数学建模回归分析多元回归分析

1、 多元线性回归

在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。

在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ）

多元线性回归模型的一般形式为：

其中k 为解释变量的数目，j β

(j=1,2,…，k)称为回归系数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为：

j β也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。

2、 多元线性回归计算模型

多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。

设（

11

x ，

12

x ，…，

1p

x ，

1

y ），…，（

1

n x ，

2

n x ，…，

np

x ，

n

y ）是一个样本，

用最大似然估计法估计参数：

达

到最小。

把（4）式化简可得：

引入矩阵：

方程组（5）可以化简得：

可得最大似然估计值：

3、Matlab 多元线性回归的实现

多元线性回归在Matlab 中主要实现方法如下：

（1）b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值

其中

（2）[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检

验回归模型

①bint 表示回归系数的区间估计.

②r 表示残差

③rint 表示置信区间

④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F 值、与F 对应的

概率p

说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；F>F1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝H0，F

越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率p<α 时拒绝H0，回归模型成立。

⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05)

（3）rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间

4.基于以上理论分析，求解回归方程

(1)经分析，拟定以1月份数据进行分析求解回归方程，一月份数据如下表格。

设

12345y PM2.5

x x x x x

表示二氧化硫表示二氧化碳表示可吸入微粒物表示一氧化碳表示臭氧表示

在Matlab中输入一下程序：

>> x1=[53 47 57 61 55 56 51 58 64 61 74 62 59 50 54 63 57 56 54 55 54 72 57 58 53 85 72 63 47 44];

x2=[89 83 80 92 104 97 97 123 111 111 115 109 111 110 112 109 89 95 94 87 82 92 97 99 101 120 121 110 102 85];

x3=[76 88 51 81 96 99 121 157 127 159 145 143 131 136 124 159 145 137 111 91 82 116 119 112 106 156 236 149 120 96];

x4=[19 29 31 28 34 30 31 54 47 51 65 59 45 44 44 60 61 48 39 41 53 75 66 50 32 52 73 57 40 40 ];

x5=[30 8 13 8 8 10 28 9 8 24 4 27 38 27 9 5 15 36 26 12 11 8 24 32 43 19 18 30 62 23];

y=[90 143 58 142 175 215 250 309 273 329 299 299 246 261 260 295 282 262 204 179 227 277 242 226 173 266 426 307 230 201];

X=[ones(length(y),1),x1',x2',x3',x4',x5'];

Y=y';

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);

>> b,bint,stats

运行结果为：

b =

-12.2923

-1.5271

0.8327

1.3775

2.0068

-0.3086

bint =

-106.3464 81.7618

-2.9355 -0.1186

-0.4217 2.0871

0.8554 1.8995

1.0254

2.9882

-1.0032 0.3860

stats =

0.9284 62.2206 0.0000 474.4773

因此可得出，

r2=0.9284,F=62.2206,p=0.0000 则p<0.05,回归模型为：

在Matlab命令中输入

Rcoplot(r,rint)