2020年山东省青岛二中高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列命题正确的是（）A. 若a＞b，则a2＞b2B. 若a＞b，则ac＞bcC. 若a＞b，则a3＞b3D. 若a＞b，则＜2.设直线a，b是空间中两条不同的直线，平面α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A. 若a∥α，b∥α，则a∥bB. 若a∥b，b∥α，则a∥αC. 若a∥α，α∥β，则a∥βD. 若α∥β，a⊂α，则a∥β3.等腰直角三角形，直角边长为．以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（）A. B. C. π D.4.△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知，，c=6，则A=（）A. B. C. 或 D. 或5.一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（）A. 10B. 11C. 12D. 136.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=7，，则△ABC的形状可能是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 钝角或锐角三角形D. 锐角、钝角或直角三角形7.等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=（）A. B. C. D.8.设a＞0，b＞0，若3是3a与9b的等比中项，则的最小值为（）A. B. 3 C. D. 49.已知函数f（x）=x2+mx+4，若f（x）＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，则实数m的取值范围是（）A. [-4，+∞）B. （-4，+∞）C. （-∞，-4]D. （-∞，-4）10.若等差数列{a n}单调递减，a2，a4为函数f（x）=x2-8x+12的两个零点，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时，正整数n的值为（）A. 3B. 4C. 4或5D. 5或611.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”．某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（）A. B. C. D.12.已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足，T n是数列{b n}的前n项和，若，则T n与M n的大小关系是（）A. T n≥M nB. T n＞M nC. T n＜M nD. T n≤M n二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知等比数列{a n}的前n项和，则t=______．14.已知函数a＞1，，若实数（a-1）（2b-1）=1，则a+2b的最小值为______．15.在△ABC中，，A的角平分线AD交BC于点D，若，，则AD=______．16.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CD的中点，动点N在体对角线A1C上（点N与点A1，C不重合），则平面AMN可能经过该正方体的顶点是______．（写出满足条件的所有顶点）三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.证明：对任意实数x∈（-3，+∞），不等式恒成立．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c sin2B+b sin（A+B）=0．（1）求角B；（2）若b=7，△ABC的面积为，求a+c．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，且a1=10．求数列{|a n|}的前n项和．20.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AA1的中点．问：在棱A1D1上是否存在点N，使得C1N∥面B1MC？若存在，请说明点N的位置；若不存在，请说明理由．21.已知S n是数列{a n}的前n项和，当n≥2时，，且S1=0，a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）等比数列{b n}满足b2a2=b3a3=1，求数列{a n•b n}的前n项和T n．22.已知数列{a n}的前n项和S n满足，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，且数列{b n}的前n项和T n满足对任意正整数n恒成立，求实数t的取值范围；（3）设，问：是否存在正整数m，使得c m≥c n对一切正整数n恒成立？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．23.在数列{a n}中，a1=2，a2=6．当n≥2时，a n+1+a n-1=2a n+2．若[x]表示不超过x的最大整数，求[+++…+]的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A．a＞b得不出a2＞b2，比如-4＞-5，得出（-4）2＜（-5）2，∴该命题错误；B．a＞b得不出ac＞bc，c小于0时，由a＞b得出ac＜bc，∴该命题错误；C．a＞b可以得出a3＞b3，∵f（x）=x3是增函数，∴该命题正确；D．a＞b得不出，如3＞-5，得出，∴该命题错误．故选：C．a=-4，b=-5时，A命题不成立，c＜0时，B不成立，而a=3，b=-5时，D不成立，从而只能选C．考查不等式的性质，清楚函数f（x）=x3的单调性．2.【答案】D【解析】解：由直线a，b是空间中两条不同的直线，平面α，β是空间中两个不同的平面，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故B错误；在C中，若a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，故C错误；在D中，若α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．故选：D．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a∥α或a⊂α；在C中，a∥β或a⊂β；在D 中，由面面平行的性质定理得a∥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3.【答案】B【解析】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．V=2×==，故选：B．画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵B=，b=2，c=6，由正弦定理可得，=，∴sin C==，∵b＜c，∴C＞B=，∴C=或，A=π-B-C=或；故选：C．由正弦定理可得，=，可求sin C，然后结合大边对大角可求C，进而可求A．本题主要考查正弦定理在求解三角形中的应用，解题中大边对大角是确定C取值的关键．5.【答案】D【解析】解：由题意可得：a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13=91，∴7a7=91，解得a7=13，故选：D．利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为，b=7，，由正弦定理可得，，所以sin B=，因为b＞a，所以B＞A=，故B可能为锐角，也可能为钝角．故选：C．由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可判断．本题主要考查了正弦定理在判断三角形形状中的应用，属于基础试题．7.【答案】D【解析】解：====，故选：D．利用等差数列的性质可得：==，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意可得，3a•9b=9即a+2b=2，则=（）（a+b）×=．当且仅当且a+b=2时取等号．故选：C．由已知结合等比数列的性质求出a+2b=2．然后利用基本不等式可求．本题主要考查了等比数列的性质及利用乘1法配凑基本不等式的应用条件求解最值，属于中档试题．9.【答案】B【解析】解：若f（x）＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，即x2+mx+4＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，可得-m＜x+在x∈（0，4）恒成立，设g（x）=x+，x∈（0，4），由x+≥2=4，当且仅当x=2∈（0，4）时取得等号，即有g（x）的最小值为4，可得-m＜4，即m＞-4，故选：B．由题意可得x2+mx+4＞0对任意实数x∈（0，4）恒成立，由参数分离和基本不等式可得最小值，即可得到所求范围．本题考查含参二次不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：因为a2，a4为函数f（x）=x2-8x+12的两个零点，则，等差数列{a n}单调递减，解得：．所以公差为-2，首项为8，所以a n=8-2（n-1）=10-2n．令10-2n=0，解得，n=5，所以数列{a n}的前n项和S n取得最大值时，正整数n的值为4或5．故选：C．先解出两个零点，再利用等差数列的通项公式，求出数列为0的项，即可推出结果．本题考查知识点函数的零点，等差数列的通项公式；等差数列的性质，考查分析问题解决问题的能力，11.【答案】B【解析】解：由该“堑堵”的外接球表面积为12π，得，解得AB=．∴该“堑堵”的表面积S=2（AC+BC）+=2（AC+BC）+AC•BC+4．令AC+BC=x（＜x≤4），则AC•BC=．∴S=2x+=．函数在（2，4]上为增函数，则当x=4时，S取得最大值为12+．故选：B．由已知求得底面斜边长，写出棱柱表面积，换元后利用函数的单调性求最值．本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积，考查函数与方程思想的应用，训练了利用换元法求最值，是中档题．12.【答案】B【解析】解：数列{a n}的前n项和，n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-（n-1）2=2n-1．n=1时，a1=S1=1，对于上式成立．∴a n=2n-1，=．A n=••…•=×××…×＞××…×=×（2n+1）．∴A n＞．数列{b n}满足，T n=log a（••…•）＞=log a a n+1=M n．∴T n＞M n．故选：B．数列{a n}的前n项和，n≥2时，a n=S n-S n-1，n=1时，a1=S1=1，可得a n=2n-1.=．A n=••…•，通过放缩可得：A n＞．进而得出结论．本题考查了数列递推关系、放缩法、不等式的性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：因为q≠1，S n==，结合等比数列和的特点可知，中，=，故t=2．故答案为：2．由已知结合等比数列的求和公式，=，可求．本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．14.【答案】4【解析】解：由a＞1，，（a-1）（2b-1）=1，则a+2b=（a-1）+（2b-1）+2=4，当且仅当a=2b=2时，取等号，故a+2b的最小值为4，故答案为：4．由a＞1，，（a-1）（2b-1）=1，则a+2b=（a-1）+（2b-1）+2=4，求出结果．本题考查基本不等式的应用，解题的关键是对式子进行恰当的变形，基础题．15.【答案】【解析】解：在△ABC中，由余弦定理有，，∴，∴△ABC为等腰三角形，且AB=BC，∴，∴，在△ACD中，由正弦定理有，，∴．故答案为：．在△ABC中，由余弦定理可解得，由此可知△ABC为等腰三角形，且AB=BC，则，再在△ACD中运用正弦定理即可求得AD的值．本题考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】C1，B1，D1，A1【解析】解：如图所示，取A1B1的中点G，连接AG，C1G．则四边形AMC1G是平行四边形．经过平移C1G可得：平面AMN可能经过该正方体的顶点是C1，B1，D1，A1．故答案为：C1，B1，D1，A1．如图所示，取A1B1的中点G，连接AG，C1G．可得四边形AMC1G是平行四边形．经过平移C1G可得：平面AMN可能经过该正方体的顶点．本题考查了正方体的性质、平行四边形与点共面，考查了推理能力与空间想象能力，属于基础题．17.【答案】证明：要证明x∈（-3，+∞）时，不等式恒成立，只需证+＜+恒成立；即证x+3+2+x+6＜x+4+2+x+5恒成立，即证＜恒成立，即证（x+3）（x+6）＜（x+4）（x+5）恒成立，化简得18＜20，显然该不等式恒成立；所以x∈（-3，+∞）时，不等式恒成立．【解析】根据题意，利用分析法证明不等式恒成立即可．本题考查了利用分析法证明不等式恒成立问题，是基础题．18.【答案】解：（1）∵c sin2B+b sin（A+B）=0，由正弦定理可得，sin C sin2B+sin B sin（A+B）=0，化简可得，2sin C sin B cosB+sin B sin C=0，∵sin B sin C≠0，∴cos B=-，∵B∈（0，π），∴B=，（2）b=7，B=，由面积公式可得：ac sin B=，即ac=15，①由余弦定理，可得：a2+c2-2ac cos B=b2，即a2+c2+ac=49②，由②变形可得：（a+c）2=-ac+49，③将①代入③可得（a+c）2=64，故解得：a+c=8．【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B，进而可求B；（2）由面积公式可解得ac=15，①由余弦定理，可得a2+c2+ac=49，即（a+c）2=-ac+49，③将①代入③即可解得a+c的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力，属于中档题．19.【答案】解：nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，∴-=-1，∴数列{}是等差数列，公差为-1．∵a1=10，=10．∴=10-（n-1）=11-n，∴S n=11n-n2，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=11n-n2-[11（n-1）-（n-1）2]=12-2n，n=1时也成立．∴a n=12-2n，令a n=12-2n≥0，解得n≤6．∴n≤6时，数列{|a n|}的前n项和T n=10+8+……+（12-2n）==n（11-n）=11n-n2．n≥7时，数列{|a n|}的前n项和T n=6×5+2+4+……+（2n-12）=30+=30+（n-6）（n-5）=n2-11n+60．综上可得：T n=．【解析】nS n+1-（n+1）S n+n（n+1）=0，变形为-=-1，利用等差数列的通项公式可得，S n，再利用n≥2时，a n=S n-S n-1，可得a n，利用a n≥0，对n分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式、分类讨论、绝对值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：在棱A1D1上存在中点N，使得C1N∥面B1MC．理由如下：取DD1中点P，A1D1中点N，连结C1P，NP，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱AA1的中点．∴NP∥B1C，PC1∥MB1，∵NP∩PC1=P，B1C∩MB1=B2，∴平面PNC1∥平面CB1M，∵C1N⊂平面PNC1，∴C1N∥面B1MC．【解析】取DD1中点P，A1D1中点N，连结C1P，NP，则NP∥B1C，PC1∥MB1，从而平面PNC1∥平面CB1M，由此推导出在棱A1D1上存在中点N，使得C1N∥面B1MC．本题考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（1）当n≥2时，，且S1=0，a2=4．∴2S n+4=S n+1+S n-1，∴a n+4=a n+1，即a n+1-a n=4，a2-a1=4．∴数列{a n}为等差数列，公差为4，首项为0．∴a n=4（n-1）．（2）解：设等比数列{b n}的公比为q，满足b2a2=b3a3=1，∴4b1q=8b1q2=1，解得：q==b1．∴b n=．∴a n•b n=．∴数列{a n•b n}的前n项和T n=0+1++++……+．∴T n=0+++……++，∴T n=1+++……+-=-，∴T n=4-．【解析】（1）当n≥2时，，且S1=0，a2=4．可得2S n+4=S n+1+S n-1，可得a n+4=a n+1，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）设等比数列{b n}的公比为q，满足b2a2=b3a3=1，可得4b1q=8b1q2=1，解得：q，b1．可得b n，a n•b n．利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足，且a1=1．∴-=1，=1．∴数列{}是等差数列，首项与公差都为1．∴=1+n-1=n，∴S n=n2．n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-（n-1）2=2n-1．n=1时，a1=S1=1，对于上式成立．∴a n=2n-1．（2）==（-），∴数列{b n}的前n项和T n=（1-+-+……+-）=（1-）＜，∵满足对任意正整数n恒成立，∴6×≤t2-2t，解得：t≥2或t≤-1．∴实数t的取值范围是t≥2或t≤-1．（3）设=•（2n+1），c n+1-c n=（2n+3）-•（2n+1）=•，可得：c1＜c2＜c3＞c4＞……．∴存在正整数m=3，使得c m≥c n对一切正整数n恒成立．【解析】（1）数列{a n}的前n项和S n满足，且a1=1.-=1，利用等差数列的通项公式可得：S n．n≥2时，a n=S n-S n-1．n=1时，a1=S1，可得a n．（2）==（-），利用裂项求和可得：数列{b n}的前n项和T n，根据单调性可得T n的最值情况，再根据满足对任意正整数n恒成立，即可得出实数t的取值范围．（3）设=•（2n+1），通过作差可得其单调性，即可得出结论．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：数列{a n}中，a1=2，a2=6．当n≥2时，a n+1+a n-1=2a n+2．所以（a n+1-a n）-（a n-a n-1）=2，利用叠加法的应用，整理得a n+1-a n=a2-a1+2（n-1），所以a n=2+4+6+…+2n=n（n+1）．则，若[x]表示不超过x的最大整数，所以[+++…+]==∈（2018，2019）．所以[+++…+]的整数值为2018．【解析】首项利用关系式的变换利用叠加法的应用求出数列的通项公式，进一步利用取整的应用求出结果．本题考查的知识要点：叠加法的应用，信息题型的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。