高中数学竞赛专题讲座之解析几何

高中数学竞赛专题讲座之解析几何

一、选择题部分

1、(集训试题)过椭圆C ：12

32

2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足）

，延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ）

A ．]3

3

,

0(

B ．]2

3,33(

C ．)1,3

3

[

D ．)1,2

3(

解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ，所以

λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：⎪⎩⎪⎨⎧

=-+=

y

y x x 11)1(3λ

λ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33

[32132232

2∈-=-λλ

λ。故选C 。 2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D)

A .212y x =-

B .212y x =

C .216y x =-

D .216y x =

3．（2006年江苏）已知抛物线2

2y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△

POF 是直角三角形，则这样的点P 共有

（ B ）

()A 0个

()B 2个

()C 4个

()D 6个

4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线122

22=-b

y a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两

点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ A ）

（A ）22a

b ab

- （B ）22a b ab - （C ）ab a b 2

2- （D ）ab a b 22- 5. (2005全国)方程

13

cos 2cos 3

sin 2sin 2

2

=-+

-y x 表示的曲线是（ ）

A ．焦点在x 轴上的椭圆

B ．焦点在x 轴上的双曲线

C ．焦点在y 轴上的椭圆

D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),2

3cos()22cos(,22

322

0,32π

ππ

π

π

π->-∴<

-

<-<

∴>+ 即.3sin 2sin >又

,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32

,220>-∴<>∴<<<

<ππ

π方程表示的曲线是椭圆。

)

()4

232sin(232sin 22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π

,0)4

232sin(.423243,432322,0232sin ,02322

>++∴<++<∴<+<<-∴<-<

-

π

ππππππ

.0)(<*∴式即∴-<-.3cos 2cos 3sin 2sin 曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C 。

6．（2006年浙江省预赛）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。 （ C ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确

答案为C 。

7．（2006年浙江省预赛）设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为3

1

，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为

(A)

31 (B) 3

2 (C) 1 (B) 34

. （ B ）

解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得，N M 的

图形在第一象限的面积为A ＝613121=-。因此N M 的图形面积为3

2

。 所以选（B ）。

二、填空题部分

1．（200 6天津）已知椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ），长轴的两个端点为A 、B ，若椭圆上存

在点Q ，使

120=∠AQB ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是

13

6

<≤e ． 2．（2006年江苏）已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩

，则22

x y +的最大值是 9 ．

3．（2006吉林预赛）椭圆x 2

/a 2

+y 2

/b 2

=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，左焦点为F ，若∠ABF 是直角，则这个椭圆的离心率为_________。

4、（2006陕西赛区预赛）若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆

22

128

x y +=截得线段的中点的轨迹方程为 12

)1()21(22

2=++

-y x 5. (2005年浙江)根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（2

0π

α≤

≤）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时

间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2

分钟时的可能落点区域的面积是 。

【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P ) ,(y x 。设机器人改变方向