二余数问题
数论.第4讲.余数问题(二).教师版
第四讲余数问题（二）知识点拨一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。
3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
二、弃九法在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
三、中国剩余定理1.中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
余数问题的解题方法
余数问题的解题方法
解题方法：
1. 除法互换律：将被除数和除数互换，得到的结果是余数。
例如：1÷3=0...1，则3÷1=3...0，即余数为零。
2. 同余定理：如果a÷b=c...d（c为商，d为余数），则a-d÷b=c...0，即余数为零。
例如：7÷3=2...1，则7-1÷3=2...0，余数为零。
3. 分解质因数法：将被除数和除数分解质因数，列出所有的可能组合，直到得到能够整除的结果则余数为零。
例如：6÷3=2...0，则2×3=6，余数为零。
4. 模运算：使用模运算，即a mod b=d，其中d为余数。
5. 对于除法不可整除的情况，可以使用乘除法，即a×b=c+d（c大于等于a，d为余数），其中d为余数。
例如：7×3=21，则21-7=14，余数为7。
6. 开平方法：将被除数平方，或者除数平方，直到得到整除的结果则余数为零。
例如：64÷8=8...0，则8×8=64，余数为零。
7. 拆分成多项式：将被除数和除数拆分成多项式，例如
a=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n，b=b_1x_1+b_2x_2+…+b_nx_n，则a÷b=c...d（其中d为余数）。
数学运算余数问题
数学运算余数问题
在数学运算中，余数问题是一个常见的问题类型。
余数是指在整数除法中，被除数减去除数与商的乘积后得到的剩余部分。
例如，在计算 10 ÷ 3 时，商是 3，除数是 3，被除数是 10。
根据余数的定义，我们可以计算得到余数为 1，因为 10 - 3 × 3 = 1。
在解决余数问题时，我们需要掌握几个关键点：
余数必须是一个非负整数，即余数大于等于0。
如果被除数小于除数，那么余数为0。
余数是除法的结果的一部分，它反映了被除数未被完全除尽的部分。
余数有特定的性质，如余数的和等于两个被除数的和除以除数的余数，余数的乘积等于两个被除数的乘积除以除数的余数等。
这些性质在解决复杂数学问题时非常有用。
在解决具体问题时，我们需要根据题目的要求和条件来选择合适的方法。
例如，我们可以通过整除的性质来确定余数的范围，或者通过循环计算来找到满足条件的余数。
同时，我们还需要注意运算的顺序和精度，以避免出现错误的结果。
总之，余数问题是一个重要的数学概念，它涉及到整数除法、模运算等多个方面。
通过掌握余数的定义、性质和解题技巧，我们可以更好地解决各种数学问题。
小学奥数题目-四年级-数论-余数问题2
在做整数之间的除法时，常常会碰到不能除尽的情况。
带余除法也因此成为了数论中一块重要的组成部分。
五年级的余数问题，需要在四年级的计算基础上，掌握一些复杂的计算技巧，包括结合最小公倍数和最大公约数来计算。
同时，中国剩余定理也是非常重要的知识点。
知识点汇总中国剩余定理中国剩余定理，又称为中国余数定理、孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名，是数论中的一个重要命题。
解题方法：1）逐步满足法。
列出一列满足一个或两个条件的数列，从中寻找第一个满足所有条件的数。
这个方法的难点在于，如何选择这个数列，能够简化我们的选择过程。
2）最小公倍数法。
该方法适用于同余的情况，或者可以转化成同余的特殊情况。
重点在于转换问题的方法。
某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几1.1.2016年4月有4个周四，5个周五，请问2016年4月12日是星期几？、星期一、星期二、星期三、星期四2.2.2015年10月23日是星期五，2015年10月有___个星期日？3.3.奶奶告诉小明：2006年共有53个星期日。
聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期__？（请回答一、二、三、四、五、六或日）视频描述3101除以7的余数是________1.1.2^2016除以13的余数为？(A^B表示A的B次方)2.2.若a为自然数，证明10整除a^1985- a^1949(输入0看解析)3.3.视频描述一个两位数去除251，得到的余数是41。
求这个两位数1.1.数1257除以一个三位数，余数是150，这个三位数是__？2.2.数235除以一个数的余数是30，可能的除数有哪几个？(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)3.3.2016除以一个两位数余数为40，求出所有可能的两位数。
(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述一个自然数除429,791,500所得的余数分别是a+5,2a和a，求这个自然数和a的值1.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是__？2.2.若有一个大于1的正整数除314,257,447所得的余数相同，则2002除以这个数的余数是__？3.3.已知有一个数除309,222,251所得的余数相同，这个余数为__？视频描述一个整数除以3余2，商除以5余3，再用新的商除以7余5，则此数除以35余______1.1.一个小于200的整数除以7余3，商除以8余5，求问该数最大为多少？2.2.一个整数除以9余2，商除以3余1，再用新的商除以5余3，则此数除以45余___？3.3.一个大于50小于200的整数除以10余2，商除以7余5，求问该数可能为多少？(写出所有答案，答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______1.1.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)2.2.有一个整数，用它去除90，50，100所得到的3个余数之和是35，那么这个整数是______．3.3.三个不同的自然数的和为2016，它们分别除以17,23,34所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被4整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？1.1.某个两位数是2 的倍数, 加1 是3 的倍数, 加2 是4 的倍数, 加1 是5 的倍数, 那么这个两位数是________(写出所有答案答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)2.2.有一个自然数用7除余3，用9除余4。
余数的运用
余数的运用首先，我们来定义余数。
余数是一个数除以另一个数所得到的整数部分之外的部分。
换句话说，如果一个数除以另一个数，商为整数部分，余数为余数部分。
例如，8除以3，商为2，余数为2；10除以4，商为2，余数为2余数的性质有以下几点：1.余数不会小于0。
因为余数是除法运算之后得到的，它必定是非负整数。
2.如果两个数除以同一个数得到的余数相等，那么这两个数的差是该数的倍数。
例如，如果a除以b得到的余数为r，b除以c得到的余数也是r，那么a-b是b的倍数，b-c是c的倍数。
3.如果两个数除以同一个数得到的余数不相等，但除法得到的商相等，那么这两个数的差是该数的倍数。
例如，如果a除以b得到的余数为r1，b除以c得到的余数为r2，但a/b=b/c，那么a-b是b的倍数，b-c是c的倍数。
现在我们来看一些经典问题中余数的运用。
1.求余数问题：求一个数除以另一个数的余数是一个常见的问题。
比如，求24除以7的余数。
我们可以用除法运算得到商为3，余数为3、因此，24除以7的余数为32.除法算术的变化：我们可以利用余数来改变除法算术的运算方式。
例如，我们要求27除以6的商，并将商转换为小数。
我们可以先求余数，然后将余数除以6得到小数部分。
27除以6，商为4，余数为3、3除以6，小数为0.5、因此，27除以6的小数部分为0.5，整数部分为4，即27除以6等于4.5 3.进制转换：余数的运用在二进制、八进制和十六进制的转换中非常重要。
在二进制中，余数只有0和1两个值，可以把余数转换成相应的数字。
例如，我们要把二进制数1101转换成十进制数，可以将1对应为2的0次方，0对应为2的1次方，1对应为2的2次方，1对应为2的3次方。
然后，将这些数相加得到十进制数134.周期性问题：余数的周期性特征在解决一些周期性问题时非常有用。
例如，我们要计算2024年第N天是星期几。
我们知道一周有7天，所以可以通过求模运算来得到相应的余数。
(完整版)四年级奥数第二讲余数问题
第二讲余数问题带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b乒0），若有a + b=q ..... r,也就是a= b x q + r, 0< rv b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商在除法中，当被除数除以除数（除数不等于0）出现了余数（余数要比除数小），就称为有余数的除法。
在有余数的除法中，我们要记得：1、被除数=除数x商+余数2、被除数一余数=除数X商由此得到：除数 =;商=。
例题1、两个整数相除，商是12,余数是8,并且被除数与除数的差是822,求这两个数。
分析：这是一个差倍问题，画线段图可以分析得出：除数为：（822-8） + （ 12-1） =74,被除数为:822+74=896例题2、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）在1到100这100个数中，被2,3,5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。
分析：被2除余数为1,被3除余数为2,被5除余数为3或者4,用枚举法，利用5的倍数进行枚举：5+4=9,10+3=13,15+4=19,20+3=23等有23,29,53,59,83,89 共6 个。
例题3、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）五位数186ab,被3除余2,被5除余3,被11除余0,贝U ab =。
分析：用除法算式，先满足被11除余0,得出ab可能取值为：01,12,23,34,45,56,67,78,89,再满足被5除余3,末尾为3或者8,只能取23,78;最后满足被3除余2,所以只有78.练习：1、（第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛）一个除法算式，若被除数比除数大2016, 商是15,余数是0,则被除数是。
2、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）过元旦时，班委会用730元为全班同学每人买了一份价值17元的纪念品，剩余16元，那么，这个班级共有名。
余数问题(二)
第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。
例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满足法。
一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。
所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。
那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。
过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。
带余数的除法问题
带余数的除法问题在数学中，带余数除法又称为长除法。
它是一种找出两个数的商和余数的方法，通常在处理多项式、定理证明和计算机科学中广泛应用。
本文将详细介绍带余数除法的步骤和实例应用。
首先，我们来介绍带余数除法的步骤。
以10除以3为例，步骤如下：STEP1：将被除数10写在第一行，除数3写在第二行，两者之下留一些空白。
STEP2：找出一个数，使它乘以除数后不超过被除数，将这个数写在第二行下面。
STEP3：用第二行的数乘以除数，并写在下面一行。
STEP4：将第三行的数与第一行相减，并将差写在右下角的方框内。
STEP5：将新的数字带入第二行的空格中，重复步骤2-4，直到不能再找出新数字为止。
STEP6：被除数的最后一个余数就是答案，即10÷3的余数为1。
以上是简单例子，接下来我们再看一个稍微复杂一点的例子，例如48÷7。
STEP1：将被除数48写在第一行，除数7写在第二行，两者之下留一些空白。
STEP2：找出一个数，使它乘以除数后不超过被除数，将这个数写在第二行下面。
7×6=42，小于等于48，于是将6写在第二行下面。
STEP3：用第二行的数6乘以除数，并写在下面一行。
6×7=42。
STEP4：将第三行的数与第一行相减，并将差写在右下角的方框内。
48-42=6。
STEP5：将新的数字带入第二行的空格中，重复步骤2-4，直到不能再找出新数字为止。
由于48-42=6，被除数已经小于除数了，所以我们无法再找到新的商了。
STEP6：被除数的最后一个余数就是答案，即48÷7的余数为6。
除此之外，带余数除法还有一个非常重要的概念，即负余数。
当被除数为负数时，余数也有可能是负的。
例如-10÷3，答案是商为-3，余数为2。
在计算机科学中，处理负数的余数问题是非常重要的，需要特别注意。
总的来说，带余数除法是一种非常实用的数学方法，它不仅能够求解两个数的商和余数，还可以应用到多项式的除法、定理证明和计算机科学中。
余数问题
余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都能够推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
初中数学中有哪些常见的数论问题及解决方法
初中数学中有哪些常见的数论问题及解决方法在初中数学的学习中，数论问题是一个重要的组成部分。
数论主要研究整数的性质和相互关系，虽然看似抽象，但在实际生活和数学应用中都有着广泛的作用。
下面我们就来探讨一下初中数学中常见的数论问题及相应的解决方法。
一、整除问题整除是数论中最基本的概念之一。
比如判断一个数能否被另一个数整除。
例如：判断 45 是否能被 9 整除。
我们知道，若一个数的各位数字之和能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。
45 的各位数字之和为 4 ＋ 5 ＝ 9，9 能被 9 整除，所以 45 能被 9 整除。
解决整除问题的常用方法有：1、利用整除的性质：若 a 能被 b 整除，b 能被 c 整除，则 a 能被 c 整除。
2、分解质因数：将数分解为质因数的乘积，通过分析质因数的组合来判断整除关系。
二、约数与倍数问题约数和倍数是相互关联的概念。
比如，求 18 和 24 的最大公约数和最小公倍数。
求最大公约数可以用辗转相除法：先用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是 0 为止。
此时的除数就是最大公约数。
24 ÷ 18 ＝ 1618 ÷ 6 ＝ 30所以 18 和 24 的最大公约数是 6。
求最小公倍数可以先求出最大公约数，然后用两数之积除以最大公约数。
即 18×24÷6 ＝ 72，所以 18 和 24 的最小公倍数是 72。
三、质数与合数问题质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
判断一个数是否为质数，可以用试除法，即用小于该数平方根的所有质数去试除，如果都不能整除，则该数为质数。
例如，判断 101 是否为质数。
因为 101 的平方根约为 10，小于 10 的质数有 2、3、5、7，分别试除 101 都不能整除，所以 101 是质数。
二年级数学余数
二年级数学余数一、余数的概念。
1. 定义。
- 在人教版二年级数学中，余数是在平均分一些物体时，有剩余且不够再分的情况下产生的数。
例如，把7个苹果平均分给2个小朋友，每人分3个，还剩下1个，这个剩下的1就是余数。
- 用算式表示为：7÷2 = 3……1，其中“……”后面的1就是余数。
2. 余数与除数的关系。
- 余数一定比除数小。
因为如果余数等于或大于除数，那就说明还可以继续分。
比如10个气球，每3个一束，可以扎成3束还剩1个（10÷3 = 3……1），如果余数是3或者大于3，那就意味着还能再扎成一束。
二、余数的计算。
1. 竖式计算。
- 以15÷4为例。
- 首先写好除法竖式的格式，把15写在除号里面，4写在除号左边。
- 想4乘几最接近15且小于15，4×3 = 12，就在商的位置上写3。
- 然后用15 - 12 = 3，这个3就是余数。
- 竖式为：3.4)15.12.--3.2. 解决实际问题中的余数计算。
- 例如，有23个糖果，要分给5个小朋友，每个小朋友能分到几个糖果？还剩几个？- 列式为23÷5。
- 想5乘几最接近23且小于23，5×4 = 20，商就是4。
- 23 - 20 = 3，余数是3。
- 所以每个小朋友能分到4个糖果，还剩3个糖果。
三、余数在生活中的应用。
1. 分组问题。
- 如学校组织学生去春游，每辆车能坐8人，30个学生需要几辆车？- 30÷8 = 3……6。
- 这意味着3辆车坐满后还剩下6个学生，所以需要4辆车，因为剩下的6个学生也需要1辆车。
2. 周期问题中的余数应用。
- 比如按照红、黄、蓝、绿的顺序排列气球，第25个气球是什么颜色？- 因为是4个颜色为一组循环，25÷4 = 6……1。
- 余数是1，说明第25个气球的颜色和一组中的第一个气球颜色相同，也就是红色。
余数问题(二)
第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。
例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满足法。
一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。
所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。
那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。
过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。
余数问题解题技巧
余数问题解题技巧
1. 嘿，大家知道吗，遇到余数问题，可别慌！比如说，10 个苹果分给
3 个小朋友，那最后不就剩下 1 个呀！这时候你就得清楚，用被除数除以除数，得到的余数就是多出来的部分呢。
2. 哇哦，余数问题有个超好用的技巧就是看余数的性质！想想看，20 颗糖
平均分给 4 个人，还剩 0 呢，这就是整除呀！但要是 21 颗糖就会有余数啦！是不是很有意思？
3. 哎呀呀，余数还会周期性出现呢！就像时钟的指针转呀转，总是那几个数字重复。
比如3÷7，它的余数总是 3、2、6、4、5 这么循环，神奇吧？
4. 嘿，你们有没有发现，余数其实能帮我们快速判断结果呢！像 15 个气球平均分给 5 个人，要是余数不是 0，那肯定就分错啦！
5. 哇塞，余数问题中，同余定理可是个宝呀！比如说 37 和 22 除以 5 的余数一样，这多奇妙！
6. 哎呀，余数就像是个小精灵，在数字世界里蹦跶。
想想看，30 朵花分给
7 个人，那余数 2 不就是小精灵留下的小脚印嘛！
7. 嘿，大家可别小看余数哦！它有时候就像个小秘密，告诉你很多信息。
比如知道 45 除以一个数的余数是 3，那你就能猜到除数可能是多少啦！
8. 哇哦，余数问题有时候就像解谜题一样有趣呢！17 个糖果放进盒子里，
每个盒子放 3 个，那余数 2 不就是最后那个装不满的盒子呀！
9. 总之，余数问题的解题技巧真的很多很有趣呢！只要我们认真去发现，就会觉得余数一点也不难，反而是数学里很有趣的一部分哟！。
小学奥数 数论 余数问题 余数性质(二).题库版
1.学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4知识点拨教学目标5-5-4.余数性质（二）678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
除二逆取余原理
除二逆取余原理在计算机科学中，我们经常会遇到需要计算一个数除以二的余数的情况。
除二逆取余原理是一种用来快速计算除二余数的方法，它可以帮助我们在编程中高效地处理这类问题。
除二逆取余原理的基本思想是将一个数除以二的操作转化为位运算，通过位运算来得到余数。
这种方法的优点是计算速度快，效率高。
具体来说，除二逆取余原理利用了二进制的特性。
我们知道，一个二进制数除以二，就相当于将这个数向右移动一位。
而对于一个二进制数来说，它的最低位的值就是它除以二的余数。
所以，我们可以通过位运算的方式来获取一个二进制数除以二的余数。
在实际应用中，除二逆取余原理经常被用来解决一些特定的问题。
例如，判断一个整数是否为偶数就可以通过除二逆取余原理来实现。
我们只需要判断这个整数的最低位是否为0，如果为0则为偶数，否则为奇数。
除二逆取余原理还可以用来进行位运算，例如按位与、按位或等操作。
这些操作在计算机科学中非常常见，而除二逆取余原理可以帮助我们更快速地进行这些操作。
除二逆取余原理的应用不止于此，它还可以用来解决其他一些问题。
例如，在某些算法中，我们需要对一个数进行分割或拆分操作，这时除二逆取余原理可以帮助我们将一个数拆分成多个部分。
除二逆取余原理在计算机科学中扮演着重要的角色。
它不仅可以提高计算效率，还可以简化编程过程。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求灵活运用除二逆取余原理，从而更好地解决问题。
除二逆取余原理是一种用来快速计算除二余数的方法。
它利用了二进制的特性，通过位运算来进行计算，从而提高了计算效率。
除二逆取余原理在计算机科学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种问题。
通过掌握和理解除二逆取余原理，我们可以更加高效地进行编程和计算。
学而思培优之余数问题(二)
【例7】 (★★★★★) 有4个不同的非零自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3 个数的和是3的倍数。为了使得这 的倍数 为 使得这4个数的和尽可能地小，这 个数的和尽 能地小 这4个数分别 是多少?
【例8】 (★★★)(华罗庚金杯赛模拟试题) 求478×296×351除以17的余数。
一、本讲重点知识回顾 、本讲重点知识回顾 余数的性质：1．余数小于除数 带 2．带余除法：被除数＝除数×商＋余数 3．余数的运算：和的余数等于余数的和 积的余数等于余数的积 重点提 重点提示： 1．余数中的特例 余数中的特例——余0 2．代数思想的应用与字母运算 二、本讲经典例题 余数问题(一)：例3，例5，例7，例9 余数问题(二)：例 1，例3，例6，例8 2
【例4】 (★★★) 六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数， 甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之 和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是_____。
1
【例6】 (★★★★) 从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能 被3整除？ 整除
余数问题(二)
3．余数的运算：和的余数等于余数的和 积的余数等于余数的积 【例1】 (★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么 这个整数是令营试题) 【例2】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被 中 若其中几个数的和被9除余7， 则将这几个数归为一组。这样的数组共有______组。
【例3】 (★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客 买走了其中的五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍， 那么商店剩下的一箱货物重量是______千克。
余数问题(二)
余数问题（二）
作者：
来源：《红领巾(3-6年级)》2007年第09期
（适合五年级）
【例题精析】
例1 如果有一个不等于零的整数，它除967、1000、2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？
【思路分析】
由于这个整数除967、1000、2001所得余数相同，则2001-1000，1000-967，2001-967的差都能被这个整数整除。
解：2001-1000=1001
1000-967=33
2001-967=1034
1001=7×11×13
33=3×１１
1034=2×11×47
显然这个整数是11。
答：这个整数是11。
例2 一个数除以391，余数是381，如果这个数除以17，余数是多少？
解：391÷17=23，也就是391能被17整除，所以这个数除以17的余数就是381÷17的余数。
381÷17=22 (7)
答：余数是7。
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★★1.一万个1组成的一个万位数：
除以7的余数是几？
★★★2.一个三位数被87除余2，被73除余
13，求这个数。
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二余数问题——精选推荐
⼆余数问题专题⼆余数与同余【基础知识】在整数除法运算中，除了“能整除”的情形外，更多的是“不能整除”情形，如95÷3，48÷5……，不能整除就产⽣了⾮零余数问题。
95÷3=31......2，，48÷5=9 (3)它们的另⼀种表⽰法为：95=3×31+2，48=5×9+3⼀般地，a是整数，b是⾃然数，那么⼀定有两个整数q和r，使得a=b×q+r（0≤r当r≠0时，r叫做a除以b的余数，式⼦a=b×q+r叫做带余数除法，也就是：a÷b= q……r。
⽤同⼀个⾃然数去除两个或更多整数，余数可能不同，也可能相同。
如，53÷6=8 (5)82÷6=13 (4)94÷6=15 (4)其中，82，94被6除的余数相同，是同余。
1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同⼀个数m，⽽余数相同，那么a和b的差能被m整除。
性质2：对于同⼀个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就⼀定能被这个数整除。
性质3：对于同⼀个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘⽅仍然同余。
解答同余类型题⽬的关键是灵活运⽤性质，把求⼀个⽐较⼤的数字除以某数的余数问题转化为求⼀个较⼩数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
【例题1】算式：□÷7﹦□……□，其中商和余数相同，被除数有⼏种可能？【例题2】⼩张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商⽐原来多3，但余数恰巧相同。
那么该题的余数是多少？【例题3】两个⾃然数相除，商数和除数。
试⼀试：1、两数相除，商16，余数是4，已知被除数、除数、商和余数的和是313，求除数和被除数。
2、两数相除，商40余7，已知被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。
二年级下册有余数的数学问题
二年级下册有余数的数学问题引言本文档将探讨二年级下册有余数的数学问题。
我们将讨论余数的概念、如何计算余数以及如何解决涉及余数的数学问题。
什么是余数余数是在除法运算中求得的剩余部分。
例如，当我们用5除以2时，商为2，余数为1。
在这个例子中，1就是余数。
如何计算余数计算余数的方法与计算商相似，只需将给定的数除以除数，并取得结果的剩余部分即可。
例如，我们可以用下列步骤来计算37除以5的余数：1. 将37除以5，得到商为7和余数为2。
解决有余数的数学问题在解决有余数的数学问题时，我们需要将题目中的问题转化为适当的数学表达式，并运用我们之前所学的知识来得出答案。
例题1汤姆有27个苹果，他想将这些苹果平均分给5个朋友。
每个朋友会得到几个苹果？还有几个苹果是没有分完的？解析：我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 将27除以5，商为5，余数为2。
2. 每个朋友会得到5个苹果。
3. 还有2个苹果是没有分完的。
所以，每个朋友会得到5个苹果，还剩下2个苹果没有分完。
例题2班级里有35个学生，老师想将他们平均分成4个小组。
每个小组会有几个学生？还有几个学生没有分到小组？解析：我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 将35除以4，商为8，余数为3。
2. 每个小组会有8个学生。
3. 还有3个学生没有分到小组。
所以，每个小组会有8个学生，还有3个学生没有分到小组。
结论本文讨论了二年级下册有余数的数学问题。
我们介绍了余数的概念、如何计算余数以及如何解决有余数的数学问题。
通过运用这些知识，我们可以更好地解决涉及余数的数学问题。
希望本文对您有帮助！。
小学二年级数学余数练习题
小学二年级数学余数练习题1. 题目一：两位数的余数问题小明在学校的数学课上学到了除法，老师出了一道题目让他找出一个两位数，它除以7的余数是3，除以9的余数是4。
请你帮助小明找到这个数并解答为什么可以被同时除以7和9，却产生不同的余数。
解答：我们先来找这个两位数。
根据题目的要求，我们可以使用逐个试探法来找到答案。
首先，根据除法的规则，除数乘以商加上余数等于被除数。
我们可以得到以下等式：10a + 3 = 7b10a + 4 = 9c其中，a、b、c分别表示两位数的十位数、7的商、9的商。
我们可以逐个试探，找到满足以上两个等式的两位数，即可得到答案。
经过计算和尝试，我们找到了满足条件的两位数是31。
当31除以7时，商为4余3；当31除以9时，商为3余4。
所以，这个两位数在除以7和除以9时，分别产生了不同的余数。
2. 题目二：三位数的余数问题小华在做数学作业时，遇到了一个问题。
他找到了一个三位数，当它除以17时余数是6，当它除以25时余数是11。
请你帮助小华找到这个数并解答为什么可以被同时除以17和25，却产生不同的余数。
解答：我们依然可以使用逐个试探法来找到这个三位数。
同样地，我们需要找到满足以下两个等式的数：100a + 6 = 17b100a + 11 = 25c其中，a、b、c分别表示三位数的百位数、17的商、25的商。
通过计算和尝试，我们找到了满足条件的三位数是269。
当269除以17时，商为15余6；当269除以25时，商为10余11。
至于为什么这个三位数可以被同时除以17和25，却产生不同的余数，这和17和25的除法特性有关。
17和25互质，意味着它们的最大公约数为1。
因此，在 mod 17 和 mod 25 的情况下，同一个数的余数是不同的。
3. 题目三：四位数的余数问题这次，轮到小杰遇到一个四位数的余数问题。
他找到了一个四位数，当它除以11时余数是5，当它除以13时余数是9。
请你帮助小杰找到这个数并解答为什么可以被同时除以11和13，却产生不同的余数。
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专题二余数与同余
【基础知识】
在整数除法运算中，除了“能整除”的情形外，更多的是“不能整除”情形，如95÷3，48÷5……，不能整除就产生了非零余数问题。
95÷3=31......2，，48÷5=9 (3)
它们的另一种表示法为：
95=3×31+2，48=5×9+3
一般地，a是整数，b是自然数，那么一定有两个整数q和r，使得a=b×q+r（0≤r<b)。
当r=0时，a能被b整除；
当r≠0时，r叫做a除以b的余数，式子a=b×q+r叫做带余数除法，也就是：a÷b= q……r。
用同一个自然数去除两个或更多整数，余数可能不同，也可能相同。
如，53÷6=8 (5)
82÷6=13 (4)
94÷6=15 (4)
其中，82，94被6除的余数相同，是同余。
1.有余数的除法各部分之间的关系：
被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法
2.除法算式的特征:余数＜除数
3.有关余数问题的性质：
性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
【例题1】算式：□÷7﹦□……□，其中商和余数相同，被除数有几种可能？
【例题2】小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。
那么该题的余数是多少？
【例题3】两个自然数相除，商
数和除数。
试一试：
1、两数相除，商16，余数是4，已知被除数、除数、商和余数的和是313，求除数和被除数。
2、两数相除，商40余7，已知被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。
（周期）【例题4】甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、乙报5、丁报6、甲报7、乙报8、丙报9，……，这样，报1990这个小朋友是_____.
（分解质因数）【例题5】474除以一个两位数的余数是6，求符合条件的所有两位数。
因为被除数=商×除数＋余数，所以商×除数=被除数－余数。
因此，所求两位数与商的积是474－6=468
试一试：
1、用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数。
2、389除以一个两位数，余数是
3、把310粒糖果分给五（1）班的同学，如果每个同学分得相同数量的糖果后还余下37粒糖果，且不够继续分，那么全班有多少人？
【同余或同缺】
在作除法运算时，我们有这样的经验：
(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有
5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，
(2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.
389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4)
由此，我们可以来讨论下面的两个问题.
1、某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?
2、某数被5除余2，被7除余4，被11除余8. 问某数是多少和某数最小是多少?
【规律】利用最小公倍数
某数分别除以a、b、c、……，得到相同的余数k.某数最小是[a，b，c，……]+k.
某数分别除以a、b、c、……，得到不同的余数A、B、C、……，但是缺少的数同样多(设为k)，某数最小是[a，b，c，……]-k.
试一试：
1、一批苹果，每24个装一箱，最后一箱少5个；每30个装一箱，最后一箱少11个；每25个装一箱，最后还多19个；这批苹果至少有几个？
3、一个自然数，除以4余2，除以10余8 ，除以25余23，这个数最小是几？
【问题延伸】
【例题1】求111……11被13除的余数。
2007个1
解析：用2007个1所组成的2007位整数去除以13，再求出余数，显然太麻烦。
我们可以先写出若干1所组成的数来除以13
试一试：
1、777……7除以13，余数是几？商的各位数字之和是多少？
100个7
2、333……3除以7，余数是几？
2007个3
【例题2】求2001的2003次方除以13的余数。
【例题3】有一整数，除300
【例题4】在1～1000之间同时能被2，3，7除都余1的数有多少个？
试一试：
1、有一个大于1的整数，用它除1000，1975，2001都得到相同的余数，这个整数是多少？
2、1989，901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。
3、一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？
【例题5】（1）一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小的数是几？
（2）有一个数，除以3余1，除以4余2，问这个数除以12余数是几？
解析：我们可以用枚举来解答。
试一试：一个数除以5余1
综合练习
1、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？
2、一个非零自然数除以11所得的商和余数（余数不为0）相等，写出所有符合条件的数。
3、两个数相除，商8余16，已知被除数、除数、商和余数的和为265，求除数和被除数。
4、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？
5、333……33除以13的余数是几？
2007个3
6、一个大于1的整数，它除324，919，2007所得的余数相同。
求这个整数。
7、有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个余数的和是20，这个数是多少？
8、苹果362个，梨234个，等分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么小朋友有多少人？。