二余数问题

专题二余数与同余

【基础知识】

在整数除法运算中，除了“能整除”的情形外，更多的是“不能整除”情形，如95÷3，48÷5……，不能整除就产生了非零余数问题。

95÷3=31......2，，48÷5=9 (3)

它们的另一种表示法为：

95=3×31+2，48=5×9+3

一般地，a是整数，b是自然数，那么一定有两个整数q和r，使得a=b×q+r（0≤r

当r≠0时，r叫做a除以b的余数，式子a=b×q+r叫做带余数除法，也就是：a÷b= q……r。用同一个自然数去除两个或更多整数，余数可能不同，也可能相同。

如，53÷6=8 (5)

82÷6=13 (4)

94÷6=15 (4)

其中，82，94被6除的余数相同，是同余。

1.有余数的除法各部分之间的关系：

被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法

2.除法算式的特征:余数＜除数

3.有关余数问题的性质：

性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。

性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。

性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。

解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。

【例题1】算式：□÷7﹦□……□，其中商和余数相同，被除数有几种可能？

【例题2】小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？

【例题3】两个自然数相除，商

数和除数。

试一试：

1、两数相除，商16，余数是4，已知被除数、除数、商和余数的和是313，求除数和被除数。

2、两数相除，商40余7，已知被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。

（周期）【例题4】甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、乙报5、丁报6、甲报7、乙报8、丙报9，……，这样，报1990这个小朋友是_____.

（分解质因数）【例题5】474除以一个两位数的余数是6，求符合条件的所有两位数。

因为被除数=商×除数＋余数，所以商×除数=被除数－余数。因此，所求两位数与商的积是474－6=468

试一试：

1、用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数。

2、389除以一个两位数，余数是

3、把310粒糖果分给五（1）班的同学，如果每个同学分得相同数量的糖果后还余下37粒糖果，且不够继续分，那么全班有多少人？

【同余或同缺】

在作除法运算时，我们有这样的经验：

(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有

5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，

(2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.

389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4)

由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

1、某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?

2、某数被5除余2，被7除余4，被11除余8. 问某数是多少和某数最小是多少?

【规律】利用最小公倍数

某数分别除以a、b、c、……，得到相同的余数k.某数最小是[a，b，c，……]+k.

某数分别除以a、b、c、……，得到不同的余数A、B、C、……，但是缺少的数同样多(设为k)，某数最小是[a，b，c，……]-k.

试一试：

1、一批苹果，每24个装一箱，最后一箱少5个；每30个装一箱，最后一箱少11个；每25个装一箱，最后还多19个；这批苹果至少有几个？

3、一个自然数，除以4余2，除以10余8 ，除以25余23，这个数最小是几？

【问题延伸】

【例题1】求111……11被13除的余数。

2007个1

解析：用2007个1所组成的2007位整数去除以13，再求出余数，显然太麻烦。我们可以先写出若干1所组成的数来除以13

试一试：

1、777……7除以13，余数是几？商的各位数字之和是多少？

100个7

2、333……3除以7，余数是几？

2007个3

【例题2】求2001的2003次方除以13的余数。

【例题3】有一整数，除300

【例题4】在1～1000之间同时能被2，3，7除都余1的数有多少个？

试一试：

1、有一个大于1的整数，用它除1000，1975，2001都得到相同的余数，这个整数是多少？

2、1989，901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。

3、一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

【例题5】（1）一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小的数是几？

（2）有一个数，除以3余1，除以4余2，问这个数除以12余数是几？

解析：我们可以用枚举来解答。

试一试：一个数除以5余1

综合练习

1、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？

2、一个非零自然数除以11所得的商和余数（余数不为0）相等，写出所有符合条件的数。

3、两个数相除，商8余16，已知被除数、除数、商和余数的和为265，求除数和被除数。

4、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？

5、333……33除以13的余数是几？

2007个3

6、一个大于1的整数，它除324，919，2007所得的余数相同。求这个整数。

7、有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个余数的和是20，这个数是多少？

8、苹果362个，梨234个，等分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么小朋友有多少人？