初三数学-相似三角形的判定知识讲解
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。
在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。
本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。
一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。
1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。
1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。
例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。
2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。
具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。
3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。
具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。
相似三角形的性质在数学中应用广泛。
例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。
相似三角形的定义及其判定定理
相似三角形的定义及其判定定理本周重点和难点：相似三角形的判定定理一、知识点回顾1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2、定理：平行于三角形的一边的直线和和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形的传递性：如果△ABC ∽ △A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1 ∽ △A 2B 2C 2，那么△ABC ∽ △A 2B 2C 2。
4、相似三角形的判定方法：（1）根据定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。
（2）根据平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。
（4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
二、例题：例1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长。
解：∵DE ∥BC ∴ECAE DB AD =（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。
） ∴AD×EC=DB×AE又∵AD=EC ，AE=4cm ，DB=1cm∴AD=EC=DB AE ⋅=2cm又∵DE ∥BC ∴BCDE AB AD =（平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
）∴DE=310例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AE 平分∠CAB ，BD ⊥AC 于D ，交AE 于F ，那么图中相似三角形共有多少对？解：∵BD ⊥AC ，∠ABC=90°∴△ADB ∽ △BDC ∽ △ABC 。
又∵AF 平分∠BAC∴∠DAF=∠BAE∴Rt △ABE ∽ Rt △ADF∴图中共有4对相似三角形。
《相似三角形》知识结构详解
《相似三角形》知识结构详解相似三角形是中学数学中的重要内容之一，它是几何学中的基本概念之一。
了解相似三角形的知识结构，对于理解几何学的其他内容，以及解决相关的几何问题具有重要的意义。
一、相似三角形的定义与判定相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
具体来说，当两个三角形的对应角度相等，而对应边的长度之比也相等时，这两个三角形就是相似三角形。
相似三角形的判定方法主要有三种：1. AA准则：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
2. AAA准则：如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
3. SSS准则：如果两个三角形的三个边的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 边长比的性质：在两个相似三角形中，对应边的长度之比是相等的。
2. 高度与边长的关系：在两个相似三角形中，对应高度与对应边的长度之比也是相等的。
3. 面积比的性质：在两个相似三角形中，对应边长的平方之比等于对应面积的比值。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学的许多问题中都有重要应用，常见的应用有以下几个方面：1. 求解边长和比例：已知两个相似三角形的一些边长和比例，可以通过相似三角形的性质推导出未知边的长度，从而解决实际问题。
2. 求解高度与面积：已知两个相似三角形的高度和面积之比，可以通过相似三角形的性质计算出未知高度和面积的值。
3. 解决几何问题：在解决与三角形相关的几何问题时，通过相似三角形的知识可以简化问题的分析和计算过程，提高解题效率。
4. 测量与工程应用：相似三角形的概念在测量和工程应用中经常被使用，例如通过测量相似三角形的边长比例可以计算出远处物体的高度。
综上所述，相似三角形是几何学中的重要概念之一，它的定义、判定方法、性质以及应用都需要我们掌握和理解。
通过深入研究相似三角形的知识结构，我们能够更好地理解几何学中的其他内容，并能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点咱来唠唠九年级数学里的相似三角形知识点哈。
一、相似三角形是啥玩意儿呢？简单来说，相似三角形就像是三角形家族里的“克隆兄弟”，它们形状相同，但大小可能不一样。
就好比你用放大镜看一个小三角形，放大后的三角形和原来的小三角形就是相似的。
二、相似三角形的判定方法1. 两角对应相等- 如果两个三角形有两个角分别相等，那这两个三角形就相似。
这就像是两个人，只要他们在两个关键的地方（角度）长得一样，那他们就有相似之处。
比如说三角形ABC和三角形DEF，要是∠A = ∠D，∠B = ∠E，那这两个三角形就相似啦。
2. 两边对应成比例且夹角相等- 想象一下，两个三角形的两条边的长度比例是一样的，而且这两条边所夹的角也相等。
就像两根一样比例的小棍，它们夹着相同角度的话，那这两个三角形也是相似的。
比如在三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，那这两个三角形就相似喽。
3. 三边对应成比例- 这个就更好理解啦，三个边的长度比例都一样的两个三角形肯定相似。
就好比三个小伙伴，他们的身高、臂长、腿长的比例都相同，那他们就是相似的三角形啦。
如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
三、相似三角形的性质1. 对应边成比例- 相似三角形的对应边的比例是相等的。
就像前面说的那些判定方法里的边的比例一样。
如果三角形ABC相似于三角形DEF，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF，这个比例是固定的哦。
2. 对应角相等- 因为相似三角形形状相同嘛，所以它们的对应角肯定是相等的。
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的周长比等于相似比- 相似比就是对应边的比例。
比如说相似三角形ABC和DEF的相似比是k （AB/DE = k），那么它们的周长比也是k。
就好比两个相似的图形，一个大一个小，大的图形的周长是小的图形周长的k倍。
九年级数学相似三角形的判定及证明技巧讲义
相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。
本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。
2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。
3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。
4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。
2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。
3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。
4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。
以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。
在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。
同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。
祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的判定条件：(1)AA相似判定法：如果两个三角形的两个角相等，则这两个三角形是相似的。
(2)SAS相似判定法：如果两个三角形的对应两边成比例并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
(3)SSS相似判定法：如果两个三角形的对应三条边成比例，则这两个三角形是相似的。
3.相似三角形的性质：(1)对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度之比相等。
即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
(2)对应角相等：在相似三角形中，对应角的度数相等。
即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
(3) 对应角的正弦值成比例：在相似三角形中，如果一个角和其对边的正弦值成比例，则另一个角和其对边的正弦值也成比例。
即sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
(4)图形相似：除了三角形外，相似三角形所在的图形也是相似的。
4.角平分线的性质：(1)在相似三角形中，角平分线之间的关系相等。
即角平分线所分的两个角对应的另外两个角也是相等的。
(2)在相似三角形中，角平分线和对应边长成比例。
即角平分线与对应边所分出的线段之比相等。
5.高度的性质：(1)在相似三角形中，高度之间的关系成比例。
即两个相似三角形的高度之比等于对应边长之比。
(2)在相似三角形中，高度与底边成比例。
即两个相似三角形的高度和底边之比等于对应边长之比。
6.面积的性质：(1)在相似三角形中，面积之间的关系成比例。
即两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
(2)在相似三角形中，面积与任意一边平方成比例。
即两个相似三角形的面积和任意一边的平方之比等于对应边长之比。
7.相似三角形的应用：(1)根据相似三角形的性质，可以通过测量一个三角形和两条边的比例，计算出另一个三角形的边长和面积。
(2)在地图上，可以利用相似三角形的性质，测量无法直接测量的远距离。
初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧
初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧一、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
二、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成一个类似于原三角形的三角形。
三、三角形相似的判定1、三角形相似的判定方法①、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似2、直角三角形相似的判定方法①、以上各种判定方法均适用②、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③、垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
相似常见类型二、相似常见结论1若DE//AB，则DG/AF=GE/BF2若AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/CD3若四边形ABCD是平行四边形，则AE⊃2;=EF·FG4若∠DAC=∠DBC，则△ADE~△BCE ,可推导出△AEB~△DEC即上下相似可得左右相似同理，左右相似可得上下相似相似三角形常见解题技巧1、三角形叉叉图这类题目经常考察寻找线段的比例或长度。
图中四对线段比AE/ED、AF/BF、CD/BD、CE/EF，知二求二。
常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例2、三角形的可解性一个三角形，必然有三角形、三边、三高、周长、面积等十一个量。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点九年级数学：相似三角形知识点1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例的三角形。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别相等，且每组对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. 相似三角形的标记在标记相似三角形时，通常使用希腊字母来表示对应的顶点。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，我们可以标记为：△ABC ∼△DEF。
3. 相似三角形的性质- 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
- 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 对应高的比值也相等：AH/DH = BH/EH = CH/FH（其中H是三角形的高所在的顶点）。
- 对应中线的比值也相等：AM/DM = BM/EM = CM/FM（其中M是三角形的中线所在的顶点）。
4. 相似三角形的判定- 三角形相似的判定定理一：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理二：如果两个三角形的三组对应边的比值都相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理三：如果两个三角形的两组对应边的比值相等，且它们之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
5. 相似三角形的应用- 解决实际问题：在建筑设计、地图制作等领域，相似三角形的概念可以用来解决比例缩放问题。
- 计算面积比：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。
即，如果AB/DE = x，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为x²。
- 证明几何定理：在证明某些几何定理时，可以通过证明三角形相似来简化证明过程。
6. 相似三角形的计算- 使用比例关系解决实际问题时，通常需要先确定比例系数，然后利用这个系数来计算其他边长或角度。
- 在计算面积比时，应先计算出三角形的边长比，然后根据边长比计算面积比。
7. 相似三角形的证明- 在证明三角形相似时，需要明确指出所使用的判定定理，并确保所有的条件都满足。
初中数学知识归纳相似三角形的判定和性质
初中数学知识归纳相似三角形的判定和性质相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在解决几何问题中有着广泛的应用。
通过判定和理解相似三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决各种实际问题。
本文将对相似三角形的判定和性质进行归纳总结，并通过案例讲解来加深理解。
一、相似三角形的判定相似三角形的判定方法有多种，下面将介绍两种常用方法。
方法一：AAA相似判定法如果两个三角形对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
即如果两个三角形的三个内角相对应相等，那么这两个三角形一定相似。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么△ABC与△DEF就是相似三角形。
方法二：三边成比例判定法如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么△ABC与△DEF就是相似三角形。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，下面将逐一介绍。
性质一：对应角相等相似三角形的三个内角两两相等。
性质二：对应边成比例相似三角形的对应边之间成比例。
性质三：高度、中线、角平分线比例相等相似三角形的高度、中线、角平分线对应线段之间成比例。
性质四：面积比例的平方等于边长比例的平方相似三角形的两个相似部分的面积比例等于对应边长比例的平方。
性质五：周长比例等于边长比例相似三角形的周长比例等于对应边长比例。
三、相似三角形的应用举例相似三角形的应用非常广泛，在日常生活和工作中都能见到。
例一：海报设计小明要为学校一次活动设计海报，他发现海报上有两座塔楼，现场测量得到塔楼的高度和距离，希望通过相似三角形的原理计算出塔楼的实际高度。
他需要以此为基础来设计整个海报的比例。
解决方案：小明可以通过测量海报上塔楼的高度和距离，根据相似三角形的性质，计算出实际塔楼的高度。
然后，他可以按照比例来设计整个海报的各个元素，使其符合实际情况。
例二：估算高楼的阴影长度阳光直射下，高楼的阴影长度对人们的日常活动有一定的影响。
九年级数学相似三角形的判定知识讲解（含解析）
九年级数学相似三角形的判定知识讲解（含解析）1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力。
一、相似三角形的概念如图所示：在△ABC 和△A'B'C' 中，如果则△ABC 和△A'B'C' 相似，记作：△ABC ∽ △A'B'C' ，k 是相似比，“∽” 读作“相似于” 。
注：当相似比为1 时，两个三角形全等.（相似不一定全等，但全等一定相似！）。
二、相似三角形的判定方法（4种方法）1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应边所包含的夹角相等，那么这两个三角形相似.；4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
三、相似三角形的常见图形及其变换四、例题讲解例题1、下列说法错误的是（ C ）A、有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似；B、全等的两个三角形一定相似；C、对应角相等的两个多边形相似；D、两条邻边对应成比例的两个矩形相似。
例题2、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD上的点，AE = ED ， DF = 1/4DC,连接 EF 并延长交 BC 的延长线于点G 。
① 求证：△ABE∽△DEF；② 若正方形的边长为 4，求线段 BG 的长。
注：此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用。
例题3、如图，小正方形边长均为 1，则图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是哪一个？解题思路：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似。
相似三角形的判定(解析版)
相似三角形的判定(解析版)相似三角形的判定（解析版）相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
判定两个三角形是否相似有多种方法，本文将介绍三种常见的相似三角形判定方法，并以解析的方式解释其原理和应用。
一、AA相似判定法AA相似判定法是通过两个三角形的相似角和对应边的比值来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 观察两个三角形中的对应角，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E（或∠C = ∠F），则可以得出两个三角形的相似角。
3. 检查两个三角形中对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF（或AC/DF）成立，则可以得出两个三角形相似。
通过AA相似判定法，我们可以快速判定两个三角形是否相似，并且可以进一步得出它们对应边的比值关系。
二、SSS相似判定法SSS相似判定法是通过两个三角形的边长比值来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 检查两个三角形中各对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF =AC/DF成立，则可以得出两个三角形相似。
通过SSS相似判定法，我们可以根据三个对应边的比值关系来判断两个三角形是否相似。
三、SAS相似判定法SAS相似判定法是通过两个三角形的两组对应边的比值和夹角的相等关系来判定它们是否相似。
具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。
2. 检查两个三角形中对应边的比值和夹角的相等关系。
如果AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，则可以得出两个三角形相似。
SAS相似判定法是一种灵活且常用的判定方法，通过两组对应边的比值和夹角的相等关系来判断两个三角形是否相似。
结论：通过以上三种相似三角形的判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。
在实际应用中，相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。
例如，在建筑、地图测量和航空导航中，我们需要利用相似三角形的性质来进行距离和高度的估算。
初三数学相似三角形的性质与判定知识精讲
初三数学相似三角形的性质与判定知识精讲一. 本周教学内容：相似三角形的性质与判定二. 学习重点和难点1. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等.（2）相似三角形的对应边的比相等.（3）相似三角形的对应线段成比例.（4）两个相似三角形的周长比等于相似比.（5）两个相似三角形的面积比等于相似比的平方.2. 相似三角形的判定方法：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本图形：C推理格式：在△ABC中，∵ DE//BC，∴△ADE∽△ABC.（2）如果两个三角形三组对应边．．．的比相等，那么这两个三角形相似. 基本图形：B推理格式：在△ABC和△'C'B'A中，'A 'C CA 'C 'B BC 'B 'A AB ==， ∴△ABC ∽△'C 'B 'A .（3）如果两个三角形的两组对应边．．．的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.基本图形：B推理格式：在△ABC 和△'C 'B 'A 中，'C 'A AC 'B 'A AB =，∠A=∠'A ABC ∆∴∽△'C 'B 'A . （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应．．相等，那么这两个三角形相似. 基本图形：B推理格式：在△ABC 和△'C 'B 'A 中，∵∠A=∠'A ，∠B=∠'B ，∴△ABC ∽△'C 'B 'A .三. 我们的目标：通过学习进一步理解相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理的应用.例1. 如图，BC ⊥AF ，FD ⊥AB ，垂足分别为C 、D ，那么图中有_________对相似三角形.FCEA D B分析：观察图形，我们可以发现，图中有4个∆Rt ，它们是ADF R t ABC R t ∆∆，，E DB Rt ∆，CFE Rt ∆.这四个∆Rt 每两个之间都相似，所以一共有6对三角形相似.△ABC ∽△EBD ，△ABC ∽△AFD ，△ABC ∽△EFC△AFD ∽△EBD ，△AFD ∽△EFC ，△BED ∽△FEC答：6对注意：在复杂图形中辨认相似三角形时，要着重抓住图形的特征.如本题重在找相等的角，然后再判定.例2. 如图，∠ADE=∠B ，则)()()()(AC AE ==.B C分析：∵∠ADE=∠B ，∠A=∠A∴△ADE ∽△ABCABAD BC DE AC AE ==∴ 注意：首先要判断△ADE ∽△ABC ，然后正确找出对应边.例3. 如图，已知DE//BC ，DF 与AC 交于G ，则图中的相似三角形有：△__________∽△__________，△__________∽△__________.答案：△ADE △ABC ，△DEG △FCG. 注意：要抓住DE//BC 的条件，利用基本图形进行判定.例4. 如图，AD=DF=FB ，DE//FG//BC ，则=321S :S :S __________.AD EF GB C 1 2 3答案：1：3：5分析：∵DE//FG//BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC又∵AD=DF=FB∴AD ：AF ：AB=1：2：3.4121S S 2AFG 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆ 3:1S :S 21=∴9432S S 2ABC AFG =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆ 53S S 32=∴ 5:3:1S :S :S 321=∴注意：要抓住AD=DF=FB ，DE//FG//BC 的条件，利用基本图形进行判定三角形相似，然后利用性质解题.例5. 如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连结AE.（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形，若有请写出来，并说明理由；若没有请说明理由.（3）求△BEC 与△BEA 的面积比.BEC D A解：（1）DE=DA ，EC=EA=EB.证明： ∵∠DEC=90°，∠BDC=60°，∴∠DCE=30°.DA CD 21DE ==∴，即DE=DA. ∴∠DEA=∠DAE.又∵∠EDC=∠DEA+∠DAE=60°，∴∠DAE=∠DEA=30°.又∵∠BAC=45°，∴∠EAB=∠BAC －∠DAE=15°.又∠DEA=∠EAB+∠EBA ，∴∠EBA=∠DEA －∠EAB=15°.∴∠EBA=∠EAB.∴EA=EB.∵∠DCE=∠DAE=30°，∴EC=EA.∴EC=EA=EB.（2）①△ADE ∽△CEA ，或②△BCD ∽△ACB① 理由：△ADE ，△CEA 均为底角为30°的等腰△，∴△ADE ∽△CEA.② 理由：∵∠CBD=∠CAB=45°，∠CDB=∠ABC=60°，∴△BCD ∽△ACB.（3）过点A 作AF ⊥BD ，交BD 延长线于点F ，则∠AFD=∠CED=90°.又∠ADF=∠CDE ，∴△CED ∽△AFD.2ADAD 2AD CD AF CE ===∴， 2AF CE AF BE 21CE BE 21S S BEA BEC ==⋅⋅=∴∆∆. 即2S S BEA BEC =∆∆.（答题时间：60分钟）一、选一选1. 下列四条线段成比例的是（ ）A. 2，3，2，3B. 3，2，6，4C. 4，5，6，10D. 12，8，11，162. 用一个3倍放大镜照一个△ABC ，下列说法正确的是（ ）A. △ABC 放大后，∠A 是原来的3倍B. △ABC 放大后，周长是原来的3倍C. △ABC 放大后，面积是原来的3倍D. 以上答案都不正确3. 若23b a =，则ba b +等于（ ） A. 3：2 B. 2：3 C. 2：5 D. 5：24. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）A. 两个等边三角形B. 两个全等三角形C. 两个直角三角形D. 有一个角是120°的两个等腰三角形5. 如图所示，下列各式能使△ACB ∽△DCA 的是（ ）A. AB AC BDCD = B.CD AC AC CB = C. BC AC AB AD = D. AB AD AD AC =6. 过三角形一边上一点画直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7. 如图所示，已知EF//BC ，△AEF 和梯形EBCF 的面积分别为18，80。
初三-相似三角形的判定
知识精要一、相似三角形的概念一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
对应边的比值叫做相似比。
即△AB C ∽△DEF ，我们可以得到：【注意事项1、2、】相似具有连贯性：即两个三角形分别与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（∥） 【请用所上节课所学习的知识+定义证明】基本图形之一：(请添加条件，使之相似)2、判定定理:(1)如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两三角形相似。
已知：∠A=∠A ’ ;∠B=∠B ’ 求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’CBB'基本图形之二：(请给图标上字母，并写出所有的相似三角形)角1=角221角1=角221（2）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两三角形相似。
已知：∠A=∠A ’ ;''''AB ACA B A C求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’ CBB'基本图形之三：(请给图标上字母及条件，并写出所有的相似三角形)（3）如果一个三角形的三边与另外一个三角形的三边对应成比例，那么这两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个三角形的斜边及直角边对应成比例，那么这两直角三角形相似。
（HL）【自己画图，写出已知、求证，并证明】【二、相似三角形的性质1、性质一：相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比及周长比都等于相似比。
【要求自行证明】、【总结】2、性质二：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 【自行证明】热身练习1、下列条件中，不能判断ABC ∆与DEF ∆相似的是（ ） A ．∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠F=70°B ．2,3AB BC ==,∠B=40°，4,9DE EF ==,∠E=40° C ．4,5,6,6,7.5,9AB BC AC DE EF DF ======D ．,AB AC =∠A=50°，DE DF =,∠E=50°2、下列命题正确的是（ ）A ．有一个角是40°的两个等腰三角形B ．有一个角是100°的两个等腰三角形C ．面积相等的两个直角三角形D ．两边之比为3:5的两个直角三角形3、如图：△ABC 中，∠ACB=90°,C D ⊥AB,垂足为D ，且 2.5,0.9AD cm DB cm ==，求： （1）CD 的长 （2）:ACD CBD S S ∆∆BD A4、如图：D 是△ABC 的AB 边上一个动点，D E ∥BC 交AC 于E ，D F ∥AC 交BC 于F ，已知AD:DB=1:2，求三角形ADE 、三角形DBF 、平行四边形DFCE 的面积之比BDA5、如图：平行四边形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，EC 交AD 于F ，已知:1:2EA AB =,2AEF S ∆=,求平行四边形ABCD 的面积BD6、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知9,25AOF COB S S ∆∆==,求梯形ABCD 的面积CB7、已知梯形的两底边长分别为4和6，高是3，求梯形两腰的延长线的交点到较长底边的距离 【要求自己画图】精解名题1、已知等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足2AB DB CE =⋅(1)求证：△ADB ∽△EAC(2)若∠BAC=40°，求∠DAE 的度数B D2、已知G 是△AB C 的重心，且在中线AD 上，延长AD 到H ，使得DH=GD ，K 是BG 的中点 求证：△FK G ∽△GHC【析】注意从对应点所给于的信息。
相似三角形的定义与性质
相似三角形的定义与性质相似三角形是初中数学中重要的概念，对于这一概念的理解和运用，有助于提高学生的空间想象能力和解题能力。
本文将从相似三角形的定义、相似三角形的性质以及相关应用等方面进行论述。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形之间，对应角相等且对应边成比例的三角形。
具体来说，若两个三角形ABC与DEF满足以下条件：1. ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，即它们的内角相等；2. AB/DE = BC/EF = AC/DF，即它们的对应边成比例。
二、相似三角形的性质1. 判定相似的依据根据相似三角形的定义，一般有以下几种判定相似的方式：（1）AAA判定法：若两个三角形的对应角相等，则它们相似。
（2）AA判定法：若两个三角形有某两个对应角相等，则它们相似。
（3）SAS判定法：若两个三角形一个角相等，且包含等边，那么它们相似。
（4）S-S-S判定法：若两个三角形的三条边分别成比例，则它们相似。
2. 相似三角形的比例关系对于相似三角形ABC与DEF，它们所有对应边的比例都相等：AB/DE = BC/EF = AC/DF3. 相似三角形的线性关系相似三角形中，对应角的弧度数等于对应边的比例：m∠A/m∠D = m∠B/m∠E = m∠C/m∠F = AB/DE = BC/EF =AC/DF4. 相似三角形的高线关系如果两个相似三角形的高分别为h和k，它们对应边的比例为p，那么它们的面积的比例也为p²，即S1/S2 = (h₁*k₁)/(h₂*k₂) = p²5.相似三角形的周线关系如果两个相似三角形的周长分别为L₁与L₂，它们对应边的比例为p，那么它们的周长的比例也为p，即L₁/L₂ = AB/DE = BC/EF = AC/DF = p三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际应用中有很广泛的运用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量不便的物体的高度：通过测量自己的影子长度和身高，可以利用相似三角形的原理计算出物体的高度。
《相似三角形的判定》 知识清单
《相似三角形的判定》知识清单相似三角形是初中数学中的重要内容，它在解决几何问题和实际应用中都有着广泛的用途。
下面为大家梳理相似三角形的判定相关知识。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比。
二、相似三角形的判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似这是判定相似三角形最常用的方法之一。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似当两个三角形两组对应边的比相等，并且它们所夹的角相等时，这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果\（＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＼），且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，＼（＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{BC}｛B'C'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＼），则三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
三、相似三角形判定的应用1、证明两个三角形相似在几何证明题中，常常需要通过上述判定方法来证明两个三角形相似，从而得出相关的角相等或边成比例的结论。
2、求解未知边的长度当已知两个相似三角形的相似比和其中一些边的长度时，可以通过相似三角形对应边成比例的性质来求解未知边的长度。
初中数学知识归纳相似三角形的判定定理与实例
初中数学知识归纳相似三角形的判定定理与实例初中数学知识归纳：相似三角形的判定定理与实例相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它涉及到判定与应用两个方面。
本文将对相似三角形的判定定理进行归纳总结，并通过实例加深理解。
一、相似三角形的判定定理1. 三边比例法：如果两个三角形的各边对应边的比相等，即a/b = c/d = e/f，则这两个三角形相似。
例如，如图1所示的三角形ABC和DEF，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3，就可以判定它们为相似三角形。
[示意图1]2. 三角形内角对应定理：如果两个三角形对应的内角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则这两个三角形相似。
例如，如图2所示的三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 70°，∠C = ∠F = 50°，就可以判定它们为相似三角形。
[示意图2]3. AA相似判定法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
例如，如图3所示的三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠C =∠F，就可以判定它们为相似三角形。
[示意图3]4. SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
例如，如图4所示的三角形ABC和DEF，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3，就可以判定它们为相似三角形。
[示意图4]二、相似三角形的实例与应用1. 高度定理：在一个直角三角形中，高与斜边的关系是恒定的。
根据这个定理，我们可以利用相似三角形来求解一些直角三角形的问题。
例如，如图5所示的直角三角形ABC中，已知AB = 3 cm, BC = 4 cm，求AC的长度。
[示意图5]解法：由于三角形ABC是直角三角形，根据高度定理可知，∆ABC与∆ACD相似。
由此可以得到以下等式：AB/AC = BC/AD。
将已知数据代入可得3/AC = 4/AD，整理得AC = 3/4 * AD。
九年级相似三角形的知识点
九年级相似三角形的知识点相似三角形是初中数学中重要的概念之一。
它的应用广泛，并在高中数学学习中占据着重要的位置。
在九年级数学课程中，相似三角形的概念和性质是必修内容。
本文将详细介绍九年级相似三角形的知识点，并探讨其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
简单来说，当两个三角形的形状相似，但大小不同，我们就称它们为相似三角形。
二、相似三角形的判定条件1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，而另外两边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三边的比值都相等，那么这两个三角形是相似的。
需要注意的是，只有满足以上判定条件，我们才能断定两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等。
这是判定两个三角形相似的重要性质之一。
对应角的相等性保证了两个相似三角形的形状相似。
2. 相似三角形的对应边成比例。
这是判定两个三角形相似的另一个重要性质。
对应边的成比例性质意味着两个相似三角形的大小关系。
3. 相似三角形的高线成比例。
在相似三角形中，如果两个三角形中的高线分别与对应边垂直相交，那么这些高线也成比例。
四、相似三角形的应用相似三角形的概念和性质在实际问题中有广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 测量高度和距离。
通过相似三角形的原理，我们可以利用测得的一边和一个角度，计算另一个边的长度。
这在测量高楼大厦的高度、测量两个点之间的距离等方面非常有用。
2. 画图和制图。
在制图过程中，我们可以利用相似三角形的性质，通过已知的线段和角度，准确地绘制复杂的图形。
3. 解决实际问题。
相似三角形的原理和性质可以帮助我们解决很多实际问题，如计算棱镜的体积、计算太阳的半径等。
总之，相似三角形是九年级数学课程中的重要知识点。
通过理解相似三角形的定义、判定条件和性质，我们可以更好地应用它们解决实际问题。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点相似三角形是九年级数学中的重要知识点之一，本文将详细介绍相似三角形的概念、判定方法及性质。
一、概念相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件为对应角相等，并且对应边成比例。
记作△ABC∽△DEF。
二、判定方法1.角-角-角（AA）判定法若两个三角形的三个角分别相等，则它们一定相似。
2.角-边-角（ARJ）判定法若两个三角形的一个角相等，另一个角相等，且夹在已知边之间的两边成比例，则它们一定相似。
3.边-角-边（SAS）判定法若两个三角形的两边分别成比例，夹角相等，则它们一定相似。
注意：边-边-边（SSS）判定法不能判断两个三角形是否相似，因为只有边成比例不能保证角相等。
三、性质1.对应角相等性质相似三角形的对应角相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例性质相似三角形的对应边成比例，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
其中，k为比例因子，代表两个相似三角形的对应边之比。
3.周长比例性质相似三角形的周长之比等于任意一条对应边之比。
4.面积比例性质相似三角形的面积之比等于任意一条对应边平方的比。
5.高比例性质相似三角形的高之比等于任意一条对应边之比。
四、相似三角形的应用1.测量难以直接获取的长度利用相似三角形的边比例性质，可以通过测量一些直接长度，求解难以直接获取的长度，如高度、距离等。
2.解决图像与实物的相似问题在制图中，根据相似三角形的比例性质，可以将实物缩小或放大绘制，保持图像与实物相似，从而达到简化和便于研究的目的。
3.解决间接测量问题利用相似三角形的性质，可以通过测量一些已知长度和角度，间接计算出难以直接测量的距离或高度。
4.解决图形的包含和相似问题通过相似三角形的判定方法，可以判断一个三角形是否包含在另外一个三角形中，以及两个图形是否相似。
总结：相似三角形是九年级数学中的重要知识点，通过角-角-角、角-边-角和边-角-边三种判定方法，我们可以判断两个三角形是否相似。
相似三角形的判定、性质及常见模型
相似三角形的判定、性质及常见模型
1、相似三角形的定义与性质
(1)定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
(2)表示：在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。
(3)性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；推论：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.(4)相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比.设▲ABC 与▲A'B'C'的相似比为k，▲A'B'C'与▲ABC的相似比为k'，则k'=1/k.注意：①两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关;②当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形.反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1.因此全等三角形是相似三角形的特例.2、相似三角形的预备定理和判定定理
相似三角形的3条判定定理证明思路如下：
3、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似，即：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.4、相似三角形的基本图形(1)平行线型：A型与X型.
(2)斜交型.
(3)共边共角型
(4)双垂型
(5)旋转型
5、判定三角形相似的思路
6、三角形相似的性质
相似三角形的性质定理1证明思路如下：。
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初三数学-相似三角形
的判定
【本讲教育信息】
一. 教学内容：相似三角形的判定
二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。
三. 知识回顾
（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。
（二）判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
③有两个角对应相等的两个三角形相似。
④三条边对应成比例的两个三角形相似。
⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
【典型例题】
例1. 如图，△ABC中，∠A=
60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。
例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC
例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB
例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ）
（2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ）
（5）一个顶角为︒40的等腰三角形和一个底角为︒70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ）
（8）所有的正方形均相似（ ）
2. △ABC 中，∠ACB=︒90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4
D. 5
3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△
''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？
4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。
5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。
6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？
D
A P
B Q
C
A D S 1 S 3 S 2
O
【本讲教育信息】
一. 教学内容：相似三角形的性质 二. 教学重难点：
应用相似三角形的性质进行有关的计算与证明是本周学习的重点。
应用相似三角形的知识时，由于知识的综合程度较高，对分析思维的能力有一定的要求，所以是学习的难点所在。
三. 知识回顾：
（一）相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形对应的高、中线和对应的角平分线以及周长之比都等于相似比。
3. 相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
（二）与相似三角形有关的辅助线
主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线。
【典型例题】
例1. 如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B 、C 是垂足，AC 、BD 交于P 。
过P 作PQ ⊥BC 于Q 。
求证：∠AQP=∠PQD
例2. 如图，△ACB 中，∠ACB=90°，D 在BC 边上，连AD ，过B 作CAD ，过E 作EF ⊥CB 于F ，求证：BF=CD 。
例3. 如图，梯形ABCD 中，AD//CB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，设梯形ABCD 的面积为S ，△AOD 、△BOC 、△AOB 的面积分别为321S S S 和、。
【模拟试题】（答题时间：25分钟）
D E C
F
A B
A D
P B Q C
R C
A D B
E F
1. △ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，连DE ，则△ADE 与△ABC 的周长比为_______________；它们的面积比为_______________。
2. 两个相似三角形的面积比为9：4，若较大三角形的一个内角的平分线长6cm ，则另一个三角
形对应角的平分线长为_______________。
3. 如图，平行四边形ABCD 中，E 在CD 上，DE ：CE=2：3，连AE ，BE ，BD ，且AE 、BD 相
交于点F ，则ABF EBF DEF S :S :S ∆∆∆为（ ）
A. 4：10：25
B. 4：9：25
C. 2：3：5
D. 2：5：25
4. 正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 在BC 上，且CF ：BC=1：4。
求证：
CE
AD
EF AE =。
5. 如图，平行四边形ABCD 中，过A 作直线交BD 于P ，交BC 于Q ，交DC 的延长线于R ，求证：PR PQ AP 2⋅=。
如图，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC 。
（1）求证：AE
BF
AC BC 33= （2）若AE=8，BF=1，求DE 、DF 和AB 的长。
∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴CD 2=AD·BD ，故CD 4=AD 2·BD 2. 又∵Rt△ADC 中，DE⊥AC ， Rt△BDC 中，DF⊥BC ， ∴AD 2=AE·AC ，BD 2=BF·BC. ∴CD 4=AE·BF·AC·BC. 又∵AC·BC=AB·CD ，
A
B D C
E
F
∴CD 4=AE·BF·AB·CD ，即AE·BF·AB=CD 3.
例1. 如图，△ABC 中，∠BAC=Rt ∠，AD ⊥BC 于D ，BF 平分∠ABC ，交AD 于E 。
求证：
CF
AF
AE DE。
【试题答案】 1. 1：2 1：4
2. 4cm
3. A
4. 由
21AD CE DE CF ==，∠C=∠D 可知△CEF ∽△DAE ，∴CE
AD
EF AE =。
5. 提示：由△APB ∽△DPR ，得PD BP
PR AP =
① 由△BPQ ∽△DAP ，得PD
BP
AP PQ =
② ∴由①、②知AP
PQ
PR AP =
，即PR PQ AP 2⋅= 6. 成立，只需证明△ABD ∽△ACB 即可。
7. 不会。
提示：不妨设AB=a ，CD=b ，BD=x ，且过P 作PE ⊥BD 于E ，易证△ABD ∽△PED 。
∴
x
ED
a PE =
同理，x
BE
b PE =
∴1x
x x ED BE b PE a PE ==+=+
∴b
a ab
PE +=为定值。