高考数学复习点拨 二项式定理问题的三大热点
高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）
高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）高中数学二项式定理知识点总结（精选4篇）每个人都可以通过不断学习、积累知识来提高自己的竞争力和创造力。
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下面就让小编给大家带来高中数学二项式定理知识点总结，希望大家喜欢!高中数学二项式定理知识点总结篇1空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
高中数学二项式定理知识点总结篇21、求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数;(2)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为减函数;(3)如果恒f(x)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x);③解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);(2)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为减函数，则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);(3)如果函数yf(x)在区间(a，b)上为常数函数，则f(x)0恒成立。
高中数学之二项式定理应用基本方法三大方法总结到位
高中数学之二项式定理应用基本方法三大方法总结到位二项式定理是高中数学中的重要内容，主要用于解决与二项式有关的问题。
以下是二项式定理应用的三大基本方法：
1. 展开式应用：利用二项式定理将二项式展开，可以得到其展开式。
对于形如 (a+b)^n 的二项式，其展开式中的每一项都可以根据二项式定理计算出来。
2. 系数提取：在解决某些问题时，可以通过提取二项式中的系数来简化问题。
例如，在求(a+b)^n 的展开式中某一项的系数时，可以通过提取适当的因
子来简化计算。
3. 等价转换：在解决与二项式有关的问题时，有时可以将问题等价转换为其他形式，从而利用二项式定理或其他已知公式进行求解。
例如，在求
(a+b)^n 的展开式中某一项的系数时，可以将问题等价转换为组合数问题，利用组合数的性质进行计算。
以上是二项式定理应用的三大基本方法，熟练掌握这些方法可以有效地解决与二项式有关的问题。
同时，要注意不断总结经验，探索更多应用二项式定理的技巧和方法。
高中数学 二项式定理 知识点与常见题型解法
《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数． 式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析 由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。
高三一轮复习《二项式定理》
高三一轮复习《二项式定理》考纲考点：1、掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和证明2、会用二项式的通项公式求展开式中的指定项3、能用二项式定理证明组合恒等式及解决某些关于数的整除问题。
重、难点：二项式定理和性质的应用，求展开式中的指定项。
考情分析：二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活但比较基础，高考对二项式定理的考查，多为选择题、填空题，注意二项式定理在近似计算中的应用。
考查的内容以二项式展开式及通项公式运用为主，要注意展开式的通向公式正、反两个方面的应用：（1）直接运用通项公式求特定项或特定项的系数或与系数有关的问题；（2）需用转化思想化归为二项式问题来处理的问题。
⒈二项展开式(a+b) n = 。
⒉二项展开式的通项：T r+1= . T r+1表示第r+1项⒊二项式系数为0n C ，1n C ，2n C ，…，r n C ，…，n n C .其性质有：⑴m n n m n C C -=；⑵r n r n C r r n C 11+-=+； ⑶0n C +1n C +2n C +……+n n C =2 n ；（4） +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = 。
（5）当n 是偶数时， 的二项式系数最大；当n 是奇数时， 的二项式系数相等且最大。
⒋在运用二项式定理解题时，要注意下列问题：⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r 项；⑵要区分展开式中某一项．与项的系数．．，区分某一项的系数．．．．．．与二项式系数．．．．．； ⑶注意(a −b) n 展开式中各项的符号；⑷二项式定理对任何实数a 、b 都成立，应注意赋值法的应用.题型一、求二项展开式中的指定项和相关系数的问题（1）18)31(x x -的展开式中含15x 的项的系数为 。
（2）)()24(6R x x x ∈--的展开式中的常数项为 。
（3）设=+++++=-11102121221021,)1(a a x a x a x a a x 则 。
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
二项式定理十五大考点
二项式定理十五大考点二项式定理可是高中数学里超有趣的一个部分呢，它的考点也是多种多样的。
一、二项式展开式的通项公式。
这可是二项式定理的核心内容哦。
通项公式就是T_r + 1=C_n^r a^n - rb^r。
这里的n是二项式的指数，r呢，表示第几项（要注意这里是从0开始计数的哦）。
比如说(a + b)^5，当我们要求第3项的时候，n = 5，r = 2（因为第3项对应的r是2），然后代入通项公式就能求出这一项啦。
这个公式就像是一把万能钥匙，能帮我们打开二项式展开式中每一项的大门呢。
二、二项式系数与项的系数。
这两个概念可不能混淆哦。
二项式系数就是C_n^r，它只跟n和r有关，就像是一个固定的身份标识。
而项的系数呢，是包括前面的符号以及数字的，是在二项式展开式中该项实际的系数。
比如说在(2x - 3y)^4的展开式中，某一项的二项式系数是C_4^2，但是这一项的系数可就不是单纯的C_4^2啦，要把2和- 3这些数字也考虑进去计算才行呢。
这就像二项式系数是一个人的名字，项的系数是这个人穿上了各种衣服鞋子之后的整体形象。
三、二项式展开式的性质。
1. 对称性。
二项式展开式的系数是对称的哦。
比如说(a + b)^n，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
就像照镜子一样，两边是对称的呢。
这让我们在计算一些系数的时候，如果知道了前面的系数，后面对称位置的系数就不用再重新计算啦，多方便呀。
2. 增减性与最大值。
当n是偶数的时候，中间一项（也就是第(n)/(2)+ 1项）的二项式系数最大；当n是奇数的时候，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n + 3)/(2)项）的二项式系数相等且最大。
这就像是在一群小伙伴里找最突出的那个或者那几个，很有趣吧。
四、求特定项。
1. 求常数项。
我们就根据通项公式，令a和b的指数满足一定条件来求出常数项。
比如在(x+(1)/(x))^6中，我们要让x的指数和(1)/(x)的指数相互抵消，也就是令6 - 2r = 0（这里a=x，b = (1)/(x)，根据通项公式得到x的指数为6 - r，(1)/(x)的指数为r，相乘为x^6 - 2r），解得r = 3，然后再代入通项公式求出常数项。
高考数学一轮复习 第十章 第三节 二项式定理突破热点
第三节 二项式定理高频考点 考点一 求二项展开式中的特定项或特定项的系数1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n 项； (2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．[例1] (1)(2013·江西高考)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40(2)(2013·辽宁高考)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[自主解答] (1)此二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r(－1)r 2r x－3r＝C r5·(－1)r·2r·x10－5r.因为10－5r ＝0，所以r ＝2，所以常数项为T 3＝C 25·22＝40.(2)T r ＋1＝C rn (3x )n －r·x －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －r －32r ＝C r n ·3n －r·xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )，若T r ＋1是常数项，则有n －52r ＝0，即2n ＝5r (r ＝0,1，…，n )，当r ＝0,1时，n ＝0，52，不满足条件；当r ＝2时，n ＝5.[答案] (1)C (2)B【互动探究】若本例(2)中的条件“n ∈N *”改为“n ≥3”，其他条件不变，则展开式中的有理项最少有________项．解析：由本例(2)中的自主解答可知：T r ＋1＝C r n 3n －rxn －5r2(r ＝0,1,2，…，n )．即当⎝⎛⎭⎪⎫n －5r 2为整数时，T r ＋1为有理项．显然当n ＝3时，r 的取值最少，有r ＝0，r ＝2，即有理项为T 1、T 3两项． 答案：2求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15 解析：选C T r ＋1＝C rn (x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r nx n －3r 2，当r ＝4时，n －3r2＝0，又n ∈N *，所以n ＝12.2．(2014·昆明模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋x (1－x )4的展开式中x 的项为2x·C 4410(－x )4＋x C 0414(－x )0＝2x ＋x ＝3x .所以x 的系数为3.答案：3考点二二项式系数或各项系数和[例2] (1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝________.[自主解答] (1)由题意得：a ＝C m2m ，b ＝C m2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，∴13·2m ！m ！·m ！＝7·2m ＋1！m ！·m ＋1！，∴72m ＋1m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，选B.(2)由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.[答案] (1)B (2)256 【方法规律】赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中，令x ＝1得2n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n . 令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1＝63，∴n ＝6. 而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3. 2．(2014·丽水模拟)若(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013＋a 2 014x2 014(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2解析：选C 令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝－1.考点三二项式定理的应用[例(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位) [自主解答] (1)∵2n ＋2·3n ＋5n －a ＝4·2n ·3n＋5n －a＝4·6n＋5n －a ＝4(5＋1)n＋5n －a ＝4(C 0n 5n＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C nn )＋5n －a ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.【方法规律】1．整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．2．求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx .求证： (1)32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)；(2)3n>(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．证明：(1)∵32n ＋2－8n －9＝32·32n－8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n－8n －9 ＝9(C 0n 8n＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C nn ·1)－8n －9＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9＝9×82(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]，显然括号内是正整数，故原式能被64整除．(2)因为n ∈N *，且n >2，所以3n ＝(2＋1)n展开后至少有4项． (2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n ＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n－1，故3n>(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．————————————[课堂归纳——通法领悟]—————————— 1个公式——二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n an －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项；(2)通项公式中a ，b 的位置不能颠倒；(3)通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r ＋1项的二项式系数与第r ＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．。
高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理
高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。
二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理的高考常见题型及解题对策二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。
二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。
掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又能够为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。
所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。
二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，近年来在大题中没有出现过。
为了便于知识体系的理解，现总结如下： 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
本题主要考察了学生的“问题转化”水平。
3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C nn nn nn n 3)1( (2793)1321-++-+-；解：原式=nn n nn n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(33322110-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项1.求指定幂的系数或二项式系数 （1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）92)21(xx -展开式中9x 的系数是_________ 解：r rrr x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r rx C 3189)21(-- 令,9318=-x 则3=r ，从而能够得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221- (2)求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是___________ 解：在展开式中，3x 的来源有： ①第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。
二项式定理三种常见考题精妙解题方法
二项式定理三种常见考题精妙解题方法
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二项式定理是高中数学的一个重要内容,题型比较稳定,主要围绕其展开式及其通项公式而展开,一般集中在求特殊项、二项式系数、整除、余数、近似值等问题上,试题较灵活.解决二项式定理问题,主要有三种方法。
青颜整理的63套常见常考基础考点的解题方法大全，关于二项式定理梳理了三种解题题型，求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等。
整个高中数学解题方法大全都一一将常见解题方法进行归纳了万能的解题模板，让大家通用学会！
全系列总共梳理了63套考点常见的解题方法！二项式定理的三种必考题型及解题模板作为独立一个专题来介绍！
类型一求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
类型二二项式系数的性质与各项系数和
类型三二项式定理的应用。
高中数学二项式定理问题的三大热点、五大方法素材新人教版
二项式定理问题的三大热门、五大方法学 二 式定理， 二 式定理 的三大 点、 五大方法倍加关注， 其详细内容是：一．三大 点 1．通 运用型 2．系数和差型 3． 合 用型 二．五大方法 1．常 通 剖析法例 1．假如在（ x + 1）n 的睁开式中，前三 系数成等差数列，求睁开式中的有理24 x.解：睁开式中前三 的系数分1， n ，n(n 1)，由 意得 2× n=1+n(n 1)，得28 2 8n=8.116 3 rr· ·x4， r 是 4 的倍数，因此 r =0，4， 8.第 r +1 有理 ， T r 1 =C 82r有理 T 1=x 4， T 5=35 x ， T 9= 1 .8256x 2述：求睁开式中某一特定的 的 常用通 公式，用待定系数法确立r. 通 公式rn-r r+，⋯， n ）中含有 a,b,n,r, T r+1 五个元素，只需知道此中的四个元 T r+1 = C n a b (n ∈ N ,r=0,1,2,2 素，就能够求出第五个元素．在有关二 式定理的 中， 经常碰到已知 五个元素中的若干个， 求此外几个元素的 （如判断和 算二 睁开式中的特别 ） ， 一般是正确使用通 公式， 要清楚此中的有关字母的意 ， 利用等价 化的思想方法把 解方程（ ）．2．系数和差型 法例 2．已知（ x － a）8 睁开式中常数 1120，此中 数 a 是常数， 睁开式中各 系 x数的和是A.28B.38C.1 或 38D.1 或 28分析： T r 1 =C r 8 · x 8－ r ·（－ ax － 1） r =（－ a ） r C r 8 · x 8－2r .令 8－2r =0，∴ r =4.∴（－ a ） 4C 84 =1120.∴a=± 2.当 a=2 ，令 x=1， （ 1－ 2） 8=1.当 a=－2 ，令 x=－ 1， （－ 1－ 2） 8=38. 答案： C例 3．若（ 1+x ） 6（ 1－ 2x ） 5=a 0+a 1x+a 2x 2+⋯ +a 11x 11. 求：（ 1） a 1+a 2+a 3+⋯ +a 11；（2） a 0+a 2+a 4+⋯ +a 10.652116，解：（ 1）（ 1+x）（ 1－ 2x） =a0+a1x+a2x +⋯ +a11x.令 x=1，得 a0+a1+a2+⋯+a11=－ 2①又 a0=1，因此 a1+a2+⋯ +a11=－ 26－ 1=－ 65.（2）再令 x=－ 1，得 a0－ a1+a2－ a3+⋯－ a11=0. ②①+②得 a0+a2+⋯ +a10= 1（－ 26+0 ） =－ 32. 2述：在解决此奇数系数的和、偶数系数的和的中常用法，令此中的字母等于 1 或 -1.3．近似截法例 4．求 (2.999)10的近似（精准到 0.001）解： (2.999)10= （ 3-0.001 ）10=3 10-10 × 39× 0.001+45 × 38× 0.001 2-120 × 37× 0.001 3+210×36× 0.001 4- ⋯=59049-196.83+0.295245-0.00026244+⋯≈58852.465述：用二睁开式作近似算，注意底数的形，以及考精准度有影响的某些。
高中数学高考总复习----二项式定理知识讲解及考点梳理
∴
即
.
∴x=10 或
.
类型三、多项式转化为二项式的问题
【例 4】试求下列二项展开式中指定项的系数.
（1）
的展开式中 项的系数；
（2） （3）
的展开式中 项的系数； 的展开式中 项的系数；
（4）
的展开式中 x 项的系数；
（5）
的展开式中 项的系数；
【解析】
（1）借助“配方转化”：原式
∴原展开式中 项的系数，即
（ 1） 展 开 式 的 通 项 ：
，
故展开式中二项式系数最大的项为： （2）设第 项的系数最大，
7
则
，化简得
，
解得:
，∴ ，
故所求展开式中系数最大的项为：
【变式 2】已知
展开式中，末三项的二项式系数和等于 22，二项式系数
最大项为 20000，求 x 的值.
【解析】由题意
，
即
，∴n=6.
∴第 4 项的二项式系数最大.
高中数学高考总复习----二项式定理知识讲解 及考点梳理
例 1（2015 春 微山县校级期末）已知在（ ﹣ ）n 的展开式中，第 6 项为常数
项． （1）求 n； （2）求含 x2 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。 【解析】：（1）根据题意，可得（ ﹣ ）n 的展开式的通项为
高考总复习：二项式定理
【考纲要求】 1．能用计数原理证明二项式定理； 2．掌握二项展开式系数的性质及计算的问题； 3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【知识网络】
【考点梳理】 要点一、二项式定理
公式
定理。其中
项，它表示第 其中：
备战高考数学复习考点知识与题型讲解75---二项式定理
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第75讲二项式定理考向预测核心素养考查二项式定理的正用和逆用，二项式系数的性质与各项系数的和，尤其是二项展开式的通项公式的应用数学运算是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.一、知识梳理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*) 二项展开式的通项T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项二项式系数C k n(k＝0，1，…，n)2.二项式系数的性质常用结论二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.二、教材衍化1．(人A选择性必修第三册P31练习T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是( )A．C610B.－C610C.C510D.－C510解析：选D.T6＝C510x5(－1)5，所以第6项的系数是－C510.2．(人A选择性必修第三册P34习题6.3T1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )A．74 B.121C.－74D.－121解析：选D.展开式中含x3的项的系数为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.3．(人A选择性必修第三册P38复习参考题6T3(5)改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________．解析：令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1.答案：14．(人A选择性必修第三册P30例2改编)二项式⎝⎛⎭⎪⎫x－1xn的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是________．答案：－56一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项．( )(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．( )(4)在(a＋b)n展开式的通项T r＋1＝C r n a n－r b r中，a和b不能互换．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、易错纠偏1．(混淆二项式系数与系数致误)在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：因为所有二项式系数的和是32，所以2n ＝32，解得n ＝5. 在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5中，令x ＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.答案：12．(系数考虑不周致误)(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为________． 解析：(x ＋1)5(x －2)＝x (x ＋1)5－2(x ＋1)5展开式中含有x 2的项为－20x 2＋5x 2＝－15x 2.故x 2的系数为－15.答案：－153．(公式配凑不当致误)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．解析：因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10，所以其展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 210－r ·C r 10(1－x )r ，令r ＝8，得a 8＝4C 810＝180.答案：180考点一 二项展开式的通项的应用(多维探究)复习指导：理解二项式定理，会用二项展开式的通项解决一些和项有关的问题． 角度1 求二项展开式的特定项(1)(链接常用结论)(2022·栖霞模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．－150 B.150 C.－240D.240(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【解析】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝C k 6x6－k·(－2)k·x －k 2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240.(2)该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.【答案】 (1)D (2)16 2 5角度2 形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5 B.10 C.15D.20(2)(2020·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________．【解析】 (1)因为(x ＋y )5的展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5x 5－r y r，所以(x ＋y 2x )(x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝15.故选C.(2)(ax ＋1)6的展开式中x 2项的系数为C 46a 2，x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25.【答案】 (1)C (2)25角度3 形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式(1)(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B.210 C.30D.－30(2)(2022·河南省重点中学三模)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －y 28的展开式中x 2y 2项的系数是( )A ．420 B.－420 C.1 680D.－1 680【解析】 (1)(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x －y 28表示8个因式⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x －y 2的乘积，故其中有2个因式取2x ，有2个因式取－y2，其余的4个因式都取1，可得x 2y 2项．故展开式中x 2y 2项的系数是C 28×22×C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－122×C 44＝420，故选A. 【答案】 (1)A (2)A二项展开式通项的应用策略(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代入通项公式即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．|跟踪训练|1．在⎝⎛⎭⎪⎫x －1x (2x －1)6的展开式中，x 3的系数是________．(用数字作答)解析：由题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (2x －1)6的展开式中含x 3的项为x C 46(2x )2(－1)4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x C 26(2x )4(－1)2＝－180x 3，所以展开式中x 3的系数为－180.答案：－1802.⎝⎛⎭⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________．解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫－12kx 10－2k 3，由题意得10－2k 3∈Z ，且0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，因为k ∈N ，所以r 应为偶数．所以r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2.答案：454x 2，－638，45256x －23．(1＋2x －3x 2)5展开式中x 5的系数为________．解析：(1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 5535＋C 15(－1)C 4534＋C 25(－1)2C 3533＋C 35(－1)3C 2532＋C 45(－1)4C 1531＋C 55(－1)5C 0530＝92.答案：92考点二 各二项式系数和与各项系数和(综合研析)复习指导：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和等于2n ，二项展开式的各项系数和常用赋值法解决．(1)(2022·广州中学联考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x x －13x n 的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________．(2)(2022·宣城调研)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为________．【解析】 (1)因为二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x x －13x n 的展开式的二项式系数和为64，所以2n ＝64，即n ＝6，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 626－r (－1)r x 9－116r ，r＝0，1，2，3，4，5，6.所以展开式中有理项是r ＝0或r ＝6时对应的项，所以展开式中有理项系数和为C 0626(－1)0＋C 6620(－1)6＝65.(2)令x ＝0得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128， 又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7，则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7，解得a 7＝－1.故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 【答案】 (1)65 (2)129赋值法求系数和的应用技巧(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，偶次项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，奇次项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.令x ＝0，可得a 0＝f (0)．|跟踪训练|1．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x 3的系数为( )A ．15 B.45 C.135D.405解析：选 C.由题意知4n 2n ＝64，得n ＝6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C. 2．若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝( ) A ．1 B.513 C.512D.511解析：选D.令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.考点三 二项展开式中的系数最值问题(综合研析)复习指导：求解此类题的关键：一是方程引入，利用已知二项式系数的最大值，求出参数的值；二是公式应用，即利用二项展开式的通项公式，即可求出指定项或指定项的系数．(1)二项式(3x ＋13x)n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B.5C.6D.7(2)(2022·佛山一模)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．【解析】 (1)由题意得n ＝20， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r＝(3)20－r·C r20·x 20－4r 3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数， 所以r ＝0，3，6，9，12，15，18， 所以x 的指数是整数的项共有7项．(2)由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)·(2n ＋31)＝0，故2n ＝32，解得n ＝5.由二项式系数的性质知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064.设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－2k，令⎩⎨⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1， 得⎩⎨⎧C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎨⎧11－k ≥2k ，2（k ＋1）≥10－k ，解得83≤k ≤113，因为k ∈Z ，所以k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.故二项式系数最大的项为－8 064，系数的绝对值最大的项为－15 360x 4. 【答案】 (1)D (2)－8 064 －15 360x 4求解二项展开式中系数的最值策略(1)求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解． (2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果．|跟踪训练|1．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．－7 B.7 C.－28D.28解析：选B.因为只有第5项的二项式系数C 4n 最大，所以n2＝4，即n ＝8.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝（－1）r C r828－r x 8－43r，令8－43r ＝0，解得r ＝6，故常数项为T 7＝（－1）6C 6822＝7.故选B. 2．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数和为512，函数f (r )＝C r n ，r ∈[0，n ]且r ∈N ，则函数f (r )取最大值时r 的取值为( )A ．4 B.5 C.4或5D.6解析：选C.因为二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数和为512，令x ＝1，得(3－1)n ＝2n ＝512⇒n ＝9， 所以f (r )＝C r 9，二项式展开式有10项，则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大， 所以当r ＝4或5时，f (r )最大．[A 基础达标]1．(2022·广东省高三一轮复习)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6展开式中的常数项为( )A ．90 B.20 C.540D.600解析：选C.由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 636－r x 6－r x －r ＝C r 636－r x 6－2r.当r ＝3时，可得T 4＝C 36×33＝540，所以⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6展开式中的常数项为540.故选C.2．已知()1＋x n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝16，则自然数n ＝( )A ．6 B.5 C.4D.3解析：选C.因为(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝16，令x ＝1，则(1＋1)n ＝2n ＝ a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝16，所以n ＝4，故选C.3．已知(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中含x 3的系数为－2，则a 等于( ) A ．2 3 B.2 C.－2D.－1解析：选B.(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中x 3的系数为C 33a 3＋C 35(－1)3＝a 3－10＝－2，则a 3＝8，解得a ＝2.4．(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B.16 C.20D.24解析：选A.展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.5．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B.2n －1 C.2n ＋1－1D.2n解析：选C.令x ＝1，得1＋2＋22＋ (2)＝1×（2n ＋1－1）2－1＝2n ＋1－1.6.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋15的展开式中的常数项为( )A ．1 B.21 C.31D.51解析：选D.因为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋15＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x ＋1）＋1x 5＝C 05(x ＋1)5＋C 15(x ＋1)4·1x ＋C 25(x ＋1)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 35(x ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 45(x ＋1)1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 5. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为C 05·C 55·15＋C 15·C 34·13＋C 25·C 13·11＝51.故选D.7．(多选)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8展开式中系数最大的项是( ) A ．第2项 B.第3项 C ．第4项D.第5项解析：选BC.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 8x 4－34r，所以其展开式中各项的系数依次为1，4，7，7，358，74，716，116，1256，所以展开式中系数最大的项是第3项和第4项．故选BC.8．(多选)(2022·威海调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中x 3的系数是－160，则( )A ．a ＝－12B.所有项系数之和为1C ．二项式系数之和为64 D.常数项为－320解析：选ABC.对选项A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中x 3项为C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3，所以C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＝－160，解得a ＝－12，故A 正确；由A 知：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6，令x ＝1，所有项系数之和为(1－2)6＝1，故B 正确；对选项C ，二项式系数之和为26＝64，故C 正确；对选项D ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的常数项为C 26(x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4＝24C 26＝240，故D 错误． 9．(2022·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x 3的系数为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n ·(2x )n －r·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，可得C 1n ∶C 2n ＝2∶5，解得n ＝6，所以T r ＋1＝(－1)r C r 626－r·x 6－32r ，令6－32r ＝3，解得r ＝2，所以x 3的系数为C 2626－2(－1)2＝240. 答案：24010．S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数为________．解析：依题意S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9×(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.因为C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，所以S 被9除的余数为7.答案：711．(2021·高考浙江卷)已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________；a 2＋a 3＋a 4＝________．解析：(x －1)3展开式的通项T r ＋1＝C r 3x 3－r ·(－1)r ，(x ＋1)4展开式的通项T k ＋1＝C k 4x4－k，则a 1＝C 03＋C 14＝1＋4＝5；a 2＝C 13(－1)1＋C 24＝3；a 3＝C 23(－1)2＋C 34＝7；a 4＝C 33(－1)3＋C 44＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.答案：5 1012．(2022·山东青岛三模)若(2－x )17＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 16(1＋x )16＋a 17(1＋x )17，则(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 16＝________； (2)a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋16a 16＝________．解析：令1＋x ＝t ，则已知条件为(3－t )17＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 17t 17.(*)(1)令t ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 17＝217，其中a 17＝C 1717(－1)17＝－1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 16＝217＋1.(2)在(*)两边求导可得－17(3－t )16＝a 1＋2a 2t ＋…＋16a 16t 15＋17a 17t 16，令t ＝1，可得－17×216＝a 1＋2a 2＋…＋16a 16＋17a 17，所以－17×216＝a 1＋2a 2＋…＋16a 16－17，解得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋16a 16＝17－17×216.答案：(1)217＋1 (2)17－17×216[B 综合应用]13．(多选)已知(2x －m )7＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 7(1－x )7，若a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 727＝－128，则有( )A ．m ＝2B ．a 3＝－280C ．a 0＝－1D ．－a 1＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋6a 6－7a 7＝14解析：选BCD.令1－x ＝12，即x ＝12，可得(2×12－m )7＝(1－m )7＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 727＝－128，解得m ＝3，故A 错误；令x ＝1，得a 0＝(－1)7＝－1，(2x －3)7＝[－1－2(1－x )]7，所以a 3＝C 37×(－1)4×(－2)3＝－280，故B ，C 正确；(2x －3)7＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 7(1－x )7，等式两边求导得14(2x －3)6＝－a 1－2a 2(1－x )－…－7a 7(1－x )6，令x ＝2得－a 1＋2a 2－3a 3＋4a 4－5a 5＋6a 6－7a 7＝14，故D 正确．故选BCD.14．(2022·武汉市高三调研测试)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－1x x n 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于( )A ．8 B.10 C.11D.12解析：选C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－1x x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n (x 4)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x r ＝(－1)r C r n x 4n －112r，当4n －112r ＝0，即n ＝118r 时展开式中含有常数项，所以n 的最小值为11.15．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 020＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0 B.1 C.11D.12解析：选D.512 020＋a ＝(52－1)2 020＋a ＝C 02 020522 020－C 12 020522 019＋…＋C 2 0192 020×52×(－1)2 019＋C 2 0202 020×(－1)2 020＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0202 020×(－1)2 020＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.。
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二项式定理问题的三大热点、五大方法
学习二项式定理，应对二项式定理问题的三大热点、五大方法倍加关注，其具体内容是：
一．三大热点
1．通项运用型
2．系数和差型
3．综合应用型
二．五大方法
1．常规问题通项分析法
例1．如果在（x +
421x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.
解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ，由题意得2×2n =1+8
)1(-n n ，得n =8. 设第r +1项为有理项，T 1+r =C r 8·r 2
1·x 4316r
-，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8. 有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=22561x
. 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r . 通项公式T r+1= C r n a n-r b r (n ∈N +,r=0,1,2,2，…，n ）中含有a,b,n,r, T r+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题（如判断和计算二项展开式中的特殊项），这类问题一般是正确使用通项公式，要清楚其中的相关字母的意义，利用等价转化的思想方法把问题归结为解方程（组）．
2．系数和差型赋值法
例2．已知（x －
x a ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是
A.28
B.38
C.1或3
8 D.1或28 解析：T 1+r =C r 8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r 8·x 8－2r .
令8－2r =0，∴r =4.
∴（－a ）4
C 48=1120.∴a =±2. 当a =2时，令x =1，则（1－2）8
=1.
当a =－2时，令x =－1，则（－1－2）8=38.
答案：C
例3．若（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11.
求：（1）a 1+a 2+a 3+…+a 11；（2）a 0+a 2+a 4+…+a 10.
解：（1）（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11.令x =1，得a 0+a 1+a 2+…+a 11=－26
，①
又a 0=1，所以a 1+a 2+…+a 11=－26－1=－65.
（2）再令x =－1，得a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 11=0.② ①+②得a 0+a 2+…+a 10=
2
1（－26+0）=－32. 评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或-1.
3．近似问题截项法
例4．求(2.999)10的近似值（精确到0.001）
解：(2.999)10=（3-0.001）10=310-10×39×0.001+45×38×0.0012-120×37×0.0013+210
×36×0.0014-…
=59049-196.83+0.295245-0.00026244+…
≈58852.465
评述：用二项展开式作近似计算，注意底数的变形，以及考查对精确度有影响的某些项。
4．整除（或余数）问题展开法
例5．求证：2n+2•3n +5n-4能被25整除。
思路点拨：25=52, 而2n+2•3n =4•6 n =4(5+1) n ，将此二项式展开后就会出现5r 解：原式=4(5+1) n +5n-4=4(C 0n 5n + C 1n 5n-1+ C 2n 5n-2+…+ C n n )+5n-4
=4(C 0n 5n + C 1n 5n-1+ C 2n 5n-2+…+ C 2n n -52
)+25n 以上各项均为25的整数倍，故得证。
5．最值问题不等式法
例6．在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里
最大系数项恰是常数项.
（1）求它是第几项；（2）求
b a 的最值. 解：（1）设T 1+r =C r 12（ax m ）12－r ·（bx n ）r =C r 12a 12－r b r x m （12－r ）+nr 为常数项，则有m （12－r ）
+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.
（2）∵第5项又是系数最大的项，
C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3
① C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5
② 由①得
2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥2
3101112⨯⨯⨯a 9b 3， ∵a ＞0，b ＞0，∴49 b ≥a ，即b
a ≤49. 由②得b
a ≥58，∴58≤
b a ≤49. 故b a 的最大值、最小值分别为49、58. ∴有。