向量的数量积经典例题(含详细答案)

向量的数量积经典例题（含详细答案）

1．已知3,4a b ==，,a b 的夹角为120.

求（1）a b ，()()22a b a b +⋅-；（2）23a b +

2．已知向量a 、b 的夹角为2,||1,||23

a b π==.

（1）求a ·b 的值 （2）若2a b -和ta b +垂直，求实数t 的值.

3．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=

（1）若a b ⊥，求2a b +；

（2）若0m =，求a b +与a b -夹角的余弦值.

4．已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=，

（1）求()a b c ⋅+；

（2）若()a b c λ+∥，求实数λ的值.

5．已知||2a =，||3b =，且(23)()2a b a b -+=.

（1）求a b ⋅的值； （2）求a 与b 所成角的大小.

6．已知()1,2a =，()3,4b =-

（1）若ka b +与2a b -共线，求k ； （2）若ka b +与2a b -垂直，求k .

7．已知2,3a b ==,a 与b 的夹角为60︒,53c a b =+,3d a kb =+,

(1)当c d 时，求实数k 的值；

(2)当c d ⊥时，求实数k 的值.

参考答案

1．（1）6-，32-； （2）

【解析】

【分析】

（1）根据向量数量积的定义进行求解；

（2）根据()22323a b a b +=+先求数量积，再求模长． 【详解】

解：（1）∵3,4a b ==，,a b 的夹角为120，

∴cos120a b a b ︒=1

34()2

=⨯⨯-=6-， ()()22a b a b +⋅-=22223a

b a b -+292163(6)=⨯-⨯+⨯-=32-；

（2）23a b +=)223=a b +22

4912a b a b ++== 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积的定义及平面向量的模长，考查计算能力，属于基础题． 2．（1）1-；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）利用数量积的定义直接计算即可． （2）利用()()20t b a b

a +=-可求实数t 的值． 【详解】

（1）21cos 12132a b a b π⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． （2）因为2a b -和ta b +垂直，故()()20t b a b

a +=-， 整理得到：()22220ta t a

b b +--=即()12212402t t ⎛⎫+-⨯⨯⨯-

-= ⎪⎝⎭， 解得2t =．

【点睛】

本题考查数量积的计算以及向量的垂直，注意两个非零向量,a b 垂直的等价条件是

0a b ⋅=，本题属于基础题．

3．（1）25a b +=（2【解析】

【分析】

（1）由题可得0a b ⋅=，解出1m =，()()()21,24,23,4a b +=-+=，进而得出答案。 （2）由题可得(1,2)a b +=，-(3,2)a b =-，再由cos -a b a b a b θ⋅=+计算得出答案，

【详解】

因为a b ⊥，()()1,2,2,a b m =-=

所以0a b ⋅=，即220m -+=

解得1m =

所以()()()21,24,23,4a b +=-+= 22345a b +=+=

（2） 若0m =，则()2,0b =

所以(1,2)a b +=，-(3,2)a b =-

5,a b +=，-13a b =，341a b ⋅=-+=

所以1cos 655-a b a b a b θ⋅=

==⋅+【点睛】

本题主要考查的向量的模以及数量积，属于简单题。

4．（1）10；（2）1118-

【解析】

【分析】

（1）根据向量的坐标运算，得到b c +，然后利用向量数量积的坐标运算，得到()

a b c ⋅+的值；（2）根据向量的坐标运算，得到a λb +，再根据向量平行得到关于λ的方程，求出λ的

值.

【详解】

（1）因为()2,1a =-，()3,2b =-，()3,4c =

所以()6,2b c +=

所以()()261210a b c ⋅+=⨯+-⨯=.

（2）()23,12a b λλλ+=+--

因为()a b c λ+∥

所以()()234123λλ+⨯=--⨯ 解得1118λ=-

【点睛】

本题考查向量线性运算的坐标表示，向量数量积的坐标表示，根据向量的平行求参数的值，属于简单题.

5．（1）3a b ⋅=-；（2）56πα=

. 【解析】

【分析】

（1）由(23)()2a b a b -⋅+=即||2a =，||3b =

，利用向量的数量积的运算律，计算可得。

（2）由夹角公式cos a b a b α⋅=

⋅计算出夹角的余弦值，即可求出夹角。 【详解】

解：（1）

()()232a b a b -⋅+= 2222332a a b a b b ∴+⋅-⋅-=

||2a =，||3b =

3a b ∴⋅=-

（2）由（1）知3a b ⋅=-，||2a =，||3b =

3cos 23

a b

a b α⋅-∴===⨯⋅[]0,απ∈

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πα∴= 【点睛】

本题考查向量的数量积的运算律，特殊角的三角函数值及夹角公式，属于基础题。 6．（1）12-

； （2）9-. 【解析】

【分析】

（1）求得(3,24)ka b k k +=-+，2(7,6)a b -=-，根据向量的共线条件，即可求解。 （2）根据向量的垂直条件，列出方程，即可求解。

【详解】

（1）由题意，向量()1,2a =，()3,4b =-， 则(1,2)(3,4)(3,24)ka b k k k +=+-=-+，2(1,2)(6,8)(7,6)a b -=--=-， 因为ka b +与2a b -共线，可得(3)(6)(24)7k k -⨯-=+⨯，

解得12k =-。 （2）由（1）可得，向量(3,24)ka b k k +=-+，2(7,6)a b -=-，

因为ka b +与2a b -垂直，可得(3)7(24)(6)0k k -⨯++⨯-=， 解得9k =-。

【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的共线与垂直的应用，其中解答中熟记向量的共线与垂直的条件，以及熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

7．（1）95k =

；（2）2914

k =-. 【解析】

【分析】