14-微分及其运算

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例2
求 y x3 在 x 2 处的微分 , 以及当 x 0.1 时, 在 x 2 处的微分.
解
故
d y ( x3 ) d x 3x2 d x
d y x 2 3 x 2 d x x 2 12 d x
d y x2
x 0.1
3 x 2 d x x2
x 0.1
3 22 0.1 1.2 (x d x)
22
例3
由一阶微分形式不变性, 再来看 复合函数、反函数、参数方程等的求 导公式就会有另一种感觉：
反函数的导数 dx 1 1 ( y ) d y d y f ( x) dx
参数方程的导数
d y y(t ) d t y(t ) d x x(t ) d t x(t )
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设 y f ( x) , 已知测量 x 的绝对误差限为 x ,
即 | x | x , 若根据直接测量的 x 值计算 y 值 ,
则当 y 0 时 ,
y 的绝对误差:
| y | | d y | | y || x | | y | x
即有
y 的绝对误差限约为
y f (u ) 在相应点 u0 ( x0 ) 处可微 , 且 f ( ( x)) 在 U( x0 ) 内有定义 , 则 y f ( ( x))
在点 x0 处可微.
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按微分的定义
dy dy d x ( f ( ( x))) d x dx
f ( ( x)) ( x) d x
看一下二阶微分的情形：
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设函数 y = f (u), u = (x) 都具有相应的可微
性, 且可构成复合函数 y = f ( (x)) , 则
d y d(d y) d( f (u) d u)
2
d ( f (u))du f (u)d (du)
f (u) d u f (u)d u
2 2
其中, d 2 u ( x) d x 2 ,
d u 2 (( x) d x)2 2 ( x) d x2
就是说, 二阶微分不具备微分形式不变性.
高阶微分不具备微分形式不变性.
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三. 微分在近似计算中的应用
由 y f ( x) x o (x)
当 f ( x0 ) 0 , | x | 很小时 , 函数增量的近似值： y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十四讲 微分及其运算
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第四章 函数的导数和微分
第四节 微分及其运算
一.微分的定义
二. 微分的运算法则
三.二阶微分
四.微分在近似计算中的应用
五.微分在误差估计中的应用
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回忆复合函数求导法则中的一个定理
若 y = f (x) 在点 x0 处有(有限)导数, 则 y f ( x0 )x o(x)
y f ( x0 )x
现在反过来想一想： 若在 x0 点处 y = f (x) 的增量 y 可以 表示为 一个线性函数与一个高级无穷小量
之和的形式
y Ax o(x)
( x 0 )
那么, 我们自然要问 A = ?
4

y o(x) A x x

y A lim f ( x0 ) x 0 x
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例7
设测得圆钢截面的直径 D = 60.03 mm ,
测量 D 的绝对误差限 D＝0.05 mm ,试估计
计算圆钢的截面积时的面积误差
解
A
D
4
设测量值为 D , 精确值为 D D , 则 2 2 2
A 4 ( D D) 4 D
2 由于D 的绝对误差限 D＝0.05 mm, 所以
函数值的近似值：
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
29
30
例5
将半径为 R 的球加热. 如果球的半径
伸长 R , 估计球的体积的增量.
解
4 由 V R3 , 则 3
6
一. 函数的微分
将以上的讨论归纳一下, 可得出什么结论 ?
7
1.微分的概念
设 y = f (x) 在 U(x0) 有定义, 给 x0 以增量 x , 且 x0+x U(x0) 。 如果函数相应的增量可表示为 y =Ax + o(x) 则称 y 的线性主部为 f (x)在点 x0 处的微分, 记为 d y =Ax , 其中, A 叫微分系数 。
可称为微商.
哈哈！除法, 这一下复 合函数、反函数、参 数方程等的求导公式 就好理解了. 13
3. 微分的几何意义
y
dy tan dx
y f ( x)

O
x dx
x x x
x
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几何上, 函数 y = f (x) 在点 x 处的
微分表示为: 相应于自变量 x 的改变量
x, 曲线y = f (x) 在点 P(x, y) 的切线上
5
就是说, 在点 x0 处若可用关于自变量的增 量 x 的线性函数逼近函数的增量 y 时,
其关系式一定是
y = f (x0)x + o(x) 我们称 f (x0)x (或 Ax) 为函数在点 x0 处 增量的线性主部, 通常将它记为 微 分 dy = f (x0)x ( dy =Ax ).
d 2 y d(d y) d( f ( x) d x)
2 d( f ( x)) d x f ( x) d x
d x x
d x 2 x 2
由此看出, 当 x 为自变量时,
d2 y f ( x) 2 dx
除法
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类似可定义 n 阶微分:
d y d(d
Βιβλιοθήκη Baidu
此时, 称 f (x) 在点 x0 处可微 。
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2.可微与可导的关系
定理
f ( x) 在点 x0 处可微 f ( x) 在点 x0 处可导 , 且 A f ( x0 ).
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也就是说 , f (x) 在点 x0 处的可微性与
可导性是等价的 , 且 f (x) 在点 x0 处可微 ,
则 y = f (x0)x + o(x)
dy = f (x0)x
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说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
R 1 R 0.01
时体积的增量
4 R 2 R R 1
R 0.01
0.13 (cm 3 )
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
很小时, 有近似公式
y dy
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例1
y x , 求 d y.
d y ( x)x 1 x x,
什么意思？
解
由于 y x, 故得
d y d x x.
该例说明: 自变量的增量就是自变量的微分：x d x 函数的微分可以写成:
d y f ( x) d x
纵坐标的改变量.
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二.微分的运算法则
1.微分的基本公式
可微
可导
微分的基本公式与导数的基本公式相似
微分公式一目了然, 不必讲了.
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17
18
2. 一阶微分形式不变性 ( 复合函数微分法则 )
设 y f (u ) 与 u ( x) 可构成复合函数
y f ( ( x)). 若 u ( x) 在点 x0 处可微 , 而
练习. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
2 C ) xdx (1) d( 1 x 2
(2) d(

1 sin t
C ) cos t d t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
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练习. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,
d y d y du , d x du d x
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复合函数的导数
例4
dy 设 x y 4 y, 求 . dx
2
解
d x (2 y 4) d y
dx (或 2y 4 ) dy
dy 1 d x 2y 4
( y 2)
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三. 二阶微分
设函数 y = f (x) 二阶可导, 当 x 为自变量时, 其二阶微分为
n
n1
y) d( f
( n1)
( x) d x ) f
n1
( n)
( x) d x
n
且有
n d y (n) f ( x) n dx
注意这里 x 是自变量
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n d y (n) 由高阶导数 f ( x) n 以及一阶微分 dx
形式不变性 , 我们自然会想到高阶微 分是否也
具有这种不变性？

360
.
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x

6 , x
取 x0

360
, 而 f ( x0 ) cos

3 , 6 2
得
sin( ) sin cos 6 360 6 6 360





1 3 0.5076 2 2 360
4 4 3 V ( R R ) R 3 3 3 4 ( R 3 ) R 3
4 R2R
所以, 球的体积增量大约为 4 R 2R.
31
例6
利用微分求 sin 3030' 的近似值 . 设 f ( x) sin x ,
又 30 30'

解
由

6

但 故
d u ( x) d x
d y f (u ) ( x) d x f (u ) d u
(u为中间变量 )
说 明 什 么 问 题 ？
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我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量 时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形 式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为 函数的一阶微分形式不变性 .
y 的相对误差限约为
y | y | x
| y | x | y| | y|
y
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38
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练习. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos( x y)) 0 sin x d y y cos x dx sin( x y) (dx d y) 0 y cos x sin( x y) dy dx sin( x y) sin x
或 d f ( x) f ( x) d x
此外, 当 x 为自变量时, 还可记
x2 d x2 , xn d xn (n Z ) 等.
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dy 当 d y f ( x) d x 时, 有 f ( x) . dx
即函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的
微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也
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四.微分在误差估计中的应用
设某个量的精确值为 A, 它的近似值为 a, 则称: | A a | 为 a 的绝对误差;
| Aa| 为 a 的相对误差. |a|
若已知 | A a | A , 则称:
A 为测量 A 的绝对误差限, 简称 A 的绝对误差.
δA 为测量 A 的相对误差限, 简称 A 的相对误差. |a|
d A A d D

D D
| D | D 0.05
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而
| A | | d A |

2
D | D |

2
D D
因此 , A 的绝对误差限约为
π A D D 60.03 0.05 4.715(mm2 ) 2 2

A 的相对误差限约为 D D A 2 D 0.05 2 2 0.17% A D 60.03 D2 4