数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x 的一元二次方程()22

2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；

()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．

【答案】（1）134k ≤

；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．

【详解】

解：()1关于x 的一元二次方程()22

2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，

解得134

k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，

()

222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，

221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，

134

k ≤， 4k ∴=舍去，

2k ∴=-．

【点睛】

本题考查了一元二次方程2

ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．

2．已知：关于的方程

有两个不相等实数根．

（1） 用含的式子表示方程的两实数根；

（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．

【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．

∴

由求根公式，得

．∴或

（II），∴．

而，∴，．

由题意，有

∴即（﹡）

解之，得

经检验是方程（﹡）的根，但，∴

【解析】

（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．

一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措

施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映

了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.

请你解答下列问题：

3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;

或( x≥m) ；

4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0

（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．

【解析】

试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,

x=有一个解；

②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，

△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0

方程有两不等根

综合①②得不论k为何值，方程总有实根

（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=

∴S=++ x1+x2

=

=

=

=

=2k-2=2，

解得k=2，

∴当k=2时，S的值为2

∴S的值能为2，此时k的值为2．

考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．

5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元

【解析】

【分析】

表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】

设每天获得的利润为w元，

根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．

∵a＝﹣10＜0，

∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．

答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．

【点睛】

本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.

6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？

（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?

【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元

【解析】

【分析】

（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,

（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.

【详解】

解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,

设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),

(2)依题意得：

（x-40）(-10x+780)=3570,

解得：x=57,

∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.

（3）设每星期的利润为w，

W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,

∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,

当x=59时, 利润最大，为3610元.

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.

7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为