 1－2e 2C ．e 1－2e 2和e 1D ．e 1＋e 2和2e 2＋e 12．(多选)如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有( ) A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝03．如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0题型2 向量相等4．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点．若DE →＝λ2AB →＋2μAD→(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．－1C .14D .185．设E 为△ABC 的边AC 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________.题型3 平面向量的分解6．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，设AB →＝a ，AF →＝b ，则AC →＝( )A ．a ＋2bB ．2a ＋3bC ．2a ＋bD .32a ＋b7．如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上靠近A 的三等分点，点E 是线段CD 的中点，则( )A .AE →＝16AB →＋12AC →B.AE →＝13AB →＋12AC →C.AE →＝16AB →－12AC →D.AE →＝13AB →－12AC →8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，用向量a 和b 表示c ，则c ＝________．9．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，DC 边的中点，BE ，BF 分别与AC 交于R ，T 两点，ET →＝xAB →＋yAD →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( ) A .16B .13C .23D .56【提升篇】1．如果{a ，b }是一个基底，那么下列不能作为基底的是( ) A ．a ＋b 与a －bB ．a ＋2b 与2a ＋bC ．a ＋b 与－a －bD ．a 与－b2．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( ) A .13a ＋23b B .23a ＋13b C .35a ＋45bD .45a ＋35b3．(多选)[浙江宁波九校2022高一期末]在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M .设AB →＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的有( ) A .AC →＝12a ＋bB .BC →＝－12a ＋bC .BM →＝－13a ＋23bD .EF →＝－14a ＋b4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BC →＝3BD →，EC →＝λAE →，F 是AD ，BE 的交点．若AF →＝35AD →，则λ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．75．某中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，体现“方方正正做人”之意，又体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图的多边形，由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成．已知向量n ，k ，则向量a ＝( )A ．3k ＋2nB ．3k ＋(2＋2)nC ．(2＋2)k ＋(2＋2)nD ．(2＋2)k ＋(1＋2)n6．(多选)[湖北孝感2022高一期末]已知△ABC 中，O 是BC 边上靠近B 的三等分点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N .设AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，其中m >0，n >0，则下列结论正确的是( ) A .AO →＝23AB →＋13AC →B.AO →＝13AB →＋23AC →C ．2m ＋n ＝3D ．m ＋2n ＝37．在等腰梯形ABCD 中，DC →＝2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →＝a ，DC →＝b .若用a ，b 表示DF →，则DF →＝________.8．在△ABC 中，AD →＝12AB →，BE →＝23BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.9．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．10．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 的中点，边AB ，AC 上的动点D ，E 分别满足AD →＝λAB →，AE →＝(1－2λ)AC →，λ∈R .设DE 的中点为F ，记|FG →||BC →|＝R(λ)，则R(λ)的取值范围为________．11．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F ，G 分别是AD ，BC 的四等分点⎝⎛⎭⎫AF ＝14AD ，BG ＝14BC .设AB →＝a ，AD →＝b . (1)用a ，b 表示EF →，EG →.(2)如果|b |＝2|a |，EF ，EG 有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．12．如图所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M .过点M 的直线l与OA ，OB 分别交于点E ，F . (1)试用OA →，OB →表示向量OM →；(2)设OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，求证：1λ＋3μ是定值．13．如图，在直角梯形OABC 中，OA ∥CB ，OA ⊥OC ，OA ＝2BC ＝2OC ，M 为AB 上靠近B的三等分点，OM 交AC 于点D ，P 为线段BC 上的动点． (1)用OA →和OC →表示OM →； (2)求OD DM；(3)设OB →＝λCA →＋μOP →，求λμ的取值范围．答案及解析【详解】对于A 选项，因为2e 2－4e 1＝－2(2e 1－e 2)，所以2e 1－e 2和2e 2－4e 1共线，A 选项不满足条件；对于B 选项，设e 1＋e 2＝λ(e 1－2e 2)＝λe 1－2λe 2，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2λ＝1，无解，故e 1＋e 2和e 1－2e 2不共线，B 选项能作为基底；同理可知e 1－2e 2和e 1不共线，e 1＋e 2和2e 2＋e 1也不共线，C ，D 选项均能作为基底．故选A.2．【答案】AD【详解】由平面向量基本定理可知，A ，D 正确．对于B ，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C ，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无数个．故选AD.3．【答案】B【详解】取第Ⅰ部分内一点画图易得a >0，b <0.4．【答案】D【详解】因为E 为AO 的中点，所以AE →＝14AC →＝14(AB →＋AD →)，所以DE →＝AE →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →.又因为DE →＝λ2AB →＋2μAD →，所以⎩⎨⎧λ2＝14，2μ＝－34，解得⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－38，所以λ＋μ＝18，故选D.5．【答案】－12【详解】因为BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋12AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝－1，n ＝12，所以m ＋n ＝－12.6．【答案】C【详解】在正六边形ABCDEF 中，连接FC ，则FC ∥AB ，FC ＝2AB ，所以AC →＝AF →＋FC →＝AF →＋2AB →＝2a ＋b .故选C.【详解】由题图知AE →＝12AD →＋12AC →＝16AB →＋12AC →.故选A.8．【答案】a －2b【详解】因为a ，b 不共线，设c ＝xa ＋yb (x ，y ∈R)，则xa ＋yb ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．【答案】D 【详解】如图所示，设CT →＝μCA →＝2μCF →＋μCB →(μ∈R)．因为F ，T ，B 共线，所以3μ＝1，解得μ＝13.所以AT →＝23AC →，所以ET →＝AT →－AE →＝23AC →－AE →＝23AB →＋16AD →.又ET →＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝16，所以x ＋y ＝56.故选D.【详解】由题意知，a 与b 不共线，根据平行四边形法则，可知A ，B ，D 选项中的两个向量都可以作为基底，而a ＋b 与－a －b 共线，不能作为基底．2．【答案】B【详解】∵CD 平分∠ACB ，∴|CA →||CB →|＝|AD →||DB →|＝2.∴AD →＝2DB →＝23AB →＝23(CB →－CA →)＝23(a －b )．∴CD→＝CA →＋AD →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .3．【答案】ABD【详解】由题意得，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，故A 正确；BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故B 正确；由△CMD ∽△AMB ，且CD ＝12AB 得AM →＝23AC →，则BM →＝BA →＋AM →＝－a ＋23AC →＝－a ＋23b ＋13a ＝23b －23a ，故C 错误；EF →＝EA →＋AD →＋DF →＝－12a ＋b ＋14a ＝b －14a ，故D 正确．故选ABD.4．【答案】A【详解】由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.因为B ，E ，F 三点共线，所以AF →＝kAB →＋(1－k )AE →＝kAB →＋1－k λ＋1AC →.因为AF →＝35AD →，所以kAB →＋1－k λ＋1AC →＝35⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →，则⎩⎨⎧k ＝25，1－k λ＋1＝15.解得λ＝2，故选A.5．【答案】D【详解】根据题意可得|n |＝|k |，已知该图形是由以正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形与原正方形组合而成，如图，由对称性可得|AB |＝|BC |＝|CD |＝|DE |＝|EQ |＝|QF |，|CE |＝|EF |＝|FG |＝2|AB |＝2|n |. 由图可知点B ，C ，E ，Q 共线，点Q ，F ，G 共线，所以BQ →＝BC →＋CE →＋EQ →＝(2＋2)k ， QG →＝QF →＋FG →＝(1＋2)n ，所以a ＝BG →＝BQ →＋QG →＝(2＋2)k ＋(1＋2)n .故选D.6．【答案】AC【详解】AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，A 正确，B 错误．因为AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，所以AO →＝23AB →＋13AC →＝2m 3AM →＋n 3AN →.又因为M ，O ，N 三点共线，所以2m 3＋n3＝1，故2m ＋n ＝3，C 正确，D 错误．故选AC.7．【答案】14a ＋38b【详解】DE →＝12DB →＋12DC →＝12(DA →＋AB →)＋12DC →＝34DC →＋12DA →，∴DF →＝12DE →＝38DC →＋14DA →，即DF →＝14a ＋38b .8．【答案】12【详解】DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＋λ2＝12.9．【答案】78【详解】∵E ，F 是AD 的两个三等分点，D 是BC 的中点，∴BF →＝BD →＋DF →，CF →＝CD →＋DF →＝DF →－BD →，BA →＝BD →＋DA →＝BD →＋3DF →，CA →＝CD →＋DA →＝3DF →－BD →.∴BA →·CA →＝9|DF →|2－|BD →|2＝4， BF →·CF →＝|DF →|2－|BD →|2＝－1，解得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.又∵BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋2DF →，CE →＝CD ＋DE →＝2DF →－BD →，∴BE →·CE →＝4|DF →|2－|BD →|2＝208－138＝78.10．【答案】⎣⎡⎦⎤12，74 【解析】设正△ABC 的边长为2，则AB →·AC →＝2×2×cos π3＝2，|BC →|＝2. FG →＝AG →－AF →＝12(AB →＋AC →)－12(AD →＋AE →)＝12(1－λ)AB →＋λAC →，所以|FG →|＝（1－λ）2＋4λ2＋2λ（1－λ）＝3λ2＋1.又0≤1－2λ≤1，0≤λ≤1，所以0≤λ≤12，因此|FG →|＝3λ2＋1∈⎣⎡⎦⎤1，72，R(λ)＝3λ2＋12∈⎣⎡⎦⎤12，74.11．【答案】(1)由已知，得AE →＝EB →＝12a ，AF →＝BG →＝14b ，所以EF →＝EA →＋AF →＝14b －12a ， EG →＝EB →＋BG →＝14b ＋12a . (2)EF 与EG 互相垂直．证明如下：EF →·EG →＝⎝⎛⎭⎫14b ＋12a ·(14b －12a )＝116b 2－14a 2，因为|b |＝2|a |，所以EF →·EG →＝0，即EF ⊥EG ，所以EF 与EG 互相垂直．12．【答案】(1)【解】由A ，M ，D 三点共线可得存在实数m ，使得OM →＝mOA →＋(1－m )OD →，又OD →＝12OB →，故OM →＝mOA →＋1－m 2OB →. 由C ，M ，B 三点共线可得存在实数n ，使得OM →＝nOC →＋(1－n )OB →，又OC →＝14OA →，故OM →＝n 4OA →＋(1－n )OB →. 由题意知OA →，OB →不共线，则⎩⎨⎧m ＝14n ，1－m 2＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝47，故OM →＝17OA →＋37OB →. (2)【证明】由E ，M ，F 三点共线，可设OM →＝kOE →＋(1－k )OF →(k ∈R)，由OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，得OM →＝kλOA →＋(1－k )μOB →.由(1)知OM →＝17OA →＋37OB →，则⎩⎨⎧kλ＝17，（1－k ）μ＝37，即⎩⎨⎧λ＝17k ，3μ＝7－7k ，所以1λ＋3μ＝7，故1λ＋3μ是定值． 13．【答案】(1)依题意CB →＝12OA →，AM →＝23AB →， ∴AM →＝23(OB →－OA →)＝23(OC →＋CB →)－23OA →＝23OC →－13OA →， ∴OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋⎝⎛⎭⎫23OC →－13OA →＝23OA →＋23OC →.(2)设OD →＝tOM →(t ∈R)．由(1)可知OD →＝23tOA →＋23tOC →. 又A ，C ，D 三点共线，∴23t ＋23t ＝1，解得t ＝34，故OD DM ＝3. (3)由题意得OB →＝OC →＋CB →＝OC →＋12OA →，已知P 是线段BC 上的动点，设CP →＝xOA →⎝⎛⎭⎫0≤x ≤12. ∵OB →＝λCA →＋μOP →＝λ(OA →－OC →)＋μ(OC →＋CP →)＝(λ＋μx )OA →＋(μ－λ)OC →，又OC →，OA →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，λ＋μx ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ－1，μ＝32＋2x. 又0≤x ≤12，∴1≤x ＋1≤32，∴1≤μ≤32. 可知λμ＝μ(μ－1)＝⎝⎛⎭⎫μ－122－14在区间⎣⎡⎦⎤1，32上单调递增，当μ＝1时，(λμ)min ＝0，当μ＝32时，(λμ)max ＝34，故λμ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34.。

6.3.1平面向量基本定理

6.3.1 平面向量基本定理(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)一、教学目标1. 体验平面向量基本定理的概念生成过程，理解平面向量基本定理2. 能够应用平面向量基本定理表示向量、证明简单的几何命题二、教学重难点1. （重点）平面向量基本定理的内容叙述与理解2. （重点）用基底表示向量、用向量方法证明简单的几何命题3. （难点）证明几何命题中的向量思想三、教学过程1.平面向量基本定理的概念形成过程1.1创设情境，引发思考【实际情境】物理学中的基本方法：受力分析与力的分解在物理学中，受力分析是最基本最重要的研究方式，而力的分解是受力分析的重中之重.力的分解随着问题场景的变化而有所不同.考虑如图所示的两个物体，图1中的物体放在光滑水平地面上，图2中的物体放在光滑斜面上，两个物体都受到同样的拉力F（假设拉力方向与斜面不平行）.问题1：试运用物理学知识将力进行适合的分解.追问：你在分解的时候使用了怎样的向量运算法则？【预设的答案】如图所示，预设为大部分学生的分解结果.【设计意图】对于高一学生而言，力是最常接触、最常处理的向量（矢量），采用之前已经学过的力的分解作为引入，能够让学生从熟悉的情境着手，引起学生的兴趣.1.2探究典例，形成概念【数学情境】平面向量的分解问题2：选取平面内的任意两个两个不共线的向量12,e e都不共线，e e，假设向量,a b与12,试将,a b按12e e的方向进行分解.,【活动预设】（1）分组活动，首先让学生尝试将向量,a b进行分解，然后交流成果.（2）教师讲解，将本题的分解过程完整板书.以向量a为对角线，根据12e e所在直线作平行四边形，则根据平行四边形法则可找到向量,a在12,e e共线，根据共线向量定理，他们,e e方向上的分向量.容易看出这两个分向量分别与12分别可以写成1212,e e λλ的形式，其中12,λλ都是确定且唯一的实数.于是，向量a 可以写成如下的分解式：1212a e e λλ=+.同理将b 的分解方式也进行板书.题目中向量b 的方向如此设计，可能会使一部分初学的学生有困难，故合作交流时会提示“直线的无限延展性”.（3）展示信息技术作图，用大量实例直观展示同一平面内任意向量a 关于12,e e 的分解过程.【设计意图】创设数学情境，通过平面向量分解的实例，让学生感受在数学学习中，平面向量的分解是规律性的一般问题，值得我们深入探究.问题2：对比力的分解的过程和向量分解的过程，你发现了什么共同特点？【活动预设】（1）引导学生归纳概括出问题的共同特征：给定两个“方向”（教师适当明确为两个“不共线的向量”，就能够对向量进行分解，并且这种分解方式是唯一的）（2）展示并板书平面向量基本定理的内容.教师解释定理中的要点：不共线、存在性、唯一性.【设计意图】前面创设的实际情境与数学情境是为本节的重要定理：平面向量基本定理而服务的，需要通过清晰准确的叙述和解释来抓住学生的思维，带领学生更深刻的思考.2.初步应用，理解概念【活动】求解以下问题及变式.例1 如图所示，AD 是三角形ABC 的中线.试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .变式若E 是线段BC 上靠近B 的三等分点，试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AE⃗⃗⃗⃗⃗ . 【预设答案】例1：1122AD AB AC =+ 变式：2133AE AB AC =+ 问题3：观察分解式两基底的系数，你发现了什么？再分别观察,,B C D 以及,,B C E 的位置关系，你又发现了什么？试讨论并总结你的观察.探究并证明以下问题：若在直线BC 上有一点M ，满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =tBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (t ∈R)，试用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .【预设答案】(1)AM t AB t AC =-+教师将该结论板书总结：三点共线的重要结论【题后小结】用基底表示向量的一般过程：1. 选定基底，分析图形2. 结合图形，向量运算3. 保留结果，未完继续【设计意图】（1）初步熟悉用基底表示向量的一般过程，回顾向量运算法则.（2）借助阶梯式的设问，一步步深入探究关于三点共线的结论，培养学生的提问意识与问题解决意识.【跟踪训练】1.在平行四边形ABCD 中,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,试用基底a,b 表示AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ . 2.已知点P 是△ABC 所在平面内一点,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△ABP 与△ACP 的面积之比是________.【活动】首先独立思考以下问题，然后跟随老师解决问题.例2 如图所示，CD 是三角形ABC 的中线，CD =12AB.试用向量方法证明：三角形ABC 为直角三角形.【预设答案】略问题4（问题链）：① 想要用向量方法证明这个命题，首先需要做到什么？（选取两个不共线的向量）这个向量怎样选取比较合适？（已知条件中给出长度、角度等数值时）② 在选取向量之后，我们怎样向问题靠拢？（证明∠ACB 是直角）③ 在向量运算中，证明垂直与怎样的运算是等价的？（证明数量积为0）④ 在完成计算后，还需要做怎样的步骤才算解决问题？（将向量运算结果重新翻译为几何命题）通过问题链完成逻辑梳理后，教师板书完整过程.（或者随着问题链逐步板书）【题后小结】用向量方法证明简单的几何命题的一般过程.1. 选定基底，表示向量2. 翻译命题，向量运算3. 反译结果，得出结论【设计意图】（1）利用问题链，经历运用向量证明简单几何命题的过程.（2）回顾平面向量基本定理的核心——基底，以及向量的运算律.体会围绕基底进行向量运算的过程.3.课后总结，结构搭建【回顾总结】我们在本节课中学习了如下知识：● 平面向量基本定理的内容● 用基底表示向量的一般方法● 三点共线的重要性质● 用向量方法证明简单的几何命题【设计意图】再次回忆、回顾本节课所学内容，巩固加深印象，为后续学习做准备.3.拓展提升，超越自我思考如图所示，在三角形ABC 中，D 为线段AB 上靠近A 的三等分点，E 为AC 中点，BE ，CD 相交于F 点.试用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CF⃗⃗⃗⃗⃗ . 【设计意图】供学有余力的同学研究.四、课外作业课本P27 练习1-3；本学案的“跟踪训练”。

6.3.1 平面向量基本定理高中数学人教A版(2019)必修二

故 OP ON BN 3 OA (ON OB) 3 (1 )OA OB ，
所以
3
3 4
(1
)
2
3
4 解得
9 10 3
5
，
4 所以 OP 3 a 3 b .
10 5
平面向量基本定理指出了平面内任一向量 a 都可以表示为同一平面内两个
不共线向量 e1 ， e2 的线性组合 a e1 e2 .在具体求 λ1，λ2时有两种方法：
__23_a__13_b__， OQ
_1__a__2_b__.(用 33
a
，b
表示)
B Q P
A
O
5.如图所示，在△OAB中， OA a ，OB b ，点M是AB上的靠近B的一个
三等分点，点N是OA上的靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，
求 OP .(用 a ，b 表示)
B
分析：可利用 OP OM 及 OP OB BN 两种形式来表示，并都转化为以 a ，b 为基底的表
a
A
aC
e1
e1
e2
O
e2
B
根据上述分析，我们得到如下定理：
如果 e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a 1 e1 2 e2 .
若 e1 ，e2 不共线，我们把 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一
达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得 λ， O μ，进而求得 OP .
M P
N
A
解：OM OA AM OA 2 AB OA 2 (OB OA) 1 a 2 b ，
3
3
33

6.3.1 平面向量基本定理

=t +(1-t) ,且存在实数r≥1,使得 =r ,从而 =rt +r(1-t) ,且rt+ r(1-t)=r≥1.又由于0≤t≤1,因此r(1-t)≥0. 对于①,rt=1,r(1-t)=2,解得r=3,t= ,既满足r≥1,也满足r(1-t)≥0,故①满足条件.
对于②,rt= ,r(1-t)= ,解得r= ,t= ,既满足r≥1,也满足r(1-t)≥0,故②满足条件. 对于③,rt= ,r(1-t)= ,解得r= ,t= ,不满足r≥1,故③不满足条件. 对于④,rt= ,r(1-t)= ,解得r= ,t= ,不满足r≥1,故④不满足条件. 故满足条件的点为M1,M2. 答案 (1) ( + ) (2)M1,M2
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第1讲描述运第动六的章基本概平念面向量及其应用
平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个① 不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=② λ1e1+λ2e2 .若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个③ 基底 .
第1讲描述运第动六的章基本概平念面向量及其应用
平面向量基本定理的应用
1.已知e1,e2是不共线的向量,求λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R). 其方法如下: (1)利用三角形法则; (2)利用平行四边形法则. 2.已知基底{a,b},用a,b表示向量c. 其一般方法如下: (1)线性运算法:利用三角形法则或平行四边形法则进行转化. (2)向量方程(组)法:设c=xa+yb,x,y∈R,用待定系数法求出x,y.
第1讲描述运动的基本概念
高中数学必修·第二册人教A版

6-3-1 平面向量基本定理(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册

44
D.
1 4
AB
3 4
AC
解析：如图，由
E
为
AD
的中点，得
AE
1 2
AD
，
EB AB AE AB 1 AD .
2
又
D
为
BC
的中点，
AD
1 2
AB
1 2
AC
，
EB
AB
1 4
AB
1 4
AC
3 4
AB
1 4
AC
.故选
A.
AD 7.如果 e1 ， e2 是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( )
对于 D，由 AM x AB y AC ，且 x y 1 ，可得 2AM 2x AB 2 y AC ，2x 2y 1 ， 2
设 AD 2AM ，则 AD 2x AB 2 y AC ， 2x 2y 1 ，可知 B，C，D 三点共线，
△MBC
的边
BC
上的高是△ABC
的边
BC
上的高的
BC
4BD
，所以
BD
1 4
BC
1 4
( AC
AB)
1 4
AC
1 4
AB
，
所以 AD AB BD AB 1 AC 1 AB 3 AB 1 AC .
4 4 44
因为
AC
3CE
，所以
AE
2 3
AC
，所以
BE
AE
AB
2 3
AC
AB
.
(2)因为 AM 2 AB 2 AC ，所以 BM AM AB 1 AB 2 AC .
1 4
AB

数学人教A版必修第二册6.3.1平面向量基本定理课件(3)

A.e1 − e2 ，e2 − e1
1
B.2e1 − e2 ，e1 − 2 e2
C.2e2 − 3e1 ，6e1 − 4e2
D.e1 + e2 ，e1 − e2
【答案】：
练习巩固
Ԧ
变式1-2：若向量a，不共线，则Ԧ＝2Ԧ －，Ԧ＝3Ԧ －2，试判断{，
Ԧ }能否
作为基底．
Ԧ
解：设存在实数，使＝
于是 = a − .
∙ = (a + ) ∙ (a − ) = a2 − 2 .
因为 =
1
，所以
2
= .
因为a2 = 2 ， 2 = 2 ，所以 ∙ = 0.
因此 ⊥ .
于是∆是直角三角形.

练习巩固
练习2：D，E，F分别为∆ABC的边BC，CA，AB上的中点，且BC = a，CA = ，则下列
A
结论中正确的是（）.
.AD =
1
− a
2
−
B. BE = a +
1

2
C.CF =
1
− a
2
+
1

2
【答案】：
D.EF =
1
F
a
2
B
E
D
C
变式2-1：如图所示， ▱ 中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，
若AB＝a， AD＝，试用a，表示向量AG.
2
3
复习导入
夹角
∈ 0，，（注意共起点）
向量的夹角
特殊情况
向量的
数量积
定义
Ԧ ∙ = ||||cosθ

平面向量基本定理-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)

= ， = . 将按，的方向分解，你有
什么发现？
M
A
a
e1
C
a
e2
O
N
B
思考：平面内的两个不共线的向量e1 、e2与该平面内的
任一向量a 之间有什么关系？
M
A
a
e1
C
a
e2
如图 OC = OM + ON
OM = λ1 OA = λ1e1
OC = λ1e1 + λ2 e2
⑵向量的加法：
B
b
b
a
C
a b
A
a
O
平行四边形法则
B
a b
b
O
A
a
三角形法则
上节我们学习了向量的运算，知道位于同
一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示.
b = λa
a
b
类似地，平面内任一向量是否可以由同一平
面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合
力；反过来，一个力可以分解为两个力.
一、复习回顾:
⑴向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当 0时， b 与 a 同向，且 | b | = | a | ;
当 0 时，b 与 a 反向，且 | b | =|||a | ;
当 0 时，b 0 ，且 | b | 0 。
思考：改变不共线的向量e1 、e2与任一向量a ，
A
是否有类似的结论？
B
e1
e1
e2
a
e2
N
a
O

2022-2023学年人教A版必修第二册 6-3-1 平面向量基本定理课件(70张)

课堂篇·重点难点研习突破
研习 1 基底概念的理解 [典例 1] (多选)如果 e1，e2 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( BC ) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量 B．对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2 的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量 λ1e1＋μ1e2 与 λ2e1＋μ2e2 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1 ＋μ2e2) D．若实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0 [思路点拨] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基底向量 e1 与 e2 不共线和平面内向量 a 用基底 e1，e2 表示的唯一性求解．
第六章平面向量及其应用
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
新课程标准
新学法解读
平面向量基本定理是本节的重点又是难点．为了
更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向理解平面向量基
量的方向及模的大小作图观察 λ1，λ2 取不同值时本定理及其意义.
的图形特征，得到平面上任意一个向量都可以由
[练习 1] 设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1； ③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是___③_____．(写出所有满足条件的序号)
解析：①设 e1＋e2＝λe1，无解， ∴e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 可作为一组基底； ②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则12＋＋2λ＝λ＝00，，无解， ∴e1－2e2 与 e2－2e1 不共线，即 e1－2e2 与 e2－2e1 可作为一组基底； ③∵e1－2e2＝－21(4e2－2e1)，

人教版高中数学必修第二册： 6.3.1平面向量基本定理【课件】

其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ B ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
解： ①与不共线；② = − ，则与共线； ③ 与不共
线； ④ = −，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不
共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．故选B.
于是∆是直角三角形.
1. 在∆中， = ，
Ԧ
= ，若，分别在，边上，
2
1
A）
且 = 2， = 2.则向量 + 表示（
Ԧ
3
A.
B.
3
C.
D.
解：如图所示， = + ，
2
因为 = 2，所以 = 3 .
Ԧ 1 ， 2 的方向分解，能
发现什么？
如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；
过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，
则 = + . 由与1 共线，与2 共线可得，存在实数
1 ，2 ，使得 = 1 1 ， = 2 2 ，所以Ԧ = 1 1 + 2 2 .
也就是说，与1 ， 2 都不共线的向量都可以表示成
Ԧ
1 1 + 2 2
的形式.
问题3 当是与
Ԧ
Ԧ
1 或 2 共线的非零向量时，是否也可以表
示成1 1 + 2 2 的形式？当是零向量呢？
Ԧ
平面内任一向量都可以按
Ԧ
1 ， 2 的方向分解，表示成1 1 + 2 2
存在唯一一个实数，使 = .
Ԧ
思考根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于
这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由

6.3.1平面向量基本定理课件(人教版)

成立.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：基底
若 e1,e2 不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的
一个基底.
问题1：零向量可以作为基底吗？
零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.
问题2：一组平面向量的基底有多少对？
ห้องสมุดไป่ตู้
无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？
可以不同，也可以相同
F
以 OM ,ON 为基底
OC OM ON
M
C
以 OF,OE 为基底
OC OF OE
O
N
E
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.若{e1,e2} 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的
课堂总结
思考：如果给定的两向量 e1,e2 共线，还能用来表示这一平面内的任何一
个向量吗？
不能，此时1e1 2 e2 与 e1, e2 共线，当向量a
与它们不共线时，则无法表示.
只有 e1,e2 不共线，才可以用来表示平面内的任一向量.
e1 e2
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：用 a 1e1 2e2 表示平面内任何一个向量 a 时，实数λ1，λ2是唯
①再给出另一个向量a ，还能这样表示吗？
M
C
②与e1 或 e2 共线的向量，a 能这样表示吗？
③零向量，如e1 何表示？
取λ1=λ2=0. 即 0 0e1 e20e2
O
NB
平面上任意一个向量a 都可以表示为：

6.3.1平面向量基本定理课件-高一下学期数学人教A版必修第二册

巩固新知
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
√
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
平面向量相等的充要条件
巩固新知
【练习】(1)(多选)设{，}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A.＋和－ B.3－4和6－8 C＋2和2＋ D.和＋(2)已知向量{，}是一个基底，实数x，y满足 (3x－4y)＋(2x－3y)＝6＋3，则x－y＝_____.
典型例题
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的一种方法：是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止
例1.已知，C为线段AO上距离A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用表示的表达式为（）
C
D
B
典型例题
2.向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.
A
解题反思：1.直径所对的圆周角为直角
练习2
已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
巩固新知
【练习】课本P27 练习3
典型例题
P、A、B三点共线
C
练习3：
拓展训练
例4.
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法：1.运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止2.通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
A
拓展训练
探究新知
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
说明：若共线，则当与共线时可用表示，且表示方法不唯一；
当不共线时不可用表示
判断正误：如果是平面α内两个不共线的向量 1.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底（） 2.一个平面内任意两个向量都可作为两个基底（） 3.基底向量可以是零向量（） 4.使一确定向量的实数对(无数多个( ) 5.若λ＋μ=，则λ =μ=0( )

6.3 6.3.1 平面向量基本定理2019(秋)数学必修第二册人教A版(新教材)改题型

教材知识探究
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此. 在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？
正确，并说明理由. (1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.
10
课前预习
课堂互动
又AA→→BD＋－BA→→CB＝＝AB→→CD，，则xy－＋xy＝＝ab，，所以 x＝12a－12b，y＝12a＋12b，即A→B＝12a－12b，B→C＝12a＋12b.
14
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
@《创新设计》
规律方法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解. 【训练 2】如图所示，梯形 ABCD 中，AB∥CD，M，N 分别是 DA，BC 的中点，且DABC＝k，设A→D＝e1，A→B＝e2，以 e1， e2 为基底表示向量D→C，B→C，M→N.
23
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
二、素养训练
1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )