高中数学竞赛专题讲座之解析几何

高中数学竞赛专题讲座之解析几何一、选择题部分1、(集训试题)过椭圆C ：12322=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。

当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ）A ．]33,0(B ．]23,33(C ．)1,33[D ．)1,23(解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。

又∵HQ=λPH ，所以λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=yy x x 11)1(3λλ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33[321322322∈-=-λλλ。

故选C 。

2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D)A .212y x =-B .212y x =C .216y x =-D .216y x =3．（2006年江苏）已知抛物线22y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有（ B ）()A 0个()B 2个()C 4个()D 6个4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线12222=-by a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ A ）（A ）22ab ab- （B ）22a b ab - （C ）ab a b 22- （D ）ab a b 22- 5. (2005全国)方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),23cos()22cos(,223220,32ππππππ->-∴<-<-<∴>+ 即.3sin 2sin >又,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32,220>-∴<>∴<<<<πππ方程表示的曲线是椭圆。

)()4232sin(232sin 22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π,0)4232sin(.423243,432322,0232sin ,02322>++∴<++<∴<+<<-∴<-<-πππππππ.0)(<*∴式即∴-<-.3cos 2cos 3sin 2sin 曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C 。

6．（2006年浙江省预赛）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。

（ C ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。

正确答案为C 。

7．（2006年浙江省预赛）设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为(A)31 (B) 32 (C) 1 (B) 34. （ B ）解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。

为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。

由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-。

因此N M 的图形面积为32。

所以选（B ）。

二、填空题部分1．（200 6天津）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ），长轴的两个端点为A 、B ，若椭圆上存在点Q ，使120=∠AQB ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是136<≤e ． 2．（2006年江苏）已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y +的最大值是 9 ．3．（2006吉林预赛）椭圆x 2/a 2+y 2/b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，左焦点为F ，若∠ABF 是直角，则这个椭圆的离心率为_________。

4、（2006陕西赛区预赛）若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为 12)1()21(222=++-y x 5. (2005年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（20πα≤≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。

假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是 。

【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P ) ,(y x 。

设机器人改变方向的点为A ，a OA =，b AP =。

则由已知条件有 20102=⨯=+b a ，以及⎩⎨⎧+==b a y a x ααsin cos .所以有 ⎩⎨⎧=+≥++=+=+≤++=+20)cos (sin 400)(sin 222222b a b a y x b a b ab a y x ααα 即所求平面图形为弓形，其面积为200100-π 平方米。

6.（2006年浙江省预赛）已知 {}R y x y x y x A ∈=-++-+=ααα,0)1)(sin 1(2cos 2),(22,{}R k kx y y x B ∈+==,3),(。

若B A ⋂为单元素集，则3±=k 。

解 由1)1(sin 1,cos 0)sin 1()cos (0)1)(sin 1(2cos 2222222=-+⇒+==⇒=--+-⇒=-++-+y x y x y x y x y x ααααααB A ⋂为单元素集，即直线3+=kx y 与1)1(22=-+y x 相切，则3±=k .7. (2005全国)若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 80 .解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11y x C 、),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联立，得.1122,12+±=⇒+=b x b x x 令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ①在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的距离为5|17|,b a a +=∴②.①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802min 2=∴=a a8、（2004 全国）在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为_______________。

解：经过M 、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3－x 上，设圆心为S （a ，3－a ），则圆S 的方程为：222()(3)2(1)x a y a a -+-+=+.对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过M ，N ，P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足222(1)(3),a a +=-解得 a=1或a=－7。

即对应的切点分别为'(1,0)(7,0)P P -和，而过点M ，N ，'p 的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以'MPN MP N ∠>∠，故点P （1，0）为所求，所以点P 的横坐标为1。

三、解答题部分1．(集训试题)已知半径为1的定圆⊙P 的圆心P 到定直线l 的距离为2，Q 是l 上一动点，⊙Q 与⊙P 相外切，⊙Q 交l 于M 、N 两点，对于任意直径MN ，平面上恒有一定点A ，使得∠MAN 为定值。

求∠MAN 的度数。

解：以l 为x 轴，点P 到l 的垂线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，设Q 的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q 的半径为r ，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=222+x =1+r 。

所以x=±322-+r r , ∴tan ∠MAN=kr x h o h r x h o h r x ho h r x r o k k k k AMAN AM AN ---⋅-+-+-----+-=⋅+-11322232)32(2)(22222222222-++-+=---+±=+--=r r k r k h rh h r r r rh h r k x rh ，令2m=h 2+k 2-3，tan ∠MAN=n1，所以m+r k 322-+r r =nhr ，∴m+(1-nh)r=322-+±r r k ，两边平方，得：m 2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r 2=k 2r 2+2k 2r-3k 2，因为对于任意实数r ≥1，上式恒成立，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=)3()1()2(2)1(2)1(322222k nh k nh m k m ，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=h 1。

由2m=h 2+k 2-3得h=±3，所以tan ∠MAN=n1=h=±3。

所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。

2、（2006吉林预赛）已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)，O 是坐标原点，M (0，b )(b >0)为y 轴上一动点，过M 作直线交C 于A 、B 两点，设S △ABC =m tan ∠AOB ，求m 的最小值。

（ －0.5p 2）3、（2006年南昌市）(高二)给定圆P:222x y x +=及抛物线S:24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,,,A B C D ,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y有⎩⎨⎧-==+442121y y k y y ,则212212214)()(y y y y y y -+=- 故)4()()()(||22212212212212y y y y x x y y AD -+-=-+-= 22221221)1(16])4(1[)(+=++-=k y y y y ,因此)1(4||2+=k AD据等差,BC AD CD AB BC -=+=2,所以63==BC AD 即6)1(42=+k ,22±=k ,则l 方程为122+=y x 或122+-=y x . 4．（2006年上海）已知抛物线22(0)y px p =>，其焦点为F ，一条过焦点F ，倾斜角为θ(0)θπ<<的直线交抛物线于A ，B 两点，连接AO （O 为坐标原点），交准线于点B '，连接BO ，交准线于点A '，求四边形ABB A ''的面积．xyoAB CDP解 当2πθ=时，22ABB A S p ''=．当2πθ≠时，令tan k θ=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则由()2py k x =-，① 22y px =， ②消去x 得，2220p y y p k --=，所以 122py y k+=， 212y y p =-． ③又直线AO 的方程为：11y y x x =，即为12p y x y =，所以，AO 与准线的交点的坐标为21(,)2p p B y '--，而由③知，221p y y =-，所以B 和B '的纵坐标相等，从而BB x ' 轴．同理AA x ' 轴，故四边形ABB A ''是直角梯形．………………（9分）所以，它的面积为11()22ABB A S AA BB A B AB A B ''''''''=+⋅=⋅ 21y y =-211()2y y =-21212()4y y y y ⎡⎤=+-⎣⎦ 332222221212(1cot )p p k θ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．………………（14分）5. (2005年浙江)（20分）设双曲线122=-y x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，若21F PF ∆的顶点P 在第一象限的双曲线上移动, 求21F PF ∆的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF 上的切点轨迹。