数学建模台阶问题

台阶设计中的建模分析

一．问题的提出

台阶，楼梯是我们日常生活中常见的，天天行走的建筑结构，良好的台阶设计不仅可以节省上楼时间，也可最大限度的减少体力消耗。然而，不合理的设计会使人们上楼时既费时又费力，甚至还会发生危险。所以我们不禁要问，怎样设计台阶长度宽度比才能达到最优呢？

二．问题的分析

符号表示：

M 人体质量

g 重力加速度

l 人的小腿长度

v 人的正常行走速度

F 上楼过程中腿部力量

H 楼梯总体高度

h 台阶高度

r 台阶长度

P 人体登上高度H的楼梯时最舒适的输出功率

C 人的脚长

模型的假设：

1，人每走一步脚的前端接触到B点。

2，人的所有重量可以看成质点并集中在O（与集中在N是等价的），其他部位没有重量

3，每一步迈出同样的距离（台阶宽），并且连续前进。

4，人体上升的力量全部来自支撑腿的力F，F与h有关且在h取定的情况下F 大小不变且始终保持ON方向。

5，上台阶过程做功只在DN段，并且人总是以所谓最舒适的感觉（P恒定）上楼。

6，台阶宽度大于等于脚长

运动的分解：可以将登上台阶看为两个运动过程

1.（由M到N）人若想登上台阶，向前倾斜重心将是第一步，毕竟人是前进的。要在D点发力，将M点移动到N点将是合理的。而且此过程与人在平地行走时的状态非常接近（这里将它们等同看待，速度也为v，v的方向近似水平）。为了简化计算，可以令此段做功充分小从而可以忽略（因为我们的主要矛盾是上楼，此段做功的变化也是相当于平地上走5米与10米的区别，而这种差别在正常人看来是微乎其微的）

2.（N点竖直向上达到直立并回到初始状态）在此过程中所做的功为F的贡献（这里腿部的屈申很类似课堂上铅球投掷模型中球的出手过程，因为当时的主要矛盾为球的初速度，所以可以将其近似看做线性关系，然而此时的重点是这个屈申过程，因此假设与模型机理自然不同）。随后根据生物课所学知识，可以知道，人腿的运动都是靠肌肉细胞的伸缩变化产生伸缩力的（伸缩方向只能沿腿的方向），因此这里可以将所有肌肉的发力等效看为一个力，方向总是沿着腿的方向，大小恒定（实际上F要随着角度的变化而变化，为了简化问题可以将其设为恒

定）。由于考虑到人在2过程上升时做的功实际为非保守力所做功（并不是

w=mgh），一个很简单的直观，就是同样登上两米的高度我们分10步与分2步腿部做功一定不同。造成这种差异的根源在于腿的承重能力与发力方向角度的大小(也就是说台阶越高，我们所做的额外功越多)。所以要去用数学的观点度量所谓“腿部做功”这个概念，假设4将是必要的。其次我们要去度量所谓“舒适”与“疲劳”的概念。通常，在短距离内造成我们疲劳的主要原因实际为腿的运动强度过高，即功率P过大。这就使我们度量“舒适”成为可能。

三．模型的建立

由假设台阶总数即为（有分数出现时如则可近似看为取每一小段时间的倍。这种误差是可以被忽略的）

设那么过程一的时间为且满足关系代入可得过程一的总时间为

过程二的总时间为

其中为h,l,F,p的函数由于我们假设了M,N点有近似相同的高度。那么是与x 无关的函数。若令总时间最小，一定要求x最小。所以可得。我们得到结论台阶宽度应设计为近似脚长的宽度。并据此讨论h的变化由于我们先假设F大小恒定。若F能带动人体上移，必要求Fy至少等于mg，那么在最省力的情况下，我们取 .此时我们已将F分解。因此N点运动到S点过程中要求F所做的功只需对Fx Fy分别求功即可。

当台阶高为h时Fy方向上的做功：设NNm的长度为变量m，当Nm由N运动到S时。M由0→h变化。计算得

用微元分析，当m变化△m时。

其中S（△m）为Om竖制直方向上运动距离。对m积分

2，当台阶高为h时Fx方向上的做功：

微元分析，增加△m，我们得到

两边同除△m，并令△m→0。因此

其中S（m）为PmOm的长度。对m积分

由于我们假定的F为h的函数(h取定时大小恒定)。所以取

综上我们得到上楼总时间

下面我们来由此式确定T的最小值，将参数

P待定。

以上计算都可交给maple完成。计算过程如下

⌝ t:=m->sqrt(0.47^2-((2*0.47-h+m)/2)^2);

⌝ diff(t(m),m);

⌝

e:=m->-sqrt(0.47^2-((2*0.47-h+m)/2)^2)*1/2/(.2209-(.4700000000-1/2*h+1/2* m)^2)^(1/2)*(-.4700000000+1/2*h-1/2*m)/0.47;

⌝ int(e(m),m=0..h);

⌝ wy:=h->(2*0.47*h-h^2/2)/(4*0.47);

⌝ F:=h->(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h);

⌝ wx:=h->> .4999999999*h-.2659574468*h^2

由此，我们发现，Wx,Wy做功基本是一样的。所以最终，总时间表示为

>f:=h->H*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h^2+. 5*h-.2659574468*h^2)+0.26*P)/(h*P*1.2);

而且根据如上结果我们可以观察出人腿做功（Wx(h)+Wy(h)）与实际有效功Mgh 之间的关

系随h变化的过程图。

其中红线为人腿做的总功，黄线为有效功Mgh。这种变化也是符合我们感觉的，例如，随h的增大，我们迈上台阶会感到越发的费力，h越大这种变化越明显。

随后进行几组实验来确定P的近似取值。分别选取不同的楼梯，从下走到上按一般速率（不感到劳累），并记录下经过的时间。并根据假设与上式分别求得P，得到下表

次数台阶数n 台阶高度h 总高度H 时间t 功率P

1 20 0.17 3.4 18.11 142.34

2 18 0.15 2.7 14.8

3 140.49

3 25 0.1

4 3.

5 18.92 133.09

4 16 0.18 2.88 15.06 144.31

5 20 0.1

6 3.2 16.8

7 146.18

6 22 0.1

7 3.74 18.87 152.94

7 20 0.15 3 15.79 148.92

8 18 0.16 2.88 14.91 149.79

9 16 0.17 2.72 15.10 134.85

经实践证明，P并没有随总高度H以及h的变化而发生太大变化，说明我们之前的假设是基本合乎情理的。这里取9次测量的平均值作为P，所以我们得到

P=143.66.

我们在第一种情况下对T进行分析。取H=3.4

>f:=h->3.4*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h^2 +.5*h-.2659574468*h^2)+0.26*143.65)/(h*143.65*1.2);

⌝ plot(f(h),h=0.1..0.5);