平面向量的数乘运算

2. 设 e1 , e2 , 是两个不共线的向量, 已知 AB = 2 e1 +k e2 , CB = e1 +3 e2 , CD = 2 e1－e2 , 若A, B, D 三点共线, 求 k 的值.
例 平行四边形ABCD的两条对角线相交于点,M
且A
B
a,A
D
b,试
用a,b表 示M
A、M B、M C、M D.
学习目标
1. 理解掌握向量数乘运算及其几何意义, 数乘运算律,并能熟练地运用定义和运算 律进行有关计源自文库.
2. 理解、掌握向量共线定理, 会根据向 量共线定理判断两个向量是否共线及其 几何意义.
温故知新
1.练习：已知非零向量 a ：
作出 a + a + a 及
O
(-a) + (-a) + (-a)
D
小结
1. 实数与向量的积及其运算律。 2. 两个向量共线的条件。
三.共线向量定理
定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有
唯一一个实数λ ,使b= λa
例2. 已知向量AD 3AB, DE 3BC,
E
试判断 AC与AE是否共线.
C
练习3 P90 练习A4
B
D
共线问题
1. 设e 1,e2 是不共线向量，e1-4e2和 ke1+e2共线,求实数k的值。
例2. 已知两个非零向量 a,b, 试作 OA a b,
OB a 2b, OC a 3b, 你能判断A、B、C 三点共线吗？为什么？
C
b
Bb
a
O
Ab b
a
三.共线向量定理
定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有
唯一一个实数λ ,使b= λa
练习4. 设 e1 , e2 是两个不共线的向量, 已知 AB = 2 e1 +k e2 , CB = e1 +3 e2 , CD = 2 e1－e2 , 若A, B, D 三点共线, 求 k 的值.
(λ,μ R)
例1 .计算: ( 1 )(3 ) 4a; ( 2 )3 (a b) 2 (a b) a; ( 3 )( 2a 3b c) ( 3a 2b c) .
三.共线向量定理
定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一
一个实数 λ,使b= λa
练习2.已知单位向量 e, 向量a=3 e, b=-4 e
则
b＝
4 3
a;
a与 b 共线吗？
思考 若 a (a≠0)与 b 共线, 能写成 b＝λ a
形式吗？
练习3 判断下列各题中的向量 a与b是否共线. (1) a 2e, b 2e;
(2) a e1 e2, b 2e1 2e2
三.共线向量定理
定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有
唯一一个实数λ ,使b= λa
A OA=3a B BD=-3a
2.探究：实数λ 与向量 a 的积是向量吗?
它的长度和方向与向量 a 有何关系？
一.向量数乘定义：
实数λ与向量 a的积是一个向量,记作λ a
它的长度与方向规定如下：
(1) | λa || λ | | a |
(2) 当λ＞0时, λa 的方向与 a的方向相同； 当λ＜0时,λa的方向与 a 的方向相反.
D
C
D
C
N
M
A
B
A
M
B
练习1:如图,在平行四边形ABCD中,点M是 AB中 点,点N在线段BD上,且有BN= 1 BD，
3
求证：M、N、C三点共线
当λ=0时, λ a = 0
练习1 点C在线段AB上,且
B
C
_
2
_7_A
B
AC CB
5 2
, 则A C
5 _7_ _A B,
二.数乘运算律
λ(μa) (λμ)a
(λ μ)a λa μa
λ (a b) λa λb
特别地, (λ)a (λa) λ(a)
λ(a b) λa λb