第四节有阻尼的自由振动

第四节有阻尼自由振动

（Damped Free Vibration）

前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。

一、粘性阻尼（Viscous Damping）

------------- 最常见的阻尼力学模型

在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。粘性阻尼力与相对速度成正比，即

=

F cx

F--- 粘性阻尼力，x--- 相对速度

⋅

c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m

二、粘性阻尼自由振动

()

k x ∆+

以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。由牛顿运动定律，得运动方程

0mx cx kx ++= （2-10）

设方程的解为

()st

x t Ae

=

代入式（2-10），得

2()0st ms cs k Ae ++=

因为0A ≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为

2

0ms cs

k ++= （2-11）

------ 系统的特征方程（频率方程） 它的两个根为

1,2

2c s m =-± （2-12）

则方程（2-10）的通解为

1211212s t s t c t m

x A e A e e

A A e

=+⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝

⎭

（2-13）

式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件

00(0),(0)x x x x ==

确定。显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于

是实数、零，还是虚数。 当

2

02c k m m

⎛⎫

-= ⎪⎝⎭ 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。因此

02n c m ω==

令

02n

c c c

c m ζω===

叫做阻尼比。

∵

022n c c m m

ζζω==

∴ 式（2-12）可写成

(

1,2n s ζω=-± （2-14）

可见1s 和2s 的性质决定于ζ的值。

1. 1ζ

> (c >

系统称为过阻尼系统（强阻尼）。 运动方程的解为

()

1

2n n n t

t

t

x e

A A e

ζω-=+

这是一种按指数规律衰减的非周期蠕动。

2. 1ζ

= (c =

系统称为临界阻尼系统。 运动方程的解为

()12n t

x e

A A t ω-=+

这是一种按指数规律衰减的非周期运动。

3. 1ζ<

(c <

系统称为弱阻尼系统（欠阻尼）。

式（2-12）可写成

(1,2n s ζω=-±

令

d

n ω= --- 有阻尼固有频率

故运动方程的解为

()1

2n d d t

j t

j t

x e

A e

A e

ζωωω--=+

由欧拉公式cos sin j e

j θ

θθ±=±，则上式可写为

()12cos sin n t d d x e C t C t ζωωω-=+

式中1C 和2C 是待定常数，由初始条件确定。设0t =时，有

00(0),(0)x x x x ==

则系统对初始条件的响应为

00

0cos sin n t

n d d d x x x e

x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+

⎪⎝⎭

（2-18） 上式也可写为

()sin n t d x Ae t ζωωϕ-=+

其中

00000,n d

n x x x A tg x x ζωωϕωζω+==

+

A

因

max n t

x Ae

ζω-=

所以响应的振幅被限制在曲线n t

Ae

ζω-±之内，随时间而逐渐

衰减。因而有阻尼系统的自由振动是衰减振动，当t →∞，

0x →

，振动最终消失。

阻尼对自由振动的影响:

（1）设无阻尼系统的自由振动振动周期为2n

n

T π

ω=

有阻尼系统的自由振动振动周期为

22d

T π

πω=

=

可见：阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼较小时，例如

0.05 1.001250.999n d n T T ζωω=== 0.2 1.020.980n d n T T ζωω===

所以在阻尼较小时，阻尼对周期和频率的影响可以忽略不计。

（2）设相邻两次振动的振幅分别为i x 和1i x +，则振幅比为

()

1n i

n n i t T

i t T i x Ae e x Ae

ζωζωζωη--++=== 式中η称为减幅系数。可见阻尼比ζ越大，减幅系数η就越大，振幅衰减得就越快。例如

10.05 1.37

0.73i i x x ζη+===

即每一个周期内振幅减小27﹪.由此可见，即使阻尼较小时，振幅的衰减也是很快的。